TÌM GTLN VÀ GTNN A.. Kiến thức cơ bản: Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số hay một biểu thức thường là: 1 Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết.. 2 Sử dụng một số bđt đơn
Trang 1TÌM GTLN VÀ GTNN
A Kiến thức cơ bản:
Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số (hay một biểu thức) thường là:
1) Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết
2) Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá
3) Đặt ẩn phụ, đưa về các dạng quen thuộc
4) Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm
5) Lượng giác hóa
6) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
B Một số ví dụ
VD 1: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x + y + z = 1 Tìm GTNN của
xyz
y x
P
Giải: Ta có:
4
1 ) ( 2
1 ) ( )
( 2 )
(
1 x y z x y z x y z x y z
16
16 )
2 (
4 ) ( 4 ) ( )
( 4
xyz
y x
xyz z
xy z
y x y x z
y x
Suy ra minP = 16 đạt được
2 / 1
4 / 1
y x z
y x
y x
z y x
VD 2: Tìm GTLN của biểu thức
xyz
z xy y
zx x
yz
Viết lại :
z
z y
y x
x
P 1 2 3
Cách 1 Ta có:
3 2
1 3 )
3 ( 3 2 3 ) 3 (
2 2
1 2 )
2 ( 2 2 2 ) 2 (
3
1 1 1
2 1 ) 1 (
z
z z
z
z
y
y y
y
y
x
x x
x
x
Suy ra
3 2
1 2 2
1 2
1
P , với mọi x,y,z thỏa (1)
Trang 2Nên MaxP =
12
3 2 2 3 6 3 2
1 2 2
1 2
x = 2, y = 4, z = 6
Cách 2:
Xét hàm số: ( ) 1 ,x1 ;
x
x x f
Tính f /(x), giải phương trình f /(x)= 0, lập BBT suy ra Maxf(x) = 1/2 Tương tự
cho hai biểu
thức còn lại …
VD 3: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa:
2
y z
x Tìm GTLN của biểu thức:
1 tan tan 1
tan tan 1
tan
P
Giải:
Từ:
2
y z
x
2 tan )
1 tan tan tan
tan tan
.
Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz Ta có
2 3
1 1
1
2
ab ca
ca bc
bc ab
ca bc ab P
ca bc
ab P
12 2
8 2 4 2
1 1
2
1 1
2
1 1
2 4
2
3 / 1 3
2 3
* Chú ý: ba số thực x, y, z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A/2, B/2, C/2 của tam giác
một tam giác ABC nào đó
VD 4: Tìm GTNN của hàm số:
) 1 ( log ) 3 ( log 2 1 2 3 2 2
Giải:
TXĐ: D 3 ; 3 \ 2 ; 0
Đặt: t logx2 1( 3 x2)
Ta có 1 1 2
t
t t t y
Suy ra miny = 2 đạt được t 1
VD 5: Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa: x+y+z = 4 Tìm GTLN của biểu thức:
1 4 1 3 1
P
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
4
183 ) 4 / 1 3 / 1 2 / 1 )(
4 3 2 ( 4 / 1 2 3 / 1 3 2 / 1
2
P
Trang 3Suy ra MaxP =
2
183
x
VD 6: Cho hai số thực x, y thỏa: x2 + y2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2 2
2 2 1
) 6 ( 2
y xy
xy x
P
Giải:
Cách 1
2 2
1 1
y y
x y
Chia cả tử và mẫu của P cho y2 ta được:
2 2 1
6 2
2
2 2
y
x y
y
x y
x
Từ (2) và (3), đặt
y
x
3 2
) 6 ( 2
2
2
t f t
t
t t
Xét hàm số f(t), tính f’(x), lập BBT, tìm GTLN, NN của f(t), ta được
Maxf(t) = 3 , min(t) = - 6 (4)
Kết hợp với (1), suy ra GTLN, NN của P
* Chú ý: có thể dùng phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, NN của f(t)
Cách khác (Phương pháp lượng giác hóa):
Đặt x = cos; y = sin (0 < 2)
P =
2
2
2(cos 6 sin cos )
1 2sin cos 2 sin
= 1 cos 2 6 sin 2
2 sin 2 cos 2
(P – 6)sin2 - (P + 1)cos2 = 1 – 2P (1)
(1) cú nghiệm (P – 6)2 + (P + 1)2 (1 – 2P)2 P2 + 3P – 18 0 6 P 3 max P = 3 và min P = 6
VD 7 Cho hai số x, y thỏa: x > y và x.y = 2008 Tìm GTNN của biểu thức
