Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: Tìm điều kiện của tham số để một hàm số có Cực trị.. Chú ý: Bài toán này liên quan rất nhiều đến các bài toán tìm điều kiện của tham số để một phương trình hoặc bất phương t

§1: BÀI TẬP VỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Chú ý 1: Số điểm chung của hai đồ thị y = f x ( ) và y = g x ( ) bằng số nghiệm của phương trình: f x ( ) = g x ( )

BÀI 1: Cho hàm số y x2 x a

=

+ Tìm a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y x= − tại hai điểm phân biệt Khi đó gọi 1 y y là hai 1, 2 tung độ của 2 giao điểm Hãy tìm hệ thức lien hệ giữa y y không phụ thuộc vào a 1, 2

BÀI 2: Cho hàm số 2 4 3

2

y

x

=

1/ Tìm k để đường thẳng y =kx + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B 1

2/ Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi k thay đổi

BÀI 3: Cho hàm số y =x3 −3(m+1)x2 +2(m2 +4m +1)x −4 (m m+1) (C )m Tìm m để (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

BÀI 4: Cho hàm số y x= 3−3x+ (C) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3;20) và có hệ số góc là 2 m Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

1

y x

x

= −

+ (C) Tìm ,m k để đ/t y m= cắt (C) tại 2 điểm A,B sao cho ΔOAB nhận điểm (2; )G k làm trọng tâm

BÀI 6: Cho hàm số 3 2

1

x y x

+

=

− (C) 1/ Chứng minh rằng đ/t : y=2x m+ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi

2/ Tính độ dài AB theo m Tìm m để AB nhỏ nhất

BÀI 7: Cho hàm số

2( 1)

y

x

=

− Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB=1

BÀI 8: Cho hàm số 1

1

y x

x

= −

+ (C) Tìm m để đường thẳng y m= cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho OA OB⊥

BÀI 9: Cho hàm số

2

y x

= + (C) Tìm m để đường thẳng 2y= x+ cắt (C) tai 2 điểm A, B 1 sao cho AB=2

BÀI 10: Cho hàm y x m 1

x

= + − (C ) CMR đường thẳng 2 m y= luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B Tim

m để AB nhỏ nhất

BÀI 11: Cho hàm số 3

1

x y x

+

= + (C) 1/ CMR đ/t y=2x m+ luôn cắt (C) tại hai điểm M, N phân biệt

2/ Tìm m để MN nhỏ nhất

3/ Giả sử tiếp tuyến tại một điểm S của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và

Q CMR: S là trung điểm của PQ

BÀI 12: Cho hàm số 2 2 2

2

y x

= + (C) 1/ Tim m để đ/t : y m x= ( + − cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B 2) 2

Khi đó hãy CMR: IA=IB trong đó I là tâm đối xứng của (C)

2/ Tìm m để đương thẳng y mx= − cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho IC=ID 2 BÀI 13: Cho hàm số

2 2 2

y

x

=

+ (C) Tìm m để đ/t y x= + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có 1 hoành độ lớn hơn 1

BÀI 14: Cho hàm số 2

1

y

x

+ +

=

− (C) Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

BÀI 15: Cho hàn số 2 3

1

y x

−

=

− (C)

1/ CMR đ/t ( ) :d y= − + luôn cắt (C) tại 2 diểm phân biệt M, N x m

2/ CMR (d) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại 2 điểm P, Q và 2 đoạn thẳng MN, PQ có cùng trung điểm

BÀI 16: Tìm a để đường thẳng y a x= ( + + cắt đồ thị hàm số 1) 1 2 1

1

y x

x

= + +

+ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu

§2 CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

A-Tóm Tắt Lý Thuyết

1- Định nghĩa: Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên tập D Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm cực trị của hàm đã cho nếu tại điểm x đạo hàm đổi dấu hoặc không xác định 0

2- Định lý: Cho hàm số y = f x ( ) xác định trên tập D Điểm x0 ∈ D là

- điểm cực đại nếu

' 0

"

0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x

⎪⎪⎪

⎨⎪ <

- điểm cực tiểu nếu

' 0

"

0

( ) 0 ( ) 0

f x

f x

⎪⎪⎪

⎨⎪ >

Chú ý: Cần phân biệt rõ điểm Cực tiểu và GTNN, điểm Cực đại và GTLN

Các bài toán điển hình

BÀI TOÁN 1: Tìm điều kiện của tham số để một hàm số có Cực trị

Kết quả: Hàm số bậc 2/ bậc 1 và hàm bậc 3 có cực trị nếu và chỉ nếu phương trình 'y = có hai 0

nghiệm phân biệt

BÀI TOÁN 2: Tìm GTLN & GTNN của một hàm số trên một tập D ( khoảng, đoạn, nửa khoảng,

nửa đoạn,…) cho trước.

Phương pháp : Vẽ bảng biến thiên của hàm số trên tập xác định sau đó giới hạn bảng biến thiên

trên miền D Cần chú ý đến điều kiện dấu “=” có xảy hay không

Chú ý: Bài toán này liên quan rất nhiều đến các bài toán tìm điều kiện của tham số để một phương

trình hoặc bất phương trình có nghiệm trên một tập cho trước, hoặc tìm điều kiện để một bất phương trình đúng với mọi x thuộc một tập cho trước Vì vậy các em cần thuộc lòng một số kết quả sau đây:

Kết quả 1: Phương trình f x ( ) = g m ( ) ( m là tham số) có nghiệm trên tập D nếu và chỉ nếu ( )

g m thuộc miền giá trị của hàm số y = f x ( ) với x ∈ D

Kết quả 2: Bất phương trình f x ( ) > g m ( ) có nghiệm trên tập D khi và chỉ khi

x D

g(m) Sup{f(x)}

∈

Kết quả 3: Bất phương trình f x ( ) > g m ( ) đúng ∀ ∈x D khi và chỉ khi

( ) min ( )

x D

∈

< , dấu = xảy ra trong trường hợp min=inf

Nhận xét: Để có đánh giá chính xác, học sinh cần thực hành trên các bài tập cụ thể, từ các bảng biến thiên ta sẽ có đánh giá hợp lý

BÀI TOÁN 3: Đường thẳng đi qua các điểm CĐ, CT và các bài toán liên quan

Kết quả 1: Xét hàm phân thức ( )

u x y

v x

= (1), tập hợp các điểm CĐ, CT của nó (nếu có) nằm trên đường có phương trình: ( )

( ) ( )

' '

u x

y x

v x

C/M

Ta có ( )

( )

2

y x

v x

−

Giả sử điểm M x y là một điểm (CĐ hoặc CT) bất kì của hàm số đã cho Khi đó ( o, o) y x'( 0)= 0 ⇔ u x'( o) (.v x o)−v x'( o) (.u x o)= 0

⇔ u x'( o) (.v x o)=v x'( o) (.u x o)

( )

( ) ( )

' '

( )

' '

o o

o

u x

y x

v x

Suy ra điểm M ∈( )d (đpcm)

Hệ quả: Đối với hàm bâc2/bậc1 có 2 điểm cực trị thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có

phương trình là y= tử đạo hàm/ mẫu đạo hàm

Kết quả 2: Cho một hàm đa thức y = P x( ) Tập hợp các điểm cực trị của nó nằm trên đường có phương trình: (d) :y =r x( ), trong đó r x là phần dư của phép chia ( ) P x cho ( ) P x '( )

C/M

-Vì r x là phần dư của phép chia ( ) P x cho ( ) P x nên ta có '( )

P x( )=Q x P x( ) '( )+r x( ) ( Q x là thương của phép chia ( ) P x cho ( ) P x ) '( )

⇔ y =Q x P x( ) '( )+r x( )⇒y o =Q x P x( o) '( o)+r x( o)

-Giả sử M x y là một điểm cực trị bất kì, khi đó ( o, o) y x'( 0) = 0 ⇔ P x'( 0)= 0

suy ra y o =Q x( 0).0+r x( o) ⇔ y o = r x( o)⇒ M ∈( )d (đpcm)

Nhận xét:

1/ Ta thấy rằng các điểm CĐ, CT của một hàm số thuộc hai dạng trên không những thuộc đồ thị hàm ban đầu mà còn nằm trên đường (d) có phương trình đơn giản hơn như trong các Kết quả 1 và

