phần i ph¹m quang l­u phamluuls violet vn h÷u lòng l¹ng s¬n phần i đại số và giải tích i các công thức lượng giác 1 hai cung đối nhau x và x 2 hai cung bù nhau và x 3 hai cung phụ nhau và x 4 hai cu

PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau :.[r]

PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hai cung đối nhau: -x và x

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

 

 

 

2 Hai cung bù nhau:   x và x

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot









 

 

 

3 Hai cung phụ nhau: 2 x





và x

4 Hai cung hơn kém nhau Pi:   và xx sin( ) sin

cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot









 

 

5 Các hằng đẳng thức lượng giác

2 2

1

cos 1

sin

x

x

6 Công thức cộng lượng giác

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

7 Công thức nhân đôi

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

8 Công thức nhân ba:

sin 3x3sinx 4sin x cos3x4cos x 3cosx

9 Công thức hạ bậc:

10 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

11 Công thức biến đổi tổng thành tích

sin sin 2cos sin

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho

sin < < Tính cos ,tan ,cot

p

a=- æçççp a ö÷÷÷ a a a

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o)

.Tính sina , tana, cota

Bài 3: Cho tan15o = -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o

Bài 4: Tính

tan x cot x A

tan x cot x

+

=

- biết

1 sinx =

3 Tính

2sin x 3cos x B

3sin x 2cos x

+

=

- biết tanx = -2 Tính

2

sin x 3sin x cos x 2cos x C

1 4sin x

-=

Bài 5: Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x 4 4 2 2 6 6 2 2

(sử dụng như 1 công thức)

c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

a/ 2 2 = tan x-cot x; b/ 2 = 1+2tan x; c/ +tanx =

1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx

1+cosx

g/

1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx

1 tan x-tan y sin x-sin y 2

1+cosx tan x.tan y sin x.sin y

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3

2

C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x

sin x+cos x-1

E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= 4 4 ;

sin x+cos x-1

sin x+3cos x-1

sin x+cos x+3cos x-1

H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )

2

p

é ù

ê ú

ê ú

ë û

Î

I I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT

* Biết 1 HSLG khác:

Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với

3

x 2 2

p

p

ç < < ÷

çè ø

a/ Tính cosx ; b/ Tính sin x , cos( x , tan) x , cot 3( x)

Bài 2: Tính:

2

a

ç

2

ç

-Bài 3: Đơn giản biểu thức:

-Bài 4: Đơn giản biểu thức:

A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a

B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x

-Bài 5: Đơn giản biểu thức:

19

1 2

sin x cos x 99

2

p

p

+

÷

Bài 6: Chứng minh:

a / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0

b / sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1

Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

a / sin(A B) sin A; b / cos A cos(B C) 0; c / sin cos ;

2

+

+ +

III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:

7 13 19 103 299

12 12 12 12 12

Bài 10: Tính cos 3 x

p

ç - ÷

çè ø biết

12 3 sin x , ( < x < 2 )

=-Bài 11: Cho 2 góc nhọn a b, có

tan , tan

a/ Tính tan(a b+ ) b/ Tính a+b

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả :

x y

4 tan x.tan y 3 2 2

p

ìïï + = ïí

ïï = -ïî

a/ Tính tan x( +y ; tan x) +tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y

Bài 13: Tính tan x 4

p

ç - ÷

çè ø biết

40 sin x

41

và

3

< x <

2

p p

Bài 14: Tínhtan 4

p a

ç + ÷

çè ø theo tana Áp dụng: Tính tg15o

Bài 15: Tính:

tan 25 tan 20 1 tan15

A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C

1 tan 25 tan 20 1 tan15

3 tan 225 cot81 cot 69

D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F

3 cot 261 tan 201

+

Bài 16: Tính:

3

a / A cos x cos x cos x cos x

b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x

= çç - ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷

= çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x

æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷

= + çç + +÷÷ çç - ÷÷ = + çç + +÷÷ çç - ÷÷

Bài 18: Chứng minh:

a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a

b / sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a

c / sin a b cos a b sin a cosa sin bcos b

ç + -÷ ç - ÷=

Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC

5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C

2

6/ tan tan tan

p

ç

+ tanC tanCtan A 1

8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1

( học thuộc kết quả )

Công thức biến đổi:

Bài 20: Biến đổi tích thành tổng

2

a / sin sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30

d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x;

f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a

Bài 21: Biến đổi tổng thành tích

a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x

d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a

-Bài 22: Hệ thức lượng trong tam giác

Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1

4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC

14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)

Bài 23: Chứng minh DABC vuông nếu:

sin B sin C

a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2

cos B cos C

+

+

Bài 24: Chứng minh DABC cân nếu:

a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cos A

Bài 25: Chứng minh DABC đều nếu:

a / cos A.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC

Bài 26: Chứng minh DABC cõn hoặc vuụng nếu:

2 2

a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

-Bài 27: Hóy nhận dạng DABC biết:

sin A

a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C

cosB

B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Tỡm tập xỏc định của hàm số lượng giỏc

Chỳ ý : 1)

A

B cú nghĩa khi B0 (A cú nghĩa) ; A cú nghĩa khi A0

2)  1 sinx 1 ; -1 cosx 1  

3) sinx 0 x k ; sinx = 1 x = 2 k2 ; sinx = -1 x = 2 k2

4) c xos 0 x 2 k ; osx = 1c x = 2 ; osx = -1k c x = k2



5) Hàm số y = tanx xỏc định khi x 2 k





Hàm số y = cotx xỏc định khi xk

Bài 1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau

1) y = cosx + sinx 2) y = cos

1 2

x x



4) y = cos x2  3x2 5) y =

2 os2x

7) y =

1 osx

1-sinx

c



8) y = tan(x + 4

 ) 9) y = cot(2x - 3)

 10) y =

sinx  2 osxc

II Xột tớnh chẵn, lẻ của cỏc hàm số lượng giỏc

Chỳ ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) =  

2 sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x

Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ D ; Kiểm tra x D   x D x,

Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng







Có x để ( ) ( ) không chẳn, không lẻ

f x f x f

Bài 2 Xột tớnh chẳn, lẻ của cỏc hàm số sau

1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

4) y =

1

2tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x

III Xột sự biến thiờn của hàm số lượng giỏc

Chỳ ý : Hàm số y = sinx đồng biến trờn mỗi khoảng 2 k2 ;2 k2

Hàm số y = sinx nghịch biến trờn mỗi khoảng

3

Hàm số y = cosx đồng biến trờn mỗi khoảng   k2 ; 2 k 

Hàm số y = cosx nghịch biến trờn mỗi khoảng k2 ;  k2

Hàm số y = tanx đồng biến trờn mỗi khoảng 2 k ;2 k

Hàm số y = cotx nghịch biến trờn mỗi khoảng k   ; k 

Bài 3* Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số

1) y = sinx trờn 6 3;

 

;

3) y = cotx trờn khoảng

3

;

  4) y = cosx trờn đoạn

13 29

;

5) y = tanx trờn đoạn

121 239

;



  6) y = sin2x trờn đoạn

3

;

4 4



7) y = tan3x trờn khoảng 12 6;

 

  8) y =sin(x + 3

 ) trờn đoạn

;



Bài 4: * Xột sự biến thiờn của cỏc hàm số

Hàm số

Khoảng

3

; 2





3 3

 



23 25

;

;

y = sinx

y = cosx

y = tanx

y = cotx

Chỳ ý Hsố y = f(x) đồng biến trờn K  y = A.f(x) +B

đồng biến trên K nếu A > 0 nghịch biến trên K nếu A < 0







Bài 5* Lập bảng biến thiờn của hàm số

1) y = -sinx, y = cosx – 1 trờn đoạn   ; 

2) y = -2cos 2x 3





  trờn đoạn

2

;

3 3

 



IV Tỡm GTLN, GTNN của hàm số lượng giỏc

Chỳ ý :  1 sinx 1 ; -1 cosx 1   ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B

Bài 6*: Tỡm GTLN, GTNN của cỏc hàm số

os (2x + )

4) y = 1cos(4x )2 - 2 5) y = 2 sinx 3 6) y = 5cos x 4



 7) y = sin2x  4sinx + 3 8) y = 4 3 os 3 c 2 x 1

Chú ý :

Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn a b;  thì  a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) a ;  ( )

b b

m f x f b f x f a

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn a b;  thì  a ;ax ( ) ( ) ; min ( ) a ;  ( )

b b

m f x f a f x f b

Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y = sinx trên đoạn 2; 3

  2) y = cosx trên đoạn 2 2;

 



3) y = sinx trên đoạn 2;0





  4) y = cosx trên đoạn

1 3

;

4 2

C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

I:LÍ THUYẾT

1/Phương trình lượng giác cơ bản

sin u = sin v  ¿

¿ ( k  Z ) cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z ) tanu = tanv  u = v + k ( k  Z ) cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

2/ Phương trình đặc biệt :

sinx = 0  x = k , sinx = 1  x =π2 + k2 ,sinx = -1  x = - π2 + k2

cosx = 0  x = π2 + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0

Cách 1: acosx + bsinx = c  √a2

+b2 cos(x − ϕ) = c vớicos ϕ= a

√a2 +b2

asinx +bcosx = c  √a2

+b2 sin(x +ϕ ) = c với cos ϕ= a

√a2 +b2 Cách 2 :

Xét phương trình với x =  + k , k  Z

Với x   + k đặt t = tan2x ta được phương trình bậc hai theo t :

(c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a2 + b2 - c2  0

Bài tập :Giải các phương trình sau:

1 √3 cos x − sin x =√2 , 2 cos x −√3 sin x =−1

3 3 sin 3 x −√3 cos9 x=1+4 sin33 x, 4 sin4x +cos4(x + π

4)=

1 4

5 cos7 x −sin 5 x=√3(cos5 x − sin 7 x), 6 tanx 3cotx4(sinx 3 cos )x

7

3(1 cos 2 )

cos 2sin

x

x x





8

2 1 sin 2 sin

2

x x

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0

với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx

Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0

Bài tập: Giải các phương trình sau:

3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6

7

2

3

3 2 tan

9 6sin 32 xcos12x4 10 4sin4x12cos2x7

5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :

a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0

Cách 1 :

 Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm

 Xét cosx  chia hai vế của phương trình cho cos0 2x rồi đặt t = tanx

Cách 2: Thay sin2x = 12(1 – cos 2x ), cos2x = 12(1+ cos 2x) ,

sinxcosx = 12sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x

b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = π2+ k ,kZ

Bài tập :

1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2

2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8√3 - 9)cos2x = 0

3 4sin2x +3√3 sin2x – 2cos2x = 4

4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

5

sin sin 2 2cos

2

6/ Phương trình dạng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinxcosx = t2−1

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t

Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Đặt t = cosx - sinx , điều kiện −√2 ≤t ≤√2 khi đó sinxcosx = 1− t2 2

Bài tập : Giải các phương trình sau :

1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0

2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1

4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7 Các phương trình lượng giác khác.

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = cos x3 , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx

2/ cos4 x

3 =cos

2

x ĐS : x = k3 , x=  π4 +k3 , x =  5 π4 +k3

3/ 1+ sin2xsinx - cos 2xsin2x = 2cos2 (π4 − x

2 ) ĐS: sinx =1 v sin2x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - π4 + k 

5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = cos x1 ĐS : x = k2 , x =  π3 +k2

6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =12

7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x

8/ cos 3x – cos 2x = 2

9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan2x

10/ sin2x+ 2tanx = 3

11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x

12/ tan3( x - π4 ) = tanx - 1 ĐS : x = k v x = π4 + k

13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = π4+ k

15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.

Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0

2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= π4+kππ2

5/ sin3(x - π4) = √2 sinx ĐS : x = π4+k

6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x =  π3 + k v x= π4+kππ2

7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0

8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG

Giải các phương trình sau :

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 32sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0

5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ cos x1 + 1

sin x+sin x +cos x=

10

3 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6

8/ 2

sin2x + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0

9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1

11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

IV PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC

Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 14 5/ sin4x

2 + cos4x

2 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x

9/ 3sin3x - √3cos 9x = 1 + 4sin3x 10/ cos x +sin x 1 −cos x =sin x

11/ sin2(x

2−

π

4)tan2x – cos2x

2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = sin x1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x)

15/ 5(sin x + cos3 x +sin 3 x

1+2 sin2 x )=cos2 x +3 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/

2 4

4

(2 sin 2 )sin 3 tan 1

cos

x

x



 

19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan2x)

20/ cotx – 1 =

2

sin sin 2

x

 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =