biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất XSTK

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất.. Khái niệm • Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với xác suất tư

Nội dung chính:

1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2 Quy luật phân phối xác suất của biến

ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất

3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu

nhiên: Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị, mốt,

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

§1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

1 Khái niệm

• Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với

xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ

X, Y, Z, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận thường viết bằng chữ nhỏ: x, y, z,

Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ trong kho để kiểm tra

Gọi X = “số phế phẩm lấy được”

𝑋 là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là 0, 1, 2, 3, 4, 5

Ví dụ 2: Một xạ thủ bắn từng viên đạn vào bia cho đến khi trúng thì dừng

Gọi Y = “số viên đạn phải dùng”

𝑌 là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là 1, 2, … , 𝑛, …

Ví dụ 3: Một người bắn một viên đạn vào bia

Gọi T = “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn

đến tâm bia”

T là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận

là một số thực không âm

Ví dụ 4: Gọi U = “thời gian chờ xe buýt”

U là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận

là một số thực nằm trong khoảng [0; 15] (phút)

2 Phân loại biến ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá

trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được

Ví dụ 5: Các biến ngẫu nhiên X, Y ở trên là các biến ngẫu nhiên rời rạc

• Biến ngẫu nhiên 𝑋 được gọi là biến ngẫu nhiên

liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy toàn bộ trục số và 𝑷 𝑿 = 𝒂 = 𝟎, ∀𝒂

Ví dụ 6: Các biến ngẫu nhiên T, U ở trên là các biến ngẫu nhiên liên tục

§2 Quy luật phân phối xác suất

của biến ngẫu nhiên

1 Định nghĩa

Có ba phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất

Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó

2 Bảng phân phối xác suất

Giả sử biễn ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận các giá trị

Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được Lập bảng phân phối xác suất của X Tính 𝑃(−1 ≤ 𝑋 ≤ 1)

Ví dụ 2: Một người bắn súng vào bia với xác suất bắn trúng là 0,7 Xạ thủ này bắn cho đến khi trúng thì dừng Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn phải dùng

3 Hàm mật độ xác suất

Định nghĩa

Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất của

biến ngẫu nhiên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

i) 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞)

ii) −∞+∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1iii) 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 , ∀𝑎 < 𝑏

Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất như sau:

𝒇 𝒙 = 𝟎 nếu 𝒙 < 𝟏𝒄

𝒙𝟐 nếu 𝒙 ≥ 𝟏

Hãy xác định hằng số 𝑐 và tính 𝑃 2 < 𝑋 < 3

4 Hàm phân phối xác suất

Ví dụ 4: Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất như sau:

b) Tính chất của hàm phân phối xác suất

i) Hàm phân phối xác định với ∀𝒙 ∈ ℝ

vi) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục 𝑿 có hàm mật

độ xác suất 𝒇(𝒙) thì 𝑭 𝒙 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕−∞𝒙

vii) 𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙)

hàm số liên tục

Ví dụ 5: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ

Tìm hàm phân phối xác suất 𝐹 𝑥

§3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋), được xác định như sau:

1 Kỳ vọng (expectation)

a) Định nghĩa

Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất như sau

Tìm 𝐸(𝑋)?

𝑃 0,2 0,2 0,5 0,1

Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất

𝑓 𝑥 =

3

4 𝑥2 + 2𝑥 , với 𝑥 ∈ (0; 1)

0 , với 𝑥 ∉ (0; 1)Tìm 𝐸(𝑋)?

c) Ý nghĩa của kì vọng

Có thể nói rằng kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu xem các giá trị

mà biến ngẫu nhiên nhận như là các chất điểm của một hệ cơ học, mỗi chất điểm có một khối lượng bằng xác suất mà biến ngẫu nhiên nhận giá trị đó, thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là trọng tâm của hệ Với biến ngẫu nhiên liên tục ta cũng có ý nghĩa tương tự

2 Phương sai (variance)

Nhận xét: Có thể tính phương sai của biến ngẫu nhiên X

theo công thức sau

Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất như sau

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋

𝑃 0,2 0,1 0,4 0,3

Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất như sau

𝑓 𝑥 = 2𝑥,0, với 𝑥 ∈ 0; 1 với 𝑥 ∉ 0; 1 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋

b) Tính chất của phương sai

+) 𝑉 𝐶 = 0, (𝐶 là hằng số);

+) 𝑉 𝐶𝑋 = 𝐶2𝑉 𝑋 , (𝐶 là hằng số); +) Nếu 𝑋 và 𝑌 độc lập thì

𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉(𝑌)

c) Ý nghĩa và ứng dụng của phương sai

phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình của nó là kì vọng

trưng cho mức độ phân tán của kích thước các chi tiết gia công hay sai số của thiết bị, trong quản lí và kinh doanh nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định

4 Mốt (mode)

Định nghĩa: Mốt, kí hiệu là 𝑚0, là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với:

 Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc

 Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến

ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất

Tìm 𝑚, 𝑚0 và 𝑃 𝑋 − 𝐸(𝑋) < 1 ?

Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥0 với 𝑥 ∉ 0; 33 với 0 ≤ 𝑥 ≤ 3Hãy tìm:

a) Hằng số 𝑐;

b) Kỳ vọng, phương sai và độ lệch tiêu chuẩn;

c) Trung vị và mốt