y x
y x P
2 2
HD: Ta có
y x y x y x
xy y x y
x
xy y
x P
2
Vì x – y > 0, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có P 2 4016 8 251 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4016 4 251
y x y
tìm x,y
C Bài tập
Trang 4Bài 1
Cho hai số thực x, y thỏa: x+y = 1 Tìm GTLN của
) ( 3 ) (
3 3
y x y
x y x
Bài 2
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y = 5/4 Tìm GTNN của biểu thức;
y x
A
4
1 4
Bài 3
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC
a) Tìm GTLN của
2
sin 2
sin 2 sin A B C
P
b) Tìm GTLN của:
2 sin 1
2 sin 1
2 sin
1
C B
A
Bài 4
Cho ba số thực a, b, c thỏa 0 < a, b, c < 1 và ab + bc + ca = 1 Tìm GTNN của
biểu thức
2 2
2
1 1
c b
b a
a P
Bài 5
Cho hai số thực không âm x, y Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
2 2
) 1 ( ) 1 (
) 1 )(
(
y x
xy y
x P
Bài 6
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa abc = 1 Tìm GTNN của
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 (
3 3
3
b a
c a
c
b c
b
a P
Bài 7
Cho ba số x, y, z thỏa: (x 1 )2 (y 3 )2 (z 1 )2 7 Tìm GTLN của biểu thức:
z
y
x
P
Hướng dẫn giải (GTLN,GTNN)
Bài 1 Từ x+y=1 suy ra y = 1-x Thay vào P, dùng đạohàm
Bài 2
Cách 1 Đưa A về 1 biến, Dùng đạo hàm
4
5 4
1 4
4
5 4
1 4
y
x x y
x y x A
Bài 3
Trang 5a) Chứng minh
8
1 2
sin 2
sin 2
P
b) Áp dung bđt Cauchy và câu a
Bài 4 Đặt
2 tan ,
2 tan ,
2
2 , ,
x y z
Ta có:
2
tan 2 tan 1 2
tan 2
tan 2 tan 1 2
tan 2
tan 2
tan 2
tan 2
tan
2
2 2 2 2 2
2
tan 2 2
tan 2
cot 2 tan 1 2
tan 2 tan
1
2
tan 2
y z
x
z x
Suy ra x, y, z là ba góc của một tam giác nhọn
Nên:
2 tan 1 2 tan 2 2
2 x
x P
2 tan 1 2 tan 2
2 y y
2 tan 1 2 tan 2
2 z
z
áp dụng đẳng thức: tanx tany tanz tanxtanytanz và bđt Cauchy, ta có
2
3
3
2 p
Bài 5 Đặt x = tgu, y = tgv với u, v [0; )
2
(tgu tgv)(1 tgutgv)
P
(1 tgu) (1 tgv)
(sin u cos u) (sin v cos v)
2 (1 sin2u)(1 sin2v)
Pmax = 1 1 1 1khi
và v = 0 x = 1 và y = 0,
Pmin = 1 1 1 1khi
4
x = 0 và y = 1 Cỏch khỏc :
P = x x y2 2 y xy22 x(1 y )2 2 y(1 x )2 2 x(1 2y y )2 2 y(1 2x2 x )2
=
(1 x) (1 y)
2
(1 a) 4
nờn : Pmax
1 4
khi x = 1 ; y = 0 và Pmin = 1
4
khi x = 0 ; y = 1
Bài 6
Ta có:
4
3
3 8
1 8
1 ) 1 )(
1
(
3 3
a c
b c b
a
4
3
3 8
1 8
1 ) 1 )(
1 (
3 3
b a
c a c
b
4
3
3 8
1 8
1 ) 1 )(
1 (
3 3
c b
a b a
c
4
3 4
3
3 2
1 4
3 ) (
2
P
………
Trang 6Một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi TSĐH gần đây
Bài 1(A-2006) Cho hai số thực x, y khác 0, thay đổi thỏa điều kiện (x+y)xy =
x2 + y2 – xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 13 13
y x
Bài 2(B-2006) Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm GTNN của biểu thức
2 )
1 ( )
1 ( 2 2 2 2
P
Bài 3 (B-2008) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa x2 + y2 = 1 Tìm
2
2 2 1
) 6 ( 2
y xy
xy x
P
Bài 4 (D-2008) cho các số thực không âm thay đổi, tìm GTLN-GTNN của biểu
thức:
) 1 )(
1 (
) 1 )(
(
2 2
y x
xy y
x P
Bài 5 (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa (x + y)3 + 4xy 2 Tìm GTNN của biểu thức: A 3 (x4 y4x2y2) 2 (x2 y2) 1
Bài 6(D-2009) cho các số thực không âm thay đổi thỏa x + y = 1 Tìm
GTLN-GTNN của biểu thức: S ( 4x2 3y)( 4y2 3x) 25xy
………
………