luận văn thạc sĩ độ đo jensen và ứng dụng

MỞ ĐẦU Độ đo Jensen là độ đo phản ánh một số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới, đặc biệt của hàm đa điều hoà dưới.. Tính chất nổi bật của hàm điều hoà dưới là nguyên lý cực đại, nêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS – TSKH NGUYỄN VĂN KHUÊ

Thái Nguyên - 2010

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT THẾ VỊ 3

1.1 Hàm điều hoà dưới 3

1.2 Hàm Green 6

1.3 Tập cực 7

1.4 Dung lượng 8

1.5 Bài toán Dirichlet 16

1.6 Chính quy hoá nửa liên tục trên 18

1.7 Định lý biểu diễn Riesz 20

Chương 2: ĐỘ ĐO JENSEN VÀ ÁP DỤNG 24

2.1 Các định nghĩa 24

2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng 25

2.3 Định lý đối ngẫu của hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoà dưới 28

2.4 Ứng dụng vào hàm nguyên 31

2.5 Độ đo điều hoà 34

2.6 Độ đo đĩa giải tích 36

2.7 Độ đo cực trị và xấp xỉ 38

2.8 Hàm điều hoà dưới không nửa liên tục trên 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

Độ đo Jensen là độ đo phản ánh một số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới, đặc biệt của hàm đa điều hoà dưới Vì vậy, độ đo này đóng vai trò quan trọng trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị

Luận văn gồm hai chương Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản

về giải tích phức và lý thuyết đa thế vị Chương II trình bày chi tiết và có phần nào phát triển công trình “ Jensen measure” gần đây của Thomas J.Ransford (2002) về độ đo Jensen

Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn GS - TSKH Nguyễn Văn Khuê người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội và các thầy cô giáo viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học

Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn trường THPT Hiệp Hoà số 4 tỉnh Bắc Giang, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT THẾ VỊ 1.1 Hàm điều hoà dưới

Trong mục này, d( )x luôn kí hiệu là diện tích mặt cầu B x r( , )0 Đặt

1 ( , )

1

B x r d

Một hàm u xác định trên tập con mở  của Rd vào ¥ ,¥  được gọi

là điều hoà dưới trên  nếu các điều kiện sau thoả mãn:

(i) u là hàm nửa liên tục trên

(ii) Nếu x là một điểm tuỳ ý trong  thì với r0 tuỳ ý, đủ nhỏ ta có

( ) ( , , )

Một ví dụ điển hình trong trường hợp d 2 là hàmlog f z( ) với f là

hàm chỉnh hình bất kì trong R2 xem như mặt phẳng phức Ta xét một ví dụ

về hàm điều hoà dưới khác trong trường hợp d 2 là hàm

K x( )  x 2d

Hàm này điều hoà trong Rd  0 và bằng - ¥ tại 0 Ta kí hiệu tập tất

cả các hàm điều hoà dưới trên  là S H ( ) Chú ý rằng, với định nghĩa này, hàm đồng nhất - ¥ trên  cũng là hàm điều hoà dưới Tính chất nổi bật của hàm điều hoà dưới là nguyên lý cực đại, nêu trong định lý dưới đây

1.1.2 Định lý (Nguyên lý mođun cực đại)

Giả sử  là một miền bị chặn trong Rd và uS H ( ) Khi đó

(i) Nếu u đạt giá trị cực trên  thì u là hàm hằng

(ii) Nếu lim supx 0 với mọi điểm  trên  thì u0 trên 

(ii) Thác triển u tới biên của  bằng cách đặt u( ) limsupxu x( ) với mọi  Khi đó, u là nửa liên tục trên trên tập  compact nên nó đạt cực đại tại một điểm y Nếu y thì theo giả thiết ( )u y 0, suy ra u0

Nếu y thì do (i), ta có u là hàm hằng trên  Khi đó hiển nhiên

0

u

1.1.3 Định lý (Dán các hàm điều hoà dưới)

Cho  là một tập con mở của Rd , và  là tập con thực sự, mở trong  Nếu uS H ( ) , vS H ( ) và limsupxy v x( )u y( ) với mọi yÇ , 

Bởi điều kiện limsupxy v x( )u y( ) ta có  là hàm nửa liên tục trên trên

 Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức dưới trung bình địa phương Tức là

với mỗi x tồn tại R0 sao cho với mọi 0 r R ta có ( ) x L( ; , ) x r Điều này là hiển nhiên nếu x   

