Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 6 Cột doc

Tính toán các cột với tải trọng tác dụng lệch tâm một lượng nhỏ để xác định ứng suất lớn nhất và độ võng lớn nhất của những cột như vậy.. Hình 6-3 Các giá trị của K cho chiều dài làm vi

Chương 6 Cột

Tổng quan

Bạn là nhà thiết kế

6.1 Nội dung của chương

6.2 Các đặc trưng của mặt cắt ngang của cột

6.3 Liên kết đầu cột và chiều dài làm việc

6.4 Độ mảnh

6.5 Độ mảnh giới hạn

6.6 Tính toán cột dài: Công thức Euler

6.7 Tính toán cột ngắn: Công thức J.B Johnson

Chương này sẽ giúp bạn nắm được một số công cụ phân tích cần thiết để thiết kế và tính toán cột.

Cột là một bộ phận kết cấu chịu tải trọng nén dọc trục và có xu hướng hỏng do sự mất ổn định đàn hồi, hoặc oằn, hơn là do hỏng vật liệu Mất ổn định đàn hồi là dạng hỏng do hình dạng của cột không đủ bền vững để giữ nó thẳng dưới tác dụng của tải trọng Tại điểm xảy ra mất ổn định, đường tâm của cột bị uốn cong hoàn toàn một cách đột ngột Khi đó nếu tải trọng không giảm cột

sẽ bị oằn Dĩ nhiên trong các kết cấu và chi tiết máy cần phải tránh dạng hỏng này

Các cột thẳng một cách lí tưởng, tương đối đối dài và mảnh Nếu chi tiết bị nén ngắn đến mức nó không có xu hướng mất ổn định, thì để phân tích cần sử dụng các phương pháp đã trình bày trong chương 5 Chương này sẽ trình bày một vài phương pháp tính toán và thiết kế cột đảm bảo an toàn với các chế độ tải trọng khác nhau

Hãy dành một vài phút để hình dung các ví dụ về mất ổ định cột Tìm chi tiết bất kì dài và mảnh, ví dụ que đo, thước nhựa, chốt bằng gỗ dài với đường kính nhỏ, ống hút, hay một thanh nhựa hoặc kim loại mỏng Đặt tải trọng hướng xuống một cách cẩn thận trên cột của bạn trong khi

kê đầu dưới trên bàn hoặc sàn Cố gắng đảm bảo rằng nó không bị trượt Tăng tải trọng dần dần

và quan sát trạng thái của cột cho đến khi nó bắt đầu uốn một cách đáng kể ở giữa Tiếp theo giữ mức tải trọng này Không tăng quá mức này, có thể làm cột bị gãy

Bây giờ dỡ tải cột sẽ trở lại hình dạng ban đầu của nó Sẽ không xảy ra phá hủy hay chảy dẻo Nhưng liệu rằng bạn sẽ không cần chú ý đến hiện tượng cột bị hỏng tại điểm mất ổn định? Việc giữ tải trọng tác dụng nhỏ hơn tải bắt đầu gây ra mất ổn định là không quan trọng?

Bây giờ quan sát xung quanh bạn Nghĩ đến những thứ mà bạn thấy quen thuộc, hay dành thời gian đi ra ngoài và tìm những ví dụ khác về cột Nhớ rằng tìm kiếm những chi tiết tương đối dài, mảnh và chịu nén Chú ý đến các bộ phận của đồ đạc, nhà cửa, ôtô, xe tải, đồ chơi, các kết cấu, máy móc công nghiệp, và máy xây dựng Cố gắng tìm ít nhất 10 ví dụ Mô tả chúng: được làm từ vật liệu gì, cách thức đỡ, cách thức chịu tải Làm công việc đó với các bạn học trong lớp, đem những nội dung đó đến buổi học tới để thảo luận

Chú ý rằng bạn đã được yêu cầu tìm các chi tiết chịu tải tương đối dài, mảnh Bạn sẽ phải biết một chi tiết thế nào là dài và mảnh? Ở điểm này, bạn nên tiến hành tranh luận và đưa ra ý kiến Nếu đã có cột, và bạn đủ mạnh để làm nó mất ổn định, tiến tới và thử Ở phần sau trong

chương này, chúng ta sẽ xác định ý nghĩa của các thuật ngữ dài và mảnh.

