Mục tiêu: Sinh viên phải biểu diễn hình học được xác định hàm hai biến; phải tính được đạo hàm riêng, đạo hàm cấp cao, vi phân toàn phần và vi phân cấp cao hàm hai biến; tính gần đúng đ
Trang 1CHƯƠNG 1 HÀM HAI BIẾN SỐ
? Nội dung: Các khái niệm cơ bản của hàm hai biến − Giới hạn và liên tục − Đạo hàm và
vi phân − Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn − Đạo hàm và vi phân cấp hai − Cực trị hàm hai biến
− Bài tập
? Mục tiêu: Sinh viên phải biểu diễn hình học được xác định hàm hai biến; phải tính được
đạo hàm riêng, đạo hàm cấp cao, vi phân toàn phần và vi phân cấp cao hàm hai biến; tính gần đúng được giá trị hàm số; phải tìm được cực trị và xác định được giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của một hàm trên miền đóng
§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1 Ví dụ mở đầu
1.1 Ví dụ 1
Trong thực phẩm, hàm lượng muối ăn NaCl theo % được xác định bởi tỉ số giữa số
mol (n) AgNO3 0,1N đã sử dụng để chuẩn độ mẫu thử và trọng lượng (p) của mẫu thử (tính bằng g), biểu thị bởi phương trình:
= 0,00585 100 100
10
g n
X n p
1.2 Ví dụ 2
Các nhà tâm lý học thường dùng thương số thông minh (Q) được xác định bởi tỷ số giữa trí tuệ lứa tuổi (m – xác định bằng một số câu trắc nghiệm) và lứa tuổi cùng thời (c), biểu thị bởi phương trình:
( , ) 100.m
Q m c
c
(1) và (2) là hai ví dụ về hàm hai biến
2 Định nghĩa
Cho tập hợp khác trống D R⊂ Nếu theo qui luật f mỗi cặp số thực ( , ) x y thuộc
miền xác định D D× tương ứng với một và chỉ một phần tử z R∈ thì ta nói f là hàm hai biến số trên D D× Ký hiệu :f D D× →R hay z f x y= ( , )
Ví dụ 1.1 Các hàm z1 =xy z2, 2 =x2 +y z2, 3 =e− −x y2 2 đều là hàm số hai biến Khi ,
x y lần lượt lấy giá trị x y thì giá trị tương ứng của z sẽ được ký hiệu là 0 0,
z = f x y Chẳng hạn z1(1; 1) 1, (1;0) 1, (0;0) 1− = z2 = z3 =
Trang 2Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u f x y u= ( , , ) Chẳng hạn u = 1−x2−y2−z u xy z2, = 2 3,
3 Miền xác định của hàm hai biến
Tập hợp các cặp ( , )x y mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi
là miền xác định của hàm hai biến z f x y= ( , ), ký hiệu là ( )D f
Ví dụ 1.2
1) Miền xác định của hàm
1 9
z
x y
=
− − là
9−x −y >0 hay x2+y2 <9 Vậy ( )
D f gồm các điểm nằm trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 3
2) Miền xác định của hàm arcsin
3
y
0
y
xy
− ≤ ≤
≥
∨
3) Miền xác định của hàm z =ln(x y+ ) là x y+ >0 hay y > −x
§2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 Giới hạn của hàm hai biến
Số A được gọi là giới hạn của hàm z f x y= ( , ) khi điểm ( , )M x y tiến đến điểm
0 0 0( , )
M x y nếu với mọi ε >0, bé tuỳ ý cho trước, có thể tìm được δ >0 sao cho khi
0
0 M M< < δ thì ( , )f x y A− < ε Ký hiệu
0
lim ( , )
M M f x y A
0 0
lim ( , )
x x
y y
f x y A
→
→
=
Ở đây M M0 = (x x− 0) (2 + −y y0)2 Những điểm ( , )M x y thoả M M0 < δ gọi là lân
cận của M0, đó là một hình tròn tâm M0 bán kính δ
Ví dụ 1.3
1) Chứng minh rằng 2 2 2
0 0
x y
x y
x y
→
→
= + Thật vậy, do
2
2
x +y ≤ Do đó
∀ε > ∃δ = ε thì x ≤ x2+y2 < δ ⇒ x < ε2 2x y2 2
x y
+ Theo định nghĩa
ta có điều phải chứng minh
Trang 32) Tìm 2 2
0 1
1 lim
x y
xy A
x y
→
→
+
=
+ Ta thấy biểu thức ( , )f x y xác định tại điểm (0;1) do đó
khi tính giới hạn ta chỉ cần tính (0;1)f Vậy A f= (0;1) 1=
0 0
lim
x y
xy A
x y
→
→
=
+ Cho y kx= với k là hằng số tuỳ ý, ta có
2
0 0
lim
1
x
y
A
→
→
+ + Vậy với những k khác nhau thì ( , ) f x y có những giới
hạn khác nhau Do đó A không tồn tại giới hạn tại (0,0)
2 Hàm hai biến liên tục
Giả sử M x y0 0 0( , )∈D f( ) Hàm z f x y= ( , ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu
0 0
0 0
lim ( , ) ( , )
x x
y y
f x y f x y
→
→
=
Chú ý
a Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó
b Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số Đường cong gián đoạn là đường mà điều kiện liên tục có thể bị vi phạm
Ví dụ 1.4
1) Hàm z x= 2+y2 liên tục tại mọi điểm của mặt phẳng xOy
2) Hàm z 22xy 2
x y
= + liên tục khắp nơi trong
2
R , trừ điểm (0,0) Đây là điểm gián
đoạn của z
3) Hàm z x 12
x y
+
=
− liên tục khắp nơi trừ đường parabol
2
x y= là đường cong gián đoạn
§3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN
1 Đạo hàm riêng
Cho hàm z f x y= ( , ) Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của một biến số x Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn
0
lim
x
z f x x y f x y
Trang 4Ký hiệu z f x', ,x' z, f
x x
∂ ∂
Tương tự, ta có định nghĩa của đạo hàm riêng của hàm z f x y= ( , ) theo biến y và
dùng một trong các ký hiệu z f y y', ,' z, f
y y
∂ ∂ Và ta có:
0
lim
y
z f x y y f x y
Nhận xét: Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến theo biến số nào thì chỉ cần
xem biến số đó là biến số biến thiên và các biến số còn lại là hằng số (tham số)
Ví dụ 1.5
1) Cho z x= 2siny Ta có z 2 sin ,x y z x2cosy
2) Với z =3xy2+ +x y thì z x' =3y2+1,z y' =6xy+1
3) Với z =ln( )xy thì x z y z 2
2 Vi phân toàn phần
2.1 Định nghĩa
Xét hàm z f x y= ( , ) xác định trong lân cận của điểm M x y0 0 0( , ) Lấy điểm ( , )M x y
thuộc lân cận M0 Ta có các ký hiệu
Gọi ∆ =z f x y( , )−f x y( , )0 0 là số gia toàn phần của z Nếu tồn tại hai số A và B sao
cho:
z A x B y
∆ = ∆ + ∆ + ρ
thì z được gọi là hàm khả vi tại điểm M0 Hàm 0( )ρ là vô cùng bé cấp cao hơn ρ khi 0
ρ →
Khi z khả vi tại M0, ta gọi hàm tuyến tính A x B y∆ + ∆ là vi phân toàn phần của f tại M0 và ký hiệu là dz, xác định bởi dz =A x B y.∆ + ∆
Do vi phân của biến độc lập trùng với số gia của chúng: dx = ∆x dy, = ∆y nên:
dz Adx Bdy= +
2.2 Định lý
Nếu hàm z f x y= ( , ) khả vi tại M x y0 0 0( , ) và dz Adx Bdy= + là vi phân toàn phần
của nó tại điểm đó thì tại M0 hàm f có các đạo hàm riêng và:
Trang 50 0 0 0
f x y A f x y B
Hay
Ví dụ 1.6
1) Xét hàm z x= y thì ta có: dz z dx z dy yx dx x y 1 ylnx dy
2) Với hàm
2 2
1
y x
z
+
= thì ta có :
xdx ydy dz
x y
+
= −
+
3 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
Xét hàm z f x y= ( , ) Khi x∆ và y∆ đủ bé ta có đẳng thức gần đúng sau:
z dz
∆ = hay (f x+ ∆x y, + ∆ ≈y) f x y dz( , )+
Ví dụ 1.7 Tính gần đúng 1,023,01
Xét hàm z x= y, x =1,y = ∆ =3, x 0,02,∆ =y 0,01 Khi đó:
z dz yx − x x x y
Vậy 1,023,01 ≈ +1 0,06 1,06=
§4 ĐẠO HÀM HÀM HỢP – HÀM ẨN
1 Đạo hàm hàm hợp
Giả sử z f x y= ( , ), trong đó x = ϕ( ),t y = φ( )t và các hàm f x y( , ), ( ), ( )ϕt φt là những hàm khả vi Khi đó đạo hàm toàn phần của hàm hợp z f t= ϕ[ ( ), ( )]φt được tính theo công thức:
dz z dx z dy
dt x dt y dt
Nếu z f x y= ( , ) và y = ϕ( )x thì dz z z dy
dx x y dx
Trường hợp z f x y= ( , ) với x = ϕ ξ η( , ),y= φ ξ η( , ) thì các đạo hàm riêng được tính như sau:
Trang 6z z x z y
∂ = ∂ ∂ +∂ ∂
∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ và z
z x z y
∂ = ∂ ∂ +∂ ∂
∂η ∂ ∂η ∂ ∂η
Ví dụ 1.8
1) Với z e= x y2+ 2,x a= cos ,t y a= sint thì:
dz z dx z dy
dt x dt y dt
2 ( sin ) 2 ( cos )
e + x a t e + y a t
2ae x y+ ( cosy t xsin ) 2t ae x y+ ( sin cosa t t acos sin ) 0t t
2) Cho z =lnx+ y y, =sinx Ta có:
3) Cho z xy x= , = ηξ =,y ξ
η Ta có:
z z x z y y x
∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = η +
z z x z y y y
∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ξ − ξ
2 Đạo hàm của hàm ẩn
2.1 Hàm ẩn một biến
Xét hàm ( , ) 0f x y = , được gọi là hàm ẩn một biến Giả sử f f f liên tục và tồn tại , ,x y' '
vi phân df Khi đó công thức đạo hàm của hàm ẩn một biến là:
' '
x y
f dy
dx = −f
Ví dụ 1.9 Cho phương trình đường elip x22 y22 1
a +b = Khi đó:
f x y
a b
2
dy x b b x
dx = −a y = −a y
2.2 Hàm ẩn hai biến
Xét hàm ( , , ) 0f x y z = , được gọi là hàm ẩn hai biến Khi tính z
x
∂
∂ ta coi y là hằng số
và khi tính z
y
∂
∂ ta xem x là hằng số Khi đó
' '
x z
f z
x f
∂ = −
' '
y z
f z
y f
∂ = −
Ví dụ 1.10 Cho f x y z( , , )=e z +x y z2 + + =5 0 Ta có f x' =2 ,xy f y' =x f2, z' =e z +1
Trang 7§5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP HAI CỦA HÀM HAI BIẾN
1 Đạo hàm cấp hai
1.1 Định nghĩa
Đạo hàm riêng cấp hai của hàm z f x y= ( , ) là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một của nó Vậy ta có các ký hiệu:
2 ''
∂ ∂ = ∂ =
2 ''
yx
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂
2 ''
xy
y x y x
∂ ∂ = ∂ =
2 ''
∂ ∂ ∂
Ví dụ 1.11
1) Cho z y x= ln thì z y, z lnx
x x y
2
x x
∂ = ∂ = −
∂
y y
∂
∂
( )
y x y x y x x
∂ = ∂ ∂ = ∂ =
2) Với z =3x2−2xy3+1 thì z 6x 2 ,y3 z 6xy2
x y y ỹ
1.2 Định lý
Nếu hàm z f x y= ( , ) và các đạo hàm riêng z z, , 2z , 2z
x y x y y x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ liên tục trong một
lân cận điểm ( , )M x y thì 2z 2z
x y y x
∂ ∂ ∂ ∂
2 Vi phân cấp hai
Vi phân cấp hai của hàm z f x y= ( , ) là vi phân của vi phân toàn phần của nó, nghĩa là d z d dz2 = ( ) Bằng cách tính dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức:
x y
∂ ∂
Ví dụ 1.12 Cho z x= siny
Ta có: z sin ,y z xcosy dz sinydx xcosydy
Trang 82 2 2
x y
∂ ∂
