TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH HOÀN CHỈNH

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH HOÀN CHỈNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh. Chương này tôi dành cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận: khái niệm, một số bổ đề về Tluỹ linh và định lý Bass

Mục lục

1 Môđun tự do 3

2 Phần bù 4

3 Môđun xạ ảnh 4

4 Phủ xạ ảnh 5

5 Vành Artin 5

6 Môđun có độ đài hữu hạn 6

7 Vành nửa đơn 6

8 Vành nguyên thuỷ và vành nửa nguyên thuỷ 7

8.1 Vành nguyên thuỷ 7

8.2 Vành nửa nguyên thuỷ 7

9 Vành nửa hoàn chỉnh 8

2 Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh 9 1 T- luỹ linh 9

2 Định lý Bass 13

3 Một vài nhận xét về vành Artin 16

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI

Đề tài:

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH

HOÀN CHỈNH

Giáo viên hướng dẫn:

TS Phan Văn Thiện

Học viên thực hiện: Phan Ngọc Chiêu An Lớp: Cao học Toán K17 (2008-2010) Chuyên ngành: Giải tích

Huế-02/2009

.Phan Ngọc Chiêu An

LỜI MỞ ĐẦU

Trong tiểu luận này, tôi trình bày khái niệm, một số bổ đề về T-luỹ linh và định lý Bass

Nội dung của tiểu luận được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày các định nghĩa và định lý của môđun tự do, môđun xạ ảnh, phủ xạ ảnh, môđun có độ dài hữu hạn, vành nửa đơn, vành nửa hoàn chỉnh để làm cơ sở cho việc trình bày các khái niệm và chứng minh các định lý ở chương sau

Chương 2: Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh

Chương này tôi dành cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận: khái niệm, một số bổ đề về T-luỹ linh và định lý Bass

Tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Phan Văn Thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy đã nhiệt tình giảng dạy và hướng dẫn để tác giả hoàn thành tiểu luận này

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế nên nội dung tiểu luận có thể còn nhiều thiếu sót Tác giả mong muốn được sự đóng góp, phê bình của Thầy và bạn đọc

Huế tháng 02 năm 2009

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

GGG Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun có độ dài hữu hạn, vành nửa đơn, vành nguyên thuỷ, vành nửa nguyên thuỷ, để thuận tiện cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận ở chương 2

1.1 Định nghĩa

Giả sử A là R-môđun, U là tập con của A Ta nói U là cơ sở của A nếu U là hệ sinh và độc lập tuyến tính trong A Khi đó A được gọi là R-môđun tự do với cơ

sở U Ta cũng nói U là tập sinh tự do của A

1.2 Mệnh đề

R-môđun A là tự do với cơ sở U khi và chỉ khi mỗi phần tử của A được viết một cách duy nhất dưới dạng:

a = a1r1 + a2r2 + + amrm, ai ∈ U, ri ∈ R 1.3 Mệnh đề

Các điều sau tương đương:

1 A là R-môđun tự do

2 A = ⊕Ai, Ai ' R, i ∈ I, với tập chỉ số I nào đó

3

2 Phần bù 4

2.1 Định nghĩa

Giả sử A là môđun con của môđun MR

1 Môđun con A∗ của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu:

i A + A∗ = M

ii A∗ là môđun con tối tiểu có tính chất A + A∗ = M

2 Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay ∩- bù) nếu

i A ∩ A0 = 0

ii A’ là môđun con tối đại có tính chất A ∩ A0 = 0

2.2 Mệnh đề

Giả sử A, B là hai môđun con của M Khi đó M = A ⊕ B khi và chỉ khi B đồng thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của A trong M

2.3 Mệnh đề

Giả sử A, B là hai môđun con của M sao cho A ∩ B = 0 Khi đó đối với A tồn tại ∩- bù A0 sao cho B ⊂ A0 và do đó với A0 tồn tại ∩- bù A00 sao cho A ⊂ A00

