Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10

Cho a,b,c là các số dơng... Chứng minh các bất đẳng thức sau... Tìm giá trị nhỏ nhất của A... Gọi a, b, c là độ dài các cạnh, R là bán kính của đờng tròn ngoại tiếp, S là diện tích của t

Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

Bài 7. Víi x, y lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x  y

T×m GTNN cña biÓu thøc

xy

y x M

2 2





Bài 8.

Mét sè bµi to¸n vÒ cùc trÞ - ¤n thi vµo líp 10

Bài 9. Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x + y + z = 4

Bài 10

Bài 11

Bài 12

Bài 13

Bài 14

Bài 15

Bài 16

Bài 17

Bài 18

Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tháa m·n : 2 2 2 3





b c

Chøng minh r»ng :

2

1 3 2 3

2 3















c c

b

b b

a a

Bài 19 Cho 2 sè d¬ng x, y tháa m·n x + y = 1

a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 + 2

1

y )( y2 + 12

x ) b) Chứng minh rằng : N = ( x +

x

1 )2 + ( y +1y )2 

2 25

Bài 20

Bài 21

Bài 22

Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) 1 1 1

9

a b c

Bài 23 Cho 4a2+ b2 = 5 ab (2a > b > 0) Tính số trị biểu thức: M = 4b2 b2

ab



Bài 24

Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x+ 1 Tìm GTNN mà A có thể đạt đợc

Bài 25

50

1

3

1 2

1 1

b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007

Bài 26 Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh rằng 1< a a b b b c a c c









Bài 27

1) Chứng minh : (ab+cd)2  (a2+c2)( b2 +d2)

2) áp dụng : cho x+4y = 5 Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2

Bài 28 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) a2 b2 c2  (abbcca)

2)

c b a c b a

2 2 2 18









 với a, b ; c dơng

Bài 29 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2 5 4 2002









y xy x y x

Bài 30

1) Tìm các số thực dơng a, b, c thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca  6 2) Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn: x + y  6

Tìm GTNN của biểu thức: M = 3x + 2y +

y x

8 6



Bài 31 Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6 CMR: x2 + y2 + z2  3

Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10

Bài 32 Chứng minh rằng: 21312 413 200712006 2

Bài 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= xy z  yz x  zx y với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1

Bài 34 Cho a1, a2, , an là các số dơng có tích bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

n 2

1 1

a

1 1 a

1

1      

Bài 35 Cho x, y là hai số dơng thỏa mãn: xy 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1y2 xy2





Bài 36 Cho biểu thức:

1

6







a

a

M Tìm các số nguyên a để M là số nguyên

Bài 37 Chứng minh các bất đẳng thức sau

a, Cho a > c , b >c , c > 0 Chứng minh : ca c  cb c  ab

b, Chứng minh :

2005

2006 2006

2005

  2005  2006

Bài 38

Cmr : A = 1.2.3 2005.2006.      

2006

1 2005

1

3

1 2

1

Bài 39 Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mãn : x + y = 1

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 1y3 xy1



2 2 2

2 2 2

2 2 3 3 3

























ac b

a c bc a

c b ab c

b a abc

c b a

Bài 40 Cho các số dơng a, b, c, d Biết 1

d 1

d c 1

c b 1

b a 1

a















 Chứng minh rằng a.b.c.d 

81 1

Bài 41

a Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0

Tính P = (2006+

b

a

)(2006 +

c

b

) ( 2006 +

a

c

)

x

x

x  

Bài 42 Cho x > 0 ; y > 0 và x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: M =

2

1

x y



+

2

1

y x



Bài 43 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

1

3 4

2 2





x x x

Bài 44 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcA x x1 y y 2

Bài 45

a Cho 8x2 + y2 + 4 2

1

x = 4 Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất

b Tìm 4 số nguyên dơng x,y,z,t thoả mãn 12  12  12  12  1

t z y x

Bài 46

Cho 3 số không âm x,y,z thoả mãn đẳng thức: x + y + z = 1

Chứng minh rằng: x + 2y + z  4(1- x) (1- y) (1- z)

Bài 47

a Chứng minh bất đẳng thức :

b

b a ab b a

8

) ( 2

2









với a > b > 0

b Cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a + b + c = 3

Chứng minh:

2

3 1

1









c c

b b a

Bài 48

1 Cho A =

1 2

1 2



 +

2 3

2 3



 + ….+ +

24 25

24 25



 Chứng minh rằng A < 0,4

2 Cho x, y , z > 0 thoả mãn xyz  x + y + z + 2 tìm giá trị lớn nhất của x + y + z

Bài 49 Cho biểu thức Q=

2 2

11 6 3

2 2









x x

x x

a, Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q

Bài 50 Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : 1 236

z y

x Xét biểu thức :P= x+y2+z3 a.Chứng minh rằng:P  x + 2y + 3z - 3

b.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 51

Với a > 0 ; b > 0 và x,y > 0 thay đổi sao cho :   1

y

b x

a

Tìm x,y để x + y đạt GTNN

Bài 52 Cho 0  x, y, z  1 CMR: yz x1 + 1



xz

y

+xy z1  2

Bài 53 Cho cỏc số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 a + b + c 2

a + b b + c c + a

Bài 54 Tìm giá trị của M để:

a m2 – 2m + 5 có giá trị nhỏ nhất

b

1 2

5 2

2 2





m

m có giá trị lớn nhất.

Bài 55 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

Mét sè bµi to¸n vÒ cùc trÞ - ¤n thi vµo líp 10

Chøng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2

Bài 56 Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1

a b

Bài 57

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x - x y + x + y - y + 1 2

Bài 58

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca )

Bài 59

Cho biểu thức A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 Hỏi A có GTNN hay không? Vì sao?

Cho các số a, b, c 0 ; 1 Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca  1

Bài 60

Chứng minh rằng:

2

a 3a + b  b 3b + a  với a, b là các số dương

Bài 61

Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của biểu thức : P = 3x + 2y + 6 + 8

Bài 62

Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: x + a + b + c = 7 (1)2 2 2 2

x + a + b + c = 13 (2)







Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x

Bài 63

Tìm x, y thoả mãn 5x - 2 x(2 + y) + y2 + 1 = 0

Bài 64

Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1

Bài 65 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + 2x + 24 2 2

x + 1

Bài 66 Cho a, b, c.> 0 Chứng minh BĐT: a b b c c a 4 a b c

c a b b c c a a b

Bài 67 Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 1

abc

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b a c    

Bài 68 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2

x  y xy

Bài 69 Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức:  2









c a c

b c b a

Bài 70 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

x x

1 1

2



 , với 0 < x < 1

Bài 71 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x22 x 1

x 2x 2

 

 

Bài 72

Cho x và y thỏa mãn đồng thời : x  0, y  0, 2x + 3y  6 và 2x + y  4

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x2- 2x – y

Bài 73

a Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức: A = 1 x  2  1 y  2  1 z  2  2 x  y  z

b Cho a, b, c  [0; 2] và a + b + c = 3 Chứng minh a2 + b2 + c2 < 5

Bài 74

Tìm GTLN và GTNN của P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn x2 + 2xy + 3y2 = 4

Bài 75

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh: 2 1 + 2 1 + 2 1 a + b + c

a + bc b + ac c + ab  2abc

Bài 76

Cho biểu thức: A = x - 2 xy +3y - 2 x + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 77 Cho x2 + y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x + y + 2xy

Bài 78 Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2

Chứng minh:

x + y y + z z + x  2 xyz

Bài 79

Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: A = 5 - 3x2

1 - x

Bài 80 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Chứng minh: a + b + b + c + c + a 2 2 2 2 2 2  2 (a + b + c).

Bài 81

Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 + 35 4c

1 + a 35 + 2b  4c + 57 Tìm GTNN của A = a.b.c

Bài 82

Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2

A

x x



Bài 83

Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x>y và xy=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

2 2

y x

y x





Bài 84

Giả sử n là số tự nhiên Chứng minh bất đẳng thức: 21 312  11 2













n n

Bài 85

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

5 2

6 2 2 2











x x

x x y

Bài 86

Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 Chứng minh: a + b + c ≥ 16

Bài 87

Tam giác ABC không có góc tù Gọi a, b, c là độ dài các cạnh, R là bán kính của

đờng tròn ngoại tiếp, S là diện tích của tam giác Chứng minh bất đẳng thức:

c

b

a

S

R





 4

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 88

Tìm tất cả các giá trị x≥ 2 để biểu thức:

x

x

F   2 , đạt giá trị lớn nhất

Bài 89

Cho Px 5  x  3  x 2 x Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3

Bài 90

Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn: a + b + c ≤ 2005

3

5 3

5 3

5

2

3 3 2

3 3 2

3 3



















c ca

a c b bc

c b a ab

b a

Bài 91

Cho các số a, b, c thoả mãn: 0 ≤ a ≤ 2; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 2 và a + b + c = 3

Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca  2

Bài 92

Cho 5x+2y=10 Chứng minh 3xy - x2 - y2 < 7

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì

c b

a c

a b

a

.

2





Bài 93

a. Với hai số tuỳ ý a, b, chứng minh rằng: a2 + b2 – ab + a + b + 1  0

b. Cho a + b + c = 3 Chứng minh: a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3

Bài 94

Cho x, y, z là ba số dương thoả món x + y + z =3

Chứng minh rằng: 3  3  3 1

x x yz y y zx z z xy

Bài 95 Cho 2 số dương a, b thỏa mãn 1 1 2

a b  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 4 21 2 4 21 2

Q

a b ab b a ba

Bài 96

Chứng minh phương trình ax2+bx+c=0 (a0) có nghiệm nếu 2b c 4

a  a

Bài 97

a Chứng minh đẳng thức (22 )2 1 3 42

 

b Tìm a để P = 3 42

1

a a



 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 98

Tam giác ABC có a,b,c và x,y,z lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB và các đường phân giác của các góc A,B,C Chứng minh: 1 1 1x y z 1 1 1a b c 

Bài 99

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác với a b c Cmr: (a+b+c)29bc

Bài 100

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (2x-x2).(y-2y2) với 0 x 2, 0 y 1

2

Bài 101 Cho a,b là hai số dương thoả mãn a+b =5

4 Chứng minh rằng 4 1 5

a 4b  khi nào bất đẳng thức xảy ra dấu bằng

Bài 102 Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz - 16 0

x y z   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = ( x +y )(x +z )

Bài 103 Cho số thực x 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

x 2



Bài 104

S x   y  z

Bài 105

Cho 2 sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n: x3 y3  3xy x 2 y2 4x y x y2 2   4x y3 3  0

T×m GTNN cña biÓu thøc M = x + y

Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10

Bài 106 Cho a,b,c là ba số thực khỏc 0 và thỏa món :

1

a b c b c a c a b bc







Tớnh giỏ trị của biểu thức 20131 20131 20131

Q

Bài 107

Cho x  0, y 0 và x2 + y2 ≠ 0 Chứng minh: A = 2x 5y 2 xy > 0

Bài 108

Cho hai số dương x, y cú tổng bằng 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: B = 

























1 1 1

y x

Bài 109

Bài 110

Bài 111 Cho a, b l các số dà các số d ơng thỏa mãn a + b = 2ab

Xác định GTNN của biểu thức : B =

1 2

1 1

2

1











b

b a

a

Bài 112

Bài 113

Cho a,b,c là 3 số dơng thỏa mãn điều kiện : a+b+c=1 Tìm GTLN của biểu thức

Bài 114

Bài 115

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

Tìm GTNN của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc

Bài 116

Bài 117

Bài 118

Bài 119

Bài 120 Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng Chøng minh r»ng

Bài 121 Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n 2 2 25

9

x y z

  





 Chøng minh : 1  x, y, z  7

3

Bài 122

Bài 123

Bài 124

Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10

Bài 125

Bài 126

Bài 127

Bài 128 Cho 2 số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 1

Bài 129 Cho x > xy + 1 Tìm GTLN của biểu thức : 2 2

3xy

P

x y





Bài 130

Bài 131 Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

Bài 132 Tìm x để y đạt GTLN thỏa mãn x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y = 0

Bài 133

Bài 134

Bài 135 Cho 2 số dơng x, y có tổng bằng 1

Bài 136

Bài 137

Cho x, y là 2 số dơng thỏa mãn x5+ y5= x3+ y3 Chứng minh : x2 + y2  1 + xy

Bài 138

Cho 2 số dơng x, y y thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh : x2y2(x2 + y2)  2

Bài 139

Bài 140

Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn phơng trình x2y + 2xy -4x +y = 0 sao cho y đạt GTLN

Bài 141

1

Bài 142 Chứng minh rằng với n  N ta có : 1 1 1 2

23 2  (n 1) n 

Bài 143

Bài 144

Bài 145 Chứng minh rằng :

Bài 146 Cho 3 số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c  2005 Chứng minh

Một số bài toán về cực trị - Ôn thi vào lớp 10

Bài 147 Giả sử x > y và xy = 1 Tìm GTNN của biểu thức x xy y

2 2

Bài 148 Cho các số a, b, c thỏa mãn 0  a, b, c  2 và a +b +c = 3

Bài 149 Cho a; b; c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1

Chứng minh rằng : ab + ac + bc > abc

Bài 150

Bài 151 Cho a, b, c, p theo thứ tự là độ dài các cạnh và chu vi của một tam giác

p a p b p c a b c

Bài 152

Bài 153

Bài 154 Cho x, y là 2 số thực bất kì khác 0

Bài 155

Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2+ y2+z2=1 Tìm GTLN của biểu thức

Bài 156

Bài 157

Cho các số x, y > 1 Tìm GTNN của biểu thức  3 3  2 2

( 1)( 1)

P



Bài 158

Bài 159

Bài 160 Với x, y, z là các số thực dơng Tìm GTLN của biểu thức

Bài 161 Tìm giá trị của x để biểu thức

2 2

2 1989

x x y

x

 

Bài 162 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :

Bài 163

Bài 164

Cho x, y, z là 3 số dơng thay đổi thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 165 Giả sử x, y, z là các số dơng thay đổi thỏa mãn xy2z2+ x2z + y = 3z2

Bài 166 Cho các số thực dơng x, y Chứng minh rằng :

x y

x y

y  x  