Luận văn thạc sĩ đồ thị

Ông đã dùng mô hình đồ thị để giải bài toán về những cây Nhiều khái niệm lý thuyết đồ thị được sinh ra từ các vấn đề thực tiễn:đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

Nguyễn Thị Kim Ngân

ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1.1 Tập hợp và quan hệ 3

1.1.1 Tập hợp và phép toán 3

1.1.2 Quan hệ tương đương 4

1.2 Đồ thị và đường đi 5

1.2.1 Khái niệm đồ thị 5

1.2.2 Đường đi và chu trình 6

1.2.3 Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị 7

1.3 Đồ thị con và sự đẳng hình 12

1.3.1 Đồ thị con và đồ thị riêng 12

1.3.2 Sự đẳng hình của các đồ thị 12

1.4 Một vài mô hình đồ thị 13

1.4.1 Lấn tổ trong sinh học 13

1.4.2 Thi đấu vòng tròn 14

1.4.3 Bài toán đường đi 14

1.5 Chu trình Euler và chu trình Hamilton 15

1.5.1 Chu trình Euler 15

1.5.2 Chu trình Hamilton 17

1.6 Tập ổn định 18

1.6.1 Tập ổn định trong, tập ổn định ngoài 18

1.6.2 Tập nhân của đồ thị 19

1.7 Chu số và Sắc số 20

1.7.1 Chu số của đồ thị 20

1.7.2 Sắc số của đồ thị 23

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này em xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Côthuộc Khoa Toán - Tin, các cán bộ nhân viên phòng Sau Đại học thuộctrường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu và cácđồng nghiệp trường THPT Hàn Thuyên, gia đình và bạn bè luôn nhiệt tìnhgiúp đỡ động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em học tập, nghiêncứu hoàn thiện luận văn này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đàm Văn Nhỉ,người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình viết luậnvăn về đề tài:"Đồ thị"

Thái Nguyên, tháng 4 - 2015Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Kim Ngân

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đồ thị (Graph) đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học,

kỹ thuật khác nhau bởi lý thuyết đồ thị là phương pháp khoa học có tínhkhái quát cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối quan hệ củanhững đối tượng được nghiên cứu

Trên thực tế, nhiều bài toán liên quan đến một tập các đối tượng và nhữngmối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán học phải đặt ra một mô hình biểudiễn một cách chặt chẽ và tổng quát bằng ngôn ngữ, kí hiệu Đó là đồ thị.Những ý tưởng cơ bản trên được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán họcLeonhard Euler Ông đã dùng mô hình đồ thị để giải bài toán về những cây

Nhiều khái niệm lý thuyết đồ thị được sinh ra từ các vấn đề thực tiễn:đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường điEuler, đường đi Hamilton Vì vậy lý thuyết đồ thị đã gắn kết nhiều ngànhkhoa học với nhau Các thuật toán ngắn gọn và thú vị của lý thuyết đồ thịgiúp chúng ta giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp trong thực tế Ngoài ra,khi đưa bài toán về mô hình đồ thị ta còn có thể xây dựng các thuật toán vànhờ vào ứng dụng của tin học để giải quyết chúng Vì thế chúng tôi đã lựachọn đề tài "Đồ thị" Tuy nhiên, trong phạm vi nghiên cứu của đề tài nàychúng tôi chỉ trình bày khái quát một số phần của lý thuyết đồ thị và mộtvài ứng dụng vào giải toán sơ cấp

2 Mục đích nghiên cứu

Tác giả tìm hiểu về lý thuyết đồ thị thuộc chuyên ngành Toán rời rạc vàvận dụng một số kết quả đạt được để giải một số bài tập Trong luận văntập trung xét một số khái niệm cơ bản và chứng minh một số kết quả thuộc

lý thuyết đồ thị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu một số ứng dụng của lý

thuyết đồ thị vào giải toán sơ cấp

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Lý thuyết đồ thị làm cơ sở nghiên cứu vận dụng bài toán đường đi, bài toán

tô màu đồ thị, chu trình hamilton, chu trình Euler vào giải một số bài toán

sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu:

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu nhằm hệ thống lý thuyết, phântích và lựa chọn một số bài toán giải được bằng phương pháp đồ thị

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn đã trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết

đồ thị và vận dụng giải một số bài toán Luận văn gồm phần mở đầu, haichương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Được phân chia ra làm 7 mục Mục 1.1 tập trung trình bày về

tập hợp và quan hệ tương đương Mục 1.2 trình bày về khái niệm đồ thị

và đường đi với kết quả chính: là các khái niệm cơ bản về đồ thị Mục 1.3nêu ra khái niệm đồ thị con, đồ thị riêng và sự đẳng hình của các đồ thị.Mục 1.4 giới thiệu một vài mô hình đồ thị Mục 1.5 trình bày một số vấn

đề cơ bản về chu trình Euler, chu trình Hamilton Mục 1.6 tập trung trìnhbày về các tập con đặc biệt của tập đỉnh thuộc đồ thị Mục 1.7 Trình bàyđịnh nghĩa và một số kết quả của chu số và sắc số để vận dụng giải toán sơcấp

Chương 2: Trình bày phương pháp đồ thị và một số ví dụ vận dụng của

phương pháp vào giải toán sơ cấp

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Tập hợp và phép toán

Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học Chúng ta luôn gặp nó trong

đời thường, ví dụ như tập hợp các sinh viên trong một khoa, tập hợp cácthành viên trong một gia đình, tập hợp các con số thỏa mãn một tính chấtnào đó

Mỗi đối tượng x trong một tập hợp X được gọi là một phần tử của tập hợp

đó, kí hiệu x ∈ X Nếu phần tử x không thuộc X, ta kí hiệu x 6∈ X Ta nóihai tập hợp A và B là bằng nhau và viết A = B nếu mọi phần tử thuộc Athì thuộc B và ngược lại Một tập A được gọi là tập con của tập B, kí hiệu

A ⊂ B nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B Tập hợp rỗng là tập hợpkhông chứa bất kỳ một phần tử nào, kí hiệu ∅ Rõ ràng tập ∅ ⊂ X với mọitập X

Cho A và B là hai tập hợp tùy ý Ta có các định nghĩa sau:

(1) Tập hợp A − B = {x ∈ A|x 6∈ B} được gọi là hiệu của tập hợp A và

tập hợp B

(2) Tập hợp các cặp (a, b) với a ∈ A và b ∈ B được gọi là tích Đề-các

của A và B và được kí hiệu A × B

(3) Hợp của A và B gồm các phần tử thuộc A hoặc B, kí hiệu A ∪ Bnghĩa là x ∈ A ∪ B tương đương với x ∈ A hoặc x ∈ B

(4) Giao của A và B gồm các phần tử thuộc A và B, kí hiệu A ∩ B nghĩa

là x ∈ A ∩ B tương đương với x ∈ A và x ∈ B Khi A ∩ B = ∅,

ta bảo A và B không giao nhau hay dời nhau hay không có phần tửchung.

Định lý 1.1.1 Với các tập hợp A, B, C và X tùy ý, ta luôn có:

1.1.2 Quan hệ tương đương

Giả thiết tập X 6= ∅ Tích Đề-các X × X được định nghĩa như sau:

X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}

Định nghĩa 1.1.2 Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi

trong X Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy.

Định nghĩa 1.1.3 Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi trong

X Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa

mãn ba điều kiện sau đây:

(i) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx

(ii) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx

(iii) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì ta cũng cóxSz

Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay

cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với

x làm đại diện Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau:

Tính chất 1.1.4 Với quan hệ tương đương ∼ trong X 6= ∅, ta có

(i) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x).

(ii) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y, z ∼ x.

(iii) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y) (iv) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau.

1.2.1 Khái niệm đồ thị

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưnglại có nhiều ứng dụng hiện đại Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra

từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học L Euler, người Thụy Sĩ Ông cũng là người

thuyết đồ thị mà nhiều bài toán phức tạp, diễn giải dài dòng được mô tảhình học một cách trực quan và cô đọng Các thuật toán ngắn gọn và trựcquan của Lý thuyết đồ thị đã giúp chúng ta giải quyết rất nhiều bài toánphức tạp trong thực tế Vậy đồ thị ở đây là cái gì và có phải là hình ảnh củamột hàm số nào đó mà ta thường khảo sát và vẽ hay không?

Lý thuyết đồ thị (theo tiếng Anh và tiếng Đức đọc là "graph") nghiên cứunhững tính chất toán học, những quan hệ không phụ thuộc vào bản chấtriêng những mối quan hệ này Nó được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị là một cặp G = (V, E), trong đó

(1) V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các đỉnh.

(2) E ⊆ V × V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các cạnh.

Thông thường người ta hay ký hiệu một đồ thị bằng chữ G (chữ cái đầucủa từ tiếng Đức "Graph", còn tập đỉnh thường được ký hiệu bởi chữ V (làchữ cái đầu tiên của từ "vertex") và tập cạnh bởi chữ E ( chữ cái đầu tiêncủa từ "edge") Về bản chất, đồ thị là một tập các đối tượng được biểu diễnbằng các đỉnh và giữa các đối tượng này có một mối quan hệ nhị nguyênbiểu diễn bằng các cạnh Với hai đỉnh x, y ∈ V, đoạn thẳng hay đoạn cong

nối x và y biểu thị cạnh (x, y) của đồ thị và ta nói rằng, đỉnh y là đỉnh kề

với đỉnh x Khi đó hai đỉnh x, y kề với cạnh (x, y) Nếu cặp đỉnh x, y tạothành một cạnh của đồ thị và hai đỉnh này không được sắp thứ tự thì cạnh

(x, y) được gọi là cạnh vô hướng; còn nếu chúng được sắp thứ tự thì cạnh được viết thành [x, y] và được gọi là cạnh có hướng Người ta phân đồ thị

thành hai lớp

Định nghĩa 1.2.2 Đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô

Hiển nhiên, mỗi đồ thị vô hướng có thể biểu diễn bằng một đồ thị có hướngbằng cách thay mỗi cạnh vô hướng (x, y) bằng hai cạnh có hướng tươngứng [x, y] và [y, x]

Định nghĩa 1.2.3 Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đối xứng nếu

(x, y) ∈ E, ([x, y] ∈ E), thì (y, x) ∈ E, ([y, x] ∈ E)

Như vậy, các đồ thị vô hướng đều là đối xứng

Định nghĩa 1.2.4 Đồ thị G = (V, E), trong đó mỗi cặp đỉnh được nối với

nhau bởi không quá một cạnh được gọi là đơn đồ thị hay đồ thị Nếu đồ thị

có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thì được gọi là

Trong luận văn này chúng ta giới hạn chỉ xét các đồ thị hữu hạn Ta ký hiệu

n là số đỉnh, m là số cạnh của một đồ thị hữu hạn

1.2.2 Đường đi và chu trình

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị

Định nghĩa 1.2.5 Đường đi trên một đồ thị G đã cho là một dãy các đỉnh

kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó, nghĩa là:

của đường đi đó Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh của nó khác nhau

từng đôi một

Định nghĩa 1.2.6 Chu trình là một đường đi khép kín, có nghĩa đỉnh đầu

của đường đi trùng với đỉnh cuối của đường đi Chu trình được gọi là chu

Ta thường ký hiệu chu trình qua [x1, x2, , xi, xi+1, , xk−1, xk], trong đó

Trong một đồ thị, đỉnh nút là đỉnh kề với chính nó Hai cạnh có ít nhất một đỉnh chung được gọi là hai cạnh kề nhau.

1.2.3 Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị

Định nghĩa 1.2.7 Cho đồ thị G = (V, E) Ta có định nghĩa sau:

(1) Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông nếu trên đồ thị có đường

đi vô hướng nối chúng với nhau

(2) Đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liên

thông với nhau

(3) Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu mọi cặp đỉnh đều

có đường đi có hướng nối chúng với nhau

(4) Số cạnh kề với đỉnh a ∈ V được gọi là bậc của đỉnh a trong đồ thị

G và được ký hiệu qua deg(a) Riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập, đỉnh bậc

1 được gọi là đỉnh treo.

Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ tương đương Nó tạo nênmột phân hoạch trên tập các đỉnh Mỗi lớp tương đương của quan hệ này

được gọi là một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của đồ thị.

Định nghĩa 1.2.8 Đồ thị được gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều có

cạnh nối

bất kỳ được nối với nhau bằng một đường đi ngắn nhất có độ dài bằng 1

Đó chính là cạnh nối hai đỉnh ấy

Định lý 1.2.9 Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị G = (V, E), n =

|V | > 2, vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn.

