Chương 3: Các qui tắc đếm ppsx

PHÉP ĐẾM CÁC PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP.. Ta nói A có vô số phần tử hay A là một tập hợp vô hạn... Giả sử B là một tập con của một tập hợp hữu hạn A.. Giả sử ta thực hiện n cuộc thử nghiệm

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

3.1 ÁNH XẠ

3.1.1 ĐỊNH NGHĨA

§ Một ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B là phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x của A một phần tử duy nhất y của B mà ta ký hiệu là f(x) và

gọi là ảnh của x bởi f Ta viết

f : A → B

x → f(x)

§ Hai ánh xạ f, g từ A vào B được nói là bằng nhau nếu:

∀ x ∈ A, f(x) = g(x)

§ Nếu E là một tập hợp con của A thì ảnh của E bởi f là tập hợp:

f(E) = {y ∈ B/ ∃x ∈ B, y = f(x)}

§ T a cũng viết

f(E) = {f(x)/ x ∈ B}

§ Nếu F là một tập hợp con của B thì ảnh ngược của F là tập hợp

f-1(F) = {x ∈ A/ f(x) ∈ F}

Chú ý

1 Nếu y ∈ B , ta viết f-1({y}) = f-1(y)

2 Nếu f-1(y) = ∅ thì y không nằm trong ảnh f(A) của A

3 Nếu f-1(y) = {x} thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y

§ Gọi f là một ánh xạ từ tập hợp A vào tập hợp B Khi ấy ta nói

1 Phép là toàn ánh nếu f(A) = B

2 F là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của A có ảnh khác nhau

3 F là song ánh nếu nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

§ Cho hai ánh xạ

f : A → B và g : B → C

Aùnh xạ hợp h từ A vào C xác định bởi:

h : A → C

x → h(x) = g(f(x))

3.1.2 TÍNH CHẤT

Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, A và B là hai tập con tùy ý của B Ta có:

§ f(A∪B) = f(A) ∪ f(B)

§ f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

§ f-1(A∪B) = f-1(A) ∪ f-1(B)

§ f-1(A∩B) ⊂ f-1(A) ∩ f-1(B)

3.2 PHÉP ĐẾM CÁC PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP

3.2.1 THỦ TỤC ĐẾM

§ Bước 0. Nếu A = ∅ ta nói số phần tử A bằng không

Ngược lại chuyển qua bước 1

§ Bước 1 Chọn tùy ý một phần tử a ∈ A rồi gán a tương ứng với phần tử 1

∈ N

Nếu A= {a} ta nói ta có 1 phần tử

Nếu không chuyển qua bước 2

§ Bước 2 Do A ≠ {a}, tồn tại một phần tử b ∈ A và b ≠ a Ta gán b

tương ứng với phần tử 2 ∈N Ta có song ánh:

{a,b} ↔ {1,2}

Nếu A = {a, b}, ta nói A có 2 phần tử, nếu không cứ tiếp tục

Hai trường hợp có thể xãy ra:

1 Thủ tục dừng ở một bước n nào đó, nghĩa là tồn tại một song ánh giữa A và {1.2,…n} ⊂ N Ta nói A có n phần tử

2 Thủ tục không bao giờ dừng Ta nói A có vô số phần tử hay A là một tập hợp vô hạn

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

3.2.2 ĐỊNH NGHĨA TẬP HỮU HẠN & TẬP HỢP VÔ HẠN

§ Một tập hợp A đươc nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song

ánh giũa A và tập hợp con {1,2,…n} của N T aviết Card(A) = n

§ Nếu A không hữu hạn, ta nói A vô hạn

3.2.3 NGUYÊN LÝ CỘNG (QUI TẮC 1)

Giả sử B là một tập con của một tập hợp hữu hạn A Gọi B la phần bù của B trong A Khi ấy, ta có

3.3 QUI TẮC ĐẾM 2 (QUI TẮC NHÂN)

Giả sử ta thực hiện n cuộc thử nghiệm khác nhau:

− Cuộc thử nghiệm thứ nhất có k1 kết quả khác nhau

− Cuộc thử nghiệm thứ hai có k2 kết quả khác nhau

−

− Cuộc thử nghiệm thứ n có kn kết quả khác nhau

Khi đó số các kết quả xảy ra sau n cuộc thử nghiệm đó là :

k1× k2× × kn khác nhau

Thí dụ Giả sử các bảng số xe gắn máy 2 bánh từ 50cc trở xuống gồm :

Phần 1: Một trong số là 57 hoặc 58

Phần 2: Một số từ 00 đến 999

Phần 3: Hai mẫu tự bất kỳ

Vậy số các bảng số xe có thể cung cấp là :

2 × 999 × (26 × 26) = 1.350.648

3.4 QUI TẮC ĐẾM 3

Giả sử một cuộc thử nghiệm cho một trong k kết quả khác nhau Nếu cuộc thử nghiệm đó được lặp lại n lần thì số các kết quả có thể có là:

k × k × × k = kn

n lần

Thí dụ 1 Khi thấy một đồng tiền, kết quả có thể là mặt sấp hoặc mặt ngửa

Vậy k = 2

Nếu ta thấy đống tiền đó 10 lần và ghi lại kết quả ở mỗi lần thấy thì số các trường hợp có thể xảy ra là : 210 = 1024

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

Thí dụ 2 Nếu ta thấy một con súc sắc có 6 mặt 2 lần thì số các kết quả có thể xảy ra

là: 62 = 36

3.5 QUI TẮC ĐẾM 4 (SỐ HOÁN VỊ)

Giả sử có n vật khác nhau Số cách sắp xếp n vật đó (có kể thứ tự) được cho bởi:

n! = n(n-1) 1

Ký hiệu n! đọc là n giai thừa với qui ước 0! = 1

Thí dụ 1 Có 6 quyển sách khác nhau được đặt trên một kệï hàng Số cách sắp đặt 6

quyển sách trên sẽ là :

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 720

Thí dụ 2 Có 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tính tổng cho các số có được bằng cách hoán vị

các chữ số nói trên

Gọi N là 1 số trong số 720 số có được thí dụ N = 341526

Ta có thể tìm được số một N cũng do hoán vị 6 chữ số đó với tính chất tổng của

2 chữ số ở cùng vị trí của N và N’ bằng 7

với N = 341526 thì

N’ = 436251 Như vậy ta có 720/2 = 360 cặp số N và N’ có tổng bằng 777777

Do đó, tổng của 720 số có được do hoán vị 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là :

777 777 × 360 = 279.999.720

3.6 QUI TẮC ĐẾM 5 (SỐ CHỈNH HỢP)

Giả sử ta có một tập hợp có n phân tử , số tập hợp con có k phân tử (có kể thứ tự ) rút

ra từ tập hợp nói trên bằng

Ak = n! / (n -k)! = n(n -1) (n – k + 1)

Thí dụ 1 Có tất cả 6 cuốn sách nhưng chỉ có thể xếp 4 cuốn sách lên kệ, Vậy số sách

có thể xếp 4 quyển sách lên kệ là :

Chương 3 Các Qui tắc Đếm 6! / (6 - 4)! = 6! /2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360

Thí dụ 2 Xét tập hợp các số gồm 3 chữ số khác nhau Có bao nhiêu chữ số như vậy?

Chú ý rằng số 0 không thể ở vị trí các chữ số hàng trăm

Gọi a, b, c, là 3 chữ số khác nhau trong các chữ số 1, 2, ,9

Các số ta đang xét có thể phân hoạch thành 5 loại :

a Các số có dạng abc có tất cả là:

9! / (9 - 3)! = 9!/ 6! = 9 × 8 × 7 = 504 số

b Các số có dạng acb có tất cả là:

9! / (9 - 2)! = 9! / 7! = 9 × 8 = 72 số

c Các số có dạng abc có tất cả là:

9! / (9 - 2)! = 72 số

Vậy tổng có : 504 + 72 + 72 = 648 số gồm 3 chữ số khác nhau

Cách khác : Dùng qui tắc nhân

- Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng trăm

- Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng chục

- Có 8 cách chọn 1 chữ số hàng đơn vị

Vậy có 9 × 9 × 8 = 648 cách chọn 1 số có 3 chữ số khác nhau

3.7 QUI TẮC ĐẾM 6 (SỐ TỔ HỢP)

Trong một tập hợp có n vật, số tập hợp con có k vật rút ra từ tập hợp nói trên (không kể thứ tự ) bằng

Thí dụ : Một tổ chức có 20 hội viên gồm 12 nam và 8 nữ, muốn bầu ra một Ban đại

diện gồm 5 người trong đó phải có ít 2 nam và 2 nữ Có bao nhiêu cách thành lập một Ban đại diện như vậy trong mỗi trường hợp sau đây :

a) Mọi người đều có tham gia vào Ban đại diện

b) Oâng X và bà Y không chịu ngồi chung trong một Ban đại diện

Giải

a) Có 2 trường hợp:

− Ban Đại diện có 3 nam và 2 nữ Số cách để thành lập một Ban Đại diện như vậy bằng

k

3

2

8

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

− Ban đại diện có 2 nam và 3 nữ Số cách để thành lập một Ban Đại diện như vậy bằng

Vậïy số Ban đại diện có thể thành lập được là 6 160 + 3 603 = 9856

b) Trước hết ta tìm số cách lập một Ban đại diện có cả ông X và bà Y

− Trường hợp 3 nam và 2 nữ

Chọn 2 nam trong 11 nam (đã có Ô.X)

Chọn 1 nữ trong 7 nữ (đã có Bà Y)

− Trường hợp có 2 nam và 3 nư õ

Vậïy có 385 + 231 = 616 cách lậïp mộït Ban đại diện trong đó có ông X và bà Y ngồi chung

Do đó, số cách lậïp Ban đại diện không có ông X và bà Y ngồi chung là

9856 - 616 = 9240

3.8 SỐ CÁCH PHÂN HOẠCH MỘT TẬP HỢP

X là một tập hợp có n phân tử Ta muốn phân hoạch X thành k lớp (có kể thứ tự các lớp)

Lớp thứ 1 có n1 phân tử,

Lớp thứ 2 có n2 phân tử,

…

Lớp thứ k có nk phân tử Và (n1 + n2 + + nk = n)

2

3

8

2

1

7

1

2

7

Chương 3 Các Qui tắc Đếm

Thí dụ 1 Có bao nhiêu cách phân bố 8 sinh viên vào 3 phòng trọ biết rằng:

Phòng số 1 có 3 giường

Phòng số 2 có 3 giường

Phòng số 3 có 2 giường

Giải

Mỗi cách phân bố các sinh viên vào các phòng là mộït phân hoạch của mộït tập hợp có 8 phân tử thành 3 lớp

Lớp 1 có n1 = 3 phân tử

Lớp 2 có n2 = 3 phân tử

Lớp 3 có n3 = 2 phân tử

Vậïy số phân hoạch là:

Thí dụ 2 Tranh giải vô địch quốc gia mộït đội bóng A phải thi đấu với 6 đội khác

nhau Có bao nhiêu cách sắp xếp để kết quả sau 6 trận đấu trên gồm 2 thắng, 3 thua,

1 hòa

Giải

Số cách sắp xếp = Số phân hoạch 1 tập hợp có 6 phân tử

( các đội bóng thi đấu với đội A ) Thành 3 lớp:

Lớp thứ 1 gồm các đội thua A ( có 2 đội )

Lớp thứ 2 gồm các đội thắng A ( có 3 đội )

Lớp thứ 3 gồm các đội hòa A ( có ù đội )

Vậïy số cách sắp xếp là

Chú ý nếu phân hoạch có thứ tự một tập hợp có n phân tử thành 2 lớp:

2, 3, 1

3, 3, 2

n1 n2, …,nk

n = n! / (n1! n2! …nk! )

Chương 3 Các Qui tắc Đếm Lớp 1 có k phân tử

Lớp 2 có n - k phân tử thì

Số phân hoạch :

= (Số tập hợp con có k phân tử trong n phân tử)

3.9 Khai triển nhị thức

Công thức khai triển nhị thức :

(x + y)n (n là số nguyên tự nhiên)

được cho bởi :

(× + y )n = xn + x n-1 y + + × y n-1 + yn

Các hệ số

Thí dụ (x + y )5 = x5 + 5x4 y + 10x3 y2 +10x2 y3 +5xy2 + y5

3.10 Khai triển bội thức

Khai triển của (x 1 + x 2 + +xk ) n gồm tổng tất cả các số hạng có dạng :

với n1+ n2 + + nk! = n

Thí dụ (x + y + z )3 = x3 + y3 + z3 +3x2y +3yz2 + 3x2z +6xyz

k, n -k

k

k

n , k = 1 n-1 đượïc cho bởi tam giác PASCAL

n1 n2, …,nk

n Xn1 Xn2 ….Xnk