Xử lí số tín hiệu số-phần 3 pdf

Nhắc lại rằng, một hệ thống bậc hai có hàm truyền ñạt là : Nếu các cực nằm trên vòng tròn ñơn vị r = 1 và b0 = Asinω0 thì hn = A sinn + 1ω0 un 5.23 Vậy ñáp ứng xung của một hệ thống bậc

5.1.1.2 Lọc thông dải :

Các nguyên tắc tương tự có thể ñược áp dụng ñể thiết kế mạch lọc thông dải Một cách cơ bản, lọc thông dải chứa một hay nhiều cặp cực phức gần vòng tròn ñơn vị, trong lân cận của băng tần mà nó hình thành dải thông của bộ lọc

Ví dụ 5.2 :

0 khi ω = 0 và ω = π và ñáp ứng biên ñộ của nó là

Giải : Rõ ràng bộ lọc phải có 2 cực tại :

và zero tại z = 1 và z = -1 Vậy hàm truyền ñạt của nó là :

Hệ số khuếch ñại G ñược xác ñịnh bằng cách tính H(ω) của bộ lọc ở tần số

đáp ứng tần số của bộ lọc ựược vẽ trong hình 5.4

Phương pháp này nhằm mục ñích minh họa sự ảnh hưởng của các cực và các zero lên ñáp ứng tần số của hệ thống Rõ ràng, ñây chưa phải là phương pháp tốt cho việc thiết kế mạch lọc số, ñể có một ñặc tuyến của ñáp ứng tần số như ý muốn Các phương pháp thiết kế tốt hơn, ñược ứng dụng trong thực tế sẽ ñược trình bài trong phần sau.

5.1.2 BỘ CỘNG HƯỞNG SỐ (DIGITAL RESONATOR)

Một bộ cộng hưởng số là một bộ lọc thông dải có hai cực ñặc biệt, ñó là cặp cực phức ñược ñặt ở gần vòng tròn ñơn vị (hình 5.5.a) Biên ñộ của ñáp ứng tần số ñược vẽ trong hình 5.5.b

Ta thấy, ñáp ứng biên ñộ lớn nhất ở tần số tương ứng của cực và ñây là tần số cộng hưởng của mạch lọc

ðể thiết kế một bộ cộng hưởng số với ñỉnh cộng hưởng ở tại hay gần tần số ω = ω0 ta chọn cặp cực phức như sau :

Ngoài ra, ta có thể chọn thêm các zero Mặc dù có nhiều khả năng chọn lựa khác nhau, nhưng có hai trường hợp thường ựược chọn Một là thêm vào một zero tại gốc tọa ựộ Hai là chọn một zero ở z = 1 và một zero ở z = -1 Sự chọn lựa này có thể khử hoàn toàn ựáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 và ω = π.

5.1.3 BỘ LỌC DẢI KHẤC (NOTCH FILTER)

Bộ lọc dải khấc là một bộ lọc dải chận có dải tần số chận rất hẹp như một vết khấc Hình 5.6 minh họa ựặc tuyến ựáp ứng tần số của một bộ lọc dải khấc có ựộ lợi giảm bằng 0 ở các tần

số ω0 và ω1 Bộ lọc dải khấc ựược ứng dụng trong những trường hợp mà một vài thành phần tần số cần phải loại bỏ

để tạo một ựiểm không (null) trong ựáp ứng tần số của một lọc ở tần số ω0, ta ựưa vào một cặp zero phức trên vòng tròn ựơn vị tương ứng với góc pha ω0 đó là :

Giả sử ta ựặt thêm vào một cặp cực phức tại :

Các cực này gây ra một sự cộng hưởng trong vùng lân cận của ựiểm không và vì vậy nó làm giảm ựộ rộng băng tần của lọc khác

Hàm truyền của hệ thông bây giờ là :