Chứng minh: Giả sử x, y là hai đỉnh phân biệt của đồ thị vô hướng liên

x0 = x, xk = y là dãy các đỉnh của đường đi có độ dài ngắn nhất (baogiờ cũng có) Đây chính là đường đi đơn cần tìm Thật vậy, giả sử nó

nghĩa là giữa các đỉnh x và y có đường đi ngắn hơn nữa qua các đỉnh

Định lý 1.2.10 Đồ thị n đỉnh (n > 2) không có đỉnh nút có ít nhất hai

đỉnh cùng bậc.

Chứng minh: Xét 3 trường hợp dưới đây:

Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh bậc 0 : nghĩa là đồ thị có đỉnh cô lập Khi

đó đỉnh của các bậc chỉ có thể là: 0, 1, 2, , n − 2 Số các bậc khác nhaunhiều nhất là n − 1

Trường hợp 2: Đồ thị có đỉnh bậc n − 1 Khi đó đồ thị không có đỉnh côlập Vậy, bậc của các đỉnh chỉ có thể là 0, 1, 2, , n − 1 Số các bậc khácnhau nhiều nhất cũng là n − 1

Trường hợp 3: Đồ thị không có đỉnh bậc 0 và đỉnh bậc n − 1 Khi đó, sốcác bậc khác nhau nhiều nhất cũng là n − 1

Trong cả ba trường hợp, số các bậc khác nhau không quá n − 1 Như vậy ítnhất phải có hai đỉnh chung một bậc theo Nguyên lý Dirichlet

Định lý 1.2.11 Đồ thị n đỉnh (n > 4) không có đỉnh nút và có đúng hai

đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc bậc

n − 1

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử đồ thị trên có hai

đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n − 1 Loại hai đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n − 1 này

Hai đỉnh này cũng cùng bậc trong G Mâu thuẫn với giả thiết

Định lý 1.2.12 Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai

lần số cạnh của đồ thị.

Chứng minh: Ta tính bậc của các đỉnh Mỗi đỉnh thuộc một cạnh nào đó

thì bậc của nó tăng thêm 1 Vì mỗi cạnh có hai đỉnh nên tổng tất cả các bậccủa các đỉnh trong một đồ thị bằng hai lần số cạnh của đồ thị

Hệ quả 1.2.13 Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số chẵn.

Chứng minh: Nếu số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị là một số lẻ thì tổng

tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị là một số lẻ (mâu thuẫn theoĐịnh lý 1.2.12) Vậy, số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một sốchẵn

Hệ quả 1.2.14 Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh đó phải

liên thông với nhau.

Chứng minh: Giả sử hai đỉnh đó là a và b Xét mảng liên thông G0 chứa a

Ví dụ 1.2.15 Có bao nhiêu cạnh trong một đồ thị có 10 đỉnh và mỗi đỉnh

Chứng minh: Ta chứng minh kết luận bằng phương pháp phản chứng Giả

sử đồ thị G không liên thông Khi đó, có ít nhất hai đỉnh a và b nằm tronghai mảng liên thông khác nhau Vậy, n 6 deg(a) + deg(b) 6 n − 2 Điềunày dẫn đến mâu thuẫn

Định lý 1.2.18 Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông và

Chứng minh: Giả sử rằng mỗi mảng liên thông Gi có ni đỉnh, ni > 1.

Hình 1.1: Cách dồn các đỉnh cho mảng G1.

đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thông không thay đổi vì mảng

mãn khi p = 1 Như vậy đồ thị G là liên thông.

Định lý 1.2.20 Đồ thị vô hướng với n đỉnh (n > 3), không có đỉnh nút và

bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 2, luôn có chu trình.

Chứng minh: Giả sử < x1, x2, , y, , xk > là một đường đi đơn dài nhất

Định lý 1.2.21 Đồ thị vô hướng với n > 4 đỉnh, không có đỉnh nút và bậc

của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 3, luôn có chu trình đơn độ dài chẵn.

Chứng minh: Giả sử < x1, x2, , y1, y2, , xk > là một đường đi đơn

Nếu hai chu trình đầu có độ dài lẻ thì chu trình thứ ba có độ dài chẵn

Ví dụ 1.2.22 Giả sử đơn đồ thị G với k thành phần liên thông, trong đó

cạnh của G không vượt quá

Bài giải: Một cạnh không thể nối hai đỉnh thuộc hai thành phần liên thông

Ví dụ 1.2.23 Giả sử đơn đồ thị G với n đỉnh có k thành phần liên thông.

Bài giải: Nếu đồ thị G không liên thông thì nó có thành phần liên thông

gồm k đỉnh với 1 6 k < n Do vậy, đồ thị G có nhiều nhất là f (k) =

k

2
+ n−k

2 − n

k = 1 hoặc k = n − 1 Vì thế, nếu G không liên thông thì số cạnh của G

1.3.1 Đồ thị con và đồ thị riêng

Định nghĩa 1.3.1 Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G0 = (V0, E0) được gọi

là đồ thị con của đồ thị G nếu

(

đồ thị con của nó Do vậy, để xác định một đồ thị con ta chỉ cần nêu tậpđỉnh của nó Còn đồ thị riêng là đồ thị giữ nguyên tập đỉnh và bỏ bớt đimột số cạnh

1.3.2 Sự đẳng hình của các đồ thị

Định nghĩa 1.3.2 Hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) được gọi

Người ta thường không phân biệt hai đồ thị đẳng hình với nhau vì về thựcchất chúng chỉ khác nhau tên gọi của các đỉnh và cách biểu diễn bằng hìnhvẽ

Ví dụ 1.3.3 Hãy trồng 9 cây trong sân trường để sao cho chúng tạo thành

hình hóa bằng đồ thị lấn tổ Mỗi loài được biểu diễn bằng một đỉnh Một

cạnh vô hướng nối hai đỉnh nếu hai loài được biểu diễn bằng hai đỉnh này

là cạnh tranh với nhau, chẳng hạn: Chúng cùng chung nguồn thức ăn hoặccùng chung nguồn nước uống Nhìn vào đồ thị ta biết ngay những loài nàocạnh tranh hoặc không cạnh tranh

Ví dụ 1.4.1 Mô hình lấn tổ của một số loài.

Hình 1.3: Đồ thị lấn tổ.

1.4.2 Thi đấu vòng tròn

Một cuộc thi đấu thể thao trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng

một lần gọi là đấu vòng tròn Cuộc thi đấu như thế có thể được mô hình

bằng một đồ thị có hướng, trong đó mỗi đội là một đỉnh và cạnh (a, b), đi

từ đỉnh a đến đỉnh b nếu đội a thắng đội b

Ví dụ 1.4.2 Mô hình đấu vòng tròn 6 đội với thắng thua tương ứng.

Hình 1.4: Mô hình thi đấu vòng tròn.

1.4.3 Bài toán đường đi

Định lý 1.4.3 Giả sử đồ thị G có n đỉnh Tồn tại đường đi từ đỉnh a đến

đỉnh b trên đồ thị G khi và chỉ khi tồn tại một đường đi từ a đến b trên đồ thị này với độ dài không lớn hơn n − 1.

Chứng minh: Giả sử có đường đi từ đỉnh a tới đỉnh b Ta có thể chọn:

của đường đi là k − 1 Nếu k − 1 6 n − 1 thì định lý được chứng minh.Nếu ngược lại, giả sử k − 1 > n − 1 khi đó k > n Trong dãy đỉnh của

với độ dài ngắn hơn Điều này mâu thuẫn với giả thiết của đường đi ngắnnhất Định lý được chứng minh xong

1.5 Chu trình Euler và chu trình Hamilton

1.5.1 Chu trình Euler

nhánh sông Pregel Các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof

và một miền nằm giữa hai nhánh của sông Pregel Vào thế kỷ thứ 18 người

ta đã xây 7 chiếc cầu nối các vùng này với nhau

Hình 1.5: Mô hình đa đồ thị của thành phố Konigsberg.

Khi đi bộ người ta thường tự hỏi không biết có thể xuất phát tại một địađiểm nào đó trong thành phố đi qua tất cả các cầu, mỗi chiếc cầu không điqua nhiều hơn một lần, rồi trở lại điểm xuất phát được không?

L Euler đã giải bài toán này và công bố lời giải vào năm 1736 Có thể đây

là một ứng dụng đầu tiên của Lý thuyết Đồ thị Euler đã nghiên cứu bàitoán này, mô hình nó bằng một đa đồ thị Bốn vùng được biểu diễn bằng 4đỉnh và các cầu là các cạnh Ta có mô hình bài toán qua một đồ thị và nótrở thành bài toán: Có tồn tại chu trình đơn trong đa đồ thị chứa tất cả cáccạnh?

Định nghĩa 1.5.1 Chu trình đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị G được

gọi là chu trình Euler Đường đi Euler trong G là đường đi đơn chứa mọi

cạnh của G

Điều kiện cần và đủ cho chu trình Euler

Có các tiêu chuẩn rất đơn giản để khẳng định một đa đồ thị có chu trìnhhoặc đường đi Euler hay không Euler đã phát hiện ra các tiêu chuẩn này

xét các đồ thị hữu hạn, tức là các đồ thị có một số hữu hạn các đỉnh và cáccạnh Từ định nghĩa ở trên ta có điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của chutrình vô hướng Euler như sau:

Định lý 1.5.2 Đa đồ thị liên thông G có chu trình vô hướng Euler khi và

chỉ khi mỗi đỉnh đều có bậc chẵn.

Chứng minh: Điều kiện cần: Mỗi lần chu trình đi qua một đỉnh thì đỉnh

đó bớt đi hai cạnh kề Cuối cùng số cạnh kề của mỗi đỉnh bằng 0 Do đó sốcạnh kề với mỗi đỉnh phải là một số chẵn

Điều kiện đủ: Xuất phát từ một đỉnh a nào đó ta lập dãy cạnh kề liên tiếpcho đến khi hết khả năng đi tiếp Khi dừng phải ở đỉnh a vì bậc các đỉnh

trình cần tìm Nếu vẫn còn cạnh thì do tính liên thông của đồ thị, phải có

đến chu trình con cuối cùng ta đi ngược lại theo các nửa dưới của chu trìnhcon và cuối cùng trở về đỉnh a Ta nhận được một chu trình Euler

Đa đồ thị có hướng có thể có chu trình Euler vô hướng nhưng không cóchu trình Euler có hướng

Hệ quả 1.5.3 Đa đồ thị liên thông G có đường đi Euler vô hướng khi và

chỉ khi số đỉnh bậc lẻ bằng 2.

Chứng minh: Nếu có đường đi Euler vô hướng nối a với b thì a, b là hai

đỉnh duy nhất có bậc lẻ Ngược lại, giả sử a, b là hai đỉnh duy nhất có bậc

hướng Bỏ cạnh (a, b) đi ta có đường đi Euler vô hướng trong đồ thị G.Với đồ thị có hướng, ta có điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của chu trình

có hướng Euler như sau:

Định lý 1.5.4 Đa đồ thị có hướng liên thông có chu trình Euler có hướng

khi và chỉ khi tại mỗi đỉnh của đồ thị số cạnh đi vào bằng số cạnh đi ra

Hệ quả 1.5.5 Đa đồ thị có hướng liên thông G có đường đi Euler có

1.5.2 Chu trình Hamilton

Năm 1857, W R Hamilton, nhà toán học người Ireland đã đưa ra tròchơi sau đây: Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của một khối đa diện 12 mặtngũ giác đều có ghi tên một thành phố lớn của thế giới Hãy tìm cách đibằng các cạnh của khối này để đi qua các thành phố, mỗi thành phố đúngmột lần Bài toán này đã dẫn tới khái niệm sau đây:

Định nghĩa 1.5.6 Đường Hamilton trên một đồ thị là đường đi qua mỗi

đỉnh của đồ thị đúng một lần Chu trình Hamilton trên một đồ thị là chu

trình đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần

Định lý 1.5.7 [D Konig] Đồ thị đầy đủ luôn có đường đi Hamilton.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho đồ thị có hướng đầy đủ Giả sử

G là đồ thị có hướng đầy đủ Ta chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh ncủa đồ thị Với n = 1 hoặc n = 2, định lý luôn đúng

Giả sử kết luận đúng cho n Xét trường hợp G là đồ thị đầy đủ có n + 1

nghĩa là có các cạnh ngược hướng nhau Khi đó sẽ phải có ít nhất một cặp

G