Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

đạt giá trị lớn nhất

5 Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

và đạt dấu "=" khi thỏa mãn

7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :

Ta có :

Đặt Điều kiện :

8 là 2 nghiệm của phương trình:

Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Xét bảng biến thiên:

10 Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng:

Do giả thiết

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

11 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:

Vậy GTNN của P là Dấu =

- Nếu thì có bbt

Vậy

Kết luận

13 Giả sử là hai số dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

Giá trị đạt được khi

18 Chứng minh

Dấu xảy ra

21 Cho thoả mãn Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra:

*) Xét

Ta có:

Mà nên là nghiệm của phương trình

23 Cho 3 số thực thoả mãn các điều kiện sau: Chứng minh

Từ giả thiết suy ra: là nghiệm của phương trình:

31 Cho thoả mãn: Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra

Do nên ( luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức Côsi ) (đpcm).

34 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: .

Đặt

luôn cùng dấu với ,do đó

35 Cho các số Chứng minh rằng :

Ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki:

Dấu " = " xảy ra khi

36 Chứng minh rằng nếu thì

(1) (do x > 0) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh

37 Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

,

38 Cho là hai số thực thỏa mãn và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo bất đẳng thức Côsi ta có :

Suy ra :

Với thỏa mãn giả thiết thì

Vậy , đạt khi

39 Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có:

.Đẳng thức xảy ra

Có

Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

43 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Điều kiện Ta có :

Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi

46 Chứng minh rằng:

Ta có:

Hoàn toàn tương tự ta có:

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

47 Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng: với

Lại có:

Cộng 3 BDT ta có:

Vạy khi

51 Cho và: a+b=2.Tìm giá trị lớn nhất của:

Ta có b=2-a Thay vào có: với

Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40

52 Cho a,b,c>0 Chứng minh:

Ta có các bất đẳng thức: ; ;

Vậy có:

Lại có: nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức khi a=b=c

53 Cho a,b>2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0

Cộng vế hai bất đẳng thức ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4

54 Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện :

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Ngoài ra, với ta có

thì

55 Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện và

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

có ;

Từ Bảng biến thiên ta có:

56 Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện :

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

60 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

61 Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên

(1)Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

62 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = với x ; y; z > 0

ta có 1 + =

tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được M

dấu = xảy ra khi x = y = z

63 Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng :

Áp dụng BĐT được:

65 Cho x và y là nghiệm của phương trình: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

66 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết x và y thay đổi thoả mãn điều kiện:

.

67 Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

68 Cho x, y, z là các số dương Chứng minh rằng :

Đẳng thức xảy ra

69 Cho x, y, z là những số dương Chứng minh rằng

Có

( dấu = xảy ra ) Do đó :

70 Cho a,b,c,d là 4 số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm Max của A=abcd

71 Cho x,y,z > 0 và x*y*z=1, n thuộc tập hợp các số nguyên dương.

Tìm Min của biểu thức :

72 CMR nếu tam giác ABC có các cạnh a,b,c và có diện tích bằng 1 thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c

73 Cho x,y dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y.

Áp dụng bất đẳng thức BunhiaCopxkia ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy

74 Cho Chứng minh:

BĐT đã cho tương đương với:

Cộng lại với nhau (x)

Côsi cho 2 số dương và

77 Cho a>0,b>0,c>0 và abc=1 ,chứng minh : P=

80 Cho tam giác Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Ta có:

vì Vậy Bất đẳng thức đúng

81 Tìm min: với x>0,y>0,z>0 và :

mà : vậy min P = khi x=y=

84 Cho x,y,z là 3 số dương và Chứng minh rằng

Ta có

Tương tự

Cộng vế theo vế ta được

85 Cho 3 số dương Chứng minh rằng:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

Do đó:

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

86 Cho a, b, c>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi có: ; ; Vậy có:

Vậy MinF=6 khi a=b=c=1

87 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

Có: ; ; Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:

Dấu đẳng thức khi :

90 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất:

(1)(2)(3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi và chỉ khi a=b=c=1

91 Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Theo BDT Cosi:

Vậy: hay Dấu bằng xảy ra khi: a=b+1=c+2

93 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Ta có: Do:

Lại có:

Dấu bằng khi: