Nhiều cách giải cho một bài toán ` bip:/onthinol.vn hitp://onthi.soLin Tìm nhiều cách chứng minh một hệ thức Nhe bitn doi tong duong NGUYEN VIET HAI Hos Từ một hệ thức nếu khé
Trang 1(Nhiều cách giải cho một bài toán ` bip:/onthinol.vn
hitp://onthi.soLin
Tìm nhiều cách
chứng minh một hệ thức
Nhe bitn doi tong duong
NGUYEN VIET HAI
Hos
Từ một hệ thức nếu khéo sử dụng các phép biển dỗi ta cá thế
p Goi S, nhận được mhiỄu hệ thức tương dương, mà mỗi hệ thức đó có
diện tích, bán kính ứng Nếu ta chứng mình được một trong cúc hệ thức này thì
đường tròn ngoại tiếp, suy ra duye tit ca cic he thire tuong duong voi nd Nhu véy,
bán kính đường tròn không những ta tìm được nhiễu cách chứng mình hệ tức ban nội tiếp tam giác đầu mù còu có cách nhìn toàn điện hơn, hệ thỗng hơn về các
ABC tương ứng với
các góc CAB, ABC,
BCA Đặt C4B =2a, 4BC 2ÿ BCA =2 Chứng mình (Cách 1)
Trong bài này sẽ sử dụng một số hệ thức quen pat r= 1-41, _!
S=pr= - Ip(p-aXp-bXp-e) (I) Tacd
e
p-a p-b (p~a(p—b) (p~a(p-b)`
'Từ đó có prˆ = (p =a)(p ~ b)(p = e) a
Khai
n về phải của (II) rồi thay abe = 4Rrp
vào và rút gọn được Tương tự có
ab + be + ca ~ p= 4Rr +P (II)
Ta cũng biết:
tga= —— lê non P~b ` p~e_ (p~BXp-e) -e_ (~ð)(p-©
tgy=“——= p-e av) Từ đó See e b a
© Bài toán Chứng mình rằng trong tam giác 7” - ayp—b "(p-ayp-o (p-BXp-o)
ABC có lệ thức
Trang 2_ 2p~(a+b+e)? +2(ab+bc+ca)
~ 2(ab+bc+ca
Thay hệ thức (III) vào phân thức cuối cùng
nêu trên ta có điều phải chứng minh
Biến đổi tương đương hệ thức (1) được,
Áp dụng hệ thức (IV) ta chuyển việc chứng
mình hệ thức (1) đến chứng minh hệ thức sau:
ty +, th, =4Rer @)
Chứng mình (Cách 2)
Sử dụng hệ thức (D) và (IV) có
pr s p(p~=bXp=e)
S(p-a) § _
p-a
P(p-aXp-e) eo
Tuong ty 1 =
c- EP-SE3, Œ-4Xp-=ðXp=©) _
s
Từ đó
S(Œ,+?,)*ứ,~r))
= p(p~eXp~a+p~b)+(p~aXp-b)(p~(p~©))
= e(p(p~e)*(p~aXp~ð))
= e(3p?~p(a+b+e)+aB) = cab = 4RS
Giản ước § ở về đầu và về cuối của dãy đẳng
thức ta được (2)
Lại biến đổi tương đương hệ thức (1) theo
cách khác được
4R+r_ op
+ p-a@ p-b p-e
(4 ( b c
= | 41] +] +1] +] +1 p-a p-b poe
Từ đó ta chuyển việc chứng minh hệ thức (1)
về chứng minh hệ thức
a
Chứng mình (Cách 3)
Goi O1, Ox, Ø; là tâm đường tròn bảng tiếp tam giác 4C tương ứng với các góc CAB, ABC, BCA (xem hình về)
Tir (I) và (IV) có
aS = a7, = WSoyec peat pra era
“Tương tự có
Fp PS Fg" Sous
Dễ thấy Gat + 0,40 "5-90" nén
Ø4 1L O;4 Tương tự có O4 L OsA va
O14 L Ó;Ó:, O;B L Ø(Ó;, ÓC 1 0,02
Ta cũng có
CO,A= CIO, =CAI + ACI = a+y =CBO,
Tir 46 có
40101052 40,BC nén 2-49
@
Ta có
2Sao„o, = O,0,.AO, = 9 4a “Tae
Trang 3
r= ptga (theo (IV) nên
Soyo ST ns piga.cos a ost
Mat khde sir dung (1), (IV) có
2 Sao = S+ Syne +8 rac + Sonam
= sets, ton thn,
2 2 2
aS bs cS S+ + +
2Xp-a) 2Xp-b) Ap-c)
Poa p~
e P-
‘Tir (V), (VD và 6 = pr suy ra hệ thức (3)
Ta lại biến đổi hệ thức (1) tương đương với
Sử dụng (IV) ta chuyển việc chứng minh hệ
thức (1) về chứng minh hệ thức
4Rtr
tgar+ tgp + tgy = (4)
Chứng mình (Cách 4)
Sử dụng (IV) ta có
p=(p-a)+a= ——+2Rsin2a (ga
Áp dụng công thức lượng giác của góc chia
4Rt
đôi với tga=ttacép= "+
Quy đồng mẫu số rồi viết trong dang phương
trình đối với í ta được
pÈ ~ (8R + r)Ẻ + pt~r=0 (vip
Nhu vy ¢ = tga la nghigém cita phuong trinh
bậc ba (VII) Tương tự như thế tg/, tgy cũng,
là nghiệm của phương trình bậc ba (VI) Áp
dụng định lí Viête cho tổng ba nghiệm của
phương trình bậc ba (VII) ta có hệ thức (4)
Trong bài tập I dưới đây hướng dẫn cách
chứng minh hê thức (4) (coi là cách (5}) bằng
các phép biến đổi lượng giác Với mỗi hệ thức
(1) (2) (3), (4) ta có cách chứng minh tương
ứng nhưng vì các hệ thức này tương đương
với nhau nên nếu xuất phát từ một trồng năm
cách chứng minh đã nêu thì đi theo mũi tên
trong sơ đô dưới ta chứng minh được hệ thức
(1) và cả các hệ thức (2), (3), (4) Cũng dễ
dàng thấy nếu sử dụng (IV) có thể biến đôi hệ
thức (2) tương đương với hệ thức (4)
Sơ đồ liên hệ giữa các hệ thức
và cách chứng mình
[Cách 2 [Cán + ICách 3]
1
Hệ thức (2)z—= Hệ thức (1) —= Hệ thức (3)
¬
[Cách 4]Ƒ———> Hệ thức (4) =——ÌCách 5]
Mời các bạn làm các bài tập sau có liên quan đến các hệ thức trên và cách chứng minh
chúng
Bài 1 Sử dụng các phép biển đổi lượng giác
để chửng minh các hệ thức sau:
eee
p_ 2R(sin2z+sin2Ø+sin2y)
1
cosa.cos f.cosy
b) 5 = tgữ.g/.tgy
Tir dé suy ra hệ thức (4) (cách (5))
Bài 2 Chứng minh ring —— , p~a ` p~b
là ba nghiệm của phương trình bậc ba
p~e
px’ (4R+ryr? + px-1=0
"Từ đó suy ra hệ thức (1)
đặt x= —— rồi quy đồng mẫu số p-a
Bài 3 Chứng minh các hệ thức sau:
a) pgạ =(-BU—©) r
b) p(tgø + tg/) = 4Rcos°y;
©) c0s2a+ cos2f + cos2y.= 1 + 4singsin/sin y +;
R
4) 2p(tga + tgp + tay) =
= 6R+ 2R(cos2a + cos2f + cos2)
“Từ đỏ suy ra hệ thức (4)
Bài 4 Gọi O,, O2, Os theo thir ty la tam
đường tròn bàng tiếp tam giác 4C tương ứng
với các gốc CAB, ABC, BCA Hãy dựa vào bài
tập 3b và Sx„„„ =Suy; +Š„„ để chứng mình
Ấaszo, =2Rp (V) Từ đó suy ra hệ thức (3)
Bài 5 a) Chứng minh rằng hệ thức (3) tương, đương với mỗi hệ thức (5), (6) sau:
2 Mở
p-b p r
@tga + bgp +c*tgy =4p(R-r) (6)
b) Hãy chứng minh hệ thức (5) bằng cách quy
đồng mẫu số và dựa vào khai triển công thức
Heron theo a, b, ¢ thành
16S? = 2(a*b? + bic? + cla?) — (a* + bỲ + c9),
Hướng dẫn: a) Đặt -“— +a=-F—
pra pa