Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 2: Biến đổi Z và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Biến đổi Z, các tính chất biến đổi Z, biến đổi Z ngược, hàm truyền đạt của hệ LTI rời rạc, giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1FITA- HUA Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG
2.1 BIẾN ĐỔI Z
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC
2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
Trang 2Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
• Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
Trang 3FITA- HUA
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z
(ROC)
• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.
1 ( )
0 ( )
(
0
x x
x n
xn
1 )
( lim
tiêu chuẩn Cauchy
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
Trang 4FITA- HUAVí dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
) ( )
a z
az
n n
z n u
z a
Trang 5FITA- HUA
Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của:
Giải:
) 1 (
) (n a u n
m
m
z a
1 lim
z n
z a
1
1
Trang 6FITA- HUA
2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
a) Tuyến tính
) 1 (
) ( )
( n a u n b u n
R ROC
: ) ( )
R ROC
: ) ( )
) ( )
( )
( )
Trang 7a n Z
1
1
1)
b n
u
1
11
R1 :
b z
a R
Trang 8FITA- HUA
b) Dịch theo thời gian
) 1 (
) ( n a u n
a az
n u
) 1 (
) ( n a u n
: ) ( )
R'ROC
: )()
n Z X z n
R
RR'
Trang 9FITA- HUA
c) Nhân với hàm mũ a n
) ( )
az X
n u a n
( )
( )
(
R ROC
: ) ( )
RROC
: )(
)(n X a 1z a x
a n Z
) ( )
( )
( )
; 1
Trang 10FITA- HUA
d) Đạo hàm X(z) theo z
) ( )
g n
a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
R ROC
: )
dz
dX(z) z
n x
dz
z
dX z
z G n
nx n
Trang 11a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
R X
n
x ( ) Z (z-1) : ROC 1
) ( n a u n a u n x n
1 z
a 1
1 )
z ( X )
z (
Trang 12FITA- HUA
f) Liên hiệp phức
R ROC
: ) ( )
R X
n
x * ( ) Z * (z*) : ROC
g) Tích 2 dãy
RR
ROC :
d)
(2
1)
()
n x n x
RROC
: )()
RROC
: )()
Trang 13FITA- HUA• Ví dụ 2.2.5: Tìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân quả
• Giải:
X(z) lim
) 0
: )()
2 n X z
RROC
: )()
1 n X z
)()
()
(
*)
1 e
Trang 14FITA- HUA
5 0 :
; 5
0 1
1 )
( )
( )
5 0 ( )
u n
2 :
; 2
1
1 )
( )
1 (
2 )
u n
2 5
, 0 :
; ) 2
1 (
1
) 5
0 1
(
1 )
( ) ( )
z H z X z
Y
2 5
, 0 :
; ) 2
1 (
1
3
4 )
5 0 1
(
1
) 1 (
2 3
4 )
( )
5 0
( 3
1 )
(
* ) ( )
5 0 ( )
x n h ( n ) 2nu ( n 1 )
• Giải:
Trang 15z X
v
X
j C
1 2
1 ( ) 2
Trang 16
az
2 1
1
) 1
az
az
Trang 17FITA- HUA
2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
) z (
X j
) n (
2
1
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theochiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chấtphức tạp của phép lấy tích phân vòng
• Các phương pháp biến đổi Z ngược:
(*)
Trang 18FITA- HUA
2.3.2 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN
THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA
X ( ) ( )
(*) (**)
2
3 2
4 2
) ( z z z z z
Suy ra: ( ) {1,-2, 4 ,-2,3}
n x
Trang 19FITA- HUA
1
2
1 z1
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết: : 2
2 1
1 )
Giải:
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
1
z 2 - 2
z1 2 -2
z 2
2 -2
2 2
(
n
n n
z z
X
) ( 2
0 :
2 )
Trang 20FITA- HUA
1 1 1
1
2
2
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: : 2
2 1
1 )
Giải:
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân
quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
X a1z1 a2z2 a3z3
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)
1 z
2 -
1
21z1
2 2
2 z
z 2 -
21 z1 -2 2
z 2 -2 2
3 3
(
n
n n
z z
X
) 1 (
2 0
: 2 )
(
Trang 21( )
(
z B
z
D z
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
d z
d z
d z
d
N N
N N
K K
K K
)
( )
(
z B
z
D z
) (
)
( )
(
z B
z
A z
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b
a z
a z
a z
a z
N
N N
M M
M M
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
• Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn
đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
Trang 22FITA- HUA
Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
) (
) ( )
(
z B
z A z
z
X
Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
a z
a z
a z
a
N N
N N
M M
M M
) ( )
(
z B
z A z
z
X
)(
))(
(
)(2
c
N z z z z z z b
z A
) ( )
(
z B
z A z
z
X
)(
)(
)
2 1
z
K z
i
z B
z
A K
)(')(
Trang 23FITA- HUA Suy ra X(z) có biểu thức:
)1
()
1()
1(
)
2
2 1
K z
z
K z
z
K z
X
cN
N
c c
1 i
1 ci
i
)zz1(
K
) 1
K z
X
ci
i i
x
1
) ( )
(
Xét:
Trang 24FITA- HUA
Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết:
65
5
2)
z
z z
X
Giải:
với các miền hội tụ: a) |z|>3, b) |z|<2, c) 2<|z|<3
) 3 )(
2 (
5 2
z
) 3 (
) 2 (
2 1
K
6 5
5 2
z z
z X
Với các hệ số được tính bởi:
z
X
)3(
52
z
X
)2(
52
) 3 (
1 )
2 (
1 )
z
z X
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z X
Trang 25FITA- HUA
Với các miền hội tụ:
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z X
a) |z|>3 : x ( n ) 2nu ( n ) 3nu ( n )
b) |z|> < 2 : x ( n ) 2nu ( n 1 ) 3nu ( n 1 )
c) 2<|z|<3 : x ( n ) 2n u ( n ) 3n u ( n 1 )
Trang 26FITA- HUA
Z c(r+1) ,…,Z cN ,
) (
) ( )
(
z B
z A z
z
X
)(
)(
)(
)(
) 1 (
r c
b
z A
z
K z
z
K z
z
X
)(
)(
)(
)(
1
2 1
2 1
i
i
i
z z
K z
Z Z
r 1 c )
i r (
) i r
z
)z(Xdz
d)!
ir(
1K
( ) ( )
)(
)( ( 1)
1
cN
N
r c
r
z z
K z
Trang 27FITA- HUA
Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): |z|> max{ |z ci | }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:
) 2 ) (
a i
n n
n a
)
( )!
1 (
) 2 ) (
1
( )
K n
u i
a i
n n
n K n
x
N
r l
n cl l
i n r
) 2 (
4 5
2 )
2 3
z z
z z
Giải:
) 1 (
) 2 (
4 5
2 )
z z
z
z X
) 1 (
) 2 (
) 2 (
3 2
2 1
K z
K
Trang 28FITA- HUA
Vậy X(z)/z có biểu thức là:
Với các hệ số được tính bởi:
)1(
1)
2(
2)
2(
1)
z z
z X
1 )
1 (
4 5
dz
d
2
2 )
1 2 (
) 1 2 (
)!
1 2 (
z X dz
d K
2 )
1 (
4 5
2
2 )
2 2 (
) 2 2 (
)!
2 2 (
z X dz
d K
z
X
) 2 (
4 5
2
1 2
) 1
(
1 )
2 1 (
2 )
2 1 (
1 )
z z
z X
2 : z
ROC
) ( )
( 2
) ( 2
) ( n u n n u n u n
Trang 29FITA- HUA
c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Z c1 và Z* c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Z c3 ,…,Z cN ,
) (
) ( )
(
z B
z A z
z
X
)(
))(
)(
(
)(
3
* 1
)(
)(
)(
)(
3
3
* 1
2 1
1
cN
N
c c
K z
z
K z
z
K z
z
K z
z
K z
z
K z
z
X
3
* 1
2 1
1
)(
)(
)(
)(
Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:
N i
: )
z z
( z
) z (
X K
ci
Z Z
ci
1
Trang 30FITA- HUA
Xét :
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1 *
)(
*)
(
)
(
* 1
1 1
1 1
c
K z
z
K z
z X
(
*)
1(
)
1
1 1
K z
z
K z
X
c c
Nếu gọi:
j
e K
K1 1
j c
) n
cos(
z K )
n ( x
N
i
n ci i
n c
Vậy:
Trang 31FITA- HUA : 2
) 1 )(
2 2
z
z z
X
Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
Giải:
)1)(
22
(
1)
z z
z j
z
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3
* 1 1
z
K j
z
K
1 )
1 (
) 1
z j
z K
) ( )
(
) 4
cos(
) 2 (
2 2
K
1 )
1 ( 1
2 / 1 )
1 ( 1
2 /
1 )
j z
j z
Trang 32k y n k b x n r
a
0 0
) (
) (
2.4.2 Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP
k
k
kz X z b z a
z
Y
0 0
) ( )
(
Z
) (
)
( )
(
z X
z
Y z
Trang 33FITA- HUA
Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi: Giải: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
2 1
165
1
52)
(
)
()
z z
X
z
Y z
H
) 3 (
) 2 (
2 1
K
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z H
Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:
52
)(6
51)(z z z X z z
Y
6 5
z z
) 3 )(
2 (
5 2
) (
z z
z H
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2 n + 3 n ) u(n)
1 2
) 3 (
z
3 )
2 (
z K
Trang 36(
)
()
Trang 37z n
Trang 39FITA- HUA
Ví dụ: 5.4.1: Tìm h(n) của hệ thống, biết:
Giải:
) 2 (
) 2 / 1 (
2 1
K
1)
2/1(1
1)
z H
2 5
2
5
4 )
z
z z
H
) 2 )(
2 / 1 (
2
5 4
) (
z z
z H
a Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2) n + 2 n ] u(n)
a Để hệ thống là nhân quả
b Để hệ thống là ổn định
c Để hệ thống là nhân quả và ổn định
) 2 (
1 )
2 / 1 (
b Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2) n u(n) - 2 n u(-n-1)
c Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
Trang 40FITA- HUA2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
) ( n k
z r y
z Y
z
1
) (
) (
Z
1 phía
) 1 ( n
0 ( )
1 ( )
1
)
2 ( n
1 ( )
2 ( )
1 ( )
2
Trang 41FITA- HUA
Ví dụ 5.5.1: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Giải:
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
)3(
1
2
1)
1(
1
2
1)
3)(
1(
1)
z z
z
z
Y
) 3
1 (
1
2
1 )
1 (
1
2
1 )
z Y
3 1 ( ) 2
1 )