Nhị Thức Newton Có Giải Chi Tiết Rất Hay

Nhị Thức Newton Có Giải Chi Tiết Rất Hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...

Trang 1

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông.

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ

cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107

PHẦN I – ĐỀ BÀI

NHỊ THỨC NEWTON

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có:

0

=

+ n =∑n k n k k

n k

2 Tính chất:

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T k+1 =

−

k n k k n

C a b

( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:

−

=

k n k

n n

5)

0 = n =1

n n

,

1

−

+

+ =

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta

sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:

Trang 2

(1+x) n =

0 n+ 1 n− 1+ + n



0+ 1+ + n =2n

(x–1) n =

0 n− 1 n− 1+ + − ( 1)n n



0− 1+ + − ( 1)n n =0

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

*

0+ 1+ + n =2n

*

0− 1+ 2− + − ( 1)n n =0

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ

THỨC NEWTON

Phương pháp:

+ n =∑n n k k =∑n

Số hạng chứa

m x

ứng với giá trị k thỏa:

− + =

np pk qk m

Từ đó tìm

−

=

−

m np k

p q

Vậy hệ số của số hạng chứa

m x

là:

−

k n k k n

C a b

với giá trị k đã tìm được ở trên

Nếu k không nguyên hoặc k n>

thì trong khai triển không chứa

m x

, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa

m x

trong khai triển ( ) =( + p+ q)n

P x a bx cx

được viết dưới dạng

2

0+ 1 + + 2 n

n

Ta làm như sau:

* Viết

0

−

=

= + p+ q n =∑n k n k p+ q k

n k

;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng

(bx p +cx q)k

thành một đa thức theo luỹ thừa của x

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của

m x

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số

k a

theo k và n;

Trang 3

* Giải bất phương trình

1

− ≤

với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên

Câu 1: Trong khai triển

( )5

2a b−

, hệ số của số hạng thứ3bằng:

A −80

Câu 2: Trong khai triển nhị thức

( ) (6 )

2 + ,

a n

Có tất cả17số hạng Vậy n bằng:

( 2 )10

3x −y

, hệ số của số hạng chính giữa là:

A

4 4

10

3 C

4 4 10

3

− C

5 5 10

3 C

5 5 10

3

− C

( )8

2x−5y

, hệ số của số hạng chứa

5 3

x y

là:

A −22400

6

2

x x

, hệ số của

3, >0

x x

là:

7

2 1

 + 

 ÷

a b

, số hạng thứ 5 là:

A

6 4

35 .a b−

6 4

35 −

− a b

4 5

35 .a b−

4

35

− a b

( )6

2a−1

, tổng ba số hạng đầu là:

A

2a −6a +15a

2a −15a +30a

C

64a −192a +480a

64a −192a +240a

Câu 8: Trong khai triển ( )16

−

x y

, tổng hai số hạng cuối là:

A

15 8

16

15 4

16

15 4

16xy +y

15 8

16xy +y

6

2 1 8 2

9 3

a b

là:

A

9 3

80

− a b

9 3

64

− a b

9 3

1280

− a b

6 4

60 a b

Trang 4

9

2 8

 + 

 ÷

x x 

, số hạng không chứa x là:

( )10

2x−1

8

x

là:

A −11520

( )8

2

−

a b

4 4

a b

là:

( )7

3x y−

, số hạng chứa

4 3

x y

là:

A

4 3 2835

− x y

4 3

2835x y

4 3

945x y

4 3 945

− x y

0,2 + 0,8

, số hạng thứ tư là:

A

0, 0064

0, 4096

0, 0512

0, 2048

Câu 15: Hệ số của

3 3

x y

trong khai triển

( ) (6 )6

1+x 1+y

là:

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển

3 2x + y

là:

A

2 2 2

4

C x y

( ) ( )2 2

6 3x 2y

2 2 2 4

6C x y

2 2 2 4

36C x y

( )11

−

x y

8 3

x y

là

A

3

11

C

3 11 C

−

5 11

−C

8 11

C

Câu 18: Tìm hệ số của

7

x

trong khai triển biểu thức sau:

10 ( ) (1 2 )= −

A −15360

D 15363

7

x

9 ( )= (2 3 )+

D 489888

7

x

( ) (1= + ) + −(1 ) + +(2 )

Trang 5

7

x

10 ( ) (3 2 )= +

7

x

9 ( )= (1 2 )−

A

4608

−

B

4608

C

4618

−

D

4618

Câu 23: Xác định hệ số của

8

x

trong các khai triển sau:

2 10 ( ) (3= +1)

8

x

8 3

2 ( )= −5 

f x x

x

8

x

12 3 ( )

2

 

= + ÷

 

x

f x

x

A

297

512

B

29 51

C

27 52

D

97 12

8

x

2 10 ( ) (1= + +2 )

8

x

( ) 8(1 8 )= + −9(1 9 )+ +10(1 10 )+

A

0 8 1 8 8 8

8 .8C −C 9 +10.C 10

B

0 8 1 8 8 8

8.8 − 9.9 + 10.10

C

8.8 −9 .99 +10 10.10

D

0 8 1 8 8 8

8 .8C −9 .9C +10.C 10

8

x

( ) 8(1= + ) +9(1 2 )+ +10(1 3 )+

Câu 29: Hệ số đứng trước

25 10

x y

trong khai triển

( 3 )15

+

x xy

là:

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển

18

3

3 1











 +

x

là:

A C189

10 18

C

8 18

Câu 31: Khai triển(1 x− )12

, hệ số đứng trước x7là:

Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

12 2 ( ) (= − ) ( ≠0)

x

Trang 6

A 59136 B 213012 C 12373 D 139412

Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

3 17 4

3 2

1 ( ) (= + ) ( >0)

x

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa

8

x

trong khai triển nhị thức Niutơn của

5 3

1

n

x x

biết ( )

1

+

Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức

( 2) 1

 − + 

 

 

n

x x x

với n là số nguyên dương thoả mãn

1

+ =

.(

,

k k

n n

tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử)

A −98

D 96

Câu 36: Trong khai triển

( ) 2 40

1

f x x

x

, hãy tìm hệ số của

31

x

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức

18 3

3 1

 + 

 ÷

x x 

số hạng độc lập đối với x

Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa

4

x

trong khai triển

12

3 3

x x

A

55

9

B

13 2

C

621 113

D

1412 3123

Câu 39: Tính hệ số của

25 10

x y

trong khai triển

( 3 )15

+

x xy

Câu 40: Cho đa thức

( ) ( ) ( )2 ( )20

1 2 1 20 1

P x x x x

có dạng khai triển là

0 1 2 20

= + + + +

Hãy tính hệ số

15

a

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển ( )9

3

3+ 2

là một số nguyên

Trang 7

A 8 và 4536 B 1 và 4184 C 414 và 12 D 1313

Câu 42: Xét khai triển

20 1 ( ) (2= + )

x

1 Viết số hạng thứ k+1

trong khai triển

A

20 20

1 20.2 − −

k

B

20 20 2

1 10.2 − −

k

C

20 4 20 2

1 20.2 − −

k

D

20 20 2

1 20.2 − −

k

2 Số hạng nào trong khai triển không chứa x

A

1 10

20.2

C

B

10 10

20.2

A

C

10 4

20.2

C

D

10 10

20.2

C

4

x

trong khai triển sau:

( ) (3= +2 +1)

7

x

trong khai triển thành đa thức của

2 (2 3 )− x n

, biết n là số nguyên dương thỏa mãn :

2 +1+ 2 +1+ 2 +1+ + 2n++1 =1024

A 2099529 B −2099520

C −2099529

D 2099520

9

x

trong khai triển

( ) (1= + ) + +(1 ) + + + (1 )

5

x

trong khai triển đa thức của:

( )5 2( )10

1 2− + 1 3+

x x x x

Câu 47: Tìm hệ số cuả

8

x

trong khai triển đa thức

( ) 8 2

( )= +1 1− 

f x x x

Câu 48: Đa thức

P x x x a a x a x

Tìm

15

a

A

10 5 5 9 6 3 8 7

15 = 10 10.3 + 10 .39 + 10 .3.8

B

10 5 5 9 6 6 8 7 7

15 = 10 10.2 + 10 .29 + 10 .28

C

10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7

15 = 10 10.3 2 + 10 .3 29 + 10 .28

D

10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7

15 = 10 10.3 2 + 10 .3 29 + 10 .3.28

Trang 8

Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

3 2 (x − )n x

, biết rằng

1 2 78

với 0

>

x

A −112640

D 112643

Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi

3n− 3

a

là hệ số của

3n− 3

x

trong khai triển thành đa thức của 2

(x +1) (n x+2)n

Tìm n để

3n−3 =26

Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa

26

x

trong khai triển nhị thức Newton của

7 4 1

 + 

 ÷

 

n x x

, biết

2 +1+ 2 +1+ + 2n+1 =2 −1

Câu 52: Cho n∈¥*

và

0 1 (1+ )n = + + + n

n

Biết rằng tồn tại số nguyên k (1≤ ≤ −k n 1

) sao

cho

Tính n=?

Câu 53: Trong khai triển của

10

1 2

3 3+ x

thành đa thức

0+ 1 + 2 + + 9 + 10

, hãy tìm hệ số

k a

lớn nhất (0≤ ≤k 10

)

A

10

2 3003

3

=

a

B

10

2 3003 3

=

a

C

10

2 3003 3

=

a

D

10

2 3003 3

=

a

Câu 54: Giả sử

2

0 1 2 (1 2 )+ n = + + + + n

n

, biết rằng

0+ + + =1 n 729

Tìm n và số lớn nhất trong các số

0, , ,1 n

A n=6,

{ } 4

max a k =a =240

B n=6,

{ } 6 max a k =a =240

C n=4,

{ } 4

max a k =a =240

D n=4,

{ } 6 max a k =a =240

(1 2 )+ n = + + + n

n

, trong đó n∈¥*

Tìm số lớn nhất trong các số

0, , ,1 n

, biết các hệ số

0, , ,1 n

thỏa mãn hệ thức:

1

0 4096

+ + + n =

n a a

a

Trang 9

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG =0

∑n k k

k n k

a C b

.

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

0 1 1 2 2 2 ( + )n = n+ n− + n− + + n n

Ta chọn những giá trị

,

a b

thích hợp thay vào đẳng thức trên

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

*

−

=

k n k

n n

*

0+ 1+ + n =2n

*

0

=

− =

∑n k k

n

k

C

*

2

1 2

−

= =

∑n k ∑n k ∑n k

*

0

(1 )

=

= +

∑n k k n

n

k

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn

Câu 1: Tổng

0 1 2 3

T

bằng:

A T 2= n

B T 2 – 1= n

C T 2= n+ 1

D T 4= n

Câu 2: Tính giá trị của tổng

6 + 6 6

=C C + +C S

bằng:

Câu 3: Khai triển

( )5

+

x y

rồi thay

,

x y

bởi các giá trị thích hợp Tính tổng

5 + 5+ + 5

=C

1

12

Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho:

0+2 1+4 2+ + 2n n =243

Câu 5: Khai triển

( )5

+

x y

rồi thay

,

x y

bởi các giá trị thích hợp Tính tổng

5 + 5+ + 5

=C

1

12

Trang 10

KHÚC NÀY TÔI XÓA ĐI VÀ QUA LUÔN PHẦN HƯỚNG GIẢI CHI TIẾT

ĐỂ ĐẢM BẢO BẢN QUYỀN,

QUÝ THẦY CÔ MUA SẼ CÓ RẤT ĐẦY ĐỦ

Trang 11

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n N và với mọi cặp số a, b ta có:

0

=

+ n =∑n k n k k

n k

2 Tính chất:

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T k+1 =

−

k n k k n

C a b

( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:

−

=

k n k

n n

5)

0 = n =1

n n

,

1

−

+

+ =

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta

sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x) n =

0 n+ 1 n− 1+ + n



0+ 1+ + n =2n

(x–1) n =

0 n− 1 n− 1+ + − ( 1)n n



0− 1+ + − ( 1)n n =0

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

*

0+ 1+ + n =2n

*

0− 1+ 2− + − ( 1)n n =0

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ

THỨC NEWTON

Phương pháp:

+ n =∑n n k k =∑n

Số hạng chứa

m x

ứng với giá trị k thỏa:

− + =

np pk qk m

Từ đó tìm

−

=

−

m np k

p q

Vậy hệ số của số hạng chứa

m x

là:

−

k n k k n

C a b

với giá trị k đã tìm được ở trên

Trang 12

Nếu k không nguyên hoặc k n>

thì trong khai triển không chứa

m x

, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa

m x

trong khai triển ( ) =( + p+ q)n

P x a bx cx

được viết dưới dạng

2

0+ 1 + + 2 n

n

Ta làm như sau:

* Viết

0

−

=

= + p+ q n =∑n k n k p+ q k

n k

;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng

(bx p +cx q)k

thành một đa thức theo luỹ thừa của x

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của

m x

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số

k a

theo k và n;

* Giải bất phương trình

1

− ≤

với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên

( )5

2a b−

, hệ số của số hạng thứ3bằng:

A −80

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

( )5 0( )5 1( )4 2( )3 2

2a b− =C 2a −C 2a b C+ 2a b +

Do đó hệ số của số hạng thứ3bằng

2

5.8 80=

C

Câu 2: Trong khai triển nhị thức

( ) (6 )

2 + ,

a n

Có tất cả17số hạng Vậy n bằng:

Chọn C.

Trong khai triển

( ) 6 ( )

2 + ,

a n

có tất cả n+7

số hạng

Do đó n+ =7 17⇔ =n 10

( 2 )10

3x −y

, hệ số của số hạng chính giữa là:

Trang 13

A

4 4

10

3 C

4 4 10

3

− C

5 5 10

3 C

5 5 10

3

− C

Chọn D.

Trong khai triển

( 2 )10

3x −y

có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 Vậy hệ số của số hạng chính giữa là

5 5 10

3

− C

( )8

2x−5y

5 3

x y

là:

A −22400

Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

1 ( 1) 8.(2 ) (5 )− ( 1) 8.2 5 − −

k

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k =3

Khi đó hệ số của số hạng chứa

5 3

x y

là:−22400

6

2

x x

, hệ số của

3, >0

x x

là:

Chọn C.

1

1 6 − 2 −

k

T C x x

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

1

2

− −k k = ⇔ =k

Khi đó hệ số của

3

x

là:

3 3

6.2 =160

C

7

2 1

a b

, số hạng thứ 5 là:

A

6 4

35 .a b−

6 4

35 −

− a b

4 5

35 .a b−

4

35

− a b

Chọn A.

14 2

1 7 − −

k

Vậy số hạng thứ 5 là

4 6 4 6 4

5 = 7 − =35 −

( )6

2a−1

, tổng ba số hạng đầu là:

Trang 14

A

2a −6a +15a

2a −15a +30a

C

64a −192a +480a

64a −192a +240a

Chọn D.

Ta có:

( )6 0 6 6 1 5 5 2 4 4

2a−1 =C 2 a −C 2 a +C 2 a −

Vậy tổng 3 số hạng đầu là

64a −192a +240a

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông.

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ

cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	616,38 KB