Chng 2 BIN NGU NHIÊN 33 Chương 2 Biến ngẫu nhiên 1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Như chúng ta ñã biết, một không gian mẫu M có thể ñược mô tả không thuận lợi nếu những phần tử của M không phải là các con số. Để tiện lợi trong việc mô tả, giải toán và ñưa vào một số khái niệm mới, người ta sẽ tìm một qui tắc, theo ñó, mỗi phần tử m thuộc M có thể ñược biểu diễn bởi một số thực x tương ứng. Ý tưởng này dẫn ñến khái niệm Biến ngẫu nhiên. 1.1. Định nghĩa. Cho trước không gian xác suất M . Một hàm X: M →  sao cho với mọi khoảng K trong , tập hợp {m ∈ M / X(m) ∈ K} là một biến cố của M , ñược gọi là một Biến ngẫu nhiên ( viết tắt là BNN ) trên M . Miền giá trị của X ñược ký hiệu là Im(X), i.e. Im(X) = {x ∈  / ∃m ∈ M , X(m) = x}. • Để ñơn giản cách viết, biến cố {m ∈ M / X(m) ∈ K} ñược viết là {X ∈ K}. Đặc biệt, với các số thực a và b, các biến cố: {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M / X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; … lần lượt ñược viết là {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; … Các xác suất P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})…ñược viết gọn là P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) … Dựa vào các tính chất của hàm thực, chúng ta có: 1.2. Định lý. Giả sử X và Y là các BNN trên cùng một không gian xác suất M ; a và b là các hằng số thực; khi ñó, các hàm aX + bY, XY, max(X, Y), min(X,Y) và X/Y (với Y ≠ 0) cũng là các BNN trên M . Ngoài ra, nếu ϕ là một hàm liên tục xác ñịnh trên Im(X) thì ϕ o X cũng là một BNN trên M . 1.3. Thí dụ. Chng 2 BIN NGU NHIÊN 34 1.3.1. Tham khảo lại Định nghĩa 1.6.1 và Định lý 1.6.2; với B(p), không gian mẫu là M = {T, B}, trong ñó, T và B lần lượt chỉ các kết quả sơ cấp "Thành công" và "Thất bại". Hàm số thực X trên M ñược xác ñịnh bởi: X(T) = 1 và X(B) = 0 là một biến ngẫu nhiên trên M . "Qui tắc" ñể thành lập hàm X là "số lần thành công trong B(p)". Chúng ta nói rằng X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong B(p). X có miền giá trị là {0, 1}, và P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 − p. 1.3.2. Trong quá trình B(n; p), không gian mẫu M chứa 2 n ñiểm mẫu, mỗi ñiểm ñược biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm chữ T và B.Thật bất tiện. Bây giờ, chúng ta xét hàm thực X xác ñịnh trên M bởi: Ứng với mỗi ñiểm mẫu m của M , X(m) là số chữ T có trong m, tức là số lần thành công trong mỗi kết quả sơ cấp. Như vậy, chúng ta có BNN X chỉ số lần thành công trong quá trình B(n;p). X có miền giá trị là {0, 1, 2, …, n}, và xác suất ñể có k thành công trong quá trình là: (Định lý 1.6.2.) ( ) ( ) ( ) − = = = −P C 1 k k n k n n X k P k p p , k ∈ {0, 1, 2, …, n} Khi ñó, người ta nói rằng: BNN X có phân phối nhị thức, với hai tham số n và p. Ký hiệu: X ~ B(n;p). • Chú ý rằng: Nếu gọi X i là BNN chỉ số lần thành công trong phép thử thứ i ( 1 ≤ i ≤ n ) thì X = X 1 + X 2 + . . . + X n . 1.3.3. Trong mô hình phân phối siêu hình học ở ñoạn 1.2, nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phần tử "ñược ñánh dấu" trong mẫu kích thước n thì biến cố {X = k} = A k (A k : “có k phần tử ñược ñánh dấu trong mẫu”) có xác suất là . ( ) − − = = C C P C n k k T N T n N X k , trong ñ ó k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}. − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − Chú ý: Trong giáo trình này, khi c ầ n tham kh ả o l ạ i m ộ t ñị nh ngh ĩ a, m ộ t ñị nh lý ho ặ c m ộ t thí d ụ ỏ ph ầ n tr ướ c, tác gi ả ghi thêm s ố ch ươ ng vào phía tr ướ c s ố ch ỉ m ụ c. e.g. Khi c ầ n tham kh ả o Đị nh ngh ĩ a 6.1 ở ch ươ ng 1, tác gi ả ghi: Đị nh ngh ĩ a 1.6.1; Đị nh lý 2.3 ở ch ươ ng 2, s ẽ ñượ c ghi là Đị nh lý 2.2.3… Khi ñ ó, ng ườ i ta nói r ằ ng: Bi ế n ng ẫ u nhiên X tuân theo lu ậ t ( hay có lu ậ t) phân ph ố i siêu hình h ọ c. Chng 2 BIN NGU NHIÊN 35 1.3.4. M ộ t công ty nghiên c ứ u ph ả n ứ ng c ủ a th ị tr ườ ng ñố i v ớ i m ộ t lo ạ i s ả n ph ẩ m m ớ i ở 3 m ứ c ñộ : T ố t , trung bình và kém. Không gian m ẫ u M g ồ m 3 bi ế n c ố s ơ c ấ p: {t ố t, trung bình, kém}. Chúng ta có th ể xác ñị nh m ộ t bi ế n ng ẫ u nhiên X trên M nh ư sau: X(t ố t) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1. Mi ề n giá tr ị c ủ a X là {−1, 0, 1}. 2. HÀM PHÂN PH Ố I XÁC SU Ấ T TÍCH L Ũ Y 2.1. Đị nh ngh ĩ a. Cho bi ế n ng ẫ u nhiên X trên không gian xác su ấ t M . V ớ i m ọ i x thu ộ c  , { X < x } là m ộ t bi ế n c ố , nên t ồ n t ạ i P( X < x ). Hàm F ñượ c xác ñị nh b ở i: ∀ x ∈  , F(x) = P(X < x ) ñượ c g ọ i là Hàm phân ph ố i xác su ấ t tích l ũ y (hay nói g ọ n là hàm phân ph ố i, vi ế t t ắ t là h.p.p. ) c ủ a X . T ừ ñị nh ngh ĩ a c ủ a h.p.p. và tính ch ấ t c ủ a xác su ấ t, d ễ th ấ y r ằ ng: ∀ x   , 0  F ( x )  1 H.p.p. F c ủ a BNN X có các tính ch ấ t c ơ b ả n ñượ c th ể hi ệ n ở ñị nh lý sau: 2.2. Đị nh lý. Cho bi ế n ng ẫ u nhiên X xác ñị nh trên m ộ t không gian xác su ấ t; F là h.p.p. c ủ a X . Khi ñ ó, (i) ∀( x 1 , x 2 )   2 , ( x 1 ≤ x 2 ⇒ F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) ) (ii) lim ( ) 0 x F x → − ∞ = và lim ( ) x F x → + ∞ = 1 (iii) F liên t ụ c bên trái trên  (iv) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) v ớ i m ọ i a và b th ỏ a a < b (v) P( X = a) = F (a+) − −− − F (a) v ớ i m ọ i a ∈  . Ch ứ ng minh. (i). N ế u x 1 ≤ x 2 thì { X < x 1 } ⊂ { X < x 2 }; do ñ ó: P( X < x 1 ) ≤ P( X < x 2 ). V ậ y, F( x 1 ) ≤ F( x 2 ). (ii) Hàm F ñơ n ñ i ệ u và b ị ch ặ n, nên t ồ n t ạ i lim ( ) x x →−∞ F và lim ( ) x F x →+∞ Có một dãy số giảm (x n ) n ∈ * sao cho n n x ∞ → −∞ Chng 2 BIN NGU NHIÊN 36 Với mọi n ∈ *, ñặt A n = {X < x n } thì (A n ) là một dãy giảm các biến cố và 1 n n A ∞ = = ∅ ∩ . Do ñó, 1 lim P( ) P 0 n n n n A A ∞ →∞ =     = =     ∩ hay lim ( ) n n F x →∞ = 0 V ậ y, lim ( ) x x →−∞ F = 0 (vi ế t g ọ n là ( ) 0 F −∞ = ). Ch ứ ng minh t ươ ng t ự cho lim ( ) x F x → + ∞ = 1 (vi ế t g ọ n là ( ) 1 F + ∞ = ). (iii) Hàm F ñơ n ñ i ệ u trên  nên t ạ i m ọ i ñ i ể m x ∈  , luôn có ( ) lim ( ) t x F x F t → − − = V ớ i m ọ i x ∈  và v ớ i m ọ i n ∈  *, ñặ t { } 1 n n B x X x = − ≤ < thì B n là m ộ t dãy gi ả m các bi ế n c ố và 1 n n B ∞ = ∩ = ∅. Do ñ ó, 1 lim P( ) P ( ) 0 n n n n B B ∞ → ∞ = = = ∩ Th ế mà, {X < x} = {X < x − −− − 1 n } + B n ⇒ F ( x − 1 n ) = F (x) − P(B n ), nên 1 lim ( ) ( ) n n F x F x →∞ − = ; t ừ ñ ó, chúng ta có F (x− −− −) = F (x). V ậ y, F liên t ụ c bên trái t ạ i m ọ i ñ i ể m x ∈  . Ph ầ n ch ứ ng minh (iv) và (v) ñượ c xem nh ư bài t ậ p.  ( G ợ i ý: Để ch ứ ng minh (v), dùng 1 { } n n C a X a = ≤ < + Ngược lại , ng ườ i ta ch ứ ng minh ñượ c r ằ ng: 2.3. Định lý. N ế u m ộ t hàm F:  →  th ỏ a ba tính ch ấ t (i), (ii) và (iii) trong Đị nh lý 2.2.2. thì F là h.p.p. c ủ a m ộ t bi ế n ng ẫ u nhiên trên m ộ t không gian xác su ấ t nào ñ ó. Chng 2 BIN NGU NHIÊN 37 Thí dụ. Cho BNN X có h.p.p. F ñượ c xác ñị nh b ở i: 2 0 0 ( ) 0 1 1 1 x x F x x x ≤    = < ≤   <   + 1 nÕu nÕu nÕu Khi ñ ó, 3 3 1 1 2 2 4 4 P( 3 ) ( ) ( 3) 0 X F F − ≤ < = − − = − = P (X = 0) = F (0+) − −− − F (0 ) = 1 1 2 2 0 − = . 3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT Các ñị nh lý 2.2.2 và 2.2.3 cho chúng ta th ấ y r ằ ng: N ế u bi ế t h.p.p. F c ủ a m ộ t BNN X thì chúng ta bi ế t ñượ c ñầ y ñủ v ề X. Vì v ậ y, hàm phân phối là một ñặc trưng ñầy ñủ c ủ a m ộ t bi ế n ng ẫ u nhiên. Khi bi ế t h.p.p. F c ủ a BNN X, ng ườ i ta nói r ằ ng phân phối xác suất của X ñượ c xác ñị nh. Có hai lo ạ i phân ph ố i xác su ấ t: Loại rời rạc và loại liên tục . 3.1. Định nghĩa. M ộ t bi ế n ng ẫ u nhiên X trên không gian xác su ấ t M ñược gọi là có phân phối xác suất thuộc loại rời rạc hay X là BNN rời rạc nếu Im(X) là một tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược. Nói cách khác, X là một BNN rời rạc nếu các phần tử của Im(X) có thể liệt kê ñược thành một dãy. Giả sử Im(X) = {x 1 , x 2 , , x n , …}. Hàm f :  →  ñược xác ñịnh bởi: f (x) = P( ) Im( ) 0 Im( ) k k X x x x X x X = = ∈   ∉  nÕu nÕu ñược gọi là Hàm mật ñộ xác suất hay nói gọn là Hàm mật ñộ ( viết tắt là h.m.ñ. ) của BNN X. Rõ ràng, f có các tính chất: (i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈  và (ii) ( ) 1 x f x ∈ = ∑ R Để ñơn giản cách viết, cụm từ "nếu x ∉ Im(X)" có thể ñược thay bằng cụm từ "nơi khác". • Nếu F là h.p.p. của X thì ∀x ∈ , ( ) ( ) w x F x f w < = ∑ Hàm phân phối của một BNN rời rạc là một hàm bậc thang. Chng 2 BIN NGU NHIÊN 38 Khi Im(X) là hữu hạn, phân phối xác suất của X có thể ñược trình bày dưới dạng bảng gọi là Bảng phân phối xác suất: x x 1 x 2 . . . x n f (x) p 1 p 2 . . . p n trong ñó, p i = f (x i ), với mọi i ∈ {1, 2, …, n}. Thí dụ. Gieo 2 con xúc xắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc. Không gian mẫu M tương ứng là hữu hạn ñều và gồm 36 ñiểm (Thí dụ 1.1.3.1). Gọi X là BNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện, i.e. với mọi (a,b) thuộc M , X(a,b) = max (a,b). Khi ñó, Im(X) = {1, 2, 3. 4, 5, 6}. Gọi f là h.m.ñ. của X, chúng ta có: f (1) = P(X = 1) = P({(1,1)}) = 1/36; f (2) = P(X = 2) = P({(1,2), (2,2), (2,1)}) = 3/36; f (3) = P(X = 3) = P({(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)}) = 5/36; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng phân phối xác suất của X: x 1 2 3 4 5 6 f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Xác suất của biến cố {X ≤ 3}: P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = + + = 9 1 3 5 36 36 36 36 . Xác suất của biến cố {2 ≤ X < 5}: P(2 ≤ X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = + + = 3 5 7 15 36 36 36 36 . Phân phối xác suất của X có thể ñược trình bày dưới dạng một Biểu ñồ: f (x) Chng 2 BIN NGU NHIÊN 39 0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 7/36 8/36 9/36 10/36 11/36 1 2 3 4 5 6 x 3.2. Định nghĩa. Cho BNN X có hàm phân phối F. (a) Nếu F liên tục trên  thì X ñược gọi là có phân phối xác suất thuộc loại liên tục hay X là BNN liên tục. (b) Giả sử X là một BNN liên tục. Nếu h.p.p. F có ñạo hàm trên  thì hàm f = F’ ñược gọi là hàm mật ñộ (viết tắt là h.m.ñ.) của X. Trong trường hợp này, F ñược viết dưới dạng: ∀x ∈ , ( ) ( ) x F x f t dt − ∞ = ∫ và X ñược gọi là liên tục tuyệt ñối. X hoàn toàn ñược xác ñịnh nếu và chỉ nếu h.m.ñ. của X ñược xác ñịnh. Đối với BNN liên tục, giáo trình này chỉ khảo sát loại tuyệt ñối liên tục nên ñể ñơn giản cách trình bày, chúng ta gọi chung là BNN liên tục. 3.3. Định lý. Một hàm thực f xác ñịnh trên  là hàm mật ñộ của một BNN X nếu và chỉ nếu f thỏa mãn hai tính chất sau: (i) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈  và (ii) ( ) 1 f x dx + ∞ − ∞ = ∫ . Chứng minh. (a) Nếu f là h.m.ñ. của một BNN X thì dựa vào các tính chất của h.p.p. của X, dễ thấy rằng f thỏa hai tính chất (i) và (ii). .(b) Bây giờ giả sử f thỏa (i) và (ii). Với mọi số thực x, ñặt: ( ) ( ) x F x f t dt −∞ = ∫ . Dễ thấy F thỏa các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định lý 2.2.2 nên F là hàm phân phối của một BNN X và F’ = f. Chng 2 BIN NGU NHIÊN 40 Vậy f là h.m.ñ. của BNN X.  3.4. Chú ý. Giả sử X là một BNN liên tục có h.p F và h.m.ñ. f. Khi ñó, với mọi số thực a và b thỏa a < b: (i) P(a ≤ X < b) = ( ) ( ) ( ) b a F b F a f x dx − = ∫ ; (ii) P(X = a) = F ( a+) − −− − F (a) = 0 ( vì F liên tục tại a ). (iii) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b); Như vậy, sự thay ñổi giá trị của h.m.