Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại môđun tự do hữu hạn sinh

Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại môđun tự do hữu hạn sinh Trong tiểu luận này có hai chương, đó là Kiến thức chuẩn bị và Môđuntự do. Chương I:Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại các kiến thức về môđun, môđun con, môđun con sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp và tích trực tiếp. Chương II: Môđun tự do

trường đại học sư phạm

tiểu luận cơ sở đại số hiện đại

đề tài:

môđun tự do hữu hạn sinh.

Giáo viên hướng dẫn:

TS.Phan Văn Thiện

Học viên thực hiện: Bùi Văn Hiểu Lớp: Toán K17 (2008-2010) Chuyên ngành: LL và PP dạy học Toán

Huế - 1/2009

LỜI NÓI ĐẦU

Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Trong đó vành và môđun đóng vai trò nền tảng của môn học Môđun một trong số các cấu trúc đại số có một tập nên là một vành cùng với phép toán cộng và nhân vô hướng Có thể nói khái niệm môđun là khái niệm quan trọng nhất trong đại số hiện đại nó được chia làm nhiều lớp như: Môđun tự do, môđun chia được, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Vì vậy trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về môđun tự do hữu hạn sinh

Trong tiểu luận này có hai chương, đó là Kiến thức chuẩn bị và Môđun

tự do

Chương I:Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, nhắc lại các kiến thức về môđun, môđun con, môđun con sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp và tích trực tiếp

Chương II: Môđun tự do

Trong chương này, trình bày các định nghĩa, tính chất và các ví dụ

về môđun tự do Từ tính chất M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi

đó nếu M là một R-môđun tự do với cơ sở S thì S hữu hạn và tính chất

M là một R-môđun tự do và có một cơ sở hữu hạn Khi đó mọi cơ sở của M củng hữu hạn và có số phần tử bằng nhau Tôi đưa ra định nghĩa môđun tự do hữu hạn sinh

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận này khó tránh khỏi sai sót mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc Để hoàn thành tiểu luận này em xin chân thành cảm ơn những đóng góp của thầy giáo Trần Văn Thiện và các bạn trong lớp Toán K17

1 Kiến thức cơ sở

1.1 Các khái niệm chung về Môđun

1.1.1.Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị 1 M được gọi là một môđun trái trên R hay R-môđun trái nếu M là một nhóm abel viết theo lối cộng cùng với một ánh xạ:

ϕ : R × M −→ M (a, x) 7−→ ax, thường được gọi là phép nhân với vô hướng trong R, thảo mãn các điều kiện sau đây:

i)a(x + y) = ax + ay,

ii)(a + b)x = ax + bx,

iii)(ab)x = a(bx),

iv)1x = x,

với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ R Tương tự, M được gọi là một môđun phải trên R hay R-môđun phải nếu M là một nhóm abel viết theo lối cộng cùng với một ánh xạ M × R −→ M, (x, a) 7−→ xa, thỏa mãn các điều kiện giống như i), ii), iv) nêu trên, trong đó các vô hướng được viết ở bên phải và điều kiện sau:

iii0)x(ab) = (xa)b, ∀x ∈ M, ∀a, b ∈ R

Nếu khi R là một vành giao hoán thì các khái niệm R-môđun phải và R-l à trùng nhau Trong tài liệu này nếu ta không cần phân biệt thì ta gọi R-môđun trái là R-môđun hay môđun

1.1.2 Ví dụ

1) Mỗi nhóm abel là một môđun trên vành Z

2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất

kì, được gọi là môđun 0

3) Mỗi không gian véctơ trên một trường K là một môđun trên K và ngược lại

4) Mỗi vành có đơn vị R là một môđun trên chính nó Mỗi iđêan trái của R cũng là một R-môđun trái

5) Xét R là một vành giao hoán có đơn vị.Lúc đó vành R[x] các đa thức lấy các hệ tử trong R, xét vành R[x] với phép cộng thông thường và phép nhân vô hướng xác định như sau:

r(a0+ a1x + + anxn) = ra0+ ra1x + + ranxn

Với mọi r ∈ R với mọi a0, a1, , an ∈ R Lúc đó dể dàng kiểm chứng được R[x] là một R-môđun

1.2 Môđun con

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một tập con N của

M được gọi là R-môđun con của M nếu:

i) N là một nhóm con của nhóm cộng M

ii) N khép kín đối với phép nhân với vô hướng, tức là rx ∈ R với mọi

r ∈ R, x ∈ N ,

kí hiệu: N ⊆ M hay N ≤ M

1.2.2 Định lý Một tập con H 6= ∅ của R-môđun trái M là một môđun con của M khi và chỉ khi với mọi a ∈ R và với mọi x,y ∈ H ta có:

1)x + y ∈ H; 2)ax ∈ H

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên, ta kiểm chứng điều kiện đủ: Hai điều kiện (1) và (2) chứng tỏ rằng phép cộng trong H và phép nhân vô hướng giửa H và R với miền toán tử R được xác định Đây là hai phép toán được cảm sinh từ hai phép toán của R-môđun trái M Nhưng tính giao hoán và kết hợp của phép cộng và bốn tiên đề trong định nghĩa môđun trái thoả mản trên toàn bộ M thì củng thoả mản đối với tập con H của M

Ngoài ra, vì H 6= ∅ nên ∃x ∈ H Khi đó 0M = 0Rx ∈ H (do điều kiện (2)); và với mổi x ∈ H, phần tử đối −x = (−1)x ∈ H (do điều kiện (2))

Vậy H là một R-môđun trái

1.2.3.Ví dụ

1) Tập con{0} của R- môđun M và chính bản thân M là hai môđun con của R-môđun M , các môđun này gọi là các môđun tầm thường 2) Giả sử M là một R- môđun tuỳ ý vàm0 ∈ M khi đó ta dể dàng kiểm chứng được tập con

m0R = {m0 | r ∈ R}

là một môđun con củ M Nó được gọi là môđun con xyclic sinh bởi phần tử m0

3) Giả sử A, B là hai môđun con của R-môđun M Khi đó ta kiểm chứng được:

AT

B là một môđun con củaM

A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B là một môđun con của M

1.3 Môđun con sinh ra bởi một tập con

1.3.1 Mệnh đề Giả sử Ω là một tập các môđun con nào đó của R-môđun M Khi đó

\

H∈Ω

H = {x ∈ M | (∀H ∈ Ω) ⇒ (x ∈ H)}

là một môđun con của M

Chứng minh : Đặt N = T

H∈ΩH Khi Ω = ∅ thì N = M Bây giờ giả

sử Ω 6= ∅ Khi đó

0 ∈ N ⇒ N 6= ∅

Với mọi x, y ∈ N ta có x, y ∈ H, ∀H ∈ Ω Với mọi (a ∈ R ta có:

(x + y, ax ∈ H, ∀H ∈ Ω )⇔( x + y, ax ∈ N )

theo định lý 1.2.2 thì N là một môđun con của M

1.3.2 Hệ quả Giả sử S là tập con của R-môđun trái M Khi đó, giao của tất cả các môđun con của M chứa S là môđun con nhỏ nhất chứa S Chứng minh Gọi Ω là tập tất cả các môđun con củaM chứaS Theo mệnh đề 1.3.1 thì N = T

H∈ΩH là môđun con của M và chứa S Khi

S 6= ∅ thì N = {0} Khi S 6= ∅, giả sử K là một môđun con bất kỳ của

M chứa S, thì K ∈ Ω Từ đó suy ra

x ∈ N ⇒ x ∈ K, nghĩa là N ⊆ K

1.3.3 Định nghĩa Giả sử S là một tập con của R-môđun M Môđun con bé nhất N chứa S được gọi là môđun con sinh bởi S và ký hiệu

N =< S > Khi M =< S > ta nói M là R-môdun sinh ra bởi tập S

và S là hệ sinh của R-môđun M Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói rằng M là R-môđun hữu hạn sinh

một phần tử x của R-môđun trái M được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong tập con S ⊂ M khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn các phần tử x1, x2, , xn ∈ S sao cho x = P n

i=1aixi với các hệ tử a1, a2, , an ∈ R

1.3.4 Ví dụ

1) Z-môđun Q các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn

Thật vậy giả sử S = {a1, a2, , an} là một hệ sinh hữu hạn của Q.Khi đó 12a1 có thể biểu diển dưới dạng tổng hữu hạn:

1

2a1 = x1a1+

X

i6=1 xiai, xi ∈ Z

Suy ra a1 = 2x1a1+P

i6=12xiai

từ đó ma1 = P

i6=12xiai, với m = 1 − 2x1 Giả sử m1a1 = y1a1+P

i6=1yiai, yi ∈ Z

Khi đó a1 = my1a1+P

i6=1myiai

=X i6=1

2xiaiyi+X

i6=1

miai =X

i6=1 riai

Điều này chứng tỏ S \ {a1} củng là hệ sinh của Q Tiếp tục quá trình này sau n bước ta được tập rổng là hệ sinh của Q và do đó Q = {0} 2) Không gian véctơ Rn là một R-môđun hữu hạn sinh có một hệ sinh

là cơ sở chính tắc của R

1.3.5 Định nghĩa Môđun con A của môđun M được gọi là tối đại nếu A 6= M và nó không chứa môđun con thực sự nào của M

1.3.6 Định lý Trong môđun hữu hạn sinh mổi môđun con thực sự được chứa trong một môđun tối đại

Để chứng minh định lí này ta sử dụng bổ đề Zorn

1.3.7 Bổ đề Zorn Cho A là một tập sắp thứ tự Nếu mổi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có hần tử tối đại Chứng minh định lí 1.3.6 Giả sử S = {m1, m2, , ms} là hệ sinh của M Nếu A là môđun con của M và A 6= M thì tập các môđun con của M

Γ = {B/A ⊂ B ⊂ M, B 6= M }

là khác rổng hơn nửa, Γ là sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm Để áp dụng bổ đề Zorn ta cần chỉ ra mổi tập con sắp thứ tự hoàn toàn L của

Γ có cận trên trong Γ Đặt

C =[B, B ∈ Γ

Khi đó Giả thiết rằng C = M Thế thì {m1, m2, , ms} ⊂ C,

do đó tồn tại môđun con B ∈ Γ sao cho {m1, m2, , ms} ⊂ B, nghĩa

là B = M , trái với giả thiết về Γ Vậy ta phải có C ∈ Γ

Theo bổ đề Zorn trong Γ tồn tại phần tử tối đại D ta chứng tỏ D

là môđun tối đại trong M Thật vậy, nếu N là môđun con của M sao cho

D ⊂ N ⊂ M, N 6= M thì N ∈ Γ, và do tính tối đại của D trong Γ ta có N = D

1.3.8 Hệ quả Mổi môđun hữu han sinh M 6= {0} đều chứa môđun

con tối đại.

1.3.9 Định lý.H là môđun con của R môđun trái M sinh ra bởi tập con S ⊂ M khi và chỉ khi H gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong S

Chứng minh Gọi

H =

(

{P

s∈Srss/rs ∈ R, (rs)s ∈ Scó giá hửu hạn} , nếuS 6= ∅

{0} , nếuS = ∅ Nếu H = {0} thì H là một môđun con của M Nếu H 6= {0} Khi

đó ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ R

x = P

s∈Srss, y = P

s∈Sr0ss ⇒ x + y = P

s∈S(rs + r0s)s ∈ H, ax =

aP

s∈Srss = P

s∈Sarss ∈ H với mổi x ∈ S ta có x = 1.x ∈ H ⇒ S ⊂

H Như vậy H là một môđun con của M và chứa S

Giả sử K là một môđun con bất kì của M chứa S Khi đó mọi tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong S đều bị chứa trong K, nghĩa là

H ⊂ K Do đó H là môđun con nhỏ nhất của M cứa S Nói cách khác

H =< S >

1.3.10 Định nghĩa Một tập con S của R-môđun trái M sao cho 0M 6∈ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu một tổ hợp tuyến tính của S

X

s∈S rss = 0

suy ra mọi hệ số rs = 0

Nếu tập S độc lập tuyến tính thì P

s∈Sass = P

s∈Sbss khi và chỉ khi

as = bs với mọi s ∈ S khi đó, nếu x biểu thị tuyến tính qua S thì biểu thị đó là duy nhất Đặc biệt, không có phân tử nào của S biểu thị tuyến tính qua các phần tử còn lại củaS

Có những môđun không có một tập con độc lập tuyến tính nào Chẳng hạn Z-môđun Zn, với mọi n > 1 Bởi vì ta có nx = 0 đối với bất kỳ

x ∈ Zn

1.3.11 Định nghĩa.Tập con S của R-môđun trái M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó vừa độc lập tuyến tính vừa là hệ sinh

1.3.12 Ví dụ

1) Cho R là một vành giao hoán có ddn vị 1 6= 0 Khi đó {1} là cơ

sở của R-môđun R

2) Mổi cơ sở của một không gian véctơ V trên trường K chính là một

cơ sở của một K-môđun V

1.4 Môđun thương

Giả sử M là một R-môđun trái và H là môđun con của nó Vì H

là nhóm con của nhóm aben trong R-môđun trái M nên ta có nhóm thương

H/M = {x + H | x ∈ M } với phép cộng xác định như sau: (x + H) + (y + H) = x + y + H 1.4.1 Định lýGiả sử M là một R-môđun trái và H là một môđun con cua M

i) Quy tắc

R × (M/H) −→ M/H (r, x + H) 7−→ rx + H

là một ánh xạ nên nó là phép nhân vô hướng giữa vành R và nhóm aben M/H

Nhóm aben M/H cùng với phép nhân vô hướng trong (1) là một R-môđun trái

Chứng minh

i) Thật vậy, nếu x + H = x0+ H thì x − x0 ∈ H

Do đó với r ∈ R vì H là môđun con nên ta có:

r(x − x0) ∈ H =⇒ rx − rx0 ∈ H

Vậy rx + H = rx0+ H

ii) Ta kiểm chứng việc thoả mản 4 tiên đề của R-môđun trái:

với mọi x + H, y + H ∈ M/H và mọi r, s ∈ R ta có:

