2.1 MÔ TẢ TOÁN HỌC LẤY MẪULấ ẫ là biế đổi tí hiệ Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian.. tín hiệu rời rạc theo thời gian... Khâu giữ
Trang 1CHƯƠNG 2 BIẾN ĐỔI Z
2.1 Mô tả toán học của lấy mẫu
2.2 Biến đổi z
2 3 Tí h hất biế đổi
2.3 Tính chất biến đổi z
Trang 22.1 MÔ TẢ TOÁN HỌC LẤY MẪU
Lấ ẫ là biế đổi tí hiệ
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian.
tín hiệu rời rạc theo thời gian.
(*) )
( )
( )
(
* t x t s t
Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:
∑∞
−∞
=
−
=
k
kT t
t
Thay s(t) vào (*) và giả sử x(t) = 0
∀t <0, ta có:
∑+∞
=
−
=
0
) (
)
( )
(
*
k
kT t
t x t
∑+∞
=
−
=
⇒
0
) (
)
( )
(
*
k
kT t
kT x t
Trang 3Biến đổi Laplace 2 vế của phương trình cuối slide trước, ta được :
+∞
∑+∞
=
−
=
0
)
( )
(
*
k
kTs
e t x s
X
Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:
c
f T
f = 1 ≥ 2 ( f c là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu)
T
Trong hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy
mẫu.
Trang 4Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian ệ ụ g
Có nhiều dạng: đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các
hệ điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold - ZOH)
Trang 5Nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là
xung vuông có độ rộng bằng T:
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)
T t
u t)
u t)
c s
C
Ts
−
−
1 )
( (
( )
s
T t
u t)
u t)
c s
Theo định nghĩa:
(**)
1 1
)
( )
(
1
z e
s
C s
G
−
=
) (
)
(
s s
s R
s
(**) là hàm truyền của khâu giữ bậc 0
Trong hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng
tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0
tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0
Trang 62.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z của x(k) là:
+∞
−∞
=
−
=
=
k
k
z k x k)
x z
Ký hiệu:
trong đó: z = e Ts (s là biến Laplace)
) ( )
ý ệ
) ( )
Nếu x(k) = 0, ( ) ∀k < 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành:g
{ } ∑+∞
=
−
=
=
0
) ( (
)
(
k
k
z k x k)
x z
=0
k
Trang 7Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.
Ý nghĩa của biến đổi Z
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT)
∑+∞
=
−
=
0
) ( )
(
k
k z k x z
X
∑+∞
=
−
=
0
)
( )
(
*
k
kTs
e kT x s
X
được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).
=0
k
Biểu thức biến đổi Z
Do z = e Ts nên vế phải của hai biểu thức trên như nhau, do đó bản chất
=0
k
Biểu thức lấy mẫu x(t)
của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó.
Phép biến đổi Z ngược
Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z):
dz z
z
X j
k
2
1 )
C
j ( ) 2
)
(
π
(C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ)
Trang 8Tính tuyến tính
Tính chất
) ( )
⎧ ←Z→
) ( )
( )
( )
( )
( )
(
) ( )
(
2 2 1
1 2
2 1
1 2
2
1 1
z X a z
X a k
x a k
x
a z
X k
x
z X k
x
+
⎯→
← +
⇒
⎩
⎨
⎧
⎯→
←
⎯→
Z
tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k0 chu kỳ
g a à ễ ệu ( ) 0 c u ỳ lấy mẫu
) ( )
(
) ( )
(
0 X z z
k k
x
z X k
x
k
−
→
←
⇒
⎯→
←
Z
Z
) ( )
k k
x − ←⎯→
⇒
z–1 được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu
Trang 9Tỷ lệ trong miền Z
Tính chất
z
Z
ề
) ( )
(
) ( )
(
a
z X k
x a z
X k
x ←⎯→Z ⇒ k ←⎯→Z
Đạo hàm trong miền Z
dz
z
dX z k
kx z
X k
) (
) ( )
( ←⎯→Z ⇒ ←⎯→Z −
Định lý giá trị đầu
) ( lim )
0 (
) ( )
x
z→ ∞
=
⇒
⎯→
←Z
Định lý giá trị cuối
lim )
( )
( )
x( )←⎯→Z ( ) ⇒ (∞) = lim(1− − ) ( )
x z
X k
x
z→
∞
⇒
→
←
Trang 10Tên hàm Mô tả toán học Hình minh họa và biến đổi Z
Biến đổi Z của các hàm cơ bản
Hàm xung
⎧ ∀0 k 0
δ(k)
1
đơn vị
(hàm dirac) ⎩⎨
⎧
=
≠
∀
=
0 ,
1
0 ,
0 )
(
k
k k
δ
{ }δ (k) = 1 Z
k
0
Hàm nấc
đơn vị
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
0 ,
0
0 ,
1 )
(
k khi
k
khi k
u
{ }(k) z 1 (ROC 1 )
1 1
−
=
−
z z
k) u
Z
Trang 11Tên hàm Mô tả toán học Hình minh họa và biến đổi Z
Biến đổi Z của các hàm cơ bản
Hàm dốc
đơn vị
⎧
<
≥
=
0 ,
0
0
, )
(
k khi
k khi
kT k
r
(RAMP) ⎩0 ,khi k < 0
1
−
ROC
Tz
Tz k)
Z{ }
(1 ) ( 1) ( : 1)
−
=
−
=
z z
k) r
Z
⎧ k T
⎧
<
≥
= −
0
, 0
0
, )
(
k khi
k khi
e k
x
kaT
{ }
( )
1
1
z z
e
k)
−
=
−
= Z
( )
) 1
: (
1
aT aT
e z
z e ROC
z e
−
>
⇔
>
Trang 12Các phương pháp biến đổi Z ngược
Phép biến đổi Z ngược trình bày trong slide 7 rất phức tạp Thực tế, Phép biến đổi Z ngược trình bày trong slide 7 rất phức tạp Thực tế,
ta hay dùng các cách sau đây:
ổ
9 Cách 1 - Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó
tra bảng biến đổi Z
9 Cách 2 - Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa
9 Cách 3 - Tính x(k) bằng công thức đệ qui
Á
9 Cách 4 - Áp dụng công thức thặng dư