Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. pdf

Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm I a b c ; ;  và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng... 1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A

Chuyên đề V:

Phương pháp toạ độ trong trong không gian

1 Tọa độ của điểm, vectơ

Lý huyết

Yêu cầu nắm được:

- Tính độ dài vecto u a b c ; ; 

: u  a2b2c2

- Cho A x A;y A;z A, B x B;y B;z B, C x C;y C;z C

Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC

2 2 2

I

I

A B I

x

I y

z































;

3 3 3

G

G

G

x

G y

z

























- Tính tọa độ vecto AB

: ABx B x A;y B y A;z B z A

- Độ dài đoạn AB:

 B A2  B A2  B A2

AB AB  x x  y y  z z

- Tính tích có hướng của 2 vecto u a b c ; ; 

, v a b c   ; ;  , b c ; c a ; a b

u v

 

u v bc b c ca c a ab a b

       

 

- Tính tích vô hướng của 2 vecto u a b c ; ; 

, v a b c   ; ; 

u v aab bc c

- Tính góc giữa hai vecto u a b c ; ; 

, v a b c   ; ; 

  .

cos ,

u v

u v

u v



 

 

 

aa bb cc

  



- Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto

Ví dụ:

2 Mặt cầu

Lý huyết

 Mặt cầu tâm I a b c ; ;  và bán kính R có ph/trình

 2  2  2 2

xa  yb  zc R

 Dạng thứ hai: x2y2z22ax2by2czd 0 (2)

Với đ/kiện a2b2c2d 0, thì (2) là p/trình mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính

R a b c d

Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm I a b c ; ;  và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M x M;y M;z M  đến đường thẳng

  :AxByCzD0 được tính theo công thức

 

M

d





Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước I a b c ; ; 

Cách giải:

- Bán kính mặt cầu là RMI

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm A1; 2; 3  và đi qua điểm M 0;2;2

Lời giải:

 Mặt cầu đi qua điểm M 0;2;2 nên có bán kính bằng

1 02 2 22  3 22 26

 P/trình mặt cầu (tâm A1; 2; 3 ):

 2  2    2  2

x  y  z   Hay x12y22z32 26

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A1; 2; 1   và B3;0; 3 

Giải:

 Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB

Tọa độ tâm I là

 

1 3

2

2 0

1

2

I

I

A B I

x

y

z















 Hay i2; 1; 2  

 Bán kính mặt cầu

1 22  2  1 2  1  2 2 3

 P/trình mặt cầu cần tìm:

 2    2    2  2

Hay x22y12z22 3

Dạng 2: Mặt cầu có tâm I a b c ; ;  và tiếp xúc với mặt phẳng

 P : AxByCzD0

Cách giải:

- Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp P

Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm M0; 1;1  và tiếp xúc với mặt phẳng

 P :xy2z 1 0

Lời giải:

 Mặt cầu tiếp xúc với mp P nên bán kính m/cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến

mp P :

 

 

 

2 2

M P

  



 P/trình mặt cầu cần tìm (tâm M0; 1;1 ):

       

2 2

6

x  y   z   

Hay 2  2  2 2

3

x  y  z 

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7)

1 Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E

2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF

3 Phương trình mặt phẳng

Lý huyết

Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm M x M;y z M M  và có vecto pháp tuyến

 ; ; 

n A B C

PTTQ của mp là A x x M B y y M C z z M 0

Một số dấu hiệu:

- Mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng  d Khi đó vecto AB

hoặc vecto chỉ phương ud

của  d là vecto pháp tuyến của mp P

- Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q , khi đó vecto pháp tuyến nQ

của

mp Q cũng là vecto pháp tuyến của mp P

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  P đi qua điểm A1; 2; 3 

và :



b) song song với mặt phẳng  Q :x y 3z0

c) vuông góc với đường thẳng AB với A0;1;1, B  1;2;0

Lời giải:

a) Đ/thẳng  d có vecto chỉ phương u  2; 1;3 

    P  d nên  P nhận u  2; 1;3 

làm vecto pháp tuyến

Mặt khác  P đi qua điểm A1; 2; 3 

 Vậy p/trình tổng quát của  P :

        

