GIẢI TÍCH LỒI doc

Có thể kiểm chứng được U, α là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắpthẳng đều tồn tại phần tử chận trên.. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thíchvới cấu trúc đại số t

Giải tích Lồi

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

20/10/2005

Mục lục

1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 3

1.1.1 Đa tạp affine 3

1.1.2 Tập lồi 4

1.1.3 Nón lồi 5

1.1.4 Định lý Carathéodory 5

1.2 Định lý tách tập lồi 6

1.2.1 Định lý Hahn-Banach 6

1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii 7

1.2.3 Định lý tách tập lồi 8

1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 9

1.3.1 Không gian tôpô 9

1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính 11

1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương 13

1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất 14

1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô 15

1.4 Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương 16

1.4.1 Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn 16

1.4.2 Các tính chất tôpô 18

1.4.3 Nón lùi xa của tập lồi 19

Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 21 2.1 Định lý tách 21

2.1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 21

2.1.2 Định lý Tách 22

2.1.3 Định lý Tách mạnh 23

2.2 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 23

2.2.1 Tôpô yếu trên X 23

2.2.2 Tôpô yếu* trên X∗ 24

2.2.3 Cặp đối ngẫu tổng quát 25

2.2.4 Không gian Banach phản xạ 26

Chương 3 Hàm lồi 28 3.1 Cấu trúc hàm lồi 28

3.1.1 Định nghĩa hàm lồi 28

3.1.2 Các phép toán trên hàm lồi 29

3.2 Sự liên tục của hàm lồi 30

3.2.1 Hàm nửa liên tục dưới 30

3.2.2 Sự liên tục của hàm lồi 31

3.3 Hàm liên hợp 32

3.3.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 32

3.3.2 Hàm liên hợp 33

3.4 Dưới vi phân hàm lồi 34

3.4.1 Định nghĩa 34

3.4.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 35

3.4.3 Các phép toán qua dưới vi phân 36

3.4.4 Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi 37

Tài liệu tham khảo 39

TẬP LỒI

1.1.1 Đa tạp affine.

Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt

là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x

và y Tức là

L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},[x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]},(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)},[x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}

Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọicặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất saua) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine

Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệuAff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A Từ tính chất a) Aff(A) là một

đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A

Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn Ta gọivéctơ có dạng

c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là

d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức là

M = m + V, với V là một không gian con của X

Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :

dim M := dim V ; codim M := codim V

Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng

Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không giancác ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X, R), làkhông gian các phiếm hàm tuyến tính trên X

e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X#\ {0} và α ∈ R sao cho

Một tổ hợp affine x = Pm

i=1λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồicủa các véctơ {a1, · · · , am}

b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}

c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là

Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C):

dim C := dim Aff(C)

d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi

1.1.3 Nón lồi.

Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có

λk ∈ K Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi Một tổ hợp tuyếntính Pm

i=1λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợpdương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt

a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi

Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhấtchứa A Lúc đó,

b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}.c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là

1 µiai = 0 Bây giờ nếu đặt

t0 = minnλj

µj

Định lý 1.2 (Carathéodory) Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X Lúc đó, với mọi

x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A Tức là, tồn tại

hệ {a0, a1, · · · , am} ⊂ A và các số λ0, · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, sao cho

Chứng minh Đặt B = {(x, 1) | x ∈ A} ⊆ Y = X × R Dễ thấy co B = co A × {1}.

Do đó, với mọi x ∈ co A ta có y = (x, 1) ∈ co B ⊆ con co B Theo Định lý 1.1 tồntại m vectơ độc lập tuyến tính {(a0, 1), (a1, 1), · · · , (am, 1)} ⊆ B và các số dương λisao cho

Định lý 1.3 (Hahn-Banach) Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M

là một không gian con của X và f ∈ M# thoả mãn

f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M

Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

a) F |M = f ;

b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X

Chứng minh Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó

M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y#, g|M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y Trên U ta định nghĩaquan hệ hai ngôi α xác định bởi

(Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h|Y = g

Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắpthẳng đều tồn tại phần tử chận trên Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tốiđại (Y, g) Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh

Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y Với mọi cặp y1, y2 ∈ Y ta có

g(y1) − g(y2) = g(y1− y2) ≤ ϕ(y1− y2) ≤ ϕ(y1+ v) + ϕ(−y2 − v)

⇒ λ = sup{g(y1) − ϕ(y1+ v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2) + ϕ(−y2− v) | y2 ∈ Y }.Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ Dễ kiểm chứng được rằng

h ∈ Z#, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h|Y = g Mặt khác,h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h),mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 1.1 Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X Lúc

đó, với mọi f ∈ M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho

Chứng minh Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f (λx0) = λkx0k

1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.

Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu

∀v ∈ X, ∃ > 0, (−v, v) ⊂ Ahay, một cách tương đương,

Chứng minh Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa Để chứng minh b) tagiả thiết {e1, e2, · · · , en} là một cơ sở của X Vì mọi chuẩn trên X đều tương đươngnên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn k · k1 xác định bởi

B chính là hình cầu tâm x0, bán kính  trong (X, k · k1)

Mệnh đề 1.5 Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp dưới đây cũng lồi

lin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C}

Chứng minh Giả sử c1, c2 ∈ core C và t ∈ (0, 1) Lúc đó, với mọi v ∈ X tồntại  > 0 sao cho ci + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−, ) Vì C lồi nên ta cũng có

tc1+ (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−, ) Vậy

tc1+ (1 − t)c2 ∈ core C, hay core C lồi

Để chứng minh lin C lồi ta cũng lấy y1, y2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1) Theo định nghĩa,tồn tại c1, c2 ∈ C sao cho [c1, y1) ⊆ C và [c2, y2) ⊆ C Dễ kiểm chứng được rằng[ct, ty1+ (1 − t)y2) ⊆ C với ct := tc1+ (1 − t)c2 ∈ C Vì vậy ty1+ (1 − t)y2 ∈ lin C,hay lin C lồi

Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X Ta định nghĩa phiếm hàmMinkowskii của C là hàm được xác định bởi

Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X Một phiếm hàm tuyến tính

f ∈ X#\ {0} được gọi là tách A và B nếu

f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B

Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho

f (a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, b ∈ B

Lúc đó, ta nói siêu phẳng

H(f ; α) := f−1(α) = {x ∈ X | f (x) = α}

tách A và B Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳngH(f ; α) tách A và x0 Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, core A 6= ∅

và A ∩ B = ∅ Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B

Bổ đề 1.1 Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0

Chứng minh Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọi

λ ∈ R Lúc đó g ∈ M#, hơn nữa, do pC(x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC(m) với mọi m ∈ M

Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f |M = g và f (x) ≤ pC(x)với mọi x ∈ X Rõ ràng f (x0) = 1 Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f (c) ≤ pC(c) ≤ 1.Nên f tách C và x0

Chứng minh Định lý 1.7 Giả sử a0 ∈ core A và b0 ∈ B Đặt x0 := a0 − b0 và

C := A − B − (a0− b0) Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x0 Từ Bổ đề trên tồntại f ∈ X#\ {0} tách C và x0 Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B

1.3.1 Không gian tôpô.

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên

X nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈ τ ,

ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,

iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là mộttập mở trong X

Bây giờ cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0

- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,

- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,

- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai

Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểmtrong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là Int A (Ext A, ∂A)

Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0 Tập A được gọi làđóng nếu ∂A ⊂ A Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A.Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng.

ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,

iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng

Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của

τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B Một họ

V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0 đềutồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U Ta có kết quả sau:

Cho B ⊆ P(X) Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và

+ Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ

Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con củadãy (xλ).

Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ ) được gọi là hội tụ đến ¯x nếuvơi mọi lân cận V của ¯x, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ > λ0 ta có xλ ∈ V Lúc đó, ta

ký hiệu xλ → ¯x Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộngtrong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A Ta có thêm các kết quảsau

d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ → ¯x thì ¯x ∈ A

Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở sao cho

α∈Λ

Uα.Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , αk} ⊂ Λ sao cho

α∈H

Uα,

thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên

e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn

1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính.

Cho không gian vectơ X Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thíchvới cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục

+ :X × X → X, :R × X → X

Chứng minh Vì đó là các song ánh liên tục và Ta−1 = T−a, ϕ−1α = ϕα−1.

Hệ quả 1.3 Trên không gian tôpô tuyến tính ta có

a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;

b) V là lân cận của x0 ⇔ αV là lân cận của αx0, với mọi α 6= 0

Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A

Mệnh đề 1.8 Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thìa) V là tập hấp thụ

b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V

Chứng minh Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốctrong X

a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại  > 0 và lân cận U của x sao cho

λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ) Suy ra λx ⊆ V với mọi λ ∈ (−, ) Vậy V hấp thụ.b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1, U2 sao cho

U1+ U2 ⊆ V Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1∩ U2 tồn tại  > 0 và lân cậngốc W sao cho λW ⊆ U0 với mọi λ ∈ (−, ) Đặt

U := [

|λ|<

λW

ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V

Định lý 1.9 Cho X là một không gian vectơ

a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãni) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,

ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,

iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V ,

iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại U ∈ V sao cho U ⊂ V1∩ V2

b) Ngược lại, nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồntại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc Cụ thể,

τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x + V ⊂ U }

Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 1.15 Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cậngốc cân đối, còn trong b) chỉ cần kiểm tra τ đã cho là một tôpô tuyến tính

Mệnh đề 1.10 Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ

là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi

1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương.

Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toànđược xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồmtoàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi

là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương

Định lý 1.11 Cho X là một không gian vectơ

a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc Vgồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ

b) Ngược lại, nếu V0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau

là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó Hơn nữa, tôpô này

là Hausdorff khi và chỉ khi

\

V ∈V 0 ; >0

V = {0}

Chứng minh Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối

Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằngmọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng

Ví dụ 1.1 Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi

họ chỉ gồm một tập: V0 = {B(0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là

Đó là các không gian vectơ Đặt

V :=

(

x ∈ lp

< 

)

Lúc đó, V = {V |  > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên lp Hơnnữa, ta có thể chứng minh được rằng lp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi

p ≥ 1

1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.

Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau Tagọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ V0 gồm tất cả cáctập lồi, cân đối, hấp thụ trong X Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địaphương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0

Định lý 1.12 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff Trong tôpô

ấy ta có

a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;

b) Nếu C là tập con lồi của X, thì core C = Int C;

c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính

từ X vào Y đều liên tục

Chứng minh

a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ τ0

b) Nếu x0 ∈ core C thì C − x0 hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đó

nB(0; 1),với B(0; 1) là τE−hình cầu đơn vị Vậy τ ⊂ τE Từ đó suy ra toán tử đồng nhất

I : (X, τE) → (X, τ ) là song ánh liên tục và τE−mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tưcách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập τ −compact Vì τ Hausdorff nênS(0; 1) là đóng Mặt khác 0 6∈ S(0; 1), nên tồn tại τ −lân cận gốc lồi U sao cho

U ∩ S(0; 1) = ∅ Dễ chứng minh được rằng U ⊆ B(0; 1) Vậy τ = τE

Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhấttrên không gian hữu hạn chiều Khẳng định sau là hiển nhiên

Hệ quả 1.4 Trong Rn với tôpô Euclide ta có

a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì Int C = core C;

b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương Y đều liêntục

Hệ quả 1.5 Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phươngHausdorff đều đóng

Chứng minh Cho (X, τ ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là khônggian con hữu hạn chiều của X Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh của τ lên M chính

là tôpô Euclide Đặt Un = BM(0;n1) là hình cầu mở tâm 0 bán kính n1 trong M Vớimỗi n tồn tại τ −lân cận gốc lồi, cân đối Vn sao cho Vn∩ M ⊆ Un

Giả sử (xλ)λ∈I là dãy trong M , hội tụ về x ∈ X Ta sẽ chứng minh x ∈ M

Do xλ → x, với mỗi n ∈ N, tồn tại λn ∈ I sao cho xλ ∈ x + Vn, với mọi λ ≥ λn.Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λn< λn+1 với mọi n Như vậy (xλn) là một dãycon của (xλ) Bây giờ lấy xλm và xλn, với m < n, ta có xλm, xλn ∈ x + Vm Vì vậy

xλm− xλn ∈ Vm− Vm = 2Vm Mặt khác, xλm− xλn ∈ M , nên xλm− xλn ∈ 2Um, hay

kxλm − xλnk < 2

m Vậy (xλm) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ đến y ∈ M Dotính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x = y ∈ M

1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô.

Giả sử (X, τX), (Y, τY) là hai không gian tôpô lồi địa phương Lúc đó, khônggian vectơ tích X × Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X × Y có cơ sở gồmtất cả các tập U × V với U ∈ τX và V ∈ τY) cũng là không gian lồi địa phương, cụthể ta có kết quả sau

Định lý 1.14

a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địaphương (Hausdorff) X × Y

b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều

có dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X, Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là cácánh xạ được xác định bởi

A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y)

Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục

Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, M + N = X và

M ∩ N = {0}, lúc đó với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈ M và n ∈ N saocho x = m + n) Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương

và do đó ta có không gian lồi địa phương M × N Xét ánh xạ

ϕ :M × N → X(m, n) → m + n

Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục Nếu ϕ−1 cũng là một ánh xạliên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu

X = M ⊕ N

Mệnh đề 1.15 Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là khônggian con đóng của X và codim M < ∞ Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều làphần bù tôpô

Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau

Bổ đề 1.3 Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho

M đóng, C compact Lúc đó M + C là tập đóng

Chứng minh Mệnh đề 1.15 Giả sử N là phần bù đại số của M Lúc đó dim N < ∞nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếu

pN : X → N xác định bởi pN(m + n) = n, với mọi m ∈ M , n ∈ N , là liên tục Đặt

C = SN(0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N Theo Bổ đề 1.3, C + M là tập đóng Mặtkhác, 0 6∈ C + M , vì vậy tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩ (C + M ) = ∅

Dễ chứng minh được rằng pN(V ) ⊆ BN(0; 1) Từ đó pN(V ) ⊆ BN(0; ) với mọi

 > 0 Vậy pN liên tục tại gốc nên liên tục

Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một khônggian tôpô lồi địa phương

1.4.1 Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn.

