Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON I.MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được: - Viết được khai triển nhị thức Newton , từ đó suy ra số hạng tổng quát của nó.. Về kỹ năng: Giúp
Trang 1Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON
I.MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:
1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được:
- Viết được khai triển nhị thức Newton , từ đó suy ra số hạng tổng quát của nó
- Nêu lên được qui luật tam giác Paxcan
2 Về kỹ năng: Giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức đã học
để giải các bài tập liên quan : - Khai triển nhị thức Newton
- Tìm hệ số trong khai triển một số đa thức nào đó
II CHUẨN BỊ:
- Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập
- Học sinh học kỹ kiến thức cũ:Hoai vị , Tổ hợp , Chỉnh hợp , Quy tắc cộng, nhân
III NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1 Kiểm tra bài cũ:
- Em hãy nêu nêu các công thức tính k k
n ,Cn , n
P A
- Tính chất của k
n
C
- Khai triển :(a b) (a b) (a b) 2, 3, 4, (a b) n ?
=> Bài mới : n
?
(a b)
2 Bài mới:
* Hoạt động 1: I.Công thức nhị thức Newton
Vd: Khai triển :
.
(a b) a 2ab b
.
(a b) a 3a b 3ab b
(a b) (a b) (a b) a 4a b 6a b 4ab b
= 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
C a C a b C a b C ab C b Trong đó
0 4
4 4 1
C C
1
4 4
C
2
4 6
C
Tổng quát : n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
(a b) C a C a b C a b C a b C b
Viết gọn : n n k n k k
n
k 0
.
(a b) C a b
Hoạt động của thầy và trò: Nội dung ghi bảng
Giáo viên lưu ý một số vấn đề về nhị
thức Newton
*Chú ý : 1/ Số hạng tử trong khai triển (1) là (n+1)
2/ Trong vế phải, số mũ của a giảm từ n đến 0,số mũ của b tăng từ 0 đến n và tổng số mũ của a và b là n
Trang 23/Số hạng tổng quát thử (k+1) trong (1)
là :
C akn n k bk.
=> Số hạng thử k là : Ck 1n an k 1 bk 1.
Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví
dụ 1, 2:
*Chú ý:
n
n
k 0
(a b) [a ( b)] C a ( b)
k n k k
n
k 0
( 1)
C a b
Ví dụ 1: Tìm hệ số của 12 13
,y
x trong khai triển :(x y) 25
Giải: 25 25 k 25 k k
25
k 0
.
Số hạng tổng quát: k 25 k k
25 y .
C x
*Số hạng chứa 12 13
,y
x là số hạng sao cho: 25 k k 12 13
y 13.
=>Hệ số của 12 13
,y
x là
1 3
2 5 2 5 0 0 3 0 0
C
*Phiếu học tập 1: Ví dụ 2:Cho khai triển : 5
(3x 4) 1/Khai triển 5 5 5 k k 5 k k
5
k 0
.
(3x 4) [3x+(-4)] ( 1) C (3x) (4)
2/Tìm hệ số của 3
x :
Số hạng tổng quát : k k 5 k k 5 k 5 k k 5 k
( 1) C (3x) (4) ( 1) C (3x) (4) x
=> Số hạng của 3
x là số hạng sao cho :x5 k x3 k 2
=> Hệ số của 3
x là :( 1) C 3 4 2 52 .3 2 4320.
3/Tìm hệ số của 2
x : x5 k x2 k 3.
=> Hệ số của 2
x là :( 1) C 3 4 3. 25 2. 3 5760
Ví dụ 3: Gọi T là số các tập hợp con (kể cả các tập hợp rỗng) cảu 1 tập hợp có n phân tử Chứng minh n
T 2
Giải:
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải Học sinh
- Số tập hợp con có 0 phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập hợp con có 1 phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập hợp con có 2 phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập hợp con có k phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập con có 0 phân tử là :1= 0
n
C
- Số tập con có 1 phân tử là :1= 1
n
C
- Số tập con có 2 phân tử là :1= 2
n
C
- Số tập con có k phân tử là :1= k
n
C
- Số tập con có n phân tử là :1= n
n
C
Trang 3- Số tập hợp con có n phân tử là bao
nhiêu?
*Chú ý :
n
n
k 0
.(1)
n
n
k 0
.
(1 x) ( 1) C x
Vậy tống số các tập con là :
T = n k
n
k 0 C
Trong (1), thay x = 1:
n
2 =
n k n
k 0 C
= T Vậy T = n
2
Trang 4Ví dụ 4 : Cho (1 2x) a0a1x a2x anx (1)
Biết a0a a1 2 an 729.Tìm n và số hang thứ 5
Giải : -Tìm n :
Trong (1) cho x = 1, ta có:
n
0 1 2 n 729
(1 2.1) a a a a
<=> n
3
- Tìm số hạng thứ 5:
.
(1 2x) C (2x) C 2 x => Số hạng thứ 5 là 4 4 4 4 4 4 6 15.2 x 240x C 2 x *Phiếu học tập 2 : Hoạt động 2 : Tam giác Paxcan : -Nội dung của tam giác Paxcan -Áp dụng tam giác Paxcan để giải bài toán sau: Viết dãy các số hạng ở hàng thứ 1000 trong tam giác Paxcan Dãy náy có bao nhiêu số ? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức -Giáo viên đặt vấn đề: Trên đây ta muốn khai triển n (a b) thành đa thức, ta cần biết n+1 số 0 n C ,C1n,C2n, ,Cnncó mặt trong nhị thức Newton.Các số này có thể được tính nhờ công thức (4) ở bài 2.Ngoài ra còn có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bảng số sau gọi là tam giác Paxcan - Giáo viên lưu ý học sinh quy luật của tam giác Paxcan.Học sinh tiếp thu , ghi nhớ 2.Tam giác Paxcan: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
1 Tam giác Paxcan được lập theo quy luật sau:
- Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi số 2 số 1
- Nếu biết hàng thứ n (n >= 1) thì hàng thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng
Giải:
- Dãy các số hạng thứ 1000 trong tam giác Paxcan là:
0
1000
C ,C11000,C10002 , ,C10001000
-Dãy này có 1001 số
IV CỦNG CỐ VÀ LUYỆN TẬP:
Trang 5- Yêu cầu học sinh nắm được khai triển nhị thức Newton =>Số hạng tổng quát của nó
- Nêu lên được quy luật của tam giác Paxcan
- Làm bài tập 17 đến bài tập 24 (SGK) để củng cố
- Giáo viên hướng dẫn phương pháp tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Trang 6Ví dụ: 17/67
Tìm hệ số của 101 99
x y trong khai triển nhị thức Newton: 200
(2x 3y)
*Ta có 200 200 k 200 k k
k 200
k 0
( 1)
=> Số hạng tổng quát : k k 200 k k k k 200 k k 200 k k
( 1) C (2x) (3y) ( 1) C 2 3 x y
*Số hạng chứa 101 99
x y là số hạng sao cho: 200 k k 101 99
=> Hệ số của 101 99
x y là : 99 99 101 99 99 101 99
24/67 Biết hệ số của x n 2 trong khai triển
n
1 (x ) 4
bằng 31.Tìm n:
n
n
k n k k k n
k 0
1 x ( ) ( 1)
4
1
4
Số hạng tổng quát k k n k k k k k n k
( 1) x ( ) ( 1) ( ) x
=> Hệ số của n k
x là: k k k
n
1 ( 1) ( )
4
C
Hệ số của n 2
x là: 31.(2)
Từ (1),(2) => k = 2
Ta có 2 2 2
n
1 ( 1) ( ) 31
4
C
2
n 16.31 496
C
n(n 1)
496
2
<=> n 2 n 992 0
<=> n = 32
n = -31 (loại)
*Bài tập bổ sung:
1.Tìm hệ số của x 5trong khai triển : n
(1 x) ,n thuộc N*
Biết tổng các hệ số trên là 1024
Giải : n n k k
n
k 0
(1 x) C .x
Thay x = 1,ta có : 1 2 n n k n 10
k 0
Ta có : 10 10 k k
10
k 0
(1 x) C .x
=> hệ số chứa x 5là : 5
10 252
C