đáp ứng biên ựộ của bộ lọc (5.8) ựược vẽ trong hình 4.8 với ω0 =π/4 , r = 0,85 và với ω =π/4,

r = 0,95 So sánh với ựáp ứng tần số của bộ lọc FIR trong hình5.7, ta thấy tác dụng của các cực là làm giảm băng tần của lọc khấc Bên cạnh việc làm giảm băng tần lọc khấc, các cực ựược ựưa vào còn gây ra một gợn sóng trong dải thông của mạch lọc, vì sự cộng hưởng gây

ra bởi cực để hạn chế ảnh hưởng gợn sóng này, ta lại có thể ựưa thêm vào các cực và/hoặc zeros nữa trong hàm truyền ựạt Ta thấy, phương pháp này mang tắnh thử và sai

5.1.4 BỘ LỌC RĂNG LƯỢC (COMB FILTERS)

Bộ lọc răng lược ñơn giản nhất là bộ lọc có ñáp ứng tần số giống như lọc khấc, nhưng các vết khấc (ñiểm không) xuất hiện một cách tuần hoàn trên suốt băng tần Mạch lọc răng lược ñược ứng dụng trong trường hợp cần loại bỏ một thành phần tần số nào ñó và các hài của tần

số ñó Nó ñược ứng dụng rộng rãi trong thực tế như: nghiên cứu tín hiệu thu ñược từ tầng ñiện ly, tín hiệu radar

ðể minh họa một dạng ñơn giản của mạch lọc răng lược, ta xét một bộ lọc trung bình di chuyển ñược mô tả bởi phương trình sai phân :

Chú ý rằng cực z = 1 bị khử bởi zero ở z = 1, vì vậy, ta có thể coi như bộ lọc này không chứa cực nào ngoài z = 0.

Tổng quát, ta có thể tạo ra một lọc răng lược bằng cách thực hiện một bộ lọc FIR với hàm truyền ñạt là :

Với tất cả các giá trị nguyên của k, ngoại trừ k = 0, L, 2L, , ML

Hình 5.10 vẽ ñặc tuyến ñáp ứng biên ñộ với L = 3 và M = 10

5.1.5 BỘ LỌC THÔNG TẤT (ALL-PASS FILTERS)

Lọc thông tất là một bộ lọc có ñáp ứng biên ñộ là hằng với tất cả các tần số, ñó là:

nên hệ thống cho bởi pt(5.23) là lọc thông tất Hơn nữa, nếu z0 là cực của H(z), thì 1/Z0 là zero của H(z) Hình 5.11 minh họa ñồ thị cực - zero của bộ lọc 1 cực -1 zero và bộ lọc 2 cực -2 zero ðặc tuyến ñáp ứng pha của các hệ thống này ñược vẽ trong hình 5.12 với a = 0,6 và

r = 0,9, ω0 =

Lọc thông tất ñược ứng dụng như là bộ cân bằng pha (phase equalizers) Khi ñó ñược mắc liên tiếp (cascade) với một hệ thống có ñáp ứng pha không như mong muốn, bộ cân bằng pha ñược thiết kế ñể bù lại ñặc tính pha “nghèo nàn” của hệ thống này và vì vậy toàn bộ hệ thống (hệ tương ñương) có ñáp ứng pha tuyến tính

5.1.6 BỘ DAO ðỘNG SIN SỐ

Bộ dao ñộng sin số có thể ñược coi như là dạng giới hạn của bộ cộng hưởng hai cực với các cực phức nằm trên vòng tròn ñơn vị

Nhắc lại rằng, một hệ thống bậc hai có hàm truyền ñạt là :

Nếu các cực nằm trên vòng tròn ñơn vị (r = 1) và b0 = Asinω0 thì

h(n) = A sin(n + 1)ω0 u(n) (5.23)

Vậy ñáp ứng xung của một hệ thống bậc hai với các cực liên hợp phức nằm trên vòng tròn ñơn vị có dạng sin và hệ thống này ñược gọi là bộ dao ñộng sin số hay bộ phát tín hiệu sin số

ðể lập sơ ñồ khối của bộ dao ñộng sin số ta viết lại phương trình sai phân :

y(n) = -a1y(n - 1) - y(n - 2) + b0 δ(n) (5.25)

Với a1 = -2cos ω0 ; b0 = A sinω0 và thỏa ñiều kiện nghỉ y(-1)= y(-2) = 0

Dùng phương pháp ựệ qui ựể giải phương trình sai phân ta thu ựược :

y(0) = Asinω0

y(1) = 2cosω0 y(0) = 2A sinω0 cosω0

= A sin2ω0

y(2) = 2cosω0 y(1) - y(0)

= 2Acosω0 sin2ω0 - Asinω0

= A (4cos2ω0 - 1)sin ω0

= 3A sinω0 - Asin3ω0 = A sin3ω0

Tiến trình ựược tiếp tục, ta thấy tắn hiệu ra có dạng : y(n) = A sin(n + 1)ω0

Ta chú ý rằng, việc cung cấp xung ở thời ựiểm n = 0 nhằm mục ựắch khởi ựộng cho bộ dao ựộng sin Sau ựó, bộ dao ựộng tự duy trì, bởi vì hệ thống không tắt dần (do r= 1)

Từ hệ thống ựược mô tả bởi pt(5.25) ta cho tắn hiệu vào bằng 0 và cho các ựiều kiện ựầu là y(-1) = 0, y(2) = -Asinω0 thì ựáp ứng tắn hiệu vào bằng 0 của hệ thống bậc hai ựược mô tả bởi phương trình sai phân thuần nhất

y(n) = -a1 y(n - 1) - y(n - 2) (5.26)

đáp ứng của hệ thống ựược mô tả bởi pt(5.26) với các ựiều kiện ựầu:

y(-1) = 0 và y(-2) = -A sinω0 (5.27)

giống một cách chắnh xác như là ựáp ứng của hệ thống ựược mô tả bởi pt(5.25) với kắch thắch là tắn hiệu xung ựơn vị

5.2 Thiết kế bộ lọc FIR

5.2.1 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH DÙNG CỬA SỔ5.2.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

5.2.2.1 ðiều kiện ñối xứng5.2.2.2 ðiều kiện ñối xứng5.2.2.3 Chọn ñáp ứng xung và tính các hệ số từ các mẫu trong miền tần số5.2.2.4 Công thức tính h(n)

5.2.2.5 Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số5.2.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH CÓ ðỘ GỢN KHÔNG ðỔI BẰNG

5.2.4 SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH

bộ lọc FIR có chiều dài M Sự “cắt ngọn” này tương ñương với phép nhân hd(n) với một hàm cửa sổ (window) Hàm cửa sổ này ñược ñịnh nghĩa như sau:

5.2.1.2 Các bước chính của phương pháp cửa sổ:

• Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: δ1, δ2 , ωp, ωs

• Xác ñịnh ñáp ứng xung của mạch lọc lý tưởng

• Chọn loại cửa sổ

• Nhân với cửa sổ ñể có ñáp ứng xung của mạch lọc: hd(n) = h(n).w(n)

• Thử lại trong miền tần số: Hd(ω) = H(ω)*W(ω)

Nếu không thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật, ta tăng M và trở lại bước 2

5.2.1.3 Cửa sổ chữ nhật (Hình 5.14)

ðịnh nghĩa: Cửa sổ chữ nhật có chiều dài M ñược ñịnh nghĩa trong miền thời gian như sau:

Trường hợp M lẻ, w(n) có dạng ñối xứng với tâm ñối xứng là n = (M-1)/2

Biến ñổi Fourier của cửa sổ chữ nhật là:

Cửa sổ này có ñáp ứng biên ñộ là:

Các tham số (các tham số này cũng ñược ñịnh nghĩa chung cho các loại cửa sổ khác):

- ðộ rộng của múi chính ∆Ω ( ñược tính bằng 2 lần dải tần số từ ω = 0 ñến ωp , tần số

ωp tương ứng với giá trị zero của múi chính), ñối với cửa sỗ chữ nhật:

∆Ω = 4π/M (5.36)

- Tỉ số giữa ñỉnh của múi bên ñầu tiên và ñỉnh của múi chính, ký hiệu (, ta có:

với ω1 là tần số tương ứng với ñỉnh của múi bên ñầu tiên, với cửa sổ chữ nhật ω 1 =3π/M

Tham số này thường ñược tính theo dB như sau:

Người ta cũng thường xét ñến một ñại lượng ngược lại, ñó là tỉ số của ñỉnh múi chính và ñỉnh múi bên ñầu tiên, ký hiệu η, ta có:

Sau ựây là giá trị của η tương ứng với các ựộ dài M khác nhau:

M = 6 → η = 4,2426; M = 9 → η = 4,5000; M = 50 → η = 4,7054; M = 100 → η = 4,7106;

và M → ∞ thì η ≈ 4,712 Ta thấy, khi M > 50 tham số ( gần như không ựổi

Hình 5.14.a trình bày cửa sổ chữ nhật trong miền thời gian, hình 5.14.b là ựáp ứng biên ựộ của cửa sổ chữ nhật với M = 9 Các tham số tương ứng như sau:

∆Ω = 4π/M = 1,3963 rad; λ = -13,0643dB; η = 4,5000 Hình 5.15 trình bày ựáp ứng biên ựộ của cửa sổ chữ nhật với M lần lượt là: 9, 51 và 101

Hiện tượng Gibbs

để giới hạn chiều dài ựáp ứng xung h(n) của bộ lọc lý tưởng, ta ựã nhân với hàm cửa sổ w(n) đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế có ựược từ tắch chập (5.31) đối với bộ lọc lý tưởng, ựáp ứng biên ựộ chuyển ựột ngột từ 1 xuống 0 (hoặc ngược lại) ở tần số cắt Nhưng ựối với

bộ lọc thực tế, do tắch chập trong miền tần số sẽ gây dao ựộng ở dải thông và dải chặn xung qu /Anh tần số cắt ωc Sự phát sinh các dao ựộng này ựược gọi là hiện tượng Gibbs

Vắ dụ 5.4:

Hãy thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tắnh với các chỉ tiêu kỹ thuật sau ựây:

δ1=0.01, δ2=0.01, ωp =π/4 - π/50 =0,7226, ω =π/4 + π/50=0,8482 và ω = (ωp + ωs)/2 = π/4 Giải:

- Chọn cửa sổ chữ nhật W(n) nhân quả và có tâm ựối xứng tại (M-1)/2

- để minh họa hiện tượng Gibbs, ta chọn ựáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng, ta có:

Lấy biến ựổi Fourier ngược, theo pt(5.28), ta ựược ựáp ứng xung h(n):

đáp ứng tần số của hệ thống ựược thiết kế là:

Hình 5.18 vẽ ựặc tuyến ựáp ứng biên ựộ của bộ lọc với M = 9, M = 61 và M = 101 Ta thấy, khi tăng M, ựộ gợn sóng dải thông và dải chặn có biên ựộ không giảm và trong cả ba trường hợp, chỉ tiêu về ựộ gợn ựã ựề ra chưa ựược thỏa mãn Tuy nhiên, ựộ rộng dải quá ựộ ựược cải thiện ( thu hẹp lại) khi M tăng

ðể làm giảm những gợn sóng lớn trong cả dải thông và dải chặn, chúng ta có thể sử dụng các hàm cửa sổ mà nó chứa ñựng một ñỉnh nhọn và suy giảm dần về zero thay vì ñột ngột như hàm cửa sổ hình chữ nhật

Một số hàm cửa sổ tiêu biểu thường ñược dùng trong thiết kế mạch lọc FIR ñược trình bày trong bảng 5.1 và dạng của một số cửa sổ ñược trình bày trong hình 5.17 Những hàm cửa sổ này có các múi bên (sidelode) thấp hơn so với cửa sổ hình chữ nhật Tuy nhiên, với cùng giá trị M chiều rộng của múi chính của các hàm cửa sổ này cũng rộng hơn so với cửa sổ hình chữ nhật Do ñó, các hàm cửa sổ này có tác dụng làm trơn (smoothing ) ñáp ứng tần số thông qua tích chập trong miền tần số, và kết quả là dải quá ñộ của lọc FIR rộng hơn ðể giảm ñộ rộng của dải quá ñộ, chúng ta tăng chiều dài cửa sổ, kết quả là mạch lọc lớn hơn

Tên hàm cửa sổ w(n), 0 ≤ n ≤ M-1

0, n còn lại

Bartlett (triangular)

Blackman

Ghi chú: Cửa sổ Kaiser là một cửa sổ gần tối ưu, nó ñược thành lập từ hàm Bessel biến dạng loại một bậc không I0(x) Trong công thức ñịnh nghĩa cửa sổ Kaiser (Bảng 5.1), tham số ( có

ñáp ứng biên ñộ của cửa sổ sẽ gia tăng theo β Vì vậy, với cửa sổ Kaiser, ta có thể ñiều chỉnh

∆Ω và hệ số λ bằng cách thay ñổi tham số (.Tuy nhiên, vì biểu thức ñại số của cửa sổ này khá phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng nó cũng có hạn chế

Bảng 5.2 trình bày các ñặc tính quan trọng của một số hàm cửa sổ trong miền tần số:

So sánh các bộ lọc b, c, d,e với bộ lọc ñược thiết kế bằng cửa sổ chữ nhật (a), ta thấy sự ảnh hưởng hiện tượng Gibbs ở cạnh dải thông ñược hạn chế và kết quả là múi bên có ñỉnh thấp hơn Tuy nhiên, ñộ rộng của dải quá ñộ lại gia tăng

5.2.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

LẤY MẪU TRONG MIỀN TẦN SỐ

Bộ lọc FIR pha tuyến tính (linear-phase fir filters) là một loại bộ lọc ñơn giản về mặt thiết kế lẫn thực hiện Như ta sẽ thấy, chỉ có bộ lọc FIR mới có thể có pha tuyến tính và bộ lọc IIR không thể có pha tuyến tính Trong nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như thông tin số, sự méo pha (méo trễ) không thể chấp nhận ñược, vì vậy bộ lọc pha tuyến tính ñược dùng rộng rãi

Một bộ lọc FIR chiều dài M có ñáp ứng tần số là :

Các hệ sốĀ của bộ lọc cũng chính là giá trị của các mẫu trong ñáp ứng xung của nó:

(Trong pt(5.44) chỉ số trên của tổng ñược chọn là M–1 ñể ñáp ứng xung có chiều dài M)

Bộ lọc có pha tuyến tính khi ñáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn các ñiều kiện ñối xứng Ta xét 2 ñiều kiện ñối xứng khác nhau như sau :

ðể chứng tỏ một bộ lọc thỏa ñiều kiện ñối xứng này là bộ lọc pha tuyến tính ta xét hai

H(ω) = h(0) + h(1)e-jω + h(2)e-j2ω + h(3)e-j3ω + h(4)e-j4ω

= e-j2ω[h(2) + h(0)ej2ω + h(4)e-j2ω + h(1)ejω + h(3)e-jω]

Vì h(0) = h(4) và h(1) = h(3) nên H(ω) có thể viết lại là :

ta sẽ không cần quan tâm, vì tín hiệu mong muốn ñi qua bộ lọc không có nội dung tần số ở trong dải chặn

Ví dụ 5.6 : Trường hợp M chẵn

Giả sử chọn M = 4, ñiều kiện ñối xứng là : h(0) = h(3); h(1) = h(2) Trong trường hợp này, mỗi mẫu của h(n) ñều có mẫu ñối xứng Tương tự như trên ta tìm ñược ñáp ứng của bộ lọc là :

ðặt : Hr(ω) = 2h(0)Coų + 2h(1)Coų (5.52)

Biên ñộ của ñáp ứng tần số là : |H(ω)| = |Hr(ω)|

và pha là :

Một lần nữa, pha của bộ lọc là tuyến tính và nhảy một lượng là π ở những tần số mà Hr(π) ñổi dấu

Từ hai hai ví dụ trên, ta có thể ngoại suy cho trường hợp tổng quát với chiều dài M bất kỳ.Tổng quát, ñáp ứng tần số của một bộ lọc FIR có ñáp ứng xung h(n) thỏa ñiều kiện ñối xứng (4.63) là :

ðặc tính pha của bộ lọc cho cả hai trường hợp M chẵn và M lẻ là :

Trong trường hợp này ta gọi ñáp ứng xung là phản ñối xứng (antisymmetric) Khi M lẻ, ñiểm

= 0 Ví dụ, Nếu M = 5, ta có h(0) = - h(4); h(1) = -h(3) và h(2) = 0 Khi M chẵn, mỗi mẫu của h(n) có một mẫu tương ứng ngược dấu

Tương tự như trường hợp ñối xứng thứ nhất, ta có thể chứng minh rằng, ñáp ứng tần số của

bộ lọc FIR với ñáp ứng xung phản ñối xứng có biểu thức là :

ðặc tính pha của bộ lọc cho cả hai trường hợp M lẻ và M chẵn là :

Các công thức ñáp ứng tần số tổng quát này ñực dùng ñể thiết kế các bộ lọc FIR pha tuyến tính với ñáp ứng xung ñối xứng hoặc phản ñối xứng

Chú ý rằng, trong các pt(5.55) và pt(5.56), số hệ số cần thiết ñể xác ñịnh ñáp ứng tần số

5.2.2.3 Chọn ñáp ứng xung và tính các hệ số từ các mẫu trong miền tần số

Việc chọn ñáp ứng xung ñối xứng hay phản ñối xứng tùy thuộc vào ứng dụng

Ví dụ, nếu h(n) = -h(M-1-n) và M lẻ, theo pt(5.60) thì Hr(0) = 0 và Hr(π) = 0, kết quả là ñáp ứng xung phản ñối xứng không phù hợp cho mạch lọc thông thấp hoặc thông cao Tương tự, nếu chọn ñáp ứng xung phản ñối xứng và M chẵn, thì theo pt(5.60) ta có Hr(0)= 0 Kết quả là

ta không thể chọn ñiều kiện phản ñối xứng trong việc thiết kế bộ lọc thông thấp FIR pha tuyến tính Ngược lại, nếu chọn ñiều kiện ñối xứng h(n) = h(M - 1 - n) thì sẽ ñược bộ lọc FIR pha tuyến tính với ñáp ứng tần số khác 0 ở ω = 0, ñó là :

Mỗi phương trình trong các pt(5.55), (5.56), (5.60) và (5.61) ñóng góp một tập các phương trình tuyến tính ñể xác ñịnh các hệ số của mạch lọc FIR Kết quả là, nếu ta xác ñịnh ñược

phương trình tuyếntính ñể tìm các hệ số Mặc dù các giá trị của ω có thể ñược chọn một cách tùy ý, nhưng ta thường muốn chọn những ñiểm cách ñều nhau trên trục tần số, trong khoảng

0≤ ω ≤ π (lấy mẫu ñều trong miền tần số) Vì vậy, ta sẽ chọn các tần số lấy mẫu như sau :Trường hợp chọn ñáp ứng xung ñối xứng

Khi ñó, các phương trình tuyến tính (5.55) và (5.56) cho bộ lọc FIR ñối xứng trở thành :

Trường hợp chọn ñáp ứng xung phản ñối xứng

khi M chẵn trên trục ω Vì các pt(5.60) và pt(5.61) hàm ý rằng Hr(0) = 0, ñộc lập với sự chọn các hệ số{h(n)} Vì vậy tần số ω = 0 không thể ñược dùng ñể xác ñịnh các thông số của ñáp ứng tần số

Khi M lẻ thì rất dễ dàng, ta có thể xác ựịnh Hr(ω) ởựiểm cách ựều nhau trên trục tần số Các ựiểm này có thể ựược chọn như sau :

Khi M chẵn, ta cầnĀ ựiểm tần số, vì ta không thể sử dụng ω = 0, ta có thể sử dụng ω=π.Tóm lại, tập các ựiểm tần số ựược chọn như sau :

Một sự chọn lựa khác hoàn toàn có thể tránh trường hợp H(ω)=0 ở ω=0 (và ω=π) ựó là :

Với bất kỳ sự chọn lựa nào trong các trường hợp trên, ta ựịnh nghĩa :

Thì các phương trình tuyến tắnh (4.75) và (4.76) cho bộ lọc FIR phản ựối xứng trở thành:

Tập tần số cho bởi pt(5.70) cũng có thể ựược dùng trong pt(5.67) và pt(5.68) thay vì dùng tập tần số cho bởi pt(5.65)

Vắ dụ 5.7:

Hãy xác ựịnh ựáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR pha tuyến tắnh, có chiều dài M=4 đáp ứng tần số

Ví dụ 5.8 :

Hãy xác ñịnh các hệ số của bộ loc FIR tuyến tính pha có chiều dài M = 15, ñáp

ứng xung ñối xứng và ñáp ứng tần số thỏa mãn ñiều kiện :

Giải :

ðây là một mạch lọc khá dài, h(n) không thể tìm ñược nếu không có sự hỗ trợ của máy vi tính trong việc giải hệ phương trình tuyến tính Lập trình trên máy tính ñể giải hệ phương trình này, ta có thể thu ñược các nghiệm như sau :

h(0) = h(14) = 0,04981588 h(1) = h(13) = 0,04120224

h(2) = h(12) = 0,06666674 h(3) = h(11) = - 0,03648787

h(4) = h(10) = - 0,1078689 h(5) = h(9) = 0,03407801

h(6) = h(8) = 0,3188924 h(7) = 0,4666666

đáp ứng tần số của mạch lọc thu ựược trong hình 5.21 Ta thấy, bộ lọc này có một vọt lố (overshoot) ở cạnh dải thông ở phắa trước dải quá ựộ Nó cũng có các múi bên (sidelobe) khá lớn trong dải chặn, múi bên lớn nhất là -15dB

Nhận xét :

Trong vắ dụ trên, ta ựã minh họa bài toán thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tắnh với ựáp ứng tần

số thay ựổi ựột ngột từ dải thông (Hr(ωr) = 1) sang dải chặn, trong dải chặn Hr(ω) ựược xác ựịnh bằng 0 ở các tần số rời rạc Ta thấy bộ lọc có các múi bên khá lớn, ựây là ựiều không mong muốn

Trong vắ dụ sau ựây, thay cho sự thay ựổi ựột ngột, ta xác ựịnh một giá trị trung gian của

5.2.2.4 Công thức tính h(n) Mục ñích của ta là tìm ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc có ñáp ứng tần số mong muốn,

từ ñó xác ñịnh hàm truyền ñạt (hay phương trình sai phân) và xây dựng cấu trúc của

bộ lọc Trong mục 5.2.2.3 ta ñã tính h(n) bằng cách giải các hệ phương trình tuyến tính (5.67), (5.68) hoặc (5.72), (5.73), tổng quát hơn là phương trình ma trận (5.74) Theo ñó, ta phải xác ñịnh ma trận các hệ số akn (ma trận [A]) hay ma trận các hệ số bkn (ma trận [B]), và sau ñó, ñể giải phương trình ma trận (5.74) (trường hợp chọn ñáp ứng xung phản ñối xứng ta thay ma trận [A] bằng ma trận [B]), ta phải tính ma trận nghịch ñảo Việc làm này rõ ràng là tốn nhiều thời gian và công sức Vì vậy, ta muốn thiết lập một công thức sao cho có thể tính trực tiếp h(n)

Trước tiên, ta xác ñịnh ñáp ứng tần số mong muốn ở một tập tần số rời rạc cách ñều nhau {ωk}:

Sau ñó tìm ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR từ các mẫu trong miền tần số ñã chọn Theo ñịnh nghĩa, ñáp ứng tần số của bộ lọc FIR có chiều dài M là:

Giá trị của ñáp ứng tần số tại các tần số {ωr}là:

với k = 0,1,2, ,M-1

Do H(k+α) có tính ñối xứng, nên các tần số chỉ ñịnh có thể giảm xuống còn (M-1)/2 nếu M lẻ, M/2 nếu M chẵn Tuy nhiên, ở ñây ta muốn khảo sát ñặc tính tần số ở M ñiểm như ñã chỉ ñịnh ở pt(5.77)

ðể xác ñịnh ñược h(n) từ H(k+α), ta nhân hai vế của pt(5.77) với ej2πkm/M , trong ñó m=0,1,…,M-1, rồi lấy tổng trên k=0,1,…,M-1 Vế phải của pt(5.77) sẽ rút gọn về Mh(n) ej2πkm/M và ta thu ñược:

Ta thấy trong trường hợp α = 0 thì H(k) = DFT[h(n)] và h(n) = IDFT[H(k)]

ðể tìm công thức tính h(n), ta sẽ dựa vào tính chất ñối xứng của h(n) và giá trị của α

Ta chia thành các trường hợp cụ thể như sau:

Vì h(n) thực, nên từ pt(5.77) ta dễ dàng suy ra ñược H(k)=H*(M-k), và vì h(n) ñối xứng nên từ pt(5.77) ta thu ñược:

Ta thấy các số hạng trong dấu ngoặc {} chính là các mẫu của Hr(ω) tại các tần số

Vì Hr(2πk/M) có giá trị thực, nên G(k) cũng là dãy thực Hơn nữa, từ ñiều kiện H(k)=H*(M-k) dẫn ñến kết quả là:

G(k) = - G(M-k) (5.84) Khi M chẳn, thì pt(5.84) ñòi hỏi rằng: G(M/2)=0, mặt khác, mẫu của ñáp ứng tần số tại ω=π phải là 0

Từ tính chất ñối xứng của các mẫu tần số có giá trị thực G(k) trong pt(5.84), ta có thể thành lập công thức tính ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc FIR

Ta bắt ñầu từ pt(5.78) với α = 0

Từ pt(5.86) và (5.87) ta có thể tính trực tiếp h(n) từ G(k) (hay Hr(2πk/M) Trong cách tính này, ñể xác ñịnh h(n) ta không cần phải tính ma trận nghịch ñảo như ñã làm trong các ví dụ 5.7, 5.8 và 5.9 (giải phương trình ma trận (5.74))

Một lần nữa, ñể ñơn giản ta diễn tả H(k+α) dưới dạng:

Trong ñó:

Từ pt(5.89) ta suy ra ñược H(k+1/2)=H*(M-k-1/2), tính chất này hàm ý rằng:

G(k+1/2)=G(M-k-1/2) (5.91) Dựa và tính chất ñối xứng (5.91) và từ pt(5.78) ta có:

Tương tự cho trường hợp ñáp ứng xung phản ñối xứng, ta thiết lập ñược biểu thức tính h(n) tương ứng với α = 0 và α = ½ Cuối cùng công thức tíh ñáp ứng xung h(n) cho 4 trường hợp ñược tổng kết trong bảng 5.3

5.2.2.5 Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số

Từ các phân tích vừa rồi, ta sẽ tổng kết thành các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng cách lấy mẫu ñáp ứng tần số.

Bước 1: Chọn loại bộ lọc, chiều dài M của bộ lọc, tính chất ñối xứng của h(n), tập tần

số ω và chỉ ñịnh các mẫu của ñáp ứng tần số tương ứng với tập tần số {ωk}

Bước 2: Tính các mẫu G(k) theo công thức tương ứng trong bảng 5.3 Bước 3: Tính ñáp ứng xung h(n) theo công thức tương ứng trong bảng 5.3 Bước 4: Tính ñáp ứng tần số H(ω) theo các pt(5.54), (5.55), (5.56), (5.57) hoặc

pt(5.59), (5.60), (5.61), (5.62), kiểm tra lại trong miền tần số bằng cách vẽ ñặc tuyến ñáp ứng biên ñộ và ñáp ứng pha Nếu chưa thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật, thì chọn lại M hay tập tần số {(} hay các mẫu Hr((k) và trở lại từ bước

2

Bảng 5.3: Công thức tính ñáp ứng xung h(n)

ðối xứng: h(n)=h(M-1-n)α

α = 0

α

Phản ñối xứng: h(n) = -h(M-1-n)