100 đề thi thử quốc gia 2015 môn toán tập 2

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các em tự ôn luyệ

LÊ NGUYÊN THẠCH

100 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2015

TẬP 2(21-30)

THANH HÓA, THÁNG 09 - 2014

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp

và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các

em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các

em tự ôn luyện.

Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường

mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau Sau mỗi bài toán nên rút

ra cho mình những điểm chú ý quan trọng

Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM

MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!

Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014 Tác giả

ĐỀ SỐ 21

Câu 1(2,0 điểm):

Cho hàm số yf x( ) 8x 4 9x21

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

LỜI GIẢICâu 1(2,0 điểm)

Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D)

Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền    1 t 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

 0 m 1 : Phương trình đã cho có 2 nghiệm.

 m 0 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm

 m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm

22

22

2 0

x x

x

x x

x x

+/ 4sin3xsinx = 2 cos2x - cos4x ;

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y 2 2m (là đường song song với

Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): 2

4

y t  t với  2 t 2.Trong đoạn  2; 2

  , hàm số y t 2 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t  2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại t  2

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2   m 2 4 2

29 / 53/ 5

x y x y

Câu 5.(1,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao

điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D

Ta có: AB  1;2 AB 5

Phương trình của AB là: 2x y  2 0

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và

đường thẳng  có phương trình tham số

1 212

Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất

Đường thẳng  có phương trình tham số:

1 212

2 2

Mặt khác, với hai vectơ u v , ta luôn có | | | | |u  v u v | Như vậy AM BM 2 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v , cùng hướng 3 2 5 1

t

t t

Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11  29

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho

trước Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ

Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’ Ta

u v

v v

u v

Giải hệ (I), (II)

Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là

 5;3 , 5; 4 

S 

Câu 9.(1,0 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1].

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số (1) biết tiếp tuyến tạo với đườngthẳng   :x y  1 0 một góc  sao cho cos 4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Lập phương trình chính tắc của Elip(E) biết rằng có một đỉnh

và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là

Câu 7(1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=2, Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 900 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Câu 8(1,0 điểm)

* Với x0 =0 ta có tiếp tuyến y=9x

*Với x0=4 ta có tiếp tuyến y=9x-32

Câu 2:

1, Giải phương trình: 2cos2 x2 3 sin cosx x 1 3 sin x 3 cosx

Phương trình tương đương với

x x

Vậy bất phương trình có nghiệm x=1

Chú ý: ta có thể sử dung bất đẳng thức cô si cho VTVT 1 và đánh giá VP

Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân:  

3

2 0

9ln

4 3

369

9

814

k 1 n k 2

2 1 n 1

1 n 0

1 n 1 n

x C

x C ) 1 (

x C x C C

k k 1 n k 2

1 n 1

1 n n

x C ) 1 n 2 (

x kC ) 1 (

x C 2 C

) x 1

k k 1 n k

3 1 n 2

1 n 1

n

x C ) 1 n 2 ( n 2

x C ) 1 k ( k ) 1 (

x C 3 C

2 )

x 1

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Lập phương trình chính tắc của Elip(E) biết

rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật

cơ sở của (E) là 12 2  3

với hai tiêu điểm     2 2 2

1 ;0 , 2 ;0 ,

F c F c c a  b Hai đỉnh trên trục nhỏ là B10;b B, 20;b

Vì tam giác B1F1F2 đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 12 2  3

Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=2, Góc giữa hai

mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 900 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

ACBD O AB BC CD DA,     2 ABCD là hình thoi nên

 1 ,

BDAC SB SD a   SBD cân tại S suy ra BDSO 2

Từ (1)&(2)  BDSAC và .

1.3

nên SACvuông tại S Gọi M là trung điểm của SA

Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  9;8

Câu 9.(1,0 điểm): Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3

Dấu bằng xảy ra khi t=2

Kết luận MaxT=12 tại (a;b;c)=(0;1;2) và các hoán vị của (a;b;c)

ĐỀ SỐ 23

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x  m m 3x m  3m 2 1 , trong đó m là tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2

2 Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x x1 , , 2 3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức

  Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho các đường thẳng

trọng tâm của tam giác BCD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a

2

2 2

+) Chiều biến thiên: y' 3  x2  3, y' 0   x 1

Khi đó xét dấu của y':

Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 , 1;    và nghịch biến trên khoảng  1;1

+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x1,y CD 2.Hàm số đạt cực tiểu tại x1,y CT 2

-2 -1 0

2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y 2tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x x1, ,2 3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức

Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác m

2 2 2

  Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có phương trình đường thẳng AD: x  2 0

Do E thuộc đường thẳng AD nên E2;t

Mặt khác do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho các đường thẳng

 đi qua điểm N2,1, 0 và có vtcp u  1 1, 2, 3  

Ta có u u1; 2.MN0

  

suy ra  1, 2 đồng phẳng suy ra  nằm trong mặt phẳng chứa  1, 2

trọng tâm của tam giác BCD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD), M là trung điểm CD và O là tâmcủa đáy ABCD Do AO là trung tuyến của tam giác ABD nên

K

O M H

kết hợp với AH vuông góc với SH ta được AH SHB

Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH SHB suy ra AH HK HK

là đoạn vuông góc chung của AC và SB nênHKa

Trong tam giác vuông SHB ta có 1 2 12 12 SH 2a

y x

    suy ra f t  là hàm số đồng biến trên   ; 4

Nếu xy f x  f y  log 2 y log 2x y x vô lý

Nếu x y  f x  f y  log2 ylog2x y x Vậy xy

Thay xy vào phương trình thứ nhất ta được g x f x  log 2 x 0

Thử lại ta thấy x y ;  2;2 thỏa mãn hệ

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  2;2

Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3x23(1 m x2) 2m2 2m1 (m là tham số).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 1.

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng

thời hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d x:  4y 5 0.

Câu 5.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 4) và đường tròn

2 2

      Viết phương trình của đường tròn  với tâm M, cắt  tại hai điểm

A, B ssao cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên .

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, với SA SB AB 2a 2BC và

ABC 1200 Gọi H là trung điểm của cạnh AB và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt

phẳng (SCD K), nằm trong tam giác SCD và 3

Nhánh vô cực: xlim y, limx  y ;

Chiều biến thiên: y3 (x x 2), y 0 x 0 x2

Xét dấu y và kết luận: hàm số đồng biến trên ( ;0),(2;), nghịch biến trên (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x0,y cd 3; hàm số đạt cực tiểu tại x2,y ct 1

lập bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị

4

2

2.(1,0 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu;

đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d x:  4y 5 0.

Khi đó, đồ thị của hàm số có hai điểm cựctrị A(1m; 2 m3 m2 2m), (1B  m m;2 3 m2 2m)

Hai điểm này đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi trung điểm của AB nằm trên d và ABd Điều này tương đương với

2 3

1.(0,5 điểm) Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức (z i ) (2 z i )2 5z2 5 0.

Viết lại phương trình về dạng (z21)2 5z2 5 0

Khai triển, rút gọn, nhân tử hóa (z21)(z2  4) 0

Giải các phương trình, thu được zi và z 2 rồi kết luận

2.(0,5 điểm).Giải hệ phương trình

3 3

 nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; )

- Mặt khác f(0) 0 nên PT có nghiệm duy nhất x 0 y 0

Kiểm tra điều kiện thấy nghiệm thỏa mãn đk

Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (0;0)x y 

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 4) và đường tròn

2 2

      Viết phương trình của đường tròn  với tâm M, cắt  tại hai điểm

A, B ssao cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên .

Cách 2: Giả sử tìm được đường tròn : (x 3)2(y 4)2 2 thỏa mãn yêu cầu

Khi đó, do AB là dây cung chung, nên ABIM, hay đường thẳng AB nhận IM (0;5)

Từ đó, kết hợp với (1), tìm được c 5 Suy ra AB y  : 1 0

Mặt khác AB là trục đẳng phương của ,  nên AB có phương trình 2 23 0

vuông góc của H trên mặt phẳng (SCD K), nằm trong tam giác SCD và 3

a

C

I B

H

2a 2a

J I H

D B

A

C S

Khi đó HJ AB CD, và do đó CD(SHJ) Suy ra K SJ Ngoài ra 3

SH HJ  a HK do đó tam giác SHJ vuông tại H

Từ đó, do SH AB HJ, nên SH (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp.

Từ đó tìm được hoặc 3xy 1 hoặc 3xy 2 hoặc 3xy 4

Với 3xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó 1

3

x 

Với 3xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)

Với 3xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó 2





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm I(0;1) và cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 (O là gốc tọa độ).

Câu 2.(1,0 điểm).

1 Giải phương trình (1 cos ) cot x xcos 2xsinxsin 2x

cos ln(1 sin )sin

Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho z1nz2n 1

2 Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5

lập được từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số trong X Tính xác suất để số đó

chia hết cho 5

Câu 5.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC x: 7y 31 0, hai

đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng d x y1:   8 0 , d x2:  2y 3 0 Tìm tọa độ các

đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.

đường thẳng  cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất

Viết phương trình của mặt phẳng ( ).Q

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD. có SC(ABCD),đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3và

ABC 120 0 Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD

2 4 6

Với x x là hai nghiệm của (1) thỏa mãn : 1, 2 1 2

1 2

1

1.(0,5 điểm) Giải phương trình (1 cos )cot x xcos 2xsinxsin 2x (1)

Điều kiện: sinx 0 x k  (k )

Khi đó: (1)(1 cos )cos cos 2 sin sin 2

cos (1 2sin ) cos 2 sin (cos sin ) 0

cos ln(1 sin )sin

Đặt:

2

11

dt

t dt

dv

v t

Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất nên từ (*) suy ra n  7

2.(0,5 điểm) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt

chữ số 5 lập được từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số trong X Tính xác suất để số đó

đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng d x y1:   8 0 , d x2:  2y 3 0 Tìm tọa độ các

đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích của hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.

( )P theo giao tuyến là đường thẳng  cách gốc tọa độ O một khoảng ngắn nhất

Viết phương trình của mặt phẳng ( ).Q

Gọi H I, lần lượt là hình chiếu vuông góc củaO lên ( )P và 

Ta có d O( , ) OI OH ( không đổi) Do đó min ( , )d O  OHxảy ra khi I H

Đường thẳng OHđi qua O(0;0;0) và nhận VTPT của ( )P là n  (1; 2;1) làm VTCP

Q O

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có SC(ABCD),đáy ABCD là hình thoi có cạnh

bằng a 3và ABC 120 0 Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD

a 3

I

O D

K B A

C S

Kẻ OI SA I SA (  )  OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.

Dùng hai tam giác đồng dạng AOIvà ASCsuy ra 3 5

thay vào (2) trở thành: 7x 1 7x2 5 

2

17

Câu 9.(1,0 điểm) Cho a b c, , là ba số thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 2 3 3

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số yx3  3(m1)x2 9x m, với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với m 1

2 Xác định m để hàm số đó cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2 2

Câu 2.(1,0 điểm)

2sin(

2cossin

2sincot

x

2 Giải phương trình: 2log5(3x1)1log3 5(2x1)

Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân  

5

1

2

13

1

dx x x

a a x

P( ) 0  1   Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn:C C n

n n

171

13

6x y  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có

)4

;3

;2(),

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,1) và (3,)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng(1,3)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 1 và y CD y( 1) 3; đạt cực tiểu tại x 3 và

1)

310

3)1(

2cossin

2sincot

cossin2sin2

x x x

24

Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là x 2

Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân  

5

1

2

13

1

dx x x

32

31

x

dx dt

3

2 31

13

1

tdt t

2

2

12

)1(9

2

t

dt dt

t

.5

9ln27

1002

41

1ln2

t

Câu 4.(1,0 điểm):

1.(0,5 điểm) Cho tập E0,1,2,3,4,5,6 Từ các chữ số của tập E lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Giả sử abcd là số thoả mãn ycbt Suy ra d0,2,4,6

a a x

P( ) 0  1   Tính hệ số a8 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn:C C n

n n

171

n n n

n

n n C

)2)(

1(

!3.7)

1(2

31

71

3

0365

Suy ra a8 là hệ số của x8 trong biểu thức 8(1 x)89(1 x)9

Đó là 8.C88 9.C98 89

Câu 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6), phương

trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 2x y130và

029

13

6x y  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Gọi đường cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM

-Khi đó CH có phương trình 2x y130,CM có phương trình 6x 13A(4; 6) y290 M(6; 5)

C(-7; -1)

B(8; 4) H

A