2 Do đó khi cần biểu diễn toạ độ các điểm CĐ, CT ta nên dùng phương trình của (d) để biểu diễn tung độ y qua hoành độ o x o

2/ Phương pháp chung để nhận dạng các bài toán dùng phương trình của (d) là các bài toán cần dùng đến toạn độ của các điểm CĐ, CT chẳng hạn khoảng cách của 2 điểm Cực trị, điều kiện để 2 điểm đối xứng qua một đường thẳng cho trước, điều kiện để 2 điểm Cực trị nằm cùng phía hay khác phía đối với một đường thẳng cho trước, đánh giá một biểu thức của các tung độ của các điểm cực trị…

3/ Đối loại toán này ta thường dùng phương trình (d) để xác định tọa độ của các điểm CĐ, CT theo hoành độ của nó Chú ý rằng các hoành độ này là nghiệm của phương trình 'y = do đó ta được 0 các ràng buộc về hoành độ các điểm cực trị theo định lý Viét Sau đó thiết lập các điều kiện theo ycbt và kết hợp với các điều kiện trong định lý Viét ta sẽ được kết quả bài toán Đôi khi 'y = là 0 phương trình bậc 2 và có Δ là một hằng đẳng thức dạng(a ±b)2 khi đó ta có thể rút gọn cách làm bằng cách tính trực tiếp hoành độ các điểm Cực trị theo Δ mà không cần dùng định lý Viét

B- Bài Tập Áp Dụng

BÀI 1: Cho hàm số y = −x3 +3mx2 +3(1−m x2) +m3 −m2 Viết phương trình đường thẳng

đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

BÀI 2: Cho hàm số y =mx4 +(m2 −9)x2 +10 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

BÀI 3: Tìm m để phương trình

2(sin x +cos x)+cos 4x +2 sin 2x +m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2

π

⎣ ⎦

BÀI 4: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

9+ −t − a−2 3 + −t +2a + = 1 0 BÀI 5: Cho hàm số y =(x −m) 3 −3x

1/ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

2/ Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:

2

− − − <

⎧⎪⎪

⎪⎨

BÀI 5: Cho hàm số 2

1

y

x

+

=

− Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10

y

=

+ Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa 2 điểm cực trị đó

BÀI 7: Tìm m để phương trình

2

4 log x −log x +m = 0

có nghiệm thuộc khoảng (0;1 )

BÀI 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

BÀI 9: Cho hàm số y mx 1

x

= + Tìm m để hàm số có cực trị và khỏng cách từ điểm cực tiểu đến

tiệm cận xiên bằng 1

2

1

y

x

=

+ Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 20

BÀI 11: Tìm m để hàm số 2 2 2

1

y

x

=

− có hai điểm cực trị A, B Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A, B song song với đường thẳng 2x − + = y 1 0

y

x

=

− Tìm m để hàm số có cực trị và hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng x + + = y 1 0

x

− −

=

− Tìm ,m k để ( C m) có 2 cực trị A, B sao cho tam giác OAB nhận ( ;G k m + làm trọng tâm 1)

BÀI 14: Tìm m để hàm số 2 2 2

1

y

x

=

+ có hai điểm cực trị và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + + = bằng nhau y 2 0

x

+ +

=

+ Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B Chứng

minh trọng tâm của tam giác OAB không phụ thuộc m

BÀI 16: Cho hàm số y =x3 −3x2 −mx + Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời 2 điểm 2

CĐ, CT của đồ thị cách đều đường thẳng (d):y = − x 1

BÀI 17: Cho hàm số y =x4 −2mx2 +m − Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh 1 của 1 tam giác đều

1

y

x

=

− Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 3

1

y

x

=

+ Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời hai điểm CĐ,

CT của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d):2x + − = y 1 0

1

y

x

=

− Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các giá trị

CĐ, CT cùng âm

BÀI 21: Tìm m để hàm số y =(x −m) (2 x − có CĐ, CT và tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của 1)

đồ thị

BÀI 22: Cho hàm số y =x3 −x2 +mx + Tìm m để hàm số có CĐ và CT thỏa mãn 1

3

x +x <

1

y

x

=

+ Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm x >1 Hãy xác định đó là điểm CĐ hay điểm CT của đồ thị