GIẢI TÍCH LỒI ( Giáo trình đại học) HUỲNH THẾ PHÙNG

Đây là giáo trình Giải tích lồi được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách: Chương 1: Tập lồi Chương 2: Hàm lồi chương 3: Dưới vi phân và Bài toán cực trị

(Giáo trình Đại học)

Huỳnh Thế Phùng

Ngày 3 tháng 4 năm 2009

Mục lục

1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 4

1.1.1 Không gian vectơ (Rn, +, ·) 4

1.1.2 Tích vô hướng 5

1.1.3 Độ dài vectơ 5

1.1.4 Metric trong Rn 6

1.2 Đa tạp affine 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Biểu diễn của đa tạp affine 8

1.3 Tập lồi 8

1.3.1 Định nghĩa 8

1.3.2 Định lý Carathéodory 9

1.3.3 Nón 9

1.4 Đại số các tập lồi và tính chất tôpô 11

1.4.1 Các phép toán đại số trên tập lồi và nón lồi 11

1.4.2 Các tính chất tôpô 11

1.5 Nón lùi xa của tập lồi 12

1.5.1 Định nghĩa và ví dụ 12

1.5.2 Cấu trúc của nón lùi xa 13

1.6 Định lý tách tập lồi 13

1.6.1 Khái niệm 13

1.6.2 Các định lý tách cơ bản 14

1.6.3 Ứng dụng 15

1

2.1 Định nghĩa và các tính chất đặc trưng 16

2.1.1 Các định nghĩa 16

2.1.2 Đặc trưng của hàm lồi 17

2.1.3 Hàm thuần nhất dương lồi 17

2.2 Các phép toán trên hàm lồi 18

2.2.1 Hàm hợp 18

2.2.2 Tổng chập Infimal 18

2.2.3 Cận trên, cận dưới 18

2.2.4 Bao lồi 19

2.3 Hàm lồi khả vi 19

2.3.1 Trường hợp hàm một biến 19

2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến 20

2.3.3 Một số bất đẳng thức quen thuộc 20

2.4 Sự liên tục của hàm lồi 21

2.4.1 Hàm nửa liên tục dưới 21

2.4.2 Bao đóng, bao lồi đóng của một hàm 21

2.4.3 Sự liên tục của hàm lồi 22

2.5 Hàm liên hợp 22

2.5.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 22

2.5.2 Hàm liên hợp 23

2.6 Hàm tựa 24

2.6.1 Định nghĩa 24

2.6.2 Đặc trưng của hàm tựa 25

Chương 3 Dưới vi phân và Bài toán cực trị 26 3.1 Đạo hàm theo hướng 26

3.1.1 Sự tồn tại 26

3.1.2 Tính chất của đạo hàm theo hướng 27

3.2 Dưới vi phân của hàm lồi 27

3.2.1 Định nghĩa 27

3.2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 29

3.2.3 Các khái niệm khả vi 29

3.2.4 Các phép toán trên dưới vi phân 31

3.3 Khảo sát bài toán Quy hoạch lồi 32

3.3.1 Bài toán cực trị không ràng buộc 32

3.3.2 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc đẳng thức 32

3.3.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức 34

Tài liệu tham khảo 36

Tập lồi

1.1 Tập lồi - Đa tạp affine.

1.1.1 Không gian vectơ (Rn, +, ·).

Trong không gian Rn mỗi phần tử là một bộ được sắp x = (x1, · · · , xn)trong đó xi ∈ R, với mọi i, và được gọi là một vectơ thực n chiều

Với λ là một số thực, x = (x1, x2, · · · , xn) và y = (y1, y2, · · · , yn) là haivectơ, ta ký hiệu x + y là vectơ tổng của x và y, còn λx là tích của vectơ xvới số vô hướng λ, được xác định bởi

x + y := (x1+ y1, x2 + y2, · · · , xn+ yn); λx = (λx1, λx2, · · · , λxn).Đặc biệt, ta ký hiệu −x := (−1)x = (−x1, −x2, · · · , −xn) và 0 là phần tử

có tất cả các toạ độ bằng 0 Lúc đó, Rn cùng với hai phép toán trên lậpthành một không gian vectơ trên trường số thực R Tức là, với mọi λ, µ ∈ R,

Bây giờ phép trừ của hai vectơ được định nghĩa bởi x − y := x + (−y).Ngoài ra, nếu A, B là các tập con của Rn và λ là một số thực và x0 là mộtvectơ thì các tập A ± B, A ± x0 và λA được định nghĩa bởi

Bổ đề này cho thấy các metric d, d∞ và d1 là tương đương; Nghĩa làchúng sinh ra cùng một tôpô trên Rn Dễ kiểm chứng được rằng, trên tôpônày mọi hàm có dạng fa(x) = ha, xi, gλ(x) = λx, ha(x) = a + x, với a ∈ Rn,

λ ∈ R cố định, đều liên tục

Vì Rn là một không gian metric, trên Rn ta có các khái niệm dãy hội

tụ, hình cầu, tập bị chặn, tập mở, tập đóng, tập compact, tập liên thông

b) A đóng (mở) khi và chỉ khi λA đóng (mở),

[x, y) :={λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}

Tương tự, các bạn có thể đưa ra định nghĩa cho các tập (x, y], (x, y) Mộttập hợp M ⊂ Rn được gọi là một đa tạp affine nếu với mọi x, y ∈ M ta cóL(x, y) ⊂ M Dễ kiểm chứng được rằng một không gian con là một đa tạpaffine chứa gốc (tức là vectơ 0) Một tổ hợp affine của các vectơ a1, a2, · · · , am

là một vectơ có dạng x =Pm

1 λiai; với λi là các số thực sao cho Pm

1 λi = 1.Mệnh đề 1.8 M là một đa tạp affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợpaffine của các phần tử của nó

Mệnh đề 1.9 Giao của một họ tuỳ ý các đa tạp affine là một đa tạp affine

Bây giờ cho B là một tập con của Rn, ta gọi bao affine của B là giaocủa họ tất cả các đa tạp affine chứa B và ký hiệu là Aff(B) Rõ ràng, Aff(B)

là đa tạp affine bé nhất chứa B Đặc biệt Aff({x, y}) = L(x, y)

Mệnh đề 1.11 Giả sử V là một không gian con của Rn và x0 là một vectơ,lúc đó M := V + x0 là một đa tạp affine Ngược lại, cho M là một đa tạpaffine bất kỳ ta luôn tìm được một không gian con V và một vectơ x0 sao cho

M = V + x0 Không gian V như vậy là duy nhất và được gọi là không giancon song song với M

Giả sử M là một đa tạp affine và V là không gian con song song với nó

Ta định nghĩa chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V

Cụ thế, dim M = dim V , codim M = codim V Nếu codim M = 1 ta nói M

Một tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C ta có [x, y] ⊂ C

Vì [x, y] ⊂ L(x, y) nên mọi đa tạp affine đều là tập lồi Một tổ hợp lồi của

các vectơ a1, a2, · · · , am là một vectơ có dạng x = Pm

1 λiai; với λi là các sốthực không âm sao cho Pm

1 λi = 1

Mệnh đề 1.14 C là một tập lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp lồi củacác phần tử của nó

Mệnh đề 1.15 Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là lồi

Bây giờ cho B là một tập con của Rn, ta gọi bao lồi (bao lồi đóng) của

B là giao của họ tất cả các tập lồi (tập lồi đóng) chứa B và ký hiệu là co B(coB) Rõ ràng, co B (coB) là tập lồi (tập lồi đóng) bé nhất chứa B Đặcbiệt co{x, y} = co{x, y} = [x, y] Thật ra, có thể kiểm chứng được rằng

Giả sử C là tập lồi trong Rn, ta định nghĩa chiều của C chính làchiều của đa tạp affine sinh bởi C Cụ thể, dim C = dim Aff(C) Họ cácvectơ {a0, a1, · · · , am} được gọi là độc lập affine nếu hệ {a1− a0, · · · , am−

a0} độc lập tuyến tính Lúc đó, ta gọi tập hợp ∆ = S(a0, a1, · · · , am) :=co{a0, a1, · · · , am} là đơn hình m chiều (hay m−đơn hình) với m + 1 đỉnh

a0, a1, · · · , am Như vậy, 1−đơn hình là đoạn thẳng, 2−đơn hình là tam giác,3−đơn hình là tứ diện

Định lý 1.17 Cho B ⊂ Rn với dim Aff(B) = k Lúc đó, với mọi z ∈ co Btồn tại các vectơ b0, b1, · · · , bk∈ B sao cho z ∈ co{b0, b1, · · · , bk}

Hệ quả 1.2 (Định lý Carathéodory) Cho B ⊂ Rn Lúc đó, với mọi z ∈ co Btồn tại các vectơ b0, b1, · · · , bn∈ B sao cho z ∈ co{b0, b1, · · · , bn}

Một tập K ⊂ Rnđược gọi là nón nếu với mọi k ∈ K và mọi λ > 0 ta có

λk ∈ K Nếu hơn nữa, K là lồi (lồi đóng) thì nó được gọi là nón lồi (nón lồi

đóng) Có thể kiểm chứng được rằng mọi nón lồi đóng khác rỗng đều chứagốc Để dễ hình dung ta xét các tập sau trong R2:

Mệnh đề 1.21 Cho K là nón lồi chứa gốc Lúc đó,

a) K − K là không gian con bé nhất chứa K

b) K ∩ (−K) là không gian con lớn nhất được chứa trong K

Mệnh đề 1.22 Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì tập hợp

K := {(λ, λx) | λ > 0; x ∈ C}

là nón lồi trong Rn+1

1.4 Đại số các tập lồi và tính chất tôpô.

Mệnh đề 1.23 Cho C1, C2 ⊂ Rn

là các tập lồi, a ∈ Rn và λ ∈ R Lúc đó,

C1± C2, λC1, C1± a cũng là các tập lồi

Mệnh đề 1.24 Nếu C lồi và λ1, λ2 ≥ 0, thì (λ1+ λ2)C = λ1C + λ2C.Mệnh đề 1.25 Cho {Ci; i ∈ I} là họ các tập lồi khác rỗng Lúc đó haiđiều sau tương đương

a) x ∈ coS

i∈ICi,b) ∃i1, · · · , im ∈ I, ∃xij ∈ Cij, ∃λij ≥ 0 :Pm

j=1λij = 1;Pm

j=1λijxij = x.Mệnh đề 1.26 Cho K1, K2 là các nón lồi chứa gốc Lúc đó,

Định lý 1.27 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và x0 ∈ Rn Lúc

đó, tồn tại duy nhất c ∈ C sao cho kx0− ck ≤ kx0− xk, với mọi x ∈ C.Định lý 1.28 Nếu C là tập lồi trong Rn có dim C = n thì Int C 6= ∅.Định lý 1.29 Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn Lúc đó,

a) x ∈ Int C ∧ y ∈ ¯C ⇒ [x, y) ⊂ Int C

b) Int C, ¯C là các tập lồi

c) Int C 6= ∅ ⇒ ( ¯C = Int C) ∧ (Int ¯C = Int C)

d) ri C luôn khác rỗng, lồi và ¯C = ri C; ri ¯C = ri C

Định lý 1.30 Cho A, B lồi Nếu ri A ∩ ri B 6= ∅ thì

Aff(A ∩ B) = Aff(A) ∩ Aff(B); ri(A ∩ B) = ri A ∩ ri B

Mệnh đề 1.31 Nếu A ⊂ Rn là tập compact thì co A compact và lúc đó

Ví dụ 1.2 Cho ai ∈ Rn, αi ∈ R; 1 ≤ i ≤ m Xét tập hợp

C6 = {x ∈ Rn| hai, xi ≤ αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅

Ta có

o+(C6) = {x ∈ Rn | hai, xi ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}

Mệnh đề 1.33 Cho C lồi đóng khác rỗng Lúc đó, o+(C) là nón lồi đóngvà

v ∈ o+(C) ⇔ ∃(xk) ⊂ C, ∃λk > 0 : λk → 0; λkxk → v

Mệnh đề 1.34 Cho C lồi đóng khác rỗng và vectơ v 6= 0 Nếu tồn tại

x0 ∈ C sao cho x0+ λv ∈ C với mọi λ > 0 thì v ∈ o+(C)

Hệ quả 1.4 Cho C lồi đóng và x0 ∈ C Lúc đó,

hx∗, ai < α < hx∗, bi; ∀a ∈ A, b ∈ B

thì A và B được gọi là tách chặt Còn nếu

sup

a∈A

hx∗, ai < inf

b∈Bhx∗, bi,hay tồn tại số dương  sao cho

hx∗, ai +  ≤ hx∗, bi; ∀a ∈ A, b ∈ B,thì A và B được gọi là tách mạnh Rõ ràng, hai tập tách chặt (hay táchmạnh) được là rời nhau Tuy vậy, hai tập rời nhau chưa hẳn tách được Mặtkhác, hai tập tách được cũng chưa hẳn rời nhau

Một cách hình học, A và B được tách bởi siêu phẳng H(x∗; α) có nghĩa

là chúng lần lượt được chứa trong hai nửa không gian đóng H−(x∗; α) và

H+(x∗; α), được định nghĩa như sau

Định lý 1.40 Cho A và B là hai tập lồi, khác rỗng Ba điều sau tươngđương:

Mệnh đề 1.42 Mọi tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn đều là giao của một

họ các nửa không gian đóng

Hệ quả 1.5 Cho A ⊂ Rn Lúc đó,

coA =\{B | B là nửa không gian đóng chứa A}

Hệ quả 1.6 Cho C ⊂ Rn lồi và C 6= Rn Lúc đó, tồn tại x∗ 6= 0 sao cho

D ∩ ri C 6= ∅

Mệnh đề 1.44 Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, trong đó có một tập

là nón Nếu có một siêu phẳng tách A và B, thì cũng có một siêu phẳng điqua gốc tách chúng

+∞; x ∈ (0, +∞).

Có thể kiểm chứng được f và g đều là các hàm lồi, f chính thường còn g thìkhông Việc xác định dom f , dom g, epi f và epi g xem như bài tập dành chocác bạn

Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức của hàm f tương ứng vớimức α:

C(f ; α) := {x ∈ Rn | f (x) ≤ α}

16

2.1.2 Đặc trưng của hàm lồi.

Mệnh đề 2.1 Nếu f lồi thì dom f lồi

Mệnh đề 2.2 Nếu f lồi thì C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R

Hàm f : Rn → R được gọi là thuần nhất dương nếu

2.2 Các phép toán trên hàm lồi.

2.2.4 Bao lồi.

Cho f : Rn → R Đặt F := co(epi f) và định nghĩa bao lồi của f là hàm

co f (x) := inf{λ ∈ R | (x, λ) ∈ F }; x ∈ Rn.Mệnh đề 2.11 co f là hàm lồi lớn nhất trong số các hàm lồi bé hơn hoặcbằng f

Chú ý rằng, nói chung epi(co f ) 6= co(epi f )

2.3 Hàm lồi khả vi.

Định lý 2.13 Cho f : (a, b) → R, khả vi đến cấp hai Lúc đó,

f lồi trên (a, b) ⇔ f00(x) ≥ 0; ∀x ∈ (a, b)

Ví dụ 2.2 Dựa vào tiêu chuẩn trên ta dễ kiểm tra được hàm các hàm sau

f1(x) := eαx; với α là tham số tuỳ ý,

f2(x) :=

(

xp; x ≥ 0,+∞; x < 0 với p ∈ [1, +∞),

f3(x) :=

(

−xp; x ≥ 0,+∞; x < 0 với p ∈ [0, 1],

f4(x) :=

(

xp; x > 0,+∞; x ≤ 0 với p ∈ (−∞, 0]

2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến.

Định lý 2.14 Cho C ⊂ Rn là tập lồi, mở, khác rỗng và f : C → R khả viliên tục đến cấp hai Lúc đó,

f lồi ⇔ ∇2f (x) nửa xác định dương, với mọi x ∈ C

là ma trận Hessian của f tại x

Ví dụ 2.3 Các hàm sau lồi trên Rn

2.4 Sự liên tục của hàm lồi.

Cho f : Rn→ R f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu

lim inf

x→x 0 f (x) ≥ f (x0) (2.1)Nếu f (x0) hữu hạn thì (2.1) có thể viết lại một cách tương đương:

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ B(x0; δ) : f (x) > f (x0) − 

Nếu f l.s.c tại mọi điểm trên một tập con E ta nói f l.s.c trên E

Định lý 2.15 Cho f : Rn→ R, ba phát biểu sau là tương đương

a) f l.s.c trên Rn,

b) C(f ; α) đóng, với mọi α ∈ R,

c) epi f là tập đóng trong Rn+1

Từ kết quả này mà một hàm l.s.c trên Rn còn được gọi là hàm đóng

Cho f : Rn → R Ta đặt F = epi f và định nghĩa bao đóng của f làhàm ¯f :

¯

f (x) := inf{λ ∈ R | (x, λ) ∈ F }; x ∈ Rn

và bao lồi đóng của f là hàm cof := co f

Mệnh đề 2.16 ¯f (cof ) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàmđóng (lồi đóng) bé hơn hoặc bằng f Hơn nửa,

epi ¯f = epi f ; epi(cof ) = co(epi f )

Chú ý: co ¯f không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co ¯f 6= cof Mệnh đề 2.17 a) f đóng khi và chỉ khi f = ¯f

b) Nếu f lồi thì ¯f lồi và do đó cof = ¯f

c) Nếu f1, f2 đóng thì f1+ f2 đóng

d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng

e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng

Mệnh đề 2.18 Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giátrị hữu hạn nào

2.4.3 Sự liên tục của hàm lồi.

Định lý 2.19 Cho f : Rn→ R lồi chính thường, các phát biểu sau là tươngđương:

a) f liên tục tại một điểm ¯x ∈ Rn

b) f bị chặn trên trong một hình cầu mở khác rỗng B(x0; r) nào đó.c) Int(epi f ) 6= ∅

∀x, x0 ∈ E : |f (x) − f (x0)| ≤ Kkx − x0k

Định lý 2.20 Cho tập lồi, mở E ⊂ Rn và hàm f : E → R Lúc đó, fLipschitz địa phương trên E

Hệ quả 2.5 Cho f : Rn → R lồi, chính thường Lúc đó, f Lipschitz địaphương trên ri(dom f )

2.5 Hàm liên hợp.

Ta nhắc lại rằng, một hàm ϕ : Rn → R được gọi là hàm tuyến tính nếu

Định lý 2.21 Cho f : Rn → (−∞, +∞] Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi

f là cận trên của một họ hàm affine

Mệnh đề 2.26 σC là lồi, đóng, thuần nhất dương.

Từ đây suy ra σC(u) + σC(−u) ≥ 0 với mọi u ∈ Rn Ta đặt

a) x ∈ C ⇔ hu, xi ≤ σC(u); ∀u ∈ Rn

b) x ∈ riC ⇔ hu, xi < σC(u); ∀u ∈ Rn\ C⊥

c) x ∈ Int C ⇔ hu, xi < σC(u); ∀u 6= 0

d) x ∈ Af f (C) ⇔ hu, xi = σC(u); ∀u ∈ C⊥

2.6.2 Đặc trưng của hàm tựa.

Cho C ⊂ Rn, ta gọi hàm chỉ của C là hàm được định nghĩa bởi

δC(x) :=

(0; x ∈ C,+∞; x 6∈ C

Mệnh đề 2.29 Cho C lồi đóng Lúc đó,

δC = σ∗C; σC = δC∗.Định lý 2.30 Cho C lồi đóng khác rỗng Lúc đó, σC lồi, đóng, chính thường

và thuần nhất dương Ngược lại, cho f là hàm lồi, thuần nhất dương, chínhthường, đóng bất kỳ ta luôn tìm được tập C lồi, đóng sao cho f = σC Chẳnghạn,

C = {u ∈ Rn| hu, xi ≤ f (x); ∀x ∈ Rn}

Dưới vi phân và Bài toán cực trị

3.1 Đạo hàm theo hướng.

Cho hàm nhiều biến f : Rn→ R và x0 ∈ Rn sao cho f (x0) ∈ R Với mỗivectơ d ∈ Rn, ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d là giới hạn sau,nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn:

f0(x0; 1) = f+0(x0) và f0(x0; −1) = −f−0 (x0)

26

Trong Ví dụ 3.1 ta đã thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặckhông, tuỳ theo từng trường hợp Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của

nó theo mọi hướng luôn luôn tồn tại Điều đó được khẳng định trong định

b) Đạo hàm của f theo hướng d tồn tại và

f0(x0; d) = inf

λ>0ϕd(λ)

Mệnh đề 3.2 Cho f lồi và f (x0) ∈ R Lúc đó, f0(x0; ·) là một hàm lồi,thuần nhất dương Hơn nữa,

f0(x0; 0) = 0 f0(x0; d) + f0(x0; −d) ≥ 0; ∀d ∈ Rn

Như vậy, nếu f là hàm lồi một biến thực thì f−0 (x0) ≤ f+0 (x0) mỗi khi

f (x0) ∈ R

Bổ đề 3.1 Cho g : Rn→ R thuần nhất dương Lúc đó,

a) Nếu g liên tục tại v ∈ Rn thì g cũng liên tục tại mọi điểm λv với

λ > 0

b) Nếu g liên tục trong một lân cận của 0 thì g liên tục (tại mọi điểm).Định lý 3.3 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn và x0 ∈ dom f

a) Nếu x0+ d ∈ Int(dom f ) thì f0(x0; ·) liên tục tại d

b) Nếu x0 ∈ Int(dom f ) thì f0(x0; ·) liên tục trên Rn

3.2 Dưới vi phân của hàm lồi.

Trong mục này ta luôn giả thiết f : Rn→ R là một hàm lồi và f(x0) ∈ R

Vectơ x∗ ∈ Rn được gọi là dưới gradient của f tại x0 nếu

o

; x 6= 0

Mệnh đề 3.4 Cho x∗ ∈ Rn, ta có

x∗ ∈ ∂f (x0) ⇔ f (x0) + f∗(x∗) = hx∗, x0i

3.2.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng.

Mệnh đề 3.5 ∂f (x0) là tập lồi đóng và

∂f (x0) = {x∗ | hx∗, di ≤ f0(x0; d); ∀d ∈ Rn}

Do đó, nếu f0(x0; ·) chính thường thì

f0(x0; d) = σ∂f (x0)(d); ∀d ∈ Rn.Định lý 3.6 Cho f là hàm lồi chính thường Lúc đó,

a) ∂f (x) 6= ∅ với mọi x ∈ dom f

b) x ∈ Int(dom f ) khi và chỉ khi ∂f (x) bị chặn, khác rỗng Lúc đó,

f0(x; ·) là hàm hữu hạn liên tục trên Rn Hơn nữa,

f0(x; d) = max{hx∗, di | x∗ ∈ ∂f (x)}; ∀d ∈ Rn.c) Nếu x ∈ ri dom f , thì ∂f (x) 6= ∅ và f0(x; ·) lồi đóng chính thường,thoả mãn

f0(x; d) = sup{hx∗, di | x∗ ∈ ∂f (x)} = σ∂f (x)(d); ∀d ∈ Rn

Hệ quả 3.1 Nếu f là hàm lồi, nhận giá trị hữu hạn tại mọi điểm trên Rn,thì, với mọi x ∈ Rn, ∂f (x) là tập lồi compact khác rỗng và

f0(x; d) = max{hx∗, di | x∗ ∈ ∂f (x)}

là hàm lồi, thuần nhất dương, liên tục trên Rn

Cho f : Rn → R và x0 ∈ Rn f được gọi là khả vi (Frechét) tại x0 nếutồn tại x∗ ∈ Rn sao cho

f (x) = f (x0) + hx∗, x − x0i + α(x − x0)kx − x0k; ∀x ∈ Rn,

ở đó, α(x − x0) là một vô cùng bé khi x → x0 Dễ thấy x∗ như trên, nếu

có, là duy nhất Lúc đó, ta ký hiệu ∇f (x0) = x∗ và gọi là gradient (hay đạohàm Fréchet) của f tại x0

f được gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại u∗ ∈ Rn sao cho