ñ. của X tại một ñiểm không làm thay ñổi phân phối xác suất của X. Thí dụ, h.m.ñ. f xác ñịnh bởi 0 ( ) 0 x e x f x −   < < + ∞ =    nÕu n¬i kh¸c có thể ñược viết là 0 ( ) 0 x e x f x −   ≤ < + ∞ =    nÕu n¬i kh¸c Đồ thị hàm mật ñộ f của một BNN liên tục. Diện tích của vùng ñược tô ñen trong hình là xác suất P(a  X  b). 3.5. Thí dụ. Cho BNN X rời rạc có h.m.ñ. f ñược xác ñịnh bởi: 6 {1,2,3} ( ) 0 x x f x  ∈  =    nÕu n¬i kh¸c Khi ñ ó, h.p.p. F c ủ a X ñượ c xác ñị nh b ở i: Chng 2 BIN NGU NHIÊN 41 1 6 3 6 0 1 1 2 ( ) 2 3 1 3 x x F x x x ≤   < ≤   =  < ≤   <   nÕu nÕu nÕu nÕu 3.6. Thí dụ. Cho BNN X liên t ụ c có h.m. ñ . f ñượ c xác ñị nh b ở i: 3 1 ( ) 0 a x x f x  < < + ∞  =    nÕu n¬i kh¸c trong ñ ó a là m ộ t h ằ ng s ố cho tr ướ c. Hãy xác ñị nh a, h.p.p. F c ủ a X và tính P(0 < X < 3). Giải . D ự a vào các tính ch ấ t: ( ∀ x   , f (x) ≥ 0) và ( ) 1 f x dx + ∞ −∞ = ∫ , chúng ta tính ñượ c a = 2. Hàm phân ph ố i F ñượ c xác ñị nh b ở i: ( ) 0 0 1 x F x dt x −∞ = = ≤ ∫ nÕu và 3 2 2 1 1 ( ) 1 1 x t x F x dt x = = − < ∫ nÕu Xác su ấ t: 3 8 9 0 (0 3) ( ) (3) (0)P X f x dx F F < < = = − = ∫ 4. VECTƠ NGẪU NHIÊN Trong nhi ề u tr ườ ng h ợ p, khi nghiên c ứ u m ộ t ñố i t ượ ng, chúng ta ph ả i ghi nh ậ n cùng m ộ t lúc nhi ề u ñặ c tính c ủ a ñố i t ượ ng. Thí d ụ ., khi quan sát t ầ m vóc m ỗ i ng ườ i, chúng ta ph ả i ñể ý ñế n c ả chi ề u cao, ñượ c bi ể u di ễ n b ở i BNN X 1 , l ẫ n kh ố i l ượ ng, ñượ c bi ể u di ễ n b ở i BNN X 2 , c ủ a ng ườ i ñ ó. Nh ư v ậ y, t ầ m vóc c ủ a m ộ t ng ườ i ñượ c ñặ c tr ư ng b ở i m ộ t b ộ hai BNN (X 1 , X 2 ), mà ng ườ i ta g ọ i là m ộ t vectơ ngẫu nhiên vi ế t t ắ t là VTNN ) . Ở thí d ụ này., VTNN có 2 thành ph ầ n nên ñượ c g ọ i là m ộ t Biến ngẫu nhiên 2 chiều . M ộ t VTNN có n thành ph ầ n ñượ c g ọ i là m ộ t BNN n chiều . 4.1. Định nghĩa. Gi ả s ử X 1 , X 2 , …, và X n là n bi ế n ng ẫ u nhiên trên không gian xác su ấ t M . Hàm X: M →  n ñược xác ñịnh bởi: Chng 2 BIN NGU NHIÊN 42 ∀m ∈ M , X (m) = (X 1 (m), X 2 (m), …, X n (m)) ñược gọi là một vectơ ngẫu nhiên (viết tắt là VTNN) n thành phần hay một Biến ngẫu nhiên n chiều trên M . Người ta viết: X = (X 1 , X 2 , …, X n ); các BNN X i (i = 1, …, n) ñược gọi là các thành phần của VTNN X. Miền giá trị của X là Im(X) = Im(X 1 ) × Im(X 2 ) × . . . × Im(X n ). Để ñơn giản cách viết, với mọi tập con A trong  n , biến cố {m ∈ M / (X 1 (m), X 2 (m), …, X n (m)) ∈ A} ñược ký hiệu là {(X 1 , X 2 , …, X n ) ∈ A}. Đặc biệt, với mọi (x 1 , x 2 , …, x n ) ∈  n , biến cố { } 1 / ( ) n i i i m X m x = ∈ < ∩ M ñượ c ký hi ệ u là {(X 1 < x 1 , X 2 < x 2 , …, X n < x n )} hay i 1 {X } n i i x = < ∩ , và xác su ấ t c ủ a nó ñượ c vi ế t là P(X 1 < x 1 , X 2 < x 2 , …, X n < x n ) hay 1 P( { }) n i i i X x = < ∩ . 4.2. Định lý. Gi ả s ử X = (X 1 , X 2 , …, X n ) là m ộ t VTNN trên không gian xác su ấ t M ; u:  n →  là m ộ t hàm liên t ụ c. Khi ñ ó, hàm Y = u o X là m ộ t BNN trên M . Sau này, ñể ñơ n gi ả n cách trình bày, giáo trình ch ỉ trình bày các v ấ n ñề liên quan trong tr ườ ng h ợ p biến ngẫu nhiên hai chiều (X 1 , X 2 ). Đố i v ớ i BNN n chi ề u (X 1 , X 2 , …, X n ), chúng ta c ũ ng có bi ể u th ứ c t ươ ng t ự . 5. HÀM PHÂN PHỐI, HÀM MẬT ĐỘ ĐỒNG THỜI 5.1. Định nghĩa. Cho VTNN X = (X 1 , X 2 ) trên m ộ t không gian xác su ấ t. Hàm F :  2 →  ñượ c xác ñị nh b ở i: F (x 1 , x 2 ) = ( ) 1 1 2 2 P , X x X x < < ñượ c g ọ i là hàm phân phối (tích lũy) ñồng thời c ủ a các BNN X 1 , X 2 hay hàm phân phối (h.p.p.) c ủ a VTNN X . T ươ ng t ự nh ư tr ườ ng h ợ p BNN, h.p.p. F c ủ a VTNN X = (X 1 , X 2 ) có các tính ch ấ t sau: (i) V ớ i m ọ i a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) thu ộ c  2 , [...]... hai bi n ng u nhiên có phương sai; a và b là hai s th c Khi ó: (i) N u P(X = a) = 1 thì D(X) = 0 (ii) D(aX + b) = a2D(X) (iii) N u X và Y c l p thì D(X + Y) = D(X) + D(Y) Ch

ng 2 52 BI N NG U NHIÊN H qu Gi s X là bi n ng u nhiên có kỳ v ng Bi n ng u nhiên X* xác nh b i X*= và l ch chu n > 0 X −µ σ có kỳ v ng b ng 0 và phương sai b ng 1, i.e E(X*) = 0 và D(X*) = 1 X* ư c g i là Bi n ng u nhiên chu n... 5.000 , ư c bi tr ng cùng c , rút ng u nhiên 1 bi N u ư c bi màu màu tr ng thì m t 2.300 H i có nên tham gia trò chơi này nhi u l n không? Gi i N u X là bi n ng u nhiên ch s ti n có ư c sau m i l n tham gia trò chơi thì X có mi n giá tr {− 2300; 5000} và phân ph i xác su t c a X là: P (X = − 2300) = 7/10 Kỳ v ng c a X: và P (X = 5000) = 3/10 Ch

ng 2 54 BI N NG U NHIÊN E(X) = − 2300 × 7/10 + 5000 ×... X và Y là hai bi n ng u nhiên có kỳ v ng, theo th t , là µX và µY; có l ch chu n, theo th t , là σX và σY Ngư i ta g i H s tương quan c a X và Y, ký hi u ρ(X,Y), là s th c ư c xác nh b i ρ ( X ,Y ) = Cov ( X , Y ) σ X σY N u X và Y c l p thì E(XY) = µX.µY ; t i u ngư c l i không úng Thí d : Cho bi n ng u nhiên X có h.m f: ó, Cov(X,Y) = 0 và ρ(X,Y) = 0 Ch

ng 2 BI N NG U NHIÊN 58  1 víi x ∈ [-1,1]... minh tương t cho trư ng h p ρ(X,Y) = − 1 i u ngư c l i hi n nhiên úng.■ BÀI T P 2.1 Có ba h p A, B và C ng các l thu c H p A có 10 l t t và 5 l h ng, h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 7 l h ng L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c (a) Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t có trong 3 l l y ra Ch

ng 2 59 BI N NG U NHIÊN (b) Tính xác su t ư c ít nh t 2 l t t; ư c 3 l cùng lo... bao k o S viên k o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t như sau: S viên k o Xác su t (a) Tính xác su t 21 viên k o 18 19 20 21 22 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 m t bao k o ư c ch n ng u nhiên s ch a t 19 n (b) Tìm trung bình và phương sai c a s viên k o trong m i bao (c) Chi phí s n xu t m t bao k o là 3X + 16, trong ó X là bi n ng u nhiên ch s viên k o trong bao Ti n bán m t bao k... 3 là p (0 < p < 1) (a) G i X là bi n ng u nhiên ch s l n gieo con xúc x c Tìm phân ph i xác su t c a X Tính E(X) và D(X) (b) G i Y là bi n ng u nhiên ch s l n gieo không thành công (không xu t hi n m t 3) Tìm phân ph i xác su t c a Y và tính E(Y) 2.20 Lãi su t thu ư c trong m t năm (tính theo %) khi u tư vào công ty A và công ty B tương ng là các bi n ng u nhiên X và Y c l p nhau Cho bi t qui lu t... xn) = f1(x1) f2(x2) … fn(xn) T nh nghĩa trên, chúng ta có ngay: n P(a1 < X1 < b1, a2 < X2 < b2, …, an < Xn < bn ) = ∏ P (a i < X i < bi ) i =1 7 KỲ V NG, PHƯƠNG SAI VÀ NG U NHIÊN L CH CHU N C A M T BI N Ch

ng 2 49 BI N NG U NHIÊN +∞ 7.1 ∫ nh nghĩa Gi s X là BNN có h.m f sao cho x f ( x) dx −∞ t n t i n u X là BNN liên t c ho c ∑ x f ( x) t n t i n u X là BNN r i r c Khi x ó, ngư i ta nói r ng... kE(X) (iv) BNN X + Y có kỳ v ng và E(X + Y) = E(X) + E(Y) (v) N u X và Y c l p thì E(XY) = E(X).E(Y) Ch ng minh Gi s ch X và Y r i r c (i) Hi n nhiên (ii) Gi s ϕoX có mi n giá tr là {z1, z2, }; v i m i zk, Ak = {xi Im(X) / ϕ(xi) = zk)}, t Ch

ng 2 50 BI N NG U NHIÊN ∑ chúng ta có, P(ϕoX = zk) = f ( xi ) xi ∈ Ak Do ó, ∑ zk P(ϕoX = zk ) = ∑ k ∑ zk ∑ ∑ = f ( xi ) xi ∈ Ak k zk f ( xi ) k xi ∈ Ak = ∑ ∑ ϕ(... × 0,032 + 42 × 0,008 − (1,248)2 = 0,2985 8 B T v ng NG TH C CHEBYSHEV − LU T S L N 8.1 nh lý ( B t ng th c Chebyshev) Cho bi n ng u nhiên X có kỳ µ và l ch chu n σ Khi ó, v i m i s th c ε > 0 cho trư c, 2 P( | X − µ | ≥ ε ) ≤ σ ε2 Ch ng minh Ch

ng 2 Gi s 55 BI N NG U NHIÊN X r i r c, l y các giá tr x1, x2, và có h.m f σ2 = E(X − µ)2 = Σ(xk − µ)2 f (xk) là m t chu i g m các s h ng không âm N u xoá... 0,20 0,25 0,30 0,13 0,12 Tìm s xe t i ưu mà công ty c n mua 2.15 M t ki n hàng có 10 s n ph m, trong ó có 4 s n ph m lo i I, 3 s n ph m lo i II và 3 s n ph m lo i III L y ng u nhiên t ki n ra 2 s n ph m G i X Ch

ng 2 62 BI N NG U NHIÊN và Y, theo th t , là BNN ch s s n ph m lo i I và s s n ph m lo i II có trong 2 s n ph m l y ra (a) L p b ng phân ph i xác su t xác su t l c a X và c a Y ng th i c a X . Chng 2 BIN NGU NHIÊN 33 Chương 2 Biến ngẫu nhiên 1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN Như chúng ta ñã biết, một không gian mẫu M . = 1 và X(B) = 0 là một biến ngẫu nhiên trên M . "Qui tắc" ñể thành lập hàm X là "số lần thành công trong B(p)". Chúng ta nói rằng X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công. ), mà ng ườ i ta g ọ i là m ộ t vectơ ngẫu nhiên vi ế t t ắ t là VTNN ) . Ở thí d ụ này., VTNN có 2 thành ph ầ n nên ñượ c g ọ i là m ộ t Biến ngẫu nhiên 2 chiều . M ộ t VTNN có n thành