§7 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN
1 Định nghĩa
Hàm z f x y= ( , ) gọi là đạt cực đại tại M x y0 0 0( , ) nếu tại mọi điểm ( , )M x y trong lân
cận của M0 ta đều có f x y( , )0 0 ≥f x y( , ) Tương tự, hàm z f x y= ( , ) gọi là đạt cực tiểu tại M x y nếu tại mọi điểm 0 0 0( , ) M x y trong lân cận của M( , ) 0 ta đều có
0 0
( , ) ( , )
f x y ≤f x y
Ví dụ 1.13
1) Hàm z =(x−1) (2 + −y 1)2−3.Ta có (1,1)f = −3 và
(x−1) >0 (x ≠1), (y−1) >0 (y ≠1)⇒ = −z (x 1) (2+ −y 1)2 ≥3
( , ) (1,1)
f x y f
⇒ ≥ Vậy (1;1)f là cực tiểu
2) Hàm 1 sin( 2 2)
2
z = − x +y Chọn ( , )x y trong đường tròn 2 2
6
x +y < π Khi đó
sin(x +y ) 0≥ Suy ra ( , ) 1 sin( 2 2) 1
f x y = − x +y ≤ Mà (0;0) 1
2
f = nên (0;0)f là cực đại
2 Cách tìm cực trị
2.1 Định lý
Nếu hàm khả vi z f x y= ( , ) đạt cực trị tại M x y thì tại đó các đạo hàm riêng 0 0 0( , ) ,
f f
x y
∂ ∂ đều bằng 0 Các điểm mà 0
f f
x y
∂ = ∂ =
∂ ∂ tại đó gọi là điểm dừng
2.2 Định lý
Giả sử M x y là một điểm dừng của 0 0 0( , ) z f x y= ( , ) và tại M0 hàm z có các đạo hàm
riêng 2z2( , )x y0 0 A, 2z ( , )x y0 0 B, 2z2( , )x y0 0 C
x y
∂ ∂
1 Nếu B2−AC <0 thì hàm đạt cực trị tại M0 (đạt cực tiểu nếu A>0, đạt cực đại nếu A<0)
2 Nếu B2−AC >0 thì hàm không có cực trị tại M0
3 Nếu B2 − AC = 0 thì chưa có kết luận
Ví dụ 1.14 Xét hàm f x y( , )=x3+y3 −6xy Ta thực hiện các bước:
Trang 91) Bước 1 Tìm điểm dừng ' 2 1 2
2
x
f = x − y = ⇒ =y x và
2
y
f = y − x = ⇒ =x y Suy ra
1 1
2 2
= ⇒ =
Vậy có hai điểm dừng là M0(0;0) và M1(2;2)
2) Xét điểm M0(0;0): Bước 2: Tính A, B, C Ta có:
0
''(0;0) 6 0
A f= = x = ,
''(0;0) 6
xy
B f= = − ,
0
''(0;0) 6 0
A f= = y = Bước 3: Tính B2−AC =36 0>
nên tại M0 hàm không có cực trị
3) Xét điểm M1(2;2): Bước 2:
1
''(2,2) 6 12
A f= = x = , B f= xy''(2,2)= −6, 1
''(2,2) 6 12
A f= = y = Bước 3: B2−AC = −108 0< Mà A=12 0> , do đó (2,2) 8
f = − là cực tiểu
3 Cực trị có điều kiện
3.1 Định nghĩa
Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị của hàm z f x y= ( , ) với ràng buộc:
( , ) 0x y
3.2 Phương pháp đưa về một biến
Giả sử từ ( , ) 0ϕx y = ta rút ra được y y x= ( ), thay vào hàm z f x y= ( , ) ta được hàm số một biến
Ví dụ 1.15 Với z = 1−x2−y2, ( , )ϕx y = − =y a 0 (0< <a 1) Thay y a= vào z ta
được : z = 1−a2−x2 Khảo sát như hàm một biến, ta có zmax = 1−a2
3.3 Phương pháp nhân tử số Lagrange
Bước 1 Phát biểu bài toán dưới dạng mô hình toán học
Bước 2 Lập hàm Lagrange ( , , ) L x y λ = f x y( , )+ λϕ( , )x y với λ gọi là nhân tử số Lagrange
Bước 3 Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
(1)
' ' '
( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0
x y
L x y
L x y
L x yλ
λ =
Trang 10Bước 4 Xét dấy d L L dx2 = ''xx 2 +2L dxdy L dy''xy + ''yy 2 tại từng điểm ( , )x y0 0 mà
0 0 0
( , , )x y λ là nghiệm của hệ (1)
1 Nếu d L x y2 ( , , ) 00 0 0λ < thì zmax = f x y( , )0 0
2 Nếu d L x y2 ( , , ) 00 0 0λ > thì zmin =f x y( , )0 0
Ví dụ 1.16 Tìm cực trị của hàm z xy= với x y+ =2
Bước 1 Tìm cực trị của hàm z xy= với ràng buộc ( , )ϕx y = + − =x y 2 0
Bước 2 ( , , ) L x y λ =xy+ λ + −(x y 2)
Bước 3 Giải hệ
' ' '
1
2 0
x y
Lλ x y
⇒ L có điểm dừng là (1;1; 1)−
Bước 4 L''xx =0,L''xy =1,L''yy = ⇒0 d L2 =2dxdy
Do x y+ =2 ⇒ dx dy+ = ⇒0 dx = −dy nên d L2 = −2dx2 <0 Vậy tại (1;1) hàm số đạt cực đại zmax =f(1;1) 1=
4 Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến
Các bước cơ bản để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm z f x y= ( , ) trong miền đóng là:
Bước 1 Tìm các điểm dừng nằm trong miền này và tính giá trị của hàm tại các
điểm dừng
Bước 2 Tìm các cực trị với ràng buộc là phương trình đường biên
Bước 3 Chọn giá trị lớn nhất và bé nhất trong tất cả các giá trị đã tìm được
Ví dụ 1.17 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm z x= 2+y2 trong hình tròn
(x−1) (+ −y 1) ≤2
Hàm z x= 2 +y2 có một điểm dừng (0;0) và tại (0;0) hàm z có giá trị bé nhất
z =
Với ràng buộc ϕ( , ) (x y = x−1) (2+ −y 1)2− =2 0 hàm z đạt cực tiểu tại (0;0) và đạt
cực đại tại (2;2) Tóm lại zmax =z(2,2) 8= và zmin =z(0,0) 0=
Trang 11§8 BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1 Tìm miền xác định của hàm
1) z = 1−x2 −y2
2) z 1 1
x y
= +
y x
=
−
4) u =ln(x2+y2+z2−4)
Bài 2 Tìm giới hạn của hàm
( , ) (0,0)
1
xy
( , ) ( , )lim
x y
x y
x y
→ ∞ ∞
+ +
3)
( , ) ( , )lim 1 x
y x
→ ∞
+
Bài 3 Tính các đạo hàm riêng cấp 1
1) z x= 3 +y3−3xy
2) z x32 y32
x y
+
=
+
3) z =ln(x+ x2+y2)
Bài 4 Tính các đạo hàm riêng cấp 1
1) z x= y
2) z = +(1 xy)y
3) z ln sin x 1
y
+
=
Bài 5 Tìm vi phân toàn phần
1) z =sin2x+cos2y
2) z ln tan y
x
=
3) u = x2+y2+z2
Trang 12Bài 6 Tìm vi phân hàm hợp ( dz
dt )
1) z e= 3 2+ với x =cos ,t y t= 2
2) z x
y
= với x e y= t, =lnt
3) z lnsin x
y
= với x =3 ,t y2 = t2+1
Bài 7 Tìm vi phân hàm ẩn ( dz
dx )
1) z arctan y
x
= với y x= 2
2) z x= y với y = ϕ( )x
3) z u= v với u=sin ,x v =cosx
Bài 8 Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau
1) 3(1,02) (0,05)2 + 2
2) arctan1,02
0,95 3) ln( 1,033 +40,98 1)−
Bài 9 Tìm đạo hàm cấp 1 hàm ẩn
1) xe y +ye x −e xy =0 ( ')y
2) ln x2 y2 arctan ( ')y y
x
3) x3 +y3+z3 =3xyz z z( , )x y' '
Bài 10 Tìm đạo hàm và vi phân cấp cao
1) z x22 y22 ( 2z2, 2z , 2z2)
x y
∂ ∂
2) z ln(x2 y) ( 2z2, 2z , 2z2)
x y
∂ ∂
3) r x2 y2 z2 ( 2r2)
x
∂
∂
Trang 13Bài 11 Tìm tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm
1) u xy yz zx= + +
2) u arctan y
x
=
3) u = 2xy y+ 2
Bài 12 Tìm cực trị
1) z= −(x 1)2+2y2
2) z x= 2+xy y+ 2 −2x y−
3) z=(x2 +y e2) −(x y2+ 2)
4) z x= 4 +y4 −x2−2xy y− 2
5) z=2x4 +y4−x2 −2y2
Bài 13 Tìm cực trị có điều kiện
1) z= −6 4x−3y với x2+y2 =1
2) z xy= với x y+ =1
3) z=cos2x+cos2y với y x− = 4π
Bài 14 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
1) z xy x y= + + trong hình vuông giới hạn bởi x =1,x =2,y =2,y =3
2) z x= 2+3y2+ −x y trong tam giác giới hạn bởi yx =1,y =1,x y+ =1
3) z= −1 x2−y2 trong hình tròn (x−1) (2+ −y 1)2 ≤1