Phương trình Hệ Phương Trình

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có nghiệm đặc biệt và thu được phương

Trang 1

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT

4 PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BA

Phương trình có một nghiệm là: x0 c

Phương trình có nghiệm duy nhất

Ta nghiên cứu các khai triển sau:

3 3

3

3 3 3

3 3

Trang 2

Đặt m=cosα =cos(α ±2π α); ∈[ ]0;π Khi đó:

8 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Cho phương trình x4+ −(1 2a x) 2 +a2 − =1 0 Định tham số để:

1 Pt vô nghiệm

2 Phương trình có một nghiệm

3 Phương trình có hai nghiệm

4 Phương trình có 3 nghiệm

5 Phương trình có bốn nghiệm

6 Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng

Trang 3

Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có

nghiệm đặc biệt và thu được phương trình hồi qui bậc chẵn giải bằng cách

chia số hạng chính giữa

Cho phương trình : x4+ax3+x2 +ax+ =1 0 Định tham số để phương trình :

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt

Bài tập14:

Cho phương trình : x4−ax3−(2a+1)x2+ax+ =1 0 Định tham số để phương trình :

1 Có bốn nghiệm phân biệt

Trang 4

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Giải và biện luận

Bài tập18:

Cho phương trình : x4−2x3+ + =x 2 a

1 Giải phương trình khi a = 132

1 Giải phương trình khi a = 5

Bài tập20:

Cho phương trình mx3−x2−2x+8m=0 Đinh m để:

1 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

2 Phương trình có nghiệm bội

3 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1

ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO

Bài tập21:

Cho phương trình x3+3mx2−3x−3m+ =2

1 Xác định m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm

của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

2 Xác định m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng

Bài tập22: Xác định tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số

Trang 5

Giả sử phương trình x3+ax2+bx c+ =0, , ,a b c∈] có ba nghiệm x x x Cho f(x) là 1, ,2 3

một đa thức nguyên CMR f x: ( )1 + f x( )2 + f x( )3 ∈]

Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức : S n+aS n−1+bS n−2+cS n−3 =0

§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

A Hiểu về ẩn phụ:

1 Là ẩn mà do người giải tự đưa vào chứ trong đề bài không nói tới

2 Ta đưa ẩn phụ vào là để chuyển dạng bài toán về dạng mới dễ nhận dạng hơn hay là dạng đã quen thuộc

B Điều kiện cho ẩn phụ:

1 Yù nghĩa, lý do:

− Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức là đi tìm mxđ cho bài toán mới

− Tuỳ vào mục đích của ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ như thế nào là phù hợp nhất ( dễ, không gây sai bài toán )

2 Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ:

− Tìm đk đúng cho ẩn phụ

− Tìm thừa đk cho ẩn phụ

C Một số dạng đặt ẩn phụ:

Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn

Có một số bài toán đặc biệt rất gọn nếu dùng ẩn phụ lượng giác Dùng ẩn

phụ lượng giác tức là ta lợi dụng các công thức lượng giác để tự phá căn thức mà không dùng phép nâng luỹ thừa Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta cần lưu ý chọn miền xác định sao cho có lợi nhất

Trang 6

16, Tìm nghiệm của phương trình sau trên [−1;1]: 8 1 2x( − x2)(8x4 −8x2+ =1 1)

17, Tìm nghiệm của phương trình sau trên [ ]0;1 : 32x x( 2 1 2)( x2 1)2 1 1

x

Dạng 2: Thay đổi số ẩn, thường là tăng thêm số ẩn để giảm nhẹ sự rắc rối,

đơn giản trong tính toán

Trang 7

Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính

Dạng này hay dùng đối với phương trình chứa hai hàm số ngược nhau

Trang 8

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004)

Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 Đặt

2

1,1216032

x

x t

t

4008

40082

9 x − = 5 3 x + 2 x + 3

Trang 9

Các phương trình kể trên là các phương trình đối xứng, tuy nhiên hai ví dụ sau

cũng cần nghiên cứu

VT đồng biến, VP nghịch biến⇒ có không quá một nghiệm

“Mò” x=0 là một nghiệm

( ) 1

2, 3 x−2x− =2

Lập bảng biến thiên⇒ có không quá hai nghiệm

“Mò” x=2,x=4 là nghiệm

Trong đó a, b, c là ba số khác nhau và khác không

Pt bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm

“Mò” có ba nghiệm a, b, c

( 2 ) (2 2 ) (3 2 ) (3 2 )

4, a −a x − +x 1 = a − +a 1 x −x 2

Xét TH đặc biệt

TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm

Trang 10

NX: Nếu x0 là nghiệm thì 0

3 8 40

2 4 48

§ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Phương pháp này hay dùng trong phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm

số, biểu thức phức tạp

Trang 11

2 tan tan 2cot cot 4 tan tan cot cot 4

Trang 12

*)sin 2sin 2 sin 3 2cos 2 sin 2sin 2

2 1

Trang 13

2 3

Trang 14

*) Xét phương trình hai Nếu xem là phương trình ẩn x thì ta được 0 7

2 2

Trang 15

§ THAM SỐ HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH

PP tham số hóa cho một phương trình là đưa vào phương trình một tham số

nào đó Có hai dạng chính sau:

Dạng 1: Chọn một hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi

vai trò của ẩn số và tham số để giải

4 3

17 2 17

x x x

⎡− =

⎢ +

f t = t α − t α Vì f t ( ) có đạo hàm trên [ nên theo định lý Lagrange ta có:

Trang 16

Trang 17

Không nhẩm nghiệm vì bậc quá cao và nghiệm hữu tỷ của pt chỉ có thể là ±1 Ta

sẽ phân tích thành tổng các bình phương

2

6;cos 3 3 sin cos 7

2sin 4 sin 3 3 3 sin 0

Trang 18

b) Tìm a để bpt có ít nhất hai nghiệm trong đó có một nghiệm nhỏ hơn

1, một nghiệm lớn hơn 1

Trang 19

log log log log log log

log log log log

Trang 20

x x

1 2

Trang 21

4 1

8

3 4

Trang 22

+ = −

⎧ + = −

§ HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT

Sau đây ta sẽ trình bày một pp tổng quát để giải hệ bậc hai tổng quát

Ta dựa vào nhận xét rằng: Nghiệm của hệ bất kỳ được chia làm hai nhóm: ( ) 0; y

Ta xem là hệ tuyến tính theo hai ẩn 2

Trang 23

Đến đây ta hiểu rằng hệ đã cho chỉ có nghiệm dạng

4423

2 2

17

x x

hệ đã cho có nghiệm dạng ( )x x;

Từ các kết quả trên ta có đpcm

4; Định m để hệ có nghiệm 2 2

Nếu m<0 hệ vô nghiệm

Nếu m≥0, ta thấy (3) luôn đúng với mọi m≥0 tại 1;1

2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Thử lại cụ thể ta thấy ⎛1;1

⎜ ⎞⎟ là một nghiệm của hệ đã cho khim≥0

Trang 24

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi m≥0

§ HỆ CHỨA CĂN THỨC

Trang 25

§ HỆ LẶP BA ẨN

(Hoán vị vòng quanh)

1 Định nghĩa: Hệ lặp ba ẩn là hệ có dạng

( )( )( )

( )∗ Trong đó f là hàm số

2 Phương pháp giải: Xét hệ lặp ba ẩn ( )∗ , với f là hàm số có tập xác định là D,

tập giá trị là T, T D⊆ , hàm số f đồng biến trên T

Trang 26

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Cách 1: Đoán nghiệm rồi chứng minh hệ có nghiệm duy nhất Thường để

chứng minh hệ có nghiệm duy nhất ta cộng ba phương trình của hệ vế theo vế,

sau đó suy ra x=y=z Hay ta trừ vế theo vế đôi một các phương trình cho nhau

Cách 2: Từ T D⊆ suy ra f(x), f(f(x)) và f(f(f(x))) thuộc D Để (x;y;z) là nghiệm của

3 Các bài tập:

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

Giải:

Cách 1: Hệ đã cho được viết lại

( )( )( )

-Vậy tập giá trị của hàm f (x) là T=⎡⎣32;+∞)

Ta có f đồng biến trên [1;+∞)nên f đồng biến trên ⎡⎣32;+∞).(Tập giá trị của f là

Trang 27

Vậy hệ đã cho viết lại

222

2

x

x y z

y x

⎩ ⎪ =⎩ Do đó hệ có nghiệm duy nhất là (2;2;2)

Cách 2: Cộng ba phương trình của hệ vế theo vế ta được (x-2)3+(y-2)3+(z-2)3=0

(4)

Ta có (2;2;2) là một nghiệm của hệ Ta sẽ chứng minh (2;2;2) là nghiệm duy nhất

của hệ

Nếu x>2 thì từ (1) ta có y3-8=6x(x-2)>0 y>2 Từ y>2 và từ (2) ta có ⇒

z3-8=6y(y-2)>0⇒ z>2 Vậy 0=(x-2)3+(y-2)3+(z-2)3>0 Đây là điều vô lí

Nếu 0<x<2(ta có ngay x>0 vì theo (3) thì x3=6(z-1)2+2>0) thì từ (3) suy ra

6z(z-2)=x3-8<0 ⇒ 0<z<2 Kết hợp với (2) suy ra 0<y<2 Vậy 0=(x-2)⇒ 3+(y-2)3

+(z-2)3<0 Đây là điều vô lí

Vậy x=2, từ (1) ta có y=2, thay y=2 vào (2) ta có z=2 Vậy (2;2;2) là nghiệm duy

nhất của hê

Chú ý: Đối với hệ lặp ba ẩn thì có một sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện đó là

sai lầm:

“Do x,y,z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ ” Thực

ra x,y,z hoán vị vòng quanh nên phải xét hai thứ tự khác nhau x y z≥ ≥ và

Hướng dẫn: Xét hàm số f(x)=sinx có tập xác định là R và tập giá trị là [−1;1], f

đồng biến trên [−1;1].Hệ đã cho viết lại

( )( )( )

Trang 28

g’(x)=1-cosx≥ ∀ ∈ −0, x [ 1;1] Vậy g đồng biến trên [−1;1].Ta lại có g(0)=0 Vậy x=0 là

nghiệm duy nhất của phương trình x=sinx trên [−1;1].Do đó (0;0;0) là nghiệm duy

nhất của hệ

Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:

−+

−

=+

−+

−

=+

−+

−

x z

z z

z y

y y

y x

x x

)33ln(

663

)33ln(

663

)33ln(

663

2 2

3

2 2

3

2 2

−+

=+

−+

=+

−+

x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

)1ln(

33

)1ln(

33

)1ln(

33

2 3

Giải: a) Xét hàm số f(x)=x3-3x2+6x-6+ln(x2-3x+3) Hàm số này có tập xác định

− + +1>1>0.Vậy f(x) đồng biến trên R

Hệ đã cho viết lại:

( )( )( )

= =

⎧

⎨ =

Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là (2;2;2)

Bài tâp 5 : Giải hệ phương trình sau

2 2 2

Trang 29

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Giải: Dễ thấy hệ đã cho tương đương

( )( )( )

= +∞ = −∞ Vậy tập giá trị của f(x)

là R Tập xác định của f(x) là con thực sự của tập giá trị của f(x) nên ta không

thể áp dụng cách giải như đã trình bày trong phần phương pháp giải

Xét phương trình x3-3x=y(3x2-1) Vì x= 1

3

± không thoã phương trình này nên

để x là nghiệm của phương trình này thì x khác 1

y tg

z tg

x tg

ααα

3 2

(đề thi HSG quốc gia năm học

2005-2006, bảng A)

Giải: Để (x;y;z) là nghiệm của hệ đã cho thì điều kiện là x,y,z<6 Hệ đã cho

tương đương với

Trang 30

y z

z x

log (6 ) ( )(1)log (6 ) ( )(2)log (6 ) ( )(3)

g(x)=log3(6-x) là hàm giảm với x<6 Nếu (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình

ta chứng minh x=y=z Không mất tính tổng quát giả sử x=max(x,y,z) thì có 2

trường hợp:

1) x y z≥ ≥ Do f(x) tăng nên f(x)≥ f y( )≥ f z( ), suy ra log3(6-y)≥ log3(6-z) log≥ 3

(6-x) Do g(x) giảm nên suy ra 6-y 6-z 6-x≥ ≥ ⇔x Do y ≥z nên y=z Từ (1)

và (2) ta có x=y=z

z y

≥ ≥

2) x≥ ≥z y Tương tự như trên suy ra x=y=z

Phương trình g(x)=f(x) có nghiệm duy nhất x=3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là

⎨

⎪ + + − =

⎩

y z x

(đề thi HSG quốc gia năm học

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	421,63 KB