Trong trường hợp x tồn tại R sao cho 0 r R ta có ( ) ( , , )

u x L u x r Khi đó

   x u x L u x r( , , ) L( , , )x r

với mọi 0 r R vậy SH( )

Cho  là tập con mở của Rd, bài toán Dirichlet cổ điển trên  là: Cho trước hàm f C  , tìm hàm điều hoà h trên , liên tục trên  sao cho

h f trên  Trường hợp  là hình cầu bài toán đã được giải quyết trọn vẹn bởi công thức tích phân poisson Đặt

nÕu nÕu thì v là nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet trên ( , ) B a r với hàm biên f

Với các kí hiệu như trên thì

PI f B a r( , ( , ))r d2L P x( ( a y, a f x a r) ( ); , ) (1.1)

Được gọi là tích phân poisson của f trên B

1.1.5 Định lý (Poisson Modification)

Giả sử  là một tập mở trong Rd và B là một hình cầu trong  Cho u

là một hàm điều hoà dưới trên  không đồng nhất bằng - ¥ Đặt

( , )( ) ( )

u và một hàm điều hoà dưới, thì v x G x( , )

Nói cách khác, với mỗi x, G x( , ) là cực đại trong lớp các hàm 0

1.3.1 Định nghĩa

Một tập hợp ZÌ Rd được gọi là một tập cực nếu có một tập mở U É Z

và một hàm uS H ( )U sao cho u ¥ trên Z và u  ¥ trên mọi thành

phần liên thông của U

Định lý dưới đây cho thấy, hàm xác định của một tập cực có thể chọn là hàm điều hoà dưới trên toàn không gian

j j( ) sup j( )

x j j

1.4 Dung lượng

Phần này nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của lí thuyết dung lượng Chi tiết về vấn đề này, (xem [14])

(i) Nếu EÌ FÌ , thì ( ) E ( )F (đơn điệu tăng)

(ii) Nếu  E j là một dãy tăng các tập con của  thì

E của  thoả mãn:

c E( )supc K( ) :KÌ E K compact,  (1.2) Tương tự, c gọi là chính quy ngoài nếu mọi tập con Borel E của  thoả mãn:

c E( )infc G G( ) : É E G, më (1.3) Khi c là một tiền dung lượng và EÌ  là một tập bất kì, dung lượng trong c E*( ) và dung lượng ngoài c E*( ) được định nghĩa như sau

Giả sử c là một tiền dung lượng Nếu c là chính quy ngoài thì c* là

c là dưới cộng tính nếu c là dưới cộng tính

Chứng minh

Rõ ràng c* thoả mãn tiên đề 1.4.1 (i) Hơn nữa với mỗi tập EÌ , ta

lấy dãy các tập mở G n chứa E sao cho c G( n) c E*( ) 1

1.4.5 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó,

(i) Một tập con của X được gọi là kiểu F nếu nó là hợp đếm được của các tập con đóng của X

(ii) Một tập con của X được gọi là kiểu F nếu nó là giao đếm được của các tập con kiểu F của X

(iii) Không gian X được gọi là một K (tương ứng K ) nếu nó đồng phôi với một tập con kiểu F (tương ứng F) của một không gian compact W

1.4.6 Mệnh đề [15]

(i) Mọi tập con đóng của một không gian K là một không gian K (ii) Tổng rời của một họ đếm được các không gian K là một không gian K

(iii) Tích của một họ đếm được các không gian K là một không gian K

Khi đó X đóng trong X j nên X là một không gian K và

của f và T Y là bao đóng của Y trong không gian compact X E Vì f

là liên tục, Y đóng trong X E, nên Y T Ç(X E) Mặt khác X là một tập con kiểu F của X nên X E là một tập con kiểu F của X E và Y

là một tập con kiểu F của T Cuối cùng E là ảnh của Y qua phép chiếu xuống thành phần thứ hai g T: E

Bây giờ ta chứng minh đinh lý quan trọng nhất của mục này

1.4.11 Định lý (Choquet)

Giả sử  là một không gian K và  là một dung lượng trên  Khi

đó mọi tập giải tích EÌ  thoả mãn

kiểm tra hàm tập hợp g trên T xác định bởi g( )E ( ( ))g E là một dung lượng Vậy chúng ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp  là không gian compact và EÌ  là một tập con kiểu F Ta viết

Chứng minh

Bởi mệnh đề 1.4.3 ta có c* là một dung lượng Khi đó từ định lý Choquet

( ) sup ( ) : , compact

c E  c K KÌ E K với mọi tập giải tích

EÌ  Mặt khác c là chính quy ngoài nên c K*( )c K( ).Do đó

Bây giờ ta cần xây dựng một dung lượng cụ thể trong Rd Xét hàm sau đây

2

2( )

( )

K x được gọi là nhân Newton trong trường hợp d3 và là nhân logarith trong trường hợp d 2 Cho E là tập con compact của Rd,  là một độ đo xác suất trên E Định nghĩa thế vị của  là

E

V x  K x y d y Khi đó, ( )V x điều hoà dưới trên Rd và điều hòa ngoài E Ta định nghĩa năng lượng của  trên E là

E

I   V x d x Đặt V sup I( ) và gọi V là giá trị cân bằng của E Bây giờ, dung lượng của một tập compact E là

1

2

2( )

Vì    ¥ V ¥ nên 0c E( )¥ Nếu ( ) 0c E  thì ( )I   ¥ với mọi

Định lý dưới đây cho mối liên hệ giữa tập cực và dung lượng

1.4.14 Định lý (Helms)

Tập E Ì R là tập cực khi và chỉ khi d c E*( )0

Như vậy các tập cực được đồng nhất với các tập có dung lượng c *

bằng không

1.5 Bài toán Dirichlet

Một ứng dụng cơ bản của hàm điều hoà dưới là phương pháp Wiener-Brelot để giải bài toán Dirichlet Cho  là một miền mở, khác rỗng của Rd và f là một hàm giá trị thực trên  Bài toán Dirichlet suy rộng là việc xây dựng một hàm điều hoà h trong  tương ứng với hàm biên f Dưới đây, ta chỉ xét trường hợp f bị chặn Ta định nghĩa hai họ hàm tương ứng với

Bổ đề dưới đây là tính chất cơ bản của các nghiệm của bài toán Dirichlet

1.5.2 Bổ đề

H f và H là các hàm điều hoà trong f 

1.5.3 Định nghĩa

Nếu H f  H f thì f gọi là hàm giá trị biên giải được Khi đó,

H f H f H f được gọi là nghiệm Dirichlet của f

Với miền  bị chặn trong Rd, ta có  là tập compact Do đó, có thể xét không gian Banach C() các hàm liên tục trên  với chuẩn thông thường Bởi định lý của Wiener (xem định lí 8.11, [14]), với mỗi f  C( )xác định một hàm điều hoà H Nói riêng, mỗi f  C( ) xác định một số

thực H f( )x , với mỗi x cố định Xét ánh xạ L C x: ( ) R xác định bởi

L f H x Khi đó, theo bổ đề 8.12, (xem [14]), L x là một phiếm hàm

tuyến tính dương trên (C ); Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, có một độ đo

Borel duy nhất x trên  sao cho

L f x( ) fdx, x (1.7)

thoả mãn với mọi f  C( ) Từ đó ta đưa ra định nghĩa sau:

1.5.4 Định nghĩa

Độ đo x xác định như trên được gọi là độ đo điều hoà của  tại x

Mặc dù, định nghĩa độ đo điều hoà là các độ đo x sao cho (1.7) thoả mãn

với các hàm f liên tục Định lý dưới đây, cho thấy (1.7) cũng đúng đối với

các hàm Borel bị chặn (Xem định lí 8.13 và 8.14 (Brelot), [14])

1.5.5 Định lý

Nếu f là hàm bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới), đo được Borel trên ,

khi đó

H f H f  fdx, với mọi x

Mặc dù, đã định nghĩa H f là nghiệm Dirichlet cho hàm f Tuy nhiên,

khi nào thì nó trở thành nghiệm theo định nghĩa cổ điển, tức là khi nào thì

hàm H f có thể thác triển liên tục lên  sao cho nó bằng f trên  thì vẫn

chưa trả lời Về vấn đề này, ta đưa ra định nghĩa sau

với mọi f  C( ) Miền  gọi là miền chính qui nếu mọi điểm biên của nó đều chính qui

Vậy đối với các miền chính qui, bài toán Dirichlet đã giải quyết chọn vẹn Nghiệm của nó được cho bởi hàm Perron H f trong định nghĩa 1.5.3

Một kết quả quan trọng là nguyên lý độ đo điều hoà dưới đây

1.5.7 Định lý

Giả sử u là hàm điều hoà dưới trên miền bị chặn  sao cho

limsup ( )u x  f( ), khi x từ trong  Với mỗi  và f là hàm bị chặn trên, đo được Borel trên  Khi đó