Mệnh đề 1.16

a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X Lúc đó pC là hàm liên tục khi và chỉ khi C

là một lân cận gốc Hơn nữa, ta có

Int C = {x ∈ X | pC(x) < 1}; C = {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}

b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0 Lúc đó,

Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu

a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X;

b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X

Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇔ x = 0 Ta dễ dàng kiểmchứng được mệnh đề sau

Mệnh đề 1.17 Cho p là một phiếm hàm trên X

a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ.b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ vàkhông chứa trọn đường thẳng nào

Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ Xhoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa

τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V0 làm lân cận gốc) Kết hợp vớiMệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn đượcxác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhấtsao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục) Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toànđược xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào(lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B0(0; 1))

1.4.2 Các tính chất tôpô.

Cho C là tập lồi trong X Ta vẫn ký hiệu Int C là phần trong của C Ngoài ra,

ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinhtrong Aff(C) Cụ thể,

ri C := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x + V ) ∩ Aff(C) ⊂ C}

Định lý 1.18 Cho C là tập lồi khác rỗng trong X Lúc đó,

a) Int C, C là các tập lồi

b) Nếu x ∈ Int C và y ∈ C thì [x, y) ⊂ Int C

c) Nếu Int C 6= ∅ thì C = Int C, Int C = Int C và core C = Int C

d) Nếu dim C < ∞ thì ri C 6= ∅ và C = ri C; ri C = ri C

Chứng minh

a) Nếu x, y ∈ Int C, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C và y+V ⊆ C

Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y + V ⊆ C, nên λx + (1 − λ)y ∈ Int C.Vậy Int C lồi Bây giờ lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) Với mọi lân cận gốc lồi V , tồn tại

x ∈ (x + V ) ∩ C và y ∈ (y + V ) ∩ C, lúc đó λx + (1 − λ)y ∈ (λx + (1 − λ)y + V ) ∩ C.Vậy λx + (1 − λ)y ∈ C, suy ra C là tập lồi

b) Ta chứng minh w = µx + (1 − µ)y ∈ Int C, với mọi µ ∈ (0, 1] Đặt λ = µ2 và

z = λx+(1−λ)y Vì x ∈ Int C nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C Lại vì

y ∈ C nên y ∈ C +1−λλ V , do đó z ∈ λx+(1−λ)(C +1−λλ V ) = λ(x+V )+(1−λ)C ⊆ C

Để ý rằng w = tx + (1 − t)z với t = 1−λλ , ta có w + tV ⊆ t(x + V ) + (1 − t)z ⊆ C.Vậy w ∈ Int C

c) Khẳng định C = Int C suy ra trực tiếp từ b) Giả sử c ∈ Int C Với mọi

w ∈ Int C tồn tại  > 0 đủ bé sao cho y = w + (w − c) ∈ C Vì w ∈ [c, y) nên theob) w ∈ Int C, suy ra Int C = Int C Việc chứng minh core C = Int C được tiến hànhtương tự

d) Không mất tính tổng quát giả thiết 0 ∈ C Trước hết ta chứng minh rằng, nếudim C = dim X = n thì Int C 6= ∅ Thật vậy, lúc đó tồn tại hệ hệ độc lập tuyến tính{c1, c2, · · · , cn} ⊆ C Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận {c1, c2, · · · , cn}làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng được Int C 6= ∅ Từ đó, nếu dim C < ∞thì ri C chính là phần trong của C với tôpô cảm sinh trên Aff(C), nên khác rỗng

Sử dụng c) ta nhận được các khẳng định còn lại

Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A Từ định lý trên, tathấy coA = co A Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức co A ⊂ coA.Mệnh đề 1.19 Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n saocho, với mọi x ∈ co A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá nphần tử thuộc A, thì co A là tập compact

Định lý 1.14

a) Tích hai khơng gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y không gian lồi địaphương (Hausdorff) X × Y

b) Nếu Z khơng gian lồi. .. lp khơng gian lồi địa phương

p ≥

1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.

Trên không gian vectơ X có nhiều tơpơ lồi địa phương khác Tagọi tôpô lồi địa phương mạnh...

1.3.5 Khơng gian tích - Phần bù tơpơ.

Giả sử (X, τX), (Y, τY) hai không gian tôpô lồi địa phương Lúc đó, khơnggian vectơ tích X × Y với tơpơ tích Tikhonov (tức