Nếu bạn thấy các cột bị biến dạng mà không bị mất ổn định, vậy đặc trưng gì của vật liệu

có liên quan chủ yếu đến đến hiện tượng hư hỏng do mất ổn định? Nhớ rằng hư hỏng đã được mô

tả là mất ổn định đàn hồi Khi đó có thể thấy rằng môđun đàn hồi của vật liệu là yếu tố then chốt Xem lại định nghĩa của đặc trưng này từ chương 1, và tìm giá trị trong bảng về các đặc trưng của vật liệu trong phụ lục 3-13

Cũng cần lưu ý rằng chúng ta đã định rõ ban đầu các cột thẳng và tải trọng tác dụng dọc trục Điều gì xảy ra nếu các điều kiện trên không đạt được? Nếu cột hơi cong trước khi đặt tải? Bạn có cho rằng nó sẽ mang được một tải trọng nén bằng với cột như vậy nhưng thẳng? Tại sao

và tại sao không? Sẽ thế nào nếu cột chịu tải lệch tâm, là tải có hướng lệch so với tâm, cách một khoảng so với trục trọng tâm của cột? Điều đó sẽ tác động thế nào đến khả năng mang tải? Cách thức đỡ ở các đầu của cột ảnh hưởng như thế nào đến khả năng này? Các kiểu đỡ nào thường gặp?

Những câu hỏi trên đây và những câu khác nữa sẽ bắt gặp trong chương này Bất cứ khi nào bạn gặp rắc rối trong thiết kế mà tải trọng tác dụng là nén, bạn nên nghĩ đến việc tính toán nó

như là cột Sau đây phần Bạn là nhà thiết kế là một ví dụ tốt về vấn đề thiết kế máy như vậy.

Bạn là nhà thiết kế

Bạn là thành viên của nhóm đang thiết kế

một máy nén thương mại để giảm thể tích rác

bìa cứng và giấy loại để có thể vận chuyển dễ

dàng đến nhà máy xử lí Hình 6-1 là một bản

phác thảo của pittông nén được dẫn động bằng

một xylanh thủy lực với một lực khoảng vài

nghìn pound Thanh truyền giữa xylanh thủy lực và pittông cần được thiết kế như cột vì nó

là một chi tiết chịu nén tương đối dài, tiết diện nhỏ Mặt cắt ngang thanh truyền nên chọn hình dạng nào? Từ đó loại vật liệu chế tạo sẽ

là gì? Và nó sẽ được nối như thế nào với pittông và xylanh thủy lực? Những kích thước cuối cùng của thanh là gì? Bạn, người thiết kế, cần phải xác định tất cả các thông số trên

Hình 6-1 Máy ép giấy phế liệu

6-1 Nội dung của chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:

1 Nhận dạng mọi chi tiết chịu nén tương đối dài và mảnh cần được tính toán như với cột

để tránh xảy ra mất ổn định

2 Xác định các dạng mặt cắt ngang hiệu quả với cột.

3 Tính bán kính quán tính của một mặt cắt ngang của cột.

4 Xác định giá trị phù hợp cho hệ số liên kết K, và xác định chiều dài làm việc của cột.

8 Sử dụng công thức Euler cho tính toán và thiết kế các cột dài.

9 Sử dụng công thức J.B Johnson cho tính toán và thiết kế các cột ngắn.

10 Tính toán các cột cong để xác định tải trọng cho phép.

11 Tính toán các cột với tải trọng tác dụng lệch tâm một lượng nhỏ để xác định ứng suất

lớn nhất và độ võng lớn nhất của những cột như vậy

6-2 Các đặc trưng của mặt cắt ngang của cột

Xu hướng để cột mất ổn định tùy thuộc vào hình dạng và kích thước mặt cắt ngang của

nó, cùng với chiều dài và cách thức gắn với các bộ phận hoặc gối đỡ liên quan Các đặc trưng mặt cắt ngang quan trọng là:

1 Diện tích mặt cắt ngang A.

2 Mômen quán tính của mặt cắt ngang I, với trục mà giá trị của I là nhỏ nhất.

3 Giá trị nhỏ nhất của bán kính quán tính của mặt cắt ngang r.

Bán kính quán tính được tính từ:

Cột có xu hướng mất ổn định so với trục mà bán kính quán tính và mômen quán tính là nhỏ nhất Hình 6-2 chỉ ra bản vẽ phác thảo của cột có mặt cắt ngang hình chữ nhật Trục có khả năng mất ổn định là Y-Y vì cả I và r đều nhỏ hơn nhiều so với I và r của trục X-X Bạn có thể chứng minh được hiện tượng này bằng cách đặt tải theo cách thông thường với tải trọng dọc trục

đủ lớn để gây ra mất ổn định Xem công thức I và r của những hình dạng thông dụng trong phụ lục 1 Xem các dạng kết cấu trong phụ lục 16

6-3 Liên kết đầu cột và chiều dài làm việc

Thuận ngữ ngàm một đầu nhắc đến cách thức đỡ hai đầu của cột Thông số quan trọng nhất là số hạn chế xu hướng chuyển động quay đạt được ở hai đầu cột Ba dạng liên kết ở đầu là khớp, ngàm

chặt, và tự do.

Cột đầu khớp bị hạn chế sao cho đầu cột không thể lắc từ mặt này sang mặt khác, nhưng

nó cho phép quay quanh khớp Đầu khớp gần đúng nhất sẽ là khớp cầu không ma sát Một khớp chốt trụ ít cản trở chuyển động quanh một trục, nhưng nó có thể cản trở theo trục vuông góc với đường tâm chốt

Một đầu ngàm là loại hạn chế chuyển động quay tại gối Một ví dụ là cột trụ lắp chặt vào một ống mà bản thân ống là tựa cứng Ống ngăn cản quay theo mọi hướng để cố định đầu trục Đầu cột được hàn chắc vào một bản đế cũng là dạng cột ngàm một đầu

Đầu tự do có thể lấy ví dụ bằng cột cờ Đầu trên của cột cờ là tự do và không bị dẫn hướng, trường hợp xấu nhất của cột chịu tải.

Phương thức đỡ hai đầu cột tác động đến chiều dài làm việc, xác định như sau

Trong đó L = chiều dài thực của cột giữa hai gối đỡ

K = hằng số tùy thuộc vào liên kết ở hai đầu, như minh họa trong hình 6-3Các giá trị đầu tiên của K là giá trị lí thuyết dựa trên hình dạng của đường đàn hồi Các giá trị thứ hai tính đến sự ngàm chặt ở các đầu cột trong thực tế Sẽ rất là khó để đạt được cột ngàm chặt hoàn toàn vì gối hoặc các liên kết không hoàn toàn cứng vững Vì vậy đề xuất các giá trị K lớn hơn

Hình 6-2 Cột hình chữ nhật mỏng mất ổn định (a) Hình dạng tổng quát của cột mất ổn

định (b) Bán kính quán tính với trục Y-Y (c) Bán kính quán tính với trục X-X

Hình 6-3 Các giá trị của K cho chiều dài làm việc, L e=KL.

Việc lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào giá trị độ mảnh thực tế của cột đang tính

so với độ mảnh giới hạn, hay hằng số của cột CC, xác định theo:

Độ mảnh giới hạn

22

c

y

E C

s

π

Trong đó E = môđun đàn hồi của vật liệu cột

sy = giới hạn chảy của vật liệuViệc sử dụng độ mảnh giới hạn được trình bày trong qui trình sau để tính các cột thẳng chịu tải đúng tâm

Qui trình tính toán các cột thẳng chịu tải đúng tâm

1 Với cột đã cho, tính độ mảnh thực của nó.

2 Tính giá trị Cc

3 So sánh Cc với KL/r Vì Cc là giá trị của độ mảnh để phân biệt cột dài so với cột ngắn, kết quả so sánh cho thấy kiểu tính toán sẽ được sử dụng

4 Nếu KL/r lớn hơn Cc, cột dài Sử dụng công thức Euler như trong mục 6-6

5 Nếu KL/r nhỏ hơn Cc, cột ngắn Sử dụng công thức J.B Johnson, như trong mục 6-7.Hình 6-4 là một sơ đồ khối của qui trình này

Giá trị của độ mảnh giới hạn tùy thuộc vào đặc trưng của vật liệu là môđun đàn hồi và giới hạn chảy Với loại vật liệu bất kì đã cho, ví dụ thép, môđun đàn hồi gần như là hằng số Vì vậy giá trị của Cc tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của giới hạn chảy Các hình 6-5 và 6-6 chỉ ra lần lượt các giá trị của thép và nhôm, với khoảng giới hạn chảy của từng loại vật liệu Các hình cho thấy rằng giá trị của Cc giảm khi giới hạn chảy tăng Tầm quan trọng của nhận xét đó được thảo luận trong mục sau đây

6-6 Tính toán cột dài: công thức Euler

Tính toán cột dài sử dụng công thức Euler (xem tham khảo 3):

Công thức Euler cho các cột dài

( )

2 2/

cr

EA P

KL r

π

Công thức đưa ra tải trọng tới hạn Pcr, là giá trị tải trọng mà cột bắt đầu mất ổn định

Từ công thức (6-5) suy ra một dạng biến đổi thường dùng của công thức Euler:

( ) ( ) ( )

//

Chú ý rằng tải trọng tới hạn chỉ phụ thuộc vào các thông số hình học (chiều dài và mặt cắt ngang) của cột và độ cứng của vật liệu thể hiện bởi môđun đàn hồi Độ bền của vật liệu không bao hàm ở đây Với những lí do trên, khi chọn vật liệu có độ bền cao làm cột dài thường không có lợi

Sử dụng một vật liệu có độ bền thấp hơn với cùng độ cứng, E sẽ tốt hơn

Hình 6-3

Tính toán cột thẳng chịu tải đúng tâm

Hình 6-5 Độ mảnh giới hạn Cc ứng với giới hạn chảy của thép

Hình 6-6 Độ mảnh giới hạn Cc ứng với giới hạn chảy của nhôm

Hệ số an toàn và tải trọng cho phép

Vì hư hỏng được dự báo xuất hiện tại tải trọng tới hạn, chứ không phải tại ứng suất, khái niệm hệ số an toàn được áp dụng sẽ khác biệt so với hầu hết các bộ phận mang tải trọng Thay vì

áp dụng hệ số an toàn vào giới hạn chảy hay giới hạn bền, chúng ta áp dụng nó vào tải tới hạn, từ

công thức (6-5) hoặc (6-6) Với các ứng dụng thiết kế máy điển hình, sử dụng hệ số an toàn là 3 Với cột xác định, tải trọng và liên kết đã biết, có thể sử dụng hệ số an toàn nhỏ hơn, thí dụ như 2.0 Hệ số 1.92 được sử dụng trong một vài kết cấu Ngược lại, với những cột rất dài, có sự không chắc chắn về các tải trọng hay liên kết, hoặc có những nguy hiểm đặc biệt nên sử dụng hệ số lớn hơn (Xem tham khảo 1 và 2).

Trong phần tổng kết, mục tiêu của tính toán và thiết kế cột là bảo đảm rằng tải trọng tác dụng lên cột là an toàn, nhỏ hơn tải tới hạn Cần nắm vững các thuật ngữ sau đây:

Pcr = tải trọng tới hạn

Pa = tải trọng cho phép

P = tải trọng tác dụng thực tế

N = hệ số an toànKhi đó

Tải trọng cho phép Pa = Pcr/NTải trọng tác dụng thực P phải nhỏ hơn Pa

Ví dụ 6-1 Một cột có mặt cắt ngang tròn đặc, đường kính 1.25 in, chiều dài 4.50 ft và liên kết

khớp tại cả hai đầu Nếu nó được làm từ thép kéo nguội AISI 1020, xác định tải trọng an toàn của cột?

Lời giải

Vấn đề: Xác định tải trọng an toàn của cột

Đã cho: Mặt cắt ngang tròn đặc: đường kính d = 1.25 in; dài L = 4.50 ft

Cả hai đầu trục đều liên kết khớp

Vật liệu: thép kéo nguội AISI 1020

Tính toán: sử dụng qui trình trong hình 6-4

)54(0

=

r KL

Bước 4: Tính độ mảnh giới hạn từ công thức (6-4) Với thép kéo nguội AISI 1020, giới

hạn chảy là 51 000 psi, và môđun đàn hồi là 30×106 psi Khi đó

y

E C

Pa = (12 200)/3 = 4067 lbKết luận: Tải trọng an toàn trên cột là 4067 lb

6-7 Tính toán cột ngắn: Công thức J.B Johnson

Khi độ mảnh thực tế của cột KL/r nhỏ hơn giá trị giới hạn Cc, cột ngắn chúