GIẢI TÍCH LỒI ( Giáo trình cao học) HUỲNH THẾ PHÙNG

Đây là giáo trình Giải tích lồi được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: T“p lồi Chương 2: Không gian liên hợp Topo yếu chương 3: Hàm lồi

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

20/10/2005

Mục lục

1.1 Tập lồi - Đa tạp affine 3

1.1.1 Đa tạp affine 3

1.1.2 Tập lồi 4

1.1.3 Nón lồi 5

1.1.4 Định lý Carathéodory 5

1.2 Định lý tách tập lồi 6

1.2.1 Định lý Hahn-Banach 6

1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii 7

1.2.3 Định lý tách tập lồi 9

1.3 Không gian tôpô lồi địa phương 9

1.3.1 Không gian tôpô 9

1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính 11

1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương 13

1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất 14

1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô 15

1.4 Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương 16

1.4.1 Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn 17

1.4.2 Các tính chất tôpô 18

1.4.3 Nón lùi xa của tập lồi 19

1.5 Bài tập 21

Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 22 2.1 Định lý tách 22

2.1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 22

2.1.2 Định lý Tách 23

2.1.3 Định lý Tách mạnh 24

2.2 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 25

2.2.1 Tôpô yếu trên X 25

2.2.2 Tôpô yếu* trên X ∗ 27

2.2.3 Cặp đối ngẫu tổng quát 28

2.2.4 Không gian Banach phản xạ 30

2.3 Bài tập 32

Chương 3 Hàm lồi 33 3.1 Cấu trúc hàm lồi 33

3.1.1 Định nghĩa hàm lồi 33

3.1.2 Các phép toán trên hàm lồi 35

3.2 Sự liên tục của hàm lồi 37

3.2.1 Hàm nửa liên tục dưới 37

3.2.2 Sự liên tục của hàm lồi 39

3.3 Hàm liên hợp 41

3.3.1 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine 41

3.3.2 Hàm liên hợp 42

3.4 Dưới vi phân hàm lồi 44

3.4.1 Định nghĩa 44

3.4.2 Quan hệ với đạo hàm theo hướng 45

3.4.3 Các phép toán qua dưới vi phân 48

3.4.4 Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi 50

3.5 Bài tập 51

Tài liệu tham khảo 52

TẬP LỒI

1.1 Tập lồi - Đa tạp affine.

1.1.1 Đa tạp affine.

Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) lần lượt

là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x

và y Tức là

L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R}, [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)}, [x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}.

Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau

a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine

Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A Từ tính chất a) aff(A) là một đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A.

Thật ra tập aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn Ta gọi

c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = aff(A), tức là

d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức là

M = m + V, với V là một không gian con của X.

Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V :

dim M := dim V ; codim M := codim V.

Nếu codim M = 1 ta nói M là một siêu phẳng.

Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X, R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X.

e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X#\ {0} và α ∈ R sao cho

Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C.

a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi

Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu co A, là giao của tất cả các tập lồi chứa A Từ tính chất trên co A cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A.

Một tổ hợp affine x = Pm i=1 λ i a i với các λ i ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các véctơ {a1, · · · , a m }.

b) co A = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}.

c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C, tức là

Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của aff(C):

dim C := dim aff(C).

d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi.

1.1.3 Nón lồi.

Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có

λk ∈ K Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi Một tổ hợp tuyến

tính Pm i=1 λ i a i sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λ i ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λ i dương chặt

a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi

Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con co A, là nón lồi bé nhất chứa A Lúc đó,

b) con co A = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A} c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con co K, tức là

một µ j > 0, sao cho Pm1 µ i a i = 0 Bây giờ nếu đặt

Định lý 1.2 (Carathéodory) Giả sử dim X = n < ∞ và A ⊂ X Lúc đó, với mọi

x ∈ co A, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n + 1 vectơ thuộc A Tức là, tồn tại

hệ {a0, a1, · · · , a m } ⊂ A và các số λ0, · · · , λ m ≥ 0, với m ≤ n, sao cho

Cho X là một không gian vectơ Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm

hàm dưới tuyến tính nếu

a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X;

b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.

Định lý 1.3 (Hahn-Banach) Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M

là một không gian con của X và f ∈ M# thoả mãn

f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.

Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

a) F | M = f ;

b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.

Chứng minh Ta xét tập hợp U mà mỗi phần tử của nó là một cặp (Y, g) trong đó

M ≤ Y ≤ X, g ∈ Y#, g| M = f và g(y) ≤ ϕ(y) với mọi y ∈ Y Trên U ta định nghĩa quan hệ hai ngôi α xác định bởi

(Y, g) α(Z, h) ⇔ Y ≤ Z; h| Y = g.

Có thể kiểm chứng được (U, α) là một không gian thứ tự, trong đó mọi tập con sắp thẳng đều tồn tại phần tử chận trên Theo Bổ đề Zorn, trong U tồn tại phần tử tối đại (Y, g) Ta sẽ chỉ ra Y = X và điều đó kết thúc chứng minh.

Giả sử ngược lại rằng tồn tại v ∈ X \ Y Với mọi cặp y1, y2 ∈ Y ta có

g(y1) − g(y2) = g(y1− y2) ≤ ϕ(y1− y2) ≤ ϕ(y1+ v) + ϕ(−y2 − v)

⇒ λ = sup{g(y1) − ϕ(y1+ v) | y1 ∈ Y } ≤ µ = inf{g(y2) + ϕ(−y2− v) | y2 ∈ Y } Với mỗi y ∈ Y và t ∈ R ta đặt h(y + tv) = g(y) − tλ Dễ kiểm chứng được rằng

h ∈ Z#, với Z là không gian con sinh bởi Y và v, thỏa mãn h| Y = g Mặt khác, h(y + tv) ≤ ϕ(y + tv) với mọi y + tv ∈ Z Vậy (Y, g) 6= (Z, h) ∈ U và (Y, g) α(Z, h), mâu thuẫn vì (Y, g) là phần tử tối đại Định lý đã được chứng minh.

Hệ quả 1.1 Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X Lúc

đó, với mọi f ∈ M ∗ , tồn tại F ∈ X ∗ sao cho

Chứng minh Sử dụng Hệ quả 1.1 với M = span{x0} và f (λx0) = λkx0k.

1.2.2 Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii.

Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu

∀v ∈ X, ∃² > 0, (−²v, ²v) ⊂ A

hay, một cách tương đương,

∀v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, v ∈ tA.

Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A − x0 là hấp thụ Tập tất cả các

điểm bọc của A, ký hiệu core A, được gọi là lõi của A Như vậy,

a) int A ⊂ core A.

b) Nếu dim X < ∞ và A lồi, thì int A = core A.

Chứng minh Khẳng định a) suy ra trực tiếp từ định nghĩa Để chứng minh b) ta giả thiết {e1, e2, · · · , e n } là một cơ sở của X Vì mọi chuẩn trên X đều tương đương nên không mất tính tổng quát ta có thể xét chuẩn k · k1 xác định bởi

B chính là hình cầu tâm x0, bán kính ² trong (X, k · k1).

Mệnh đề 1.5 Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì core C và tập hợp dưới đây cũng lồi

lin C := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C}.

Chứng minh Giả sử c1, c2 ∈ core C và t ∈ (0, 1) Lúc đó, với mọi v ∈ X tồn tại ² > 0 sao cho c i + λv ∈ C với mọi λ ∈ (−², ²) Vì C lồi nên ta cũng có

tc1+ (1 − t)c2 + λv = t(c1 + λv) + (1 − t)(c2 + λv) ∈ C với mọi λ ∈ (−², ²) Vậy

tc1+ (1 − t)c2 ∈ core C, hay core C lồi.

Để chứng minh lin C lồi ta cũng lấy y1, y2 ∈ lin C và t ∈ (0, 1) Theo định nghĩa, tồn tại c1, c2 ∈ C sao cho [c1, y1) ⊆ C và [c2, y2) ⊆ C Dễ kiểm chứng được rằng [c t , ty1+ (1 − t)y2) ⊆ C với c t := tc1+ (1 − t)c2 ∈ C Vì vậy ty1+ (1 − t)y2 ∈ lin C, hay lin C lồi.

Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii của C là hàm được xác định bởi

1.2.3 Định lý tách tập lồi.

Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X Một phiếm hàm tuyến tính

f ∈ X#\ {0} được gọi là tách A và B nếu

f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.

Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho

Bổ đề 1.1 Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0.

Chứng minh Đặt M := span{x0} và g : M → R xác định bởi g(λx0) := λ với mọi

λ ∈ R Lúc đó g ∈ M#, hơn nữa, do p C (x0) ≥ 1 nên g(m) ≤ p C (m) với mọi m ∈ M.

Áp dụng Định lý Hahn-Banach tồn tại f ∈ X# sao cho f | M = g và f (x) ≤ p C (x) với mọi x ∈ X Rõ ràng f (x0) = 1 Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f (c) ≤ p C (c) ≤ 1 Nên f tách C và x0

Chứng minh Định lý 1.7 Giả sử a0 ∈ core A và b0 ∈ B Đặt x0 := a0 − b0 và

C := A − B − (a0− b0) Lúc đó, C lồi, hấp thụ và không chứa x0 Từ Bổ đề trên tồn

tại f ∈ X#\ {0} tách C và x0 Dễ kiểm chứng được rằng f cũng tách A và B.

1.3 Không gian tôpô lồi địa phương.

1.3.1 Không gian tôpô.

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên

X nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈ τ ,

ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,

iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ.

Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là một tập mở trong X.

Bây giờ cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0

- là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A,

- là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅,

- là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai.

Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm trong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là int A (ext A, ∂A) Nếu

x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0 Tập A được gọi là đóng nếu ∂A ⊂ A Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A Các

kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng

ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng,

iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng

Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ B ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của

τ nếu mọi tập U ∈ τ đều được biểu diễn dưới dạng hợp các tập thuộc B Một họ

V ⊆ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0 đều

tồn tại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U Ta có kết quả sau:

Cho B ⊆ P(X) Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và

C i | k ∈ N; C i ∈ C, 1 ≤ i ≤ k

o

thỏa mãn (i-ii), nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X (chú ý rằng giao của một họ rỗng bằng X nên X ∈ B) Lúc đó, ta nói C là tiền cơ sở của τ

Một tập được sắp thứ tự (I, <) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I tồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ ϕ

từ một tập được định hướng I vào X Nếu ký hiệu x λ := ϕ(λ) thì ta có thể nói (x λ)

là một dãy suy rộng trong X.

Giả sử (x λ)λ∈I là một dãy suy rộng, J là một tập định hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λ µ := φ(µ); µ ∈ J thỏa mãn:

+ Với mọi λ0 ∈ I tồn tại µ0 ∈ J sao cho, với mọi µ > µ0 ta có λ0 < λ µ

Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (x λ µ) là dãy con của

d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (x λ ) ⊂ A, nếu x λ → ¯ x thì ¯ x ∈ A.

Ta gọi một phủ mở của A là một họ {U α | α ∈ Λ} các tập mở sao cho

α∈Λ

U α Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , α k } ⊂ Λ sao cho

α∈H

U α ,

thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên

e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn.

1.3.2 Không gian tôpô tuyến tính.

Cho không gian vectơ X Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục.

+ :X × X → X, :R × X → X.

Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian

vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính

Bổ đề 1.2 Trong không gian tôpô tuyến tính X,

Phép tịnh tiến: T a (x) := a + x,

Phép vị tự: ϕ α (x) := αx,

với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X.

Chứng minh Vì đó là các song ánh liên tục và T −1

a = T −a , ϕ −1

α = ϕ α −1

Hệ quả 1.3 Trên không gian tôpô tuyến tính ta có

a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a;

b) V là lân cận của x0 ⇔ αV là lân cận của αx0, với mọi α 6= 0.

Một tập A ⊆ X được gọi là cân đối nếu với mọi |λ| ≤ 1 ta có λA ⊆ A.

Mệnh đề 1.8 Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì a) V là tập hấp thụ.

b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V

Chứng minh Để khỏi nhầm lẫn, trong chứng minh này, ta ký hiệu θ là vectơ gốc trong X.

a) Vì 0.x = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại ² > 0 và lân cận U của x sao cho

λU ⊆ V với mọi λ ∈ (−², ²) Suy ra λx ⊆ V với mọi λ ∈ (−², ²) Vậy V hấp thụ b) Vì θ + θ = θ nên với V là lân cận gốc, tồn tại các lân cận gốc U1, U2 sao cho

U1+ U2 ⊆ V Vì 0.θ = θ nên với lân cận gốc U0 := U1∩ U2 tồn tại ² > 0 và lân cận gốc W sao cho λW ⊆ U0 với mọi λ ∈ (−², ²) Đặt

|λ|<²

λW

ta có U là lân cận cân đối của gốc và U + U ⊆ V

Định lý 1.9 Cho X là một không gian vectơ.

a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc V ⊂ τ thoả mãn i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ V,

ii) αV ∈ V với mọi α 6= 0 và V ∈ V,

iii) Với mọi V ∈ V tồn tại U ∈ V sao cho U + U ⊂ V ,

iv) Với mọi V1, V2 ∈ V, tồn tại U ∈ V sao cho U ⊂ V1∩ V2.

b) Ngược lại, nếu V ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc Cụ thể,

τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ V, x + V ⊂ U}.

Chứng minh Sử dụng Mệnh đề 1.15 Trong khẳng định a) đặt V là tập các lân cận gốc cân đối, còn trong b) chỉ cần kiểm tra τ đã cho là một tôpô tuyến tính.

