Hướng dẫn giải bài tập Toán đại cương a2

CHƯƠNG IPHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNBÀI TẬP:1.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; (tính theo )Giải:Ta có: ; ⇒ = = = 2.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 3.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 4.Cho hàm f(x, y) = .Tìm ; 5.Cho hàm: f(x, y) = .Tìm ; ; Do: 6.Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:a.B = cos29o.tg137ob.C = sin32o.cotg133oc.D = cos28o.cotg136oGiải:a.B = cos29o.tg137oTa đặt hàm f(x, y) = cosx.tgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = cosx.tgy• = –sinx.tgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A b.C = sin32o.cotg133oTa đặt hàm f(x, y) = sinx.cotgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = sinx.cotgy• = cosx.cotgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A c.D = cos28o.cotg136oTa đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgyLúc này: ⇒ & Ta có:f(x, y) = cosx.cotgy• = sinx.cotgy⇒ • ⇒ ⇒ = ⇒A CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾNA. CỰC TRỊ TỰ DOBÀI TẬP:Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:1.f(x, y) = 2 + 2.f(x, y) = xy2(2 – x – y) với 3.f(x, y) = GIẢI:1.f(x, y) = 2 + •Tìm điểm dừng:Ta có: & Nên: Hệ này không tồn tại vì khi (x, y) = (0, 0) thì không xác định được và . Nên ta xét hiệu:f(x, y) – f(0, 0) = 2 + – (2 + = > 0, (x, y) (0, 0)(là đk để luôn tồn tại)Vậy: f(x, y) – f(0, 0) > 0Hay: f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0)Kết luận: điểm P(0, 0) là điểm cực tiểu của f với fmin = f(0, 0) = 2 + = 2Ghic chú: N thì kết luận ngay P(0, 0) là điểm cực đại.2.f(x, y) = xy2(2 – x – y) với •Tìm điểm dừng:Ta có & Nên: (*)Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm: (loại); (loại); Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P •Tính đạo hàm riêng cấp 2: •Tại điểm dừng P , ta đặt: = B2 – AC = < 0mà A = < 0 Kết luận:P là điểm cực đại của f với: fmax = f = 3.f(x, y) = •Tìm điểm dừng:Ta có Nên: (*)Giải hệ (*), ta có 1 cặp nghiệm: Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P •Tính đạo hàm riêng cấp 2: •Tại điểm dừng P , ta đặt: = B2 – AC = 0•Xét hiệu: of(x, y) – f(0, 0) = – = of(x, y) – f(–1, –1) = – = Không xét được dấu của f(x, y) không có cực trị.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:BÀI TẬP:Khảo sát cực trị hàm số:1.f(x, y) = 2x2 + 12xy + y2 với điều kiện:x2 + 4y2 = 25Giải:f(x, y) = 2x2 + 12xy + y2 với điều kiện:x2 + 4y2 = 25•Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:L(x, y) = f(x, y) + = 2x2 + 12xy + y2+ (x2 + 4y2 – 25)•Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2 với điều kiện:4x2 + y2 = 25•Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:L(x, y) = f(x, y) + = x2 + 12xy + 2y2+ (4x2 + y2 – 25)•Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CHƯƠNG 2TÍCH PHÂN BỘIBÀI TẬP:Tính các tích phân kép: D: nên: Đặt: y = x D: nên: •Xác định góc ứng với Ta có: = = Vậy:D: Đặt:D: (do phương trình: Lúc này:D: ????????????? Đổi biến:D: Lúc này:D: Đổi biến:D: (*) (**)Kết hợp(*) với (**) : Lúc này:D: CHƯƠNG IIITÍCH PHÂN ĐƯỜNGBÀI TẬPTính các tích phân đường sau: Ta có: y = Lúc này: Đặt:t = 1 + 4x2 với Lúc này: Ta có phương trình tham số của : • • Mặt khác, ta có: Suy ra: = 8 Ta có phương trình tham số của : • r = 2 • Mặt khác, ta có: Suy ra: Ta có phương trình tham số của : • r = 1 • Mặt khác, ta có: Suy ra: ; Ta có: = = (cost – 2sint)2 +(sint + 2cost)2 + 1 cos2t + – 4costsint + 4sin2t + sin2t + 4costsint + 4cos2t + 1 1 + 4(cos2t + sin2t) + 1(cos2t + sin2t = 1) 6Do đó:

CHƯƠNG I

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN BÀI TẬP:

Giải:

⇒

5 Cho hàm:

Do:

6 Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:

Giải:

a B = cos29 o tg137 o

Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.tgy

Lúc này:

⇒

&

Ta có:

f(x, y) = cosx.tgy

⇒



⇒ ⇒

b C = sin32 o cotg133 o

Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.cotgy

Lúc này:

⇒

&

Ta có:

f(x, y) = sinx.cotgy

⇒



⇒

=

c D = cos28 o cotg136 o

Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgy

Lúc này:

⇒

&

Ta có:

f(x, y) = cosx.cotgy

⇒



⇒

⇒

=

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

A CỰC TRỊ TỰ DO

BÀI TẬP:

Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:

1 f(x, y) = 2 +

3 f(x, y) =

GIẢI:

1 f(x, y) = 2 +

 Tìm điểm dừng:

Hệ này không tồn tại vì khi (x, y) = (0, 0) thì không xác định được và Nên ta xét

hiệu:

f(x, y) – f(0, 0) = 2 + – (2 +

(là đk để luôn tồn tại)

Vậy: f(x, y) – f(0, 0) > 0

Hay: f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0)

2 f(x, y) = xy 2 (2 – x – y) với

 Tìm điểm dừng:

Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm:

Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P

 Tính đạo hàm riêng cấp 2:

 Tại điểm dừng P , ta đặt:

= B2 – AC = < 0

mà A = < 0

3 f(x, y) =

 Tìm điểm dừng:

Giải hệ (*), ta có 1 cặp nghiệm:

Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P

 Tính đạo hàm riêng cấp 2:

 Tại điểm dừng P , ta đặt:

= B2 – AC = 0

 Xét hiệu:

=

= Không xét được dấu của f(x, y) không có cực trị.

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:

BÀI TẬP:

Khảo sát cực trị hàm số:

Giải:

f(x, y) = 2x2 + 12xy + y 2 với điều kiện: x2 + 4y2 = 25

L(x, y) = f(x, y) +

-

-

-

-

-2 f(x, y) = x2 + 12xy + 2y 2 với điều kiện: 4x2 + y2 = 25  Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) + = x2 + 12xy + 2y2+ (4x2 + y2 – 25)  Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (Không giải được hệ pt)

-

-CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN BỘI

BÀI TẬP:

x

y = x 2

nên:

Đặt: y = x

D:

nên:

1

y = 2 – x 2

x = 1

y

x

y =

y =

 Xác định góc ứng với

Ta có:

Vậy: D:

y = x

y = x

x y

Đặt: D:

(do phương trình:

Lúc này: D:

?????????????

Đổi biến: D:

y

x

y

y = x

Lúc này: D:

(*)

(**) Kết hợp(*) với (**) :

Lúc này: D:

x

y

x

y = x

CHƯƠNG III

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

BÀI TẬP

Tính các tích phân đường sau:

Ta có:

y = Lúc này:

y

1

B

Đặt: t = 1 + 4x2

với

Lúc này:

Ta có phương trình tham số của :





Mặt khác, ta có:

x

y 2

x 1

Suy ra:

= 8

Ta có phương trình tham số của :



r = 2



Mặt khác, ta có:

Suy ra:

x y

2

Ta có phương trình tham số của :



r = 1



Mặt khác, ta có:

Suy ra:

x

y

1

x y

1

;

6

Do đó: