100 đề thi thử Quốc gia 2015 môn toán tập 3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị C, tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của C tại A, B.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hà

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp

và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các

em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các

em tự ôn luyện.

Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường

mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau Sau mỗi bài toán nên rút

ra cho mình những điểm chú ý quan trọng

Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM

MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!

Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014 Tác giả

ĐỀ SỐ 31

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 4

( ) 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại

A, B CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M

Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân:

2 3

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều

cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b Gọi là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC)

Câu 1: Cho hàm số 2 4

( ) 1

a

a a

Giao điểm với tiệm cận ngang y 2 là B a   2 1;2 

+ +

-∞

y

y' x

x

y

2 -1 -4 2 1

I

4 3 4 3

Vậy Min S = 198 khi t 1 hay C(1; 0; 2).

Đường thẳng BC đi qua đi qua B và nhận BC ( 2; 3; 4)    

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là x 3 y 3 z 6

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y 2x(1 x )  2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O) Tìm cácđiểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I

2 Chứng minh rằng số phức 1 z

1 z



 là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z1

Câu 5.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x 5  2y2 20 và đường thẳng d : x y 3 0   Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau qua trục Oy

Câu 7.(1,0 điểm):Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a

Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C

Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình :

Câu 9.(1,0 điểm):Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :      

x ; y

93

2.(1,0 điểm) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O) Tìm

các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I

Ta có A(-1,0), B(1,0) Tam giác IAB vuông tại I nên I thuộc đường tròn tâm O( gốc tọa độ) vớibán kính bằng 1

Tọa độ I là nghiệm của hệ:

x  1 1 x 0nên x,y cùng dấu

Vậy chỉ có hai điểm I thỏa đề là 1 ; 1 ; 1 ; 1

2 3 sin x cos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0

2sin x 3 cos x sin x 2 0

So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ là: 3 2; 2

x

    

1 0

3

2

1

11

2

x x

   

1 0

3

2

1

11

2

11

11

Đặt

11

2 0 0

1.(0,5 điểm) Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn Hỏi có

bao.nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau

 là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z1

Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R Lúc đó  

Gọi d’ là đường thẳng đối xứng với d qua Oy, d’: - x + y + 3 = 0

Tọa độ giao điểm của d’ với (C) là nghiệm của hệ:      

Và Suy ra N2(-1,-2) thuộc d đối xứng với M2(1,-2) thuộc (C) qua Oy

Đường thẳng d' qua A cắt d tại M(1-t, -2+t,2t) thuộc d

Khi đó  

2 2

AM;AB 28t 152t 208

d B,d '

3t 10t 20AM

Câu 7.(1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a

Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C

Phần chung của 2 khối chóp là đa diện OO’BB’C’C

Gọi V là thể tích đa diện đó

Ta có V V A '.BB'C'C VA '.OB'C'O'

3 ABC.A ' B'C' ABC

u v

Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)

Câu 9: (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :      

Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3





 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên;

2 Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M3; 1   và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MB 3MA

là nghiệm của phương trình z2  8bz 64c 0.

2 Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4 Tính xác suất sao cho trong đó

có ít nhất một học sinh nữ

Câu 5.(1,0 điểm) :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình x 22y 12  8 và x 2y  3 0 Cho hình thoi ABCD ngoại

tiếp đường tròn (C) và điểm A thuộc đường thẳng (d) Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D; biếtrằng BD 2AC và tung độ của điểm A không nhỏ hơn 2.

Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình

1 1

2.(1,0 điểm) Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M3; 1   và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MB 3MA

Ta thấy nếu đường thẳng (d) không có hệ số góc thì nó chỉ cắt (C) tại đúng một điểm suy ra (d)phải có hệ số góc Giả sử (d) có hệ số góc là k thì phương trình của (d): y kx  3k 1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

2

1 2

3 1

2 2 1 3 3 0 1

x x

      (1) ( do x 1 không phải là nghiệm)

+) Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt

1 (0,5 điểm) Giải phương trình sin 3x cos 3x sinx2sin 2x 1 4 cos  x  1 3

Pt  3sinx 4sin 3x 4cos 3x 3cosx sinx2sin 2x 1 4 cos  x  1 3

sinx cosx 2sin 2x 1 sinx2sin 2x 1 4cos  x 1 3

22sin 2 1 2sin 2 cos 3 sin 0

3 sin cos 2sin 2

4 4

2 15 26 20 0

15 4 32 40 0

t t

t t

2.(0,5 điểm) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra

5 học sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4 Tính xác suất sao cho trong đó có

ít nhất một học sinh nữ

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có 5

35

C cách Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’

Suy ra A là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có học sinh nữ nào”

Ta có số kết quả thuận lợi cho A là 5

20

C

  205

5 35

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn (C) và

đường thẳng (d) lần lượt có phương trình x 22y 12  8 và x 2y 3 0 Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) và điểm A thuộc đường thẳng (d) Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,

B, C, D; biết rằng BD 2AC và tung độ của điểm A không nhỏ hơn 2

Như vậy ta có nếu AB x y:     1 0 AC x:  7y 15 0  và ngược lại.

Giả sử AB x y:     1 0 AC x:  7y 15 0 

Đường thẳng CD song song với AB nên CD x y c:    0,

Do CD đi qua C nên 3 4    c 0 c 7  CD x y:   7 0 

Do đó tọa độ D là nghiệm của hệ 7 0 8 8;1

Do đường thẳng   nằm trong (ABC) và vuông góc với (d)

Nên: ABC ABC, d 12, 2, 11

Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB

là tam giác cân tại đỉnh S Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 0

45 , góc giữa mặtphẳng (SAB) và mặt phẳng đáy bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SA bằng a 6

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cân tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: SA ABCD, ( ) SAH  45 0  SA SH 2

Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

Giải hai pt này ta được x 1,x  2 2

Vậy hệ có hai nghiệm là x y  ;  1; 1 , 2   2,  2

Câu 9.(1,0 điểm): Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn x y z  và x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x z 3y

2 Tìm m để đường thẳng d:yxm cắt (H) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB2 2.

x x

e e

Câu 5.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):y2 2x

 và điểm K(2;0)

Đường thẳng d đi qua K cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đường thẳng d.

Câu 6.(1,0 điểm):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x2y z50 và đường thẳng

.1

31

12

Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có M là trung điểm cạnh AB, BC2 ,a ACB 900 và

ABC 60 ,0 cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450, hình chiếu vuông góc của C1

lờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đó cho và góc tạo bởi hai

LỜI GIẢI Câu 1.(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H)của hàm số  211.

x

x y

x nên đường thẳng y2 là tiệm cận ngang của đồ thị

* Chiều biến thiên: Ta có ' ( 31)2 0, 1.





x y

Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;1 , 1;

tại 0;1. (H) nhận giao điểm I1 ; 2 của hai

đường tiệm cận làm tâm đối xứng

2 (1,0 điểm) Tìm m để đường thẳng d:yxm cắt (H) tại hai điểm A, B thỏa mãn

2 1 2

2 1 2 2

1.(0,5) điểm) Giải phương trình sin 3x sin 2x sinx 1  cos 3x cos 2x cosx.

Ta có: (sin3xsinx)sin2x1 cos2xcos3x cosx

x x x

x x x

xcos 2sin cos 2sin 2sin2 cos

sin 2 (cosx x sin ) sin (cosx x x sin ) 0x

     sin (2cosx x1)(cosxsin ) 0.x 

1

y

I 2 1

2.(0,5 điểm) Giải bất phương trình x x7x2x 4 x4x  2.

x x

Khi đó bpt đó cho tương đương với x27 2x4 x2 4 2x

344

2

t

t t

t t t

610

523

x x

x

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm x1 6

2

2 ln 0

e e

e v

2 ln 0 0

2 ln

1

d3

2ln1

d

x e

x e

Đặt e x tĐổi cận ta có x0 t1; xln2 t2 và dx dt t.

11)1(

d

1

2 1

2 2

k k

k k

k k

k

x C x

C x

x C x

x

0 11 11

0 11 11

11 0 11

11

)1(

)(3

113.).(

1

1

11 0

11 0 11

i k i k

i

i k k k

1,111

0,32

i k

i k k

i i

k

Suy ra hệ số của x4 là 3 .( 1) 3.33 4422

11 1 1 1

Từ giả thiết z2  2z40 ta có (z1)2 3 z1 3i.

*) Với z1  3i ta có:

7 7

i w

1332

133

1.816

7sin6

7

cos

4

7sin4

i i

7 7

)6

sin6(cos

)4

sin4

(cos.28

1)3(

)1(3

3

33

i i

i w

Đường thẳng d đi qua K cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đường thẳng d.

TH1: d Ox d: x 2. Từ (2; 2) . 0

)2

;2(2

M x

y

x

.(1)– TH2: d  Ox d:ykx 2k

Tọa độ M, N là nghiệm của 

k kx y

2

2,

;

y N y

y

M trong đó y1, y2 là nghiệm của (2)

2 2

Từ (1) và (3) suy ra MON 900 OMN vuông tại O

Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp OMN là trung điểm MN  I  d.