Mệnh đề 1.10 Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận V làm cơ sở lân cận gốc, thì τ

là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi

1.3.3 Không gian tôpô lồi địa phương.

Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toànđược xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm

toàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi

là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương

Định lý 1.11 Cho X là một không gian vectơ.

a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc V gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.

b) Ngược lại, nếu V0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau

là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó Hơn nữa, tôpô này

là Hausdorff khi và chỉ khi

\

V ∈V0; ²>0

²V = {0}.

Chứng minh Sử dụng Định lý 1.9 với V là họ các lân cận lồi, cân đối.

Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ V ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằng

mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng

Ví dụ 1.1 Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi

họ chỉ gồm một tập: V0 = {B(0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là

Lúc đó, V = {V ² | ² > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên l p Hơn

nữa, ta có thể chứng minh được rằng l p là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi

p ≥ 1.

1.3.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất.

Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau Ta gọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ V0 gồm tất cả các

tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0

Định lý 1.12 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff Trong tôpô

ấy ta có

a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc;

b) Nếu C là tập con lồi của X, thì core C = int C;

c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính

từ X vào Y đều liên tục.

Chứng minh.

a) Vì mọi tập lồi, hấp thụ đều chứa một tập V ∈ τ0

b) Nếu x0 ∈ core C thì C − x0 hấp thụ và lồi, nên cũng là lân cận gốc, do đó

Chứng minh Giả sử dim X = n và {e1, · · · , e n } là một cơ sở trực chuẩn, theo tôpô Euclide, của X Ký hiệu τ E là tôpô Euclide và τ là một tôpô lồi địa phương Hausdorff nào đó trên X Với mỗi τ −lân cận lồi của gốc V , tồn tại ² > 0 sao cho {±²e i | 1 ≤ i ≤ n} ⊂ V Do V lồi nên V ⊃ co{±²e i | 1 ≤ i ≤ n} ⊃ ²

n B(0; 1), với B(0; 1) là τ E −hình cầu đơn vị Vậy τ ⊂ τ E Từ đó suy ra toán tử đồng nhất

I : (X, τ E ) → (X, τ ) là song ánh liên tục và τ E −mặt cầu đơn vị S(0; 1), với tư cách là ảnh liên tục của một tập compact, là tập τ −compact Vì τ Hausdorff nên S(0; 1) là đóng Mặt khác 0 6∈ S(0; 1), nên tồn tại τ −lân cận gốc lồi U sao cho

U ∩ S(0; 1) = ∅ Dễ chứng minh được rằng U ⊆ B(0; 1) Vậy τ = τ E

Từ định lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi địa phương mạnh nhấttrên không gian hữu hạn chiều Khẳng định sau là hiển nhiên

Hệ quả 1.4 Trong R n với tôpô Euclide ta có

a) Nếu C ⊂ R n là tập lồi thì int C = core C;

b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ R n vào một không gian lồi địa phương Y đều liên tục.

Hệ quả 1.5 Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương Hausdorff đều đóng.

Chứng minh Cho (X, τ ) là không gian lồi địa phương Hausdorff và M là không gian con hữu hạn chiều của X Do Định lý 1.13 tôpô cảm sinh của τ lên M chính

là tôpô Euclide Đặt U n = B M(0; 1

n) là hình cầu mở tâm 0 bán kính 1

n trong M Với mỗi n tồn tại τ −lân cận gốc lồi, cân đối V n sao cho V n ∩ M ⊆ U n

Giả sử (x λ)λ∈I là dãy trong M, hội tụ về x ∈ X Ta sẽ chứng minh x ∈ M.

Do x λ → x, với mỗi n ∈ N, tồn tại λ n ∈ I sao cho x λ ∈ x + V n , với mọi λ ≥ λ n

Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λ n < λ n+1 với mọi n Như vậy (x λ n) là một dãy

con của (x λ ) Bây giờ lấy x λ m và x λ n , với m < n, ta có x λ m , x λ n ∈ x + V m Vì vậy

x λ m − x λ n ∈ V m − V m = 2V m Mặt khác, x λ m − x λ n ∈ M, nên x λ m − x λ n ∈ 2U m, hay

kx λ m − x λ n k < 2

m Vậy (x λ m ) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ đến y ∈ M Do tính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x = y ∈ M.

1.3.5 Không gian tích - Phần bù tôpô.

Giả sử (X, τ X ), (Y, τ Y) là hai không gian tôpô lồi địa phương Lúc đó, không

gian vectơ tích X × Y với tôpô tích Tikhonov (tức là tôpô trên X × Y có cơ sở gồm tất cả các tập U × V với U ∈ τ X và V ∈ τ Y) cũng là không gian lồi địa phương, cụthể ta có kết quả sau

Định lý 1.14

a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa phương (Hausdorff) X × Y

b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều

có dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X, Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là các ánh xạ được xác định bởi

A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y).

Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục.

Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, M + N = X và

M ∩ N = {0}, lúc đó với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈ M và n ∈ N sao cho x = m + n) Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương

và do đó ta có không gian lồi địa phương M × N Xét ánh xạ

ϕ :M × N → X (m, n) → m + n.

Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục Nếu ϕ −1 cũng là một ánh xạ

liên tục, thì M, N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu

X = M ⊕ N.

Mệnh đề 1.15 Giả sử X là không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, M là không gian con đóng của X và codim M < ∞ Lúc đó mọi phần bù đại số của M đều là phần bù tôpô.

Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau

Bổ đề 1.3 Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho

M đóng, C compact Lúc đó M + C là tập đóng.

Chứng minh Mệnh đề 1.15 Giả sử N là phần bù đại số của M Lúc đó dim N < ∞ nên tôpô cảm sinh trên N là tôpô Euclide Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ chiếu

p N : X → N xác định bởi p N (m + n) = n, với mọi m ∈ M, n ∈ N, là liên tục Đặt

C = S N (0; 1) là mặt cầu đơn vị trong N Theo Bổ đề 1.3, C + M là tập đóng Mặt khác, 0 6∈ C + M, vì vậy tồn tại lân cận gốc lồi V trong X sao cho V ∩ (C + M) = ∅.

Dễ chứng minh được rằng p N (V ) ⊆ B N (0; 1) Từ đó p N (²V ) ⊆ B N (0; ²) với mọi

² > 0 Vậy p N liên tục tại gốc nên liên tục

1.4 Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương.

Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không

gian tôpô lồi địa phương

1.4.1 Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn.

Mệnh đề 1.16

a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X Lúc đó p C là hàm liên tục khi và chỉ khi C

là một lân cận gốc Hơn nữa, ta có

p −1

C (−∞, 1) ⊆ int C ⊆ C ⊆ p −1

C (−∞, 1].

Mặt khác, có thể chứng minh rằng p C (x) = 1 ⇒ x ∈ ∂C Vậy a) được chứng minh.

b) được suy ra từ định nghĩa Để chứng minh c) ta sử dụng các mệnh đề:

p(x) < 1 ⇒ p C (x) ≤ 1; p C (x) < 1 ⇒ x ∈ C ⇒ p(x) < 1,

và nhận xét rằng, nếu p và q là hai phiếm hàm thuần nhất dương, không âm thỏa mãn p(x) < 1 ⇒ q(x) ≤ 1 thì q(x) ≤ p(x) với mọi x.

Phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu

a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X;

b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X.

Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇔ x = 0 Ta dễ dàng kiểm

chứng được mệnh đề sau

Mệnh đề 1.17 Cho p là một phiếm hàm trên X.

a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = p C với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = p C với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa trọn đường thẳng nào.

Từ Định lý 1.11 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ V0 (theo nghĩa

τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ V0 làm lân cận gốc) Kết hợp với

Mệnh đề 1.16 và Mệnh đề 1.17 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục) Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn

được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào (lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B 0(0; 1))

1.4.2 Các tính chất tôpô.

Cho C là tập lồi trong X Ta vẫn ký hiệu int C là phần trong của C Ngoài ra,

ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh trong aff(C) Cụ thể,

ri C := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x + V ) ∩ aff(C) ⊂ C}.

Định lý 1.18 Cho C là tập lồi khác rỗng trong X Lúc đó,

a) int C, C là các tập lồi.

b) Nếu x ∈ int C và y ∈ C thì [x, y) ⊂ int C.

c) Nếu int C 6= ∅ thì C = int C, int C = int C và core C = int C.

d) Nếu dim C < ∞ thì ri C 6= ∅ và C = ri C; ri C = ri C.

Chứng minh.

a) Nếu x, y ∈ int C, thì tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C và y+V ⊆ C.

Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y + V ⊆ C, nên λx + (1 − λ)y ∈ int C Vậy int C lồi Bây giờ lấy x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) Với mọi lân cận gốc lồi V , tồn tại

x ∈ (x + V ) ∩ C và y ∈ (y + V ) ∩ C, lúc đó λx + (1 − λ)y ∈ (λx + (1 − λ)y + V ) ∩ C Vậy λx + (1 − λ)y ∈ C, suy ra C là tập lồi.

b) Ta chứng minh w = µx + (1 − µ)y ∈ int C, với mọi µ ∈ (0, 1] Đặt λ = µ2 và

z = λx+(1−λ)y Vì x ∈ int C nên tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho x+V ⊆ C Lại vì

c) Khẳng định C = int C suy ra trực tiếp từ b) Giả sử c ∈ int C Với mọi

w ∈ int C tồn tại ² > 0 đủ bé sao cho y = w + ²(w − c) ∈ C Vì w ∈ [c, y) nên theo b) w ∈ int C, suy ra int C = int C Việc chứng minh core C = int C được tiến hành

tương tự

d) Không mất tính tổng quát giả thiết 0 ∈ C Trước hết ta chứng minh rằng, nếu dim C = dim X = n thì int C 6= ∅ Thật vậy, lúc đó tồn tại hệ hệ độc lập tuyến tính {c1, c2, · · · , c n } ⊆ C Vì tôpô trên X trùng với tôpô Euclide nhận {c1, c2, · · · , c n } làm hệ trực chuẩn nên ta có thể kiểm chứng được int C 6= ∅ Từ đó, nếu dim C < ∞ thì ri C chính là phần trong của C với tôpô cảm sinh trên aff(C), nên khác rỗng Sử

dụng c) ta nhận được các khẳng định còn lại

Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A Từ định lý trên, ta thấy coA = co A Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức co A ⊂ coA Mệnh đề 1.19 Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao cho, với mọi x ∈ co A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n phần tử thuộc A, thì co A là tập compact.

Chứng minh Dễ thấy ánh xạ ϕ từ không gian tôpô tích R n × X n vào X, xác định bởi ϕ(λ1, · · · , λ n , x1, · · · , x n) = Pn i=1 λ i x i là liên tục Mặt khác tập K = {(λ1, λ2, · · · , λ n ) ∈ [0, 1] n | Pn1 λ i = 1} là compact trong R n Vì vậy co A = ϕ(K × A n ) cũng là tập compact trong X.

Từ mệnh đề trên ta lập tức nhận được các hệ quả sau

Hệ quả 1.6 Nếu C1, C2, · · · , C n ⊂ X là các tập lồi compact, thì

co(C1∪ C2∪ · · · ∪ C n)

cũng là tập compact.

Hệ quả 1.7 Nếu dim X < ∞ và A là tập compact, thì co A cũng là tập compact.

Hệ quả này được chứng minh nhờ sử dụng Định lý Carathéodory Mệnh đề saucho ta một kết quả mở rộng trên không gian Banach

Mệnh đề 1.20 Nếu A là một tập compact trong không gian Banach X, thì coA là tập compact.

Chứng minh Với mọi ² > 0, do A hoàn toàn bị chặn nên tồn tại {a1, · · · , a k } ⊆ X sao cho A ⊆ ∪ k

1 B(b j ; ²) Vậy co A là tập hoàn toàn bị chặn nên coA compact.

1.4.3 Nón lùi xa của tập lồi.

Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của C nếu

b) Suy ra trực tiếp từ a).

Mệnh đề 1.23 Tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ R n bị chặn khi và chỉ khi o+(C) = {0}.

Chứng minh Giả sử c ∈ C Dễ thấy C bị chặn thì o+(C) = {0} Ngược lại, nếu C không bị chặn thì tồn tại dãy (x n ) ⊂ C sao cho kx n − ck → +∞ Không mất tính

tổng quát có thể giả thiết x n −c

kx n −ck → s ∈ S(0; 1) Từ Mệnh đề 1.22 ta có s ∈ o+(C) nên o+(C) 6= {0}.

a) Chứng minh a ∈ C là điểm cực biên của C khi và chỉ khi C \ {a} là tập lồi.

b) Chứng minh mọi tập lồi, đóng trong không gian lồi địa phương hữu hạnchiều đều có điểm cực biên

Bài tập 1.4 Chứng minh rằng nếu V là tập lồi trong không gian định chuẩn X thỏa mãn V ∩ S(x; r) = ∅, thì hoặc V ⊆ B(x; r), hoặc V ∩ B 0 (x; r) = ∅.

Bài tập 1.5 Gọi X là không gian con của l ∞ gồm các dãy hữu hạn số khác

không, tức là X = {(x n ) ⊂ R | ∃k ∈ N, ∀n > k, x n = 0} Trên X ta xét tập

C = {(x n ) ∈ X | ∃k ∈ N ∗ , x k > 0; ∀n > k, x n = 0} Chứng minh rằng

a) C là nón lồi trong X, aff C = X nhưng core C = ∅.

b) Trong không gian l ∞ , C lồi nhưng ri C = ∅.

c) 0 6∈ C nhưng không tồn tại f ∈ X#\ {0} tách C và 0.

Bài tập 1.6 Cho C là một tập lồi hấp thụ trong không gian vec-tơ X và f : X → R

là một phiếm hàm tuyến tính Chứng minh rằng

a) Tập K = {(λx, λ) | λ ∈ (0, +∞); x ∈ C} là một nón lồi trong X × R.

b) Tập H = {(x, f (x)) | x ∈ X} là một siêu phẳng trong X × R.

c) H tách K và {(0, 0)} khi và chỉ khi f (x) ≤ P C (x) với mọi x ∈ X.

Bài tập 1.7 Tìm một tập C không lồi trong R2 sao cho int C và C đều lồi Bài tập 1.8 Tìm hai tập A ⊆ B trong không gian R n sao cho ri A 6⊆ ri B.

Bài tập 1.9 Tìm một tập A đóng trong R2 mà co A không đóng.

Bài tập 1.10 Tìm một tập A compact trong không gian Banach X mà co A không

compact

Bài tập 1.11 Đặt C = {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y2 ≤ 1) ∨ (|x| < 1; y > 0)}.

a) Chứng minh C lồi, không bị chặn trong R2,

b) Xác định o+(C) Kết quả này có mâu thuẫn với Mệnh đề 1.23 hay không? Bài tập 1.12 Cho C là tập lồi khác rỗng trong không gian lồi địa phương X Đặt

K = o+(C).

a) Chứng minh rằng nếu C ∩ K = ∅ thì int K = ∅.

b) Xây dựng một ví dụ trong R2 cho thấy mệnh đề đảo của a) không đúng

KHÔNG GIAN LIÊN HỢP

TÔPÔ YẾU

2.1 Định lý tách.

2.1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục.

Cho X là một không gian tôpô lồi địa phương Ta vẫn ký hiệu X# là không

gian các phiếm hàm tuyến tính trên X Với mỗi f ∈ X#\ {0} và α ∈ R tập hợp

H(f ; α) = {x ∈ X | f (x) = α} = f −1 (α)

là một siêu phẳng trong X, song song với không gian con Ker f = f −1(0)

Mệnh đề 2.1 Siêu phẳng H(f ; α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục.

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử H(f ; 1) đóng Vì 0 6∈ H(f ; 1) tồn tại lân cận gốc lồi V sao cho V ∩ H(f ; 1) = ∅ Lúc

đó, f bị chặn trên bởi 1 trên V nên liên tục.

Ta ký hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là X ∗ và gọi

là không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X Dễ kiểm chứng được rằng X ∗ là một không gian vectơ con của không gian đối ngẫu đại số X#

Hệ quả 2.1 Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu phẳng trong X đều đóng Nói cách khác, X ∗ = X#.

Chứng minh Phần bù của siêu phẳng H(f ; α) là hợp của hai tập lồi C = f −1 (−∞, α)

và D = f −1 (α, +∞) Dễ kiểm chứng được core C = C và core D = D, từ đó C và

D là các tập mở suy ra H(f ; α) đóng.

Ta nói siêu phẳng H(f ; α) để tập A ⊂ X về một phía nếu A là tập con của

một trong hai nửa không gian sau:

H+(f ; α) := {x ∈ X | f (x) ≥ α}; H − (f ; α) := {x ∈ X | f (x) ≤ α}.

Như vậy, theo định nghĩa trong Mục 1.2.3 siêu phẳng H(f ; α) tách hai tập A

và B khi và chỉ khi siêu phẳng đó để hai tập này về hai phía khác nhau Tức là

A ⊂ H+(f ; α) và B ⊂ H − (f ; α) (hoặc ngược lại).

Mệnh đề 2.2

a) Nếu siêu phẳng H(f ; α) để A về một phía, thì H(f ; α) ∩ core A = ∅.

b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng c) Các nửa không gian H+(f ; α), H − (f ; α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục Chứng minh.

a) Vì f 6= 0 nên tồn tại x0 sao cho f (x0) = 1 Giả sử A ⊆ H − (f ; α) Nếu

a ∈ core A, thì tồn tại ² > 0 sao cho a + ²x0 ∈ A, suy ra f (a) + ² = f (a + ²x0) ≤ α.

Do đó f (a) < α, nên a 6∈ H(f ; α).

b) Giả sử tồn tại x và lân cận gốc lồi V sao cho x + V ⊆ H − (f ; α) Lúc đó f

bị chặn trên bởi α − f (x) trên V , nên liên tục.

c) Được suy ra trực tiếp từ b)

về trường hợp a)

Cho tập lồi C ⊂ X và một điểm x0 ∈ C H(f ; α) được gọi là siêu phẳng tựa của C tại x0, nếu nó chứa x0 và để C về một phía Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựa

của C trên siêu phẳng H(f ; α) và f là phiếm hàm tựa của tập lồi C tại x0 Nếu hơn

nữa, C ⊂ H − (f ; α) thì f được gọi là một vectơ pháp tuyến ngoài của C tại x0 Lúcđó,

f (c − x0) ≤ 0; ∀c ∈ C.

Ta ký hiệu N C (x0) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục của C tại

x0; tức là

N C (x0) := {f ∈ X ∗ | f (c − x0) ≤ 0; ∀c ∈ C}.

Hệ quả 2.2 Cho tập lồi C và x0 ∈ C.

a) N C (x0) là nón lồi chứa gốc trong X ∗

b) Nếu int C 6= ∅ và x0 ∈ ∂C, thì N C (x0) 6= {0}.

Từ kết quả này ta thường gọi N C (x0) là nón pháp tuyến của C tại x0

Chứng minh Khẳng định a) có thể kiểm chứng trực tiếp Việc chứng minh khẳng định b) cần sử dụng Định lý tách cho int C và x0

2.1.3 Định lý Tách mạnh.

Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f 6= 0 và các

số γ > β sao cho A ⊂ H − (f ; β) và B ⊂ H+(f ; γ) Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta cũng nói siêu phẳng H(f ; α) tách mạnh A và B.

Định lý 2.4 (Định lý Tách mạnh) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và B compact Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B.

Chứng minh Đặt C = A − B ta có C là tập lồi, đóng không chứa gốc Do đó tồn tại lân cận lồi gốc lồi V sao cho V ∩ C = ∅ Do Định lý 2.3 tồn tại phiếm hàm liên tục f tách C và V , nên tách mạnh C và 0.

Hệ quả 2.3 Mọi tập lồi đóng trong X đều có thể biểu diễn dưới dạng giao của các nửa không gian đóng.

Chứng minh Giả sử C là tập lồi đóng trong X Ký hiệu F là họ các nửa không gian đóng chứa C Rõ ràng C ⊆TH∈F H Để chứng minh bao hàm thức ngược lại

ta lấy x0 6∈ C Sử dụng Định lý Tách mạnh, tồn tại f ∈ X ∗ sao cho f (x0) > α =

supc∈C f (c) Tức là x0 6∈ H với H = H − (f ; α) ∈ F.

Hệ quả 2.4 Cho M là một không gian con của X và x0 ∈ X \ M Lúc đó, tồn tại

f ∈ X ∗ sao cho

f (x0) = 1 và f (m) = 0 với mọi m ∈ M.

Chứng minh Sử dụng Định lý Tách mạnh, tồn tại g ∈ X ∗ sao cho

g(x0) > α = sup

m∈M

g(m).

Dễ kiểm chứng được α = 0 Cuối cùng đặt f = g(x g0) ta có f (x0) = 1 và f | M = 0

Hệ quả 2.5 Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X mà bằng không trên M thì f = 0.

Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1

Mệnh đề 2.5 Cho M là một không gian con của X Lúc đó, với mọi g ∈ M ∗ tồn tại f ∈ X ∗ sao cho

f | M = g.

Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp g 6= 0, tức là tồn tại x0 ∈ M sao cho g(x0) = 1 Đặt N = Ker g thì N là không gian con đóng (tương đối) trong M Do

đó N = N ∩ M Rõ ràng x0 6∈ N, từ đó suy ra x0 6∈ N Theo Hệ quả 2.4 tồn tại

f ∈ X ∗ sao cho f (x0) = 1 và f | N = 0 Dễ kiểm chứng được rằng f | M = g.

2.2 Tôpô yếu - Tôpô yếu*.

2.2.1 Tôpô yếu trên X.

Cho (X, τ ) là không gian tôpô lồi địa phương Với mỗi f ∈ X ∗, tập hợp

V (f i ; ²) | m ∈ N ∗ ; ² > 0; f i ∈ X ∗ , 1 ≤ i ≤ m

o

.

Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảm

sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X ∗ Nói riêng, τ w ⊂ τ Do đó, ta sẽ gọi τ w

là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ Tương ứng với tôpô này ta có các khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu, hội tụ yếu, compact yếu

Ta sẽ ký hiệu x λ → ¯ w x để chỉ rằng dãy suy rộng (x λ) hội tụ yếu đến ¯x để phân biệt với ký hiệu x λ → ¯ x nói rằng (x λ) hội tụ mạnh đến ¯x.