TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Trong đó vành và môđun đóng vai trò nền tảng của môn học. Môđun một trong số các cấu trúc đại số có một tập nên là một vành cùng với phép toán cộng và nhân vô hướng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MÔĐUN XẠ ẢNH

TRẦN CAO HOÀNG

Chuyên ngành: PP và LL dạy học Toán

Giáo viên hướng dẫn khoa học

TS PHAN VĂN THIỆN

Huế, tháng 2, năm 2012

MỤC LỤC

Trang bìa

Mục lục 1

Lời mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

Chương 2 Môđun xạ ảnh 5

Chương 3 Bài tập áp dụng 14

Kết luận 17

Tài liệu tham khảo 18

LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Trong đó vành và môđun đóng vai trò nền tảng của môn học Môđun một trong số các cấu trúc đại số

có một tập nên là một vành cùng với phép toán cộng và nhân vô hướng Có thể nói khái niệm môđun là khái niệm quan trọng nhất trong đại số hiện đại, nó được chia làm nhiều lớp như: Môđun tự do, môđun chia được, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh,

… Trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về môđun xạ ảnh Khái niệm môđun

xạ ảnh lần đầu tiên được đưa ra trong cuốn sách nổi tiếng "Homological Algebra" của H.Cartan và S.Eilenberg vào năm 1956

Trong tiểu luận này có ba chương, đó là:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này nhắc lại các kiến thức về môđun, đồng cấu môđun, môđun tự do, cơ sở

Chương 2 Môđun xạ ảnh

Trong chương này trình bày các định nghĩa, tính chất, mệnh đề, hệ quả về môđun xạ ảnh

Chương 3 Bài tập

Trong chương này tôi trình bày hai bài tập áp dụng nội dung lý thuyết ở chương 1 và 2

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót, mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc Để hoàn thành tiểu luận, tôi xin chân thành cảm ơn TS Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học phần Cơ sở đại số hiện đại Tôi cũng xin chân thành cám ơn các học viên cao học Toán khóa XX nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận

Huế, tháng 02 năm 2012

Trần Cao Hoàng

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 1.Định nghĩa 1 Cho R là một vành, một tập hợp M được gọi là R-môđun trái nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1) Trên M có một phép toán + và M  là một nhóm aben , 

2) Tồn tại một ánh xạ R Mx M

r x, rx

được gọi là phép nhân vô hướng thỏa mãn r s,   , x y, M

i) r x  yrxry r, s x rxsx (Tính phân phối)

ii)  r s xr sx  (Tính kết hợp)

iii) 1.xx (Tính Unita)

Một R-môđun trái gọi là một môđun bên trái trên R

Quy ước: Khi nói M là R-môđun thì là R-môđun trái

1.2 Định nghĩa 2 Cho M, N là các R-môđun Ánh xạ f M: N được gọi

là một đồng cấu R-môđun nếu :

     , ,

f x y  f x  f y x yM

f rx rf x  x M   r R

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu khi và chỉ khi f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng

1.3 Định nghĩa 3 Cho R là vành, S là một tập hợp Một R-môđun tự do trên

S là một R-môđun F cùng với một ánh xạ : f S: F sao cho với mọi ánh

xạ :g S  X từ tập S vào môđun X, tồn tại duy nhất một đồng cấu R-môđun h F:  X thỏa mãn hf  g

h

g

1.4 Định nghĩa 4 M là R-môđun, S là tập con của M

 S được gọi là hệ sinh của M, nếu x  thì R

1

n

i i i i i



 S được gọi là độc lập tuyến tính, nếu

1

n

i i i i i i



 S được gọi là cơ sở của M khi và chỉ khi S độc lập tuyến tính và S là

hệ sinh của M

1.5 Định lý Cho M là R-môđun Tập con S M là một cơ sở nếu và chỉ nếu ánh xạ bao hàm i S: M có thể mở rộng thành đẳng cấu R-môđun

:

h F M với F là R-môđun tự do sinh bởi S

1.6 Hệ quả R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở

M

f

h

i

X

B

h

0

f

Chương 2 MÔĐUN XẠ ẢNH

2.1 Định nghĩa Một môđun P được gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu R-môđun f X: B và mọi toàn cấu R-môđun g A: B, thì có một đồng cấu R-môđun h X: A thỏa mãn g h  f , tức làm cho biểu đồ sau (với dòng cuối khớp) là giao hoán

2.2 Định lý Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh

Chứng minh Giả sử X là R-môđun tự do, f X: B là đồng cấu R-môđun, :

g AB là toàn cấu R-môđun

Gọi S là một cơ sở của X, :i S X là ánh xạ bao hàm   , ta có s S

 

f s  Do B g A: B là toàn cấu nên có phần tử của A, gọi là j s sao  

cho g j s    f s  Vì vậy, có thể xây dựng một ánh xạ j S:  A với

 

s j s

Do X là môđun tự do sinh bởi S nên ánh xạ j có thể mở rộng thành đồng

cấu R-môđun h X:  A h i,   j Ta sẽ chứng minh g h  f

X

B

h

0

f

S

x X

  , do S là cơ sở của X nên

1

n

l l l l l

x a s a R s S



l l l l l l

gh x gh a s a gh s a ghi s

l l l l l l

2.3 Mệnh đề 1 Mọi hạng tử trực tiếp của R-môđun xạ ảnh là R-môđun xạ ảnh

Chứng minh Giả sử X là R-môđun xạ ảnh, U là một hạng tử trực tiếp của

X

Giả sử f U: B là đồng cấu R-môđun, :g A B là toàn cấu R-môđun

U là hạng tử trực tiếp của X nên có môđun con V của X sao cho X U V Gọi:

là phép chiếu lên U theo phương V

:





là đồng cấu bao hàm

:

f X B là đồng cấu, g A: B là toàn cấu X là xạ ảnh nên có đồng cấu k X: A sao cho gk f

U

f

X

Đặt hki U:  A là đồng cấu

Ta có : ghgki f i  f

2.4 Mệnh đề 2 Tổng trực tiếp của các R-môđun xạ ảnh là R-môđun xạ ảnh

Chứng minh Giả sử X j, j , là các R-môđun xạ ảnh, I j

j I



 Với mỗi j , gọi I d j: X j  X là phép nhúng, j :X  X j là phép chiếu Giả sử f X: B là đồng cấu và g A: B là toàn cấu , j: j

Do X là xạ ảnh, j g A: B là toàn cấu nên có đồng cấu h j:X j A thỏa mãn gh j  fd j

 j j I



   , có J x  , I J hữu hạn sao cho x  

x

j

j J



 

Xét ánh xạ h X: A

j J j J

, ,

r R x y X

    ta có :

j J j J j J J

 

j J J j J j J

X

f

Xj

dj

hj

     

j J j J

 

j j j j

j J j J

h  rx r h x

Vậy h là đồng cấu R-môđun

Ta còn phải kiểm chứng :

 

:

x

j

j J



         

x

j j

j J



 

j J j J

 

x

j j

j J



2.5 Mệnh đề 3 Mọi R-môđun M đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn các R-môđun

0 L F M 0 Trong đó F là R-môđun xạ ảnh

Chứng minh Do mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự do nên có một R-môđun tự do F và một toàn cấu  : F M Vì vậy, ta cũng có dãy khớp sau:

0Ker iF M  0 lấy Lker

2.6 Mệnh đề 4 Cho X là R-môđun Các khẳng định sau tương đương i) X là R-môđun xạ ảnh

ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun

0U V X  0

X

X

h

0

idX

đều chẻ ra

iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R-môđun tự do

iv) Nếu :g AB là một toàn cấu R-môđun, thì

g



 cũng là toàn cấu R-môđun

v) Nếu 0AfBgC là dãy khớp ngắn các đồng cấu R-0 môđun thì dãy sau cũng khớp :

0Hom R X A, f Hom R X B, g Hom R X C,  0 Chứng minh

i)  ii) Giả sử X là xạ ảnh và

0U V X  0 khớp

X xạ ảnh nên có đồng cấu h X: V sao cho hid X Vậy  có nghịch đảo phải nên dãy khớp ngắn trên chẻ ra

ii)  iii) ii) đúng Do mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun

tự do nên có một R-môđun tự do F và một toàn cấu  : F X Vì vậy ta có dãy khớp sau :

0Ker iF M  0 Theo ii) dãy khớp trên chẻ ra Suy ra  có nghịch đảo phải  : X F thỏa mãn  id X và khi đó F Im ker

X

B



0

f

X

f

X

id đơn cấu nên  đơn cấu Từ đó, X Im là hạng tử trực tiếp của môđun tự do F

iii)  i) : Do mọi môđun tự do đều là xạ ảnh và hạng tử trực tiếp của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh

i)  iv) Giả sử X xạ ảnh và g A: B là toàn cấu với mọi đồng cấu R-môđun f Hom RX B, 

Do X là xạ ảnh nên có đẳng cấu : X  A thỏa mãn g  f

Suy ra :

g Hom id g Hom X A Hom X B

cũng là toàn cấu R-môđun

iv)  i) : Giả sử f X:  B là đồng cấu R-môđun và :g AB là toàn cấu R-môđun

Theo iv) ta có toàn cấu :

g Hom X A Hom X B

  g  f

Do đó, có đồng cấu R-môđun : X A thỏa mãn g  f Vậy X là xạ ảnh

ii)  v) : Ta chứng minh rằng nếu dãy các đồng cấu R-môđun

0AfBgC (*) 0

là khớp thì với mọi R-môđun M ta có dãy

0Hom R X A, f Hom R X B, g Hom R X C,  (**) 0 cũng khớp

Khớp tại Hom RM A : ,    ker f * , ta có 0 f*    f

Do f đơn cấu nên  0, suy ra f đơn cấu *

Khớp tại Hom RM B : ,    Im f * Do (*) khớp nên ta có gf  suy ra 0

g f* *  gf  0

Do đó : Im f* Kerg*

*

Kerg



  ta có, g*  g  nên Im0  Kerg Do (*) khớp nên

Im Kerg Im f

Do f A: B là đơn cấu nên có đẳng cấu, j: Im f A sao cho fjid Im f

và jf id A

Do : M B là đồng cấu nên h M: Im , h x  x là đồng cấu Do

Im Im f nên   jh M: A là đồng cấu

Ta có, f*   f  fjh M: B và với mọi xM

*

f  x  fjh x h x  x Vậy   f*   Imf* khớp tại Hom RM C , từ ii) ta có ,  g là toàn cấu *

v)  i) : v)  iv)  i)

2.7 Định lý cơ sở đối ngẫu Một R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi tồn tại những họ  a i i I các phần tử của P và  f i i I trong Hom PP R,  sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Nếu aP thì f a  i  0 với hầu hết (tức chỉ trừ một tập hữu hạn) (ii) i i ,

i I



Chứng minh Giả sử P là R-môđunxạ ảnh và : FP là một R – toàn cấu, trong đó F là R-môđuntự do có một cơ sở là  e i i I

 Theo hệ quả 3 dãy khớp ngắn

0KerF P0,

là chẻ ra, do đó tồn tại R – đồng cấu f P: F sao cho  f 1P Với mỗi phần tử tùy ý aP thì f a F luôn có một khai triển hữu hạn duy nhất

  i a  i

i I



 , tức chỉ có hữu hạn phần tử iI sao cho f i a 0 Khi đó rõ ràng tương ứng

:

i

f PR xác định bởi f a i  f i a , a P là R – đồng cấu thỏa mãn điều kiện (i) với mọi iI Bây giờ, nếu ta đặt a i  e i , i I thì

Khi đó họ  a i i I P

  thỏa mãn điều kiện (ii)

Ngược lại, giả sử tồn tại các họ  a i i I , x iP và

 i , i R , 

i I

  thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của định lý Xét tập hợp S  e i i I



 và một ánh xạ g S: P xác định bởi g e i a i, i I Cho F

là một R-môđun tự do trên tập hợp S Khi đó theo tính phổ dụng của môđun

tự do, tồn tại R–đồng cấu : FP mở rộng của g, tức sao cho

 e i a i, i I

    Bây giờ ta định nghĩa một ánh xạ f P: F bởi

  i  i

i I



 ; chú ý rằng tổng này là hữu hạn nên f được hoàn toàn xác định và là R–đồng cấu Khi đó ta suy ra

tức  f 1P Vậy ta có dãy khớp ngắn

0KerF P0,

là chẻ ra Điều này nói lên rằng P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của môđun tự do F và khi đó theo mệnh đề 2.1 thì P là R-môđunxạ ảnh Định

lý được chứng minh

Chương 3 BÀI TẬP ÁP DỤNG

3.1.Bài tập 1 Cho R là vành tất cả các hàm số thực liên tục trên đoạn

 0,1 với phép cộng và phép nhân: f g, R

f g a  f a g a ;   fg a  f a g a   

Đặt Pf R f a|     0 a 0, f , 0 f 1

Chứng minh rằng:

i) P là R-môđun xạ ảnh

ii) P là hợp của một dây chuyền tăng chặt vô hạn các Iđêan chính trong R

Giải :

i) Ta xây dựng họ a n,f n:n 1, 2,  như trong định lý cơ sở đối ngẫu Với mỗi aR, ta viết

supp a  x 0,1 :a x 0 Chúng ta xác định b nP n( 1) bằng các đồ thị sau:

Nơi supp( ) 1 , 1  0,1

n

b

  Với bất kỳ x > 0, chúng ta có b x  n  0

với nhiều nhất là hai giá trị n, và thật dễ dàng để thấy rằng n1b x n 1 Bây giờ xác định f n:RR sao cho a n: b n , với P  b n  x  b x n 

với mọi x  0,1 Bằng cách hạn chế Iđêan P, chúng ta có thể xem f như là n

một phần tử của P Với bất kỳ a*  , chúng ta có P f n a aa n  với bất 0

kỳ n đủ lớn để a biến mất trên 0,1 /n 1 Cuối cùng, chúng ta có

 

1 n n

n

a a f a kể cả hai phía từ gốc 0, và từ x > 0:

     1/2  1/2  



   

1

n n

b x a x







a x 

Áp dụng định lý cơ sở đối ngẫu ta có P là R-môđun xạ ảnh

ii) Với n 2, đặt a nP là hàm liên tục từng phần tuyến tính  0,1   mà bằng không trên 0,1/ n và có đồ thị trên 1 / ,1n  là các đoạn thẳng nối hai điểm 1 / ,0n  và  1,1 Lưu ý rằng a n1a R n từ bất kỳ hàm trong a R n phải triệt tiêu trên 1 / (n1),1 /n ngoại trừ a n1 Mặt khác, a na n1R Để thấy điều này, ta định nghĩa một hàm g n trên  0,1 sao cho g n x 0 nếu

0,1 / 

x n , và g n x a n x /a n1 x nếu x1 / ,1n  Hàm g n là liên tục trên 1 / (n 1),1và bằng không trên đoạn 0,1/ n vì g nR Sau đó

a a  g a  R và chúng ta có một chuỗi tăng dần các vành Iđêan chính

trong P Với bất kỳ f P, lấy n   sao cho f biến mất trên 0,1/ n Sử dụng chứng minh trên cho f (thay thế của a n), chúng ta thấy rằng f a n1R

Do đó,

2 n

n



 , như mong muốn

3.2.Bài tập 2 Chứng minh rằng mọi R-môđunxạ ảnh hữu hạn sinh P đều có thể được biểu diễn như e R n , với e R: n R n là phép nhân bởi một ma trận lũy đẳng  a ij n có hệ tử thuộc vành R

Giải:

Chọn một môđun Q phù hợp sao cho n

PQR , và cho

là phép chiếu ánh xạ lên P lấy vi phân theo các phân tích này Rõ ràng

2

e e, và n

eR P Đặt a j bằng cột thứ j của e (vì a jP), và đặt f j là ánh

xạ tuyến tính theo hàm trên P với bất kỳ vectơ trong P theo tọa độ vị trí thứ

j Chúng ta có a j,f j:1 jn là một cặp đôi cơ sở của P (như trong định

lý cơ sở đối ngẫu) Trong thực tế, với bất kỳ vectơ xx1, ,x ntP, chúng

ta có:

 

1

11 1 12 2

1 1 2 2

j

b

 

 

KẾT LUẬN

Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cở bản về môđun

xạ ảnh, và đặc biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót, mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn TS Phan Văn Thiện đã tận tình giảng dạy học phần Cơ sở đại số hiện đại Tôi cũng xin chân thành cám ơn các học viên cao học Toán khóa XX nhiệt tình giúp đỡ động viên tôi trong quá trình làm tiểu luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 N.T Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985

2 S Lang, Đại số (T.V Hạo, H Kỳ dịch), Nhà xuất bản ĐHTHCN, 1978

3 F.W Anderson, K.R Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, 1974

4 C Faith, Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer-Verlag,

1981

5 T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999

6 T.Y Lam, Exercices in Modules and Rings, Springer, 2007