3.1 Định nghĩa

Môđun MR được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R, tồn tại đồng cấu h : M → A sao cho

g · h = f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

M

f

h

A g //B //0

3.2 Mệnh đề

Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh

3.3 Định lí

Nếu P = ⊕Pi thì P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi Pi là môđun xạ ảnh, với

∀i ∈ I

4 Phủ xạ ảnh 5

4.1 Định nghĩa

1 Toàn cấu ϕ : A → C được gọi là đối cốt yếu nếu Kerϕ là môđun con đối cốt yếu trong A

2 Cho môđun AR Toàn cấu ρ : P → A gọi là phủ xạ ảnh của A nếu P là môđun

xạ ảnh và ρ là toàn cấu đối cốt yếu

Khi ρ : P → A là phủ xạ ảnh ta cũng thường gọi P là phủ xạ ảnh của A và kí hiệu P = P (A)

4.2 Mệnh đề

Giả sử ρ : P → A là phủ xạ ảnh và ρ0 : P0 → A là toàn cấu, P0 là xạ ảnh Khi

đó tồn tại toàn cấu chẻ ra ϕ : P0 → P sao cho biểu đồ sau giao hoán:

P0

ϕ

~~}}}}

}}} p0

A A A A

ρ0 = ρϕ

5.1 Định nghĩa

1 Ta nói dây chuyền (hay chuỗi) các môđun con của MR

Ai−1⊂ Ai ⊂ Ai+1⊂

là ổn định (hay dừng) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các Ai khác nhau

2 R-môđun phải M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu

3 Vành R được gọi là Artin phải nếu môđun RR là Artin

5.2 Định lí

Giả sử A là môđun con của môđun M Các điều sau là tương đương:

.Phan Ngọc Chiêu An

6 Môđun có độ đài hữu hạn 6

1 M Artin

2 A và M/A Artin

3 Mọi chuỗi giảm A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ những môđun con của M đều dừng 5.3 Hệ quả

Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì nó lại là Artin 5.4 Hệ quả

Nếu vành R là Artin phải và M là R-môđun hữu hạn sinh thì M là Artin

6.1 Định nghĩa

Môđun có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của chuỗi hợp thành được gọi là độ dài của môđun

6.2 Mệnh đề

Giả sử MRlà môđun có độ dài hữu hạn và ϕ là một tự đồng cấu của nó Khi đó:

1 Tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0

M = Im(ϕn) ⊕ Ker(ϕn)

2 ϕ là tự đẳng cấu ⇔ ϕ toàn cấu ⇔ ϕ đơn cấu

7.1 Định nghĩa

Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu RR (hay RR) là môđun nửa đơn

Chú ý: Đối với vành Artin có sự phân biệt bên trái, bên phải nhưng điều đó không xảy ra đối với vành nửa đơn

7.2 Mệnh đề

Nếu R là một vành Artin bên trái hoặc vành Artin bên phải thì R/Rad(R) là một vành nửa đơn

8 Vành nguyên thuỷ và vành nửa nguyên thuỷ 7 7.3 Định lí

Đối với vành R các mệnh đề sau tương đương:

1 R là vành nửa đơn

2 Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nửa đơn;

3 Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun xạ ảnh;

4 Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nội xạ;

5 Mỗi R-môđun phải (trái) đơn đều là môđun xạ ảnh

7.4 Định lí (Wedderburn-Artin)

R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R là tích trực tiếp của một số hữu hạn những vành đơn và nửa đơn

8.1.1 Định nghĩa

1 Iđêan D của vành R được gọi là một iđêan nguyên thuỷ bên phải của R nếu tồn tại một iđêan phải tối đại C của R sao cho D là iđêan lớn nhất chứa trong C

2 Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ bên phải nếu 0 là iđêan nguyên thuỷ bên phải của nó

8.1.2 Định lí

Với mọi vành R, Rad(R) là giao của các iđêan nguyên thuỷ bên phải của R

8.2.1 Định nghĩa

Vành R được gọi là vành nửa nguyên thuỷ (bên phải) nếu Rad(R) = 0

8.2.2 Hệ quả

Với mọi vành R, vành thương R/Rad(R) là vành nửa nguyên thuỷ

8.2.3 Định lí

R là vành nửa nguyên thuỷ khi và chỉ khi R đẳng cấu với một tích trực tiếp con của một họ những vành nguyên thuỷ