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x2y z50

1

31

12

3:x y z

d Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d lờn (P) và E là giao điểm của d và (P) Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho EF vuông góc với d' và

1(3

0

2 0

Gọi H là trung điểm CM

Từ giả thiết  C H1 (ABC C CH),1 CC1;ABC *)

Từ tam giác vuông ABC với BC2 ,a ABC 600  AC2a 3,

a CH a AB CM

a

AM   2  

2

1,



Tam giác MCA cân tại M nên MCA MAC  300 HK HC2a

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương

trình:

5 4 3 2( ) 0 (1) ( ) 2 ( ) (2)

yz y yz y

xy x xy zx yz xy P

Do đó P 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi xyz1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi xyz1

ĐỀ SỐ 35

Câu 1 Cho hàm số yx3(2m1)x2 m1 (m là tham số).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.

H K

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị của hàm số đó chi tiếp xúc với đường

1 Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1 x 3 )x2 n,

Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn A1nA n2A n3 156

3log ( 5) log | 1| 1 log ( 3 2)

2

x  x   x  x

Câu 5.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với các đường thẳng chứa đường cao

kẻ từ B, phân giác trong kẻ từ A lần lượt có phương trình x3y 4 0, 3x y 12 0. Biết rằng điểm M(0; 2) là một điểm nằm trên đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng 2 10,tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Câu 6.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3; 2;1), mặt phẳng ( ) :P x y z   2 0 và đường thẳng :1x y21z11



 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A, cắt  và ( )P

theo thứ tự tại B và C sao cho A là trung điểm BC.

a hãy tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của thiết diện khi cắt

lăng trụ bởi mặt phẳng đi qua BC vuông góc với AA

Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số y x3(2m1)x2 m 1 (m là tham số).

1.(1,0 điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.

Xét dấu y và kết luận:

Hàm số đồng biến trên (0;2), nghịch biến trên các khoảng ( ;0),(2;);

Hàm số đạt cực đại tại x2,y cd y(2) 2; hàm số đạt cực tiểu tại x0,y ct y(0)2

Lập bảng biến thiên

Phương trình (1) tương đương với x x( 2 (2m1)x2 ) 0m  do đó luôn có nghiệm x 0,x 1

và x 2m Do đó, hệ (1)-(2) có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong ba nghiệm của (1) là nghiệm của (2)

1.(0,5 điểm) Giải phương trình 3 2cos 2xcosx 23 2cos xsinx0

Phương trình đó cho tương đương với 2 3 cos2x  2 3 2sin cos x x  3 cosx3sinx 0

2 3 cos2x 2 3 sin2x cos2 x 2sin cosx x  3 cosx 3sinx 0

cosx 3 sinx  3 2sin x 0

Giải phương trình 3 2sin x0 thu được 2 · ( )

a b

1.(0,5 điểm): Tìm hệ số của x4 trong khai triển (1 x 3 )x2 n,

Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn A1nA n2A n3 156

Trong khai triển trên, x4 chỉ xuất hiện trong các số hạng C x6k k(1 3 ) , x k với k 2,3, 4

Do đó hệ số của x4 phải tìm là tổng các hệ số của x4 trong các khai triển trên

6

C + Hệ số cần tìm bằng 2 3 4

Câu 5.(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với các đường thẳng

chứa đường cao kẻ từ B, phân giác trong kẻ từ A lần lượt có phương trình

3

x y  x y   Biết rằng điểm M(0; 2) là một điểm nằm trên đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng 2 10, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Gọi h , theo thứ tự là đường cao kẻ từ B, phân giác trong kẻ từ A; N x y( ; ) là điểm đối xứng

với M qua  Khi đó, x, y là nghiệm của hệ

0

23

x y

3

A 

Do B là giao điểm của các đường thẳng h và AM, nên … tìm được (13 5; )

18 16( ; ), (6; 4)

+ Đưa phương trình  về dạng tham số x t y ,  1 2 ,t z 1 t,

do đó mọi điểm của  đều có tọa độ dạng ( ;1 2 ; 1 )t  t   t

+ Xét điểm B t( ;1 2 ; 1 t   t) , lấy C đối xứng với B qua A

Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của

đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA bằng 3

4 ,

a

hãy tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của thiết

diện khi cắt lăng trụ bởi mặt phẳng đi qua BC vuông góc với AA

Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên 2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y) 2;1 , 17 76;

Bởi vậy, ta cần chứng minh a2b2 2 b c2 2c a2 2 2(ab bc ca  ) (1)

Để ý rằng (1) (a b )2(bc1)2(ca1)20, luôn đúng nên ta có được điều phải chứng minh

ĐỀ SỐ 36

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 - 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm trên đường thẳng (d): y = 3 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C)

Câu 2.(2,0 điểm)