2 x1  1 y2 3 z 3 0

Hay 2xy3z 9 0

b)     P || Q nên vecto pháp tuyến của  Q , n  1; 1; 3  

cũng là vecto pháp tuyến của  P

 Mặt khác  P đi qua điểm A1; 2; 3 

 Vậy p/trình tổng quát của  P :

1 x1 1 y2 3 z 3 0

Hay xy3z 8 0

c)  P  AB nên  P nhận AB   1;1; 1 

làm vecto pháp tuyến Mặt khác  P đi qua điểm A1; 2; 3 

 Vậy p/trình tổng quát của  P :

       

Hay  x y z 40  xy z 40

Dạng 2: Mặt phẳng  P xác định bởi hai vecto u

, v không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên  P {Ôn thi ĐH-CĐ}

Cách giải:

Vecto pháp tuyến của  P là nu v, 

  

, tích có hướng của hai vecto u

, v

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Mp P song song với hai đường thẳng    d1 , d2 không cùng phương

- Mp P vuông góc với hai mặt phẳng     ,  không song song

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1)

1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm

A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)

1 Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

2 Gọi M là điểm sao choMB 2MC

Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC

4 Phương trình đường thẳng

Lý huyết

 Đường thẳng   đi qua điểm M x M;y M;z M có vecto chỉ phương u a b c; ; 

- P/trình tham số của   :

M M M









, t  

- P/trình chính tắc của   : x x M y y M z z M

Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto

chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng

Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm M x M;y M;z M và có vecto chỉ phương xác định trước

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Đường thẳng   đi qua hai điểm M N, , khi đó vecto MN

là vecto chỉ phương của  

- Đường thẳng   vuông góc với mặt phẳng  P Khi đó vecto pháp tuyến

P

n

của  P là vecto chỉ phương của  

- Đường thẳng   song song với đường thẳng  d , khi đó vecto chỉ phương của  d cũng là vecto chỉ phương của  

Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải thiết cho và

liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng   , biết:

a)   đi qua hai điểm A1; 2; 3 , B0;1; 2 

b)   đi qua điểm M 1; 1;1  và vuông góc với mặt phẳng   :x3y z 0 c)   đi qua điểm N0;0; 2 và song song với đường thẳng  d có p/trình

 

2

2

z







  



 



Lời giải:

a)  Đường thẳng   đi qua hai điểm A, B nên nhận vecto

 

0 1;1 2; 2 3 



 1; 1;1

   làm vecto chỉ phương   Mặt khác   đi qua A1; 2; 3  nên có p/trình tham số

1 2 3

 





 



   



, t  

b)  Đường thẳng   vuông góc với mp P nên nhận vecto pháp tuyến

1; 3;1

n  

của  P làm vecto chỉ phương của  

 Mặt khác   đi qua điểm M1; 1;1  nên có p/trình tham số

1

1 3 1

 





  



  



, t  

c) Đ/thẳng  d có vecto chỉ phương u2;1; 0

 Đ/thẳng   song song với  d nên nhận u2;1; 0

làm vecto chỉ phương

 Mặt khác   đi qua điểm N0;0; 2 nên có p/trình tham số

0 2 0 2

z

 





 



 



, t  

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ túc):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4)

1 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN

2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng

MN

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường

thẳng (d) có phương trình

 

1 2

6

 





  



  



1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d)

2 Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N

5 Góc, khoảng cách

Lý huyết

 Khoảng cách từ điểm M x M;y M;z M đến đường thẳng   :AxByCzD0 được tính theo công thức

 

M

d





Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0

1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P)

Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình2x2y z 70

1 Viết phương trình đường thẳng MN

2 Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P)

Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 1;3 , mặt phẳng

 P :x2y2z100

1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P)

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)

6 Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu

Bài toán tổng hợp

Lý huyết

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm

A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3)

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD

2 Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D

Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN):

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6)

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC

2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

Câu 3 (Đề TN 2006, KPB):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1),

B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

1 Viết phương trình đường thẳng OG

2 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C

3 Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E1;2;3 và mặt phẳng

  :x2y2z 6 0

1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mp  2) Viết phương trình tham số của đường thẳng   đi qua điểm E và vuông góc

với mp 