Giả sử U là họ các hàm điều hoà dưới trên một tập mở  của Rd và giả

sử hàm u: sup v U v là hàm bị chặn trên địa phương Khi đó

(i) u là hàm điều hoà dưới trên * 

(ii) u* u bên ngoài một tập cực

Chứng minh

(i) Giả sử ( , )B x r Ì Ì  Khi đó với mỗi v U ta có

u x L u x r

Vậy u thoả mãn bất đẳng thức dưới trung bình và do đó * u*SH ( )

(ii) Trước hết giả sử U là đếm được và do đó u là hàm đo được Borel

Ở đó B là một hình cầu compact tương đối trong , t là một số hữu tỉ

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh E là tập cực Nếu trái lại c E*( )0, do E là tập Borel nên E là c- khả dung Do đó E chứa một tập con compact K

không cực Giả sử v là độ đo cân bằng của K và V là thế vị cân bằng tương ứng Xác định hàm q:Rd   ¥ ¥,  bởi qC V( I v( ))t Với C là một hằng số dương, được chọn đủ lớn sao cho infB qsupB u Có thể chọn được như vậy vì từ định lý Frostman (xem định lý 5.17, [17]) và nguyên lý cực đại, ( )

V  I v trên thành phần liên thông không bị chặn của Rd K Khi đó , với mỗi v U , hàm vq điều hoà dưới trên B K và nếu z(B K ) thì

( ) inf limsup( )( )

( ) 0

Bởi vậy nguyên lý cực đại vq trên B K nên uq trên B K Mặt khác u t q trên K Do đó uq trên toàn bộ B, và do đó u*q trên B

Từ đó suy ra qt trên K hay V  I v( ) trên K, mâu thuẫn với định lý Frostman Vậy E là tập cực

Bây giờ ta xét trường hợp U không đếm được Chọn một cơ sở các tập

mở, compact tương đối  D của j  Với mỗi cặp số tự nhiên , j k tồn tại

w w bên ngoài một tập cực Do vậy u*u bên ngoài một tập cực

1.7 Định lý biểu diễn Riesz

Trước khi kết thúc chương này, chúng tôi trình bày định lý biểu diễn Riesz mà đã nhiều lần sử dụng

Trước khi chứng minh, ta đưa ra một số kí hiệu Cho trước tập compact

KÌ X , ta viết K  f nếu

c

f C X  f f  trên K Cũng cho một tập mở U Ì X , ta viết f U nếu

c

Cho n suy ra 1( )K 2( )K Mặt khác, với mọi tập con Borel B của

X , với mọi độ đo Radon  ta có

*( n n) *( n)

n

 È   (1.10) Với mọi E nÌ X Nếu tồn tại n sao cho *(E n)¥ thì (1.10) là hiển nhiên Vậy có thể giả sử *(E n)¥ với mọi n Cho ò 0, ta có thể chọn các tập

mở U n sao cho E nÌ U n và *(U n)*(E n)ò2n với mọi n Đặt

n

n

U È U Giả sử f U, họ U n lập thành một phủ mở của supp f compact

Do đó, có một phủ con hữu hạn U U1, 2, ,U m Khi đó

 lên - đại số này là một độ đo Borel, ta định nghĩa độ đo này bởi 

Dễ thấy,  là một độ đo Radon Thật vậy, lấy f C X c( ) với K  f ,

 0, 1

s , đặt U x x: s, thì U mở, K Ì U và g fg s/ với mọi gU Vậy: ( )K ( ) supU  L g( ) : g UsupL fg s( / ) : g U L f( ) /s

Cho s1 ta có ( ) K L f( ), suy ra: ( ) infK  L f( ) : K  f

K   nên theo chứng minh trên ta có

1( )K L( m n)

1 1

L f  fd Thay f bởi – f ta được bất đẳng thức

ngược lại Vậy ta có (1.9)

Cho  là tập con mở của Rd , và cho x Độ đo Jensen tại x trên 

là một độ đo xác suất Borel , có giá là một tập con compact của , thoả mãn với mọi hàm điều hoà dưới u trên  bất đẳng thức

u x( )ud

Nếu B là hình cầu đóng trong  với tâm x thì độ đo Lebesgue chuẩn hoá trên B là độ đo Jensen tại x Cũng như như vậy đối với độ đo mặt chuẩn hoá trên B Điều này xuất phát từ bất đẳng thức dưới trung bình đối với các

hàm điều hoà dưới

Một ví dụ đơn giản khác là   x, độ đo Dirac tại x, cũng là độ đo Jensen tại x Trong đó

0 ( )