.Phan Ngọc Chiêu An

9 Vành nửa hoàn chỉnh 8

9.1 Định nghĩa

Cho I là một iđêan của vành R và g + I là một luỹ đẳng của R/I Ta nói luỹ đẳng này có thể nâng được (đến e) môđulô I nếu tồn tại một luỹ đẳng e thuộc

R sao cho g + I = e + I Ta nói rằng các luỹ đẳng nâng môđulô I trong trường hợp mọi luỹ đẳng trong R/I có thể nâng được đến một luỹ đẳng trong R 9.2 Định lí

Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:

i Vành R thoả R/J nửa đơn và các luỹ đẳng nâng môđulô J

ii R có một hệ luỹ đẳng trực giao hoàn toàn e1, e2, , en sao cho với mỗi eiRei

là các vành địa phương

iii Mọi R-môđun trái (phải) đơn đều có phủ xạ ảnh

iv Mọi R-môđun trái (phải) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh

9.3 Định nghĩa

Vành R thoả một trong những điều kiện tương đương trong định lí 9.2 được gọi

là vành nửa hoàn chỉnh

9.4 Định lí

Cho R là vành nửa hoàn chỉnh với tập cơ sở các luỹ đẳng nguyên thuỷ e1, e2, em của R Lúc đó, nếu PR là một môđun xạ ảnh thì tồn tại các tập A1, A2, , Am sao cho:

P = e(A1 )

1 R ⊕ ⊕ e(Am )

m R

Chương 2

Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh

GGG Chương này trình bày các định nghĩa và bổ đề của T- luỹ linh và định lý Bass

Tính chất cơ bản của vành hoàn chỉnh phụ thuộc vào sự tổng quát hoá của khái niệm luỹ linh Chúng ta gặp vấn đề này khi học về những thay đổi của cơ sở trong một môđun tự do

1.1 Bổ đề [28.1]

Cho a1, a2, là một dãy thuộc vành R và F là R- môđun trái tự do với cơ sở tự

do x1, x2,

Giả sử yn = xn− anxn+1(n ∈ N ) và G là môđun con của F được sinh bởi y1, y2, Khi đó:

(1) G tự do với cơ sở tự do y1, y2,

(2) G = F nếu và chỉ nếu với mỗi k ∈ N, ∃n ≥ k sao cho ak an = 0

Chứng minh

+ Chứng minh (1)

Giả sử n ≥ k và rk, , rn ∈ R

Giả sử rkyk+ + rnyn = 0

⇔ rk(xk− akxk+1) + + rn(xn− anxn+1) = 0

9

1 T- luỹ linh 10

⇔ rkxk+ (rk+1− rkak)xk+1+ + (rn− rn−1an−1)xn− rnanxn+1 = 0

Vì {x1, , xn, } là cơ sở của F ⇒ rk= rk+1− rkak = = rnan= 0

⇒ rk= rk+1 = = rn= 0

Suy ra {yk, , yn} độc lập tuyến tính

Vậy {y1, , yn, } là cơ sở của G

+ Chứng minh (2)

00⇒00 Nếu G = F

Khi đó với mỗi k ta có: xk∈ G ⇒ xk = r1y1+ + rnyn

⇒ xk = r1(x1 − a1x2) + r2(x2 − a2x3) + + rk−1(xk−1 − ak−1xk) + rk(xk −

akxk+1) + + rn−1(xn−1− an−1xn) + rn(xn− anxn+1)

⇔ r1x1+ (r2− r1a1)x2+ + (rk− rk−1ak−1− 1)xk+ (rk+1− rkak)xk+1+ + (rn− rn−1an−1)xn− rnanxn+1= 0

⇒



























r1 = r2− r1a1 = rk−1− rk−2ak−2 = 0

rk− rk−1ak−1− 1 = 0

rk+1− rkak = 0

rn− rn−1an−1 = 0

rnan= 0

⇒



































r1 = r2 = = rk−1 = 0

rk = 1

rk+1 = ak

rk+2 = akak+1

rn = akak+1 an−1

rnan= 0

⇒ akak+1 an−1an = 0

00⇐00 Với n ≥ k ta có:

xk = xk − akxk+1 + ak(xk+1 − ak+1xk+2) + akak+1(xk+2 − ak+2xk+3) + +

ak an−1(xn− anxn+1) + akak+1 anxn+1

hay xk = yk+ akyk+1+ akak+1yk+2+ + (ak an−1)yn+ (ak an)xn+1

Vì ak an = 0 nên xk = yk+ akyk+1+ akak+1yk+2+ + (ak an−1)yn

1 T- luỹ linh 11

Suy ra xk ∈ G với mỗi k

Do đó G = F 

1.2 Bổ đề [28.2]

Với giả thiết của bổ đề [28.1], nếu G là một hạng trực tiếp của F thì dây chuyền giảm các iđêan phải chính phải dừng

a1R ≥ a1a2R ≥

Chứng minh

Ta có phép đẳng cấu f : F → G, xn 7→ yn

Phép nhúng i : G → F chẻ ra và phép chiếu pG: F = G ⊕ H → G

Đặt g = f−1pK

Khi đó g ∈ End(RF ) và g(yn) = xn

Với mỗi m ∈ N , ta có: g(xm) = Σcmkxk như một tổ hợp tuyến tính của x1, x2, Khi đó:

xn = g(yn) = g(xn− anxn+1) = P

k

(cnk− ancn+1k)xk, ∀k

c1n= 0, ∀n ≥ k

Vì vậy với ∀n ≥ k ta có:

−a1 ancn+1n = a1 an−1(1 − cnn) = a1 an−1 − a1 an−1cnn = a1 an−1 −

a1 an−1cn−1n= = a1 an−1− a1c1n = a1 an−1

Do vậy với ∀n ≥ k, a1, an−1 ∈ a1 anR ⇒ a1a2 an−1R ≤ a1a2 anR

Vậy a1a2 an−1R = a1a2 anR, ∀n ≥ k.

1.3 T- luỹ linh

Định nghĩa

+ Tập con I của R được gọi là T- luỹ linh trái nếu mọi dãy a1, a2, trong I tồn tại một số n sao cho a1 an= 0

+ Tập con I của R được gọi là T- luỹ linh phải nếu mọi dãy a1, a2, trong I tồn tại một số n sao cho an a1 = 0

Ngược lại nếu I là T- luỹ linh trái hoặc T- luỹ linh phải, I luỹ linh vì a, a, là dãy thuộc I bất cứ khi nào a ∈ I

Nhận xét

.Phan Ngọc Chiêu An

1 T- luỹ linh 12

1 Với mỗi iđêan I là T- luỹ linh trái không suy ra I là T- luỹ linh phải Vì vậy trong trường hợp tổng quát, iđêan luỹ linh không cần phải là T- luỹ linh trái (hay T- luỹ linh phải)

2 y1, y2, là cơ sở của F ( trong Bổ đề [28.1])⇔ mỗi k dãy ak, ak+1, là T- luỹ linh trái Điều quan trọng của khái niệm T- luỹ linh là có thực sự phụ thuộc vào J = J (R) của vành

1.4 Bổ đề [28.3]

Cho J là iđêan trái của R Các mệnh đề sau tương đương:

i J là T luỹ linh trái

ii J M 6= M với mỗi M là R- môđun trái khác không

iii J M  M

iv J F  F với mỗi môđun tự do đếm được F = R(N )

Chứng minh

+ 00i ⇒ ii00 Giả sử J M = M 6= 0

Đặt S = {(a1, , an) | ai ∈ J, i = 1, n, a1, , an∈ J\lR(M )}

Do J M = M 6= 0 Suy ra ∃r ∈ J và x ∈ M : rx 6= 0 ⇒ r 6∈ lR(M ) với

lR(M ) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ M }

Hay J lR(M ).Vì vậy cách xây dựng tập S như trên là hợp lí

Vì vậy với (a1, , an) ∈ S ta có a1 an ∈ J \ lR(M )

Suy ra a1 anM 6= 0 và a1 anM = a1 anJ M

Suy ra ∃an+1 ∈ J sao cho a1 anan+16∈ lR(M )

⇒ a1 anan+16= 0 Như vậy (a1, , an+1) ∈ S Bằng quy nạp ta xây dựng được dãy a1, , an, mà a1a2 an 6= 0, ∀n = 1, 2 Điều này mâu thuẫn với (i) + 00ii ⇒ iii00 Với giả thiết (ii), giả sử M là R- môđun trái và K < M , K là môđun con thực sự Khi đó từ (ii) ta có: J (M/K) 6= M/K

Nhưng (J M + K)/K = J (M/K)

Do J M + K 6= M ⇒ J M  M

+ 00iii ⇒ iv00 Rõ

+ 00iv ⇒ i00 Cho F ∼= R(N ) có cơ sở tự do x1, x2,

Cho a1, a2, là dãy thuộc J và G =

∞

P

i=1

R(xi− aixi+1)

2 Định lý Bass 13 Khi đó G + J F = F

Theo giả thiết (iv) ta suy ra G = F

Vì vậy theo (28.1) ta có a1 an = 0, ∀n.

Một vành hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) nếu với mỗi môđun trái (phải) của

nó có một phủ xạ ảnh Theo [27.6] thì vành hoàn chỉnh trái và vành hoàn chỉnh phải đều là vành nửa hoàn chỉnh Tuy nhiên vành hoàn chỉnh phải không cần hoàn chỉnh trái Người đi tiên phong về vành hoàn chỉnh là H.Bass

2.1 Định lý Bass [28.4]

Cho R là vành với Rad J = J (R) Các điều sau là tương đương

1 R hoàn chỉnh trái

2 R/J nửa đơn và J là T- luỹ linh trái

3 R/J nửa đơn và mọi R- môđun trái khác không có 1 môđun con cực đại

4 Mọi R- môđun trái phẳng là xạ ảnh

5 R thoả mãn điều kiện tối tiểu của iđêan phải chính

6 R không chứa một tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao và mọi R- môđun phải không chứa một môđun con cực tiểu

Chứng minh

+ 00(1) ⇒ (3)00 Giả sử R là vành hoàn chỉnh trái

Khi đó R/J nửa đơn theo [27.6]

Hơn nữa, nếuRM 6= 0 thì có một môđun P xạ ảnh với môđun con K  P sao cho M ∼= P/K khi P xạ ảnh, P có môđun con cực đại L và K  P ⇒ K ⊆ L

Do đó L/K là môđun con cực đại trong P/K ∼= M

+ 00(3) ⇒ (2)00 Từ J linh tử hoá mọi môđun đơn

Nếu C cố định thì J M 6= M khi RM 6= 0 ⇒ đpcm

+ 00(2) ⇒ (1)00 Với giả thiết (2) Khi đó R là vành nửa hoàn chỉnh (theo [27.1]) Giả sử M là R- môđun trái khác 0 ⇒ M/J M nửa đơn

Khi đó tồn tại 1 tập có chỉ số (eα)α∈A của luỹ đẳng nguyên thuỷ thuộc R với

⊕AReα/J eα ∼= M/J M

.Phan Ngọc Chiêu An

2 Định lý Bass 14

Giả sử P = ⊕AReα

Vì J là T- luỹ linh trái và theo [28.3] ta có : J P  P và J M  M

Do đó M là phủ xạ ảnh theo [27.5]

P

p 0

p

{{vvvvvv vvvv

M f //M/J M //0

+ 00(1) ⇒ (4)00 Theo giả thiết (1), giả sử RU phẳng và f : P → U là phủ xạ ảnh Khi đó K = Kerf  P Vi vậy theo [9.13] và [17.10] suy ra K ≤ J P

Khi RP và RU đều phẳng, các ánh xạ:

µ1 : J ⊗RP → J P

µ2 : J ⊗RU → J U với µ1(j ⊗ p) = jp và µ2(j ⊗ u) = ju là các đẳng cấu

Dễ dàng kiểm tra biểu đồ sau giao hoán:

-f /J P

-K⊗i K

6

µ 1

-J ⊗f

6

µ 2

với ik : K → P là ánh xạ bao hàm

Do vậy hàng dưới là khớp và µ1, µ2 đẳng cấu

Ta có K = Kerf = Ker(f /J P ) = µ1(Ker(J ⊗ f )) = µ1(Im(K ⊗ ik)) = J K

Do đó J K = K nhưng khi đó (1) ⇔ (2), K = 0 theo [28.3] và U ∼= P là xạ ảnh

+ 00(4) ⇒ (5)00 Rõ ràng mỗi dây chuyền giảm của các iđêan phải chính có dạng:

a1R ≥ a1a2R ≥ , ∀a1, a2, là phần tử của R

Giả sử G và F là các môđun thoả bổ đề [28.1]

Khi đó theo bổ đề [28.2] ta cần chứng minh F/G phẳng

Theo [28.1], y1, , yn, xn+1, xn+2, là cơ sở tự do của F

Với mỗi môđun con Gn =

n

P

i=1

Ryi là hạng tử trực tiếp của F và mỗi môđun thương F/G tự do

2 Định lý Bass 15 Suy ra F/G phẳng

Với G là hợp của Gn và giao của hệ trái-phải

G ∩ IF = (∪NGn) ∩ IF = ∪N(Gn∩ IF ) = ∪NIGn = IG + 00(5) ⇒ (6)00 Với giả thiết (5).Khi đó R không chứa một tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao vì nếu e1, e2, luỹ đẳng trực giao khác không Khi đó:

(1 − e1)R > (1 − e1− e2)R >

Giả sử 0 6= x ∈ M và xR không chứa môđun con đơn

Khi đó, xR không đơn, có a1 ∈ R với xR > xa1R > 0 sao cho xa1R không chứa môđun con đơn

Do vậy trong quá trình quy nạp, ta có thể có được 1 dãy a1, a2, ∈ R sao cho

xa1R > xa1a2R >

Bởi vậy a1R > a1a2R > trái với (6)

a1 an6= 0, ∀n

Khi đó tồn tại một iđêan phải I  RR cực đại với a1 an 6∈ I(n = 1, 2, ) Bây giờ R/I là R-môđun phải khác không, theo (6) thì tồn tại iđêan phải K với I < K  RR và K/I đơn

Theo tính chất cực đại, ∃n sao cho a1 an ∈ K

Khi đó a1 anan+1 ∈ K/I

Vì vậy do K/I đơn, ∃r ∈ R sao cho (a1 an)(1 − an+1r) ∈ I

Nhưng an+1 ∈ J, vì vậy 1 − an+1r khả nghịch

Điều này mâu thuẫn với a1 an 6∈ I

Do đó J là T-luỹ linh trái

Trong trường hợp đặc biệt, J là 0 thì luỹ đẳng nâng lên thành môđun J Với giả thiết R không chứa tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao, ta có R có một hệ trực giao e1, , en của luỹ đẳng nguyên thuỷ Do luỹ đẳng nâng lên thành môđun

J, do đó phải là môđun nguyên thuỷ J Theo (6), mỗi (eiR + J )/J chứa một iđêan tối tiểu của R/J Vì vậy iđêan phải tối tiểu của vành R với rad 0 là hạng

tử trực tiếp và (eiR + J )/J phải đơn

Do đó R/J nửa đơn.

2.2 Chú ý

Từ [28.3] và chứng minh (6) ⇒ (2) của [28.4] ta thấy rằng với một vành R

.Phan Ngọc Chiêu An