+) r[(x + H) + (y + H)] = r(x + y + H)

= r(x + y) + H = rx + ry + H

= (rx + H) + (ry + H) = r(x + H) + r(y + H)

+) (r + s)(x + H) = (r + s)x + H = rx + sx + H

= (rx + H) + (sx + H) = r(x + H) + s(x + H); +) (rs)(x + H) = (rs)x + H = r(sx) + H

= r(sx + H) = r[s(x + H)];

+) 1(x + H) = 1x + H = x + H

1.4.2 Định nghĩa R-môđun tráiM/H trong định lý 1.4.1 được gọi là môđun thương của R-môđun trái M theo môđun con H của nó

1.4.3 Ví dụ Mổi vành R có đơn vị 1 6= 0 là một R-môđun trái, nên

I là một iđêan trái cua vành R thì I chính là môđun con của R môđun trái R, và do đó, môđun thương R/I là R-môđun trái

1.5 Đồng cấu môđun

1.5.1.Định nghĩa 1 Giả sử M, M0 là hai R-môđun trái Khi đó M

và M0 là hai nhóm aben đối với phép toán cộng trong các môđun trái Một đồng cấu nhóm từ R-môđun trái M vào R-môđun trái M0 gọi là đồng cấu môđun nếu:

ϕ(ax) = aϕ(x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ X

1.5.2 Định nghĩa 2 Giả sử ϕ : M −→ M0 là một đồng cấu môđun Nếu ϕ đồng thời là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu môđun Nếu ϕ đồng thời là toàn ánh thì nó được gọi là toàn cấu môđun Cuối cùng, nếu ϕ đồng thời là song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu môđun

Nếu ϕ là một đẳng cấu môđun thì ta nói M đẳng cấu với M0 và viết

M ∼= M0 Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương

Nếu M = M0 thì ϕ được gọi là một tự đồng cấu của M

1.5.3 Ví dụ

1) Ánh xạ đồng nhất id: M −→ M, x 7−→ x là một đồng cấu môđun (gọi là phép đồng nhất đối với mọi môđun M )

2)Ánh xạ không 0 : M −→ M0 định nghĩa bởi 0(x) = 0M0, ∀x ∈ M ,

là một đồng cấu môđun với mọi môđun M và M0

3) Nếu R là một trường thì đồng cấu R-môđun chính là đồng cấu R- không gian véctơ

1.5.4 Định lí.Giả sử ϕ : M −→ M0 là một đồng cấu từ R-môđun trái

M vào R-môđun trái M’ và p : M −→ M/Ker(ϕ) là một toàn cấu chính tắc thì tồn tại duy nhất một R-đồng cấu môđun ϕ : M/Ker(ϕ) −→ Y sao cho ϕop = ϕ; hơn nữa, ϕ là đơn cấu và Imϕ = Imϕ

Chứng minh: Theo định lí đồng cấu nhóm, ϕ tồn tại duy nhất thoả mản điều kiện của định lí trên Ta chỉ cần kiểm chứng ϕ bảo toàn phép nhân vô hướng Thật vậy, với mọi a ∈ R và mọi x + Kerϕ ∈ M/Ker(ϕ),

ta có:

ϕ[a(x + kerϕ)] = ϕ(ax + kerϕ)

= ϕ(ax) = aϕ(x) = aϕ(x + kerϕ)

1.5.5 Hệ quả Nếu ϕ : M −→ M0 là một toàn cấu môđun thì

M/Ker(ϕ) ∼= M0

1.6 Tổng và tích trực tiếp

Giả sử Mi là một R-môđun với mọi i ∈ I Trên tập tích Q

i∈IMi ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi+ yi)i∈I a(xi)i∈I = (axi)i∈I

trong đó xi, yi ∈ Mi, a ∈ R Khi đó dể dàng kiểm tra đượcQ

i∈IMi cùng với hai phép toán nói trên lập thành một R-môđun, được gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈I

Gọi L

i∈IMi là tập các dãy (xi)i∈I (với xi ∈ Mi) có giá hữu hạn tức

là hầu hết xi = 0 trừ ra một số hữu hạn các chỉ số i Với hai phép toán cộnh và nhân vô hướng định nghĩa như ở trên L

i∈IMilà một R-môđun, được gọi là tổng trực tiếp của họ {Mi}i∈I

Khi I là tập chỉ số hữu hạn I = {1, 2, , n} thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ {Mi}i∈I là trùng nhau:

M1× M2× × Mn ≡ M1⊕ M2 ⊕ Mn

2 Môđun tự do

2.1 Định nghĩa

Một R-môđun trái M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở

2.2 Ví dụ

1) {0} là R-môđun tự do với cơ sở rổng

2) Bản thân R là R-môđun tự do với cơ sở {1}

3) nZ là một Z- môđun tự do với cơ sở {n}

4) Giá sử I là một tập chỉ số nào đó Khi đó

R(I) = (⊕i∈IRi, Ri = R, i ∈ I)

là R-môđun tự do với cơ sở U = {ei | i ∈ I}, trong đó ei = (δij)j∈I với

δij =

(

0 , nếui 6= j

1 , nếui = j

U được gọi là cơ sở chính tắc của R(I)

2.3 Mệnh đề

R-môđun trái M là tự do vớcơ sở S khi và chỉ khi M biểu diển được dưới dạng tổng trực tiếp M = P

s∈SAs, As ∼= R, ∀s ∈ S.

Chứng minh: Trước hết ta xét ánh xạ ϕs : R −→ Rs, r 7−→ rs trong đó

s ∈ S là một phần tử cố định Rỏ ràng ϕs là một toàn cấu các R-môđun trái Hơn nữa, với r ∈ R, ϕs(r) = rs = 0 ⇒ rs = 0s nhưng S là cơ sở của M nên r = 0; vậy ϕs là đơn cấu, và do đó là đẳng cấu

Để chứng minh M có dạng tổng trực tiếp như trong mệnh đề, ta đặt As = Rs Vì S là cơ sở của M nên nó là hệ sinh Bởi vậy, M =

P

s∈SRs = P

s∈SAs Bây giờ ta lấy phần tử t ∈ S Ta xét hần tử

x ∈ RtT P

s∈S,s6=tRs, Khi đó có các phần tử s1, s2, , sn ∈ S, si 6= t và

r, r1, r2, , rn ∈ R sao cho

x = rt =P n

i=1risi hay 0 = −rt +P n

i=1risi, suy ra r = r1 = r2 = = rn = 0 vì t, s1, s2, , sn là các phần tử của

cơ sở S Vậy x = 0, nghĩa là AtT P

s∈S,s6=tAs = 0 Theo định nghĩa tổng trực tiếp thì điều kiện cần của mệnh đề đã được chứng minh

Để chứng minh điều kiện đủ, trước hết ta cho ϕs : R −→ As là đẵng

cấu Ta thấy As = ϕs(R) = ϕs(R.1) = Rϕs(1), suy ra

M = P

s∈SAs =P

s∈SRϕs(1)

Do đó, {ϕs(1)}s∈S là hệ sinh của M

Hơn nữa, hệ {ϕs(1)}s∈S độc lập tuyến tính Do đó {ϕs(1)}s∈S là cơ sở

2.4 Hệ quả

Mổi phần tử của một R-môđun trái tự do có thể biểu diển một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở của môđun đó

2.5 Hệ quả

Cho R là một vành có đơn vị 1 6= 0 tổng trực tiếp ⊕i∈IRi, Ri =

R, (∀i ∈ I) là một R-môđun trái (phải) tự do với cơ sở có lực lượng bằng lực lượng của I

2.6 Định lí

Cho M là một R-môđun tự do với cơ sở S = {ei | i ∈ I} và N là một R-môđun Khi đó mọi ánh xạ f : M −→ N đều mở rộng một cách duy nhất thành một đồng cấu

ϕ : M −→ N Chứng minh Đồng cấu ϕ : M −→ N được xác định bởi hệ thức

ϕ(P

eixi) =P

f (ei)xi, Bây giờ nếu ψ : M −→ N là một đồng cấu mở rộng của f thì

ψ(ei) = f (ei)

eixi =P

ψ(ei)xi

=P

f (ei)xi = ϕ(P

eixi)

Điều này chứng tỏ ϕ = ψ

2.7 Hệ quả

Hai R-môđun tự do với các cở có cùng lực lượng thì đẵng cấu với nhau

Chứng minh Giả sử M và N là các R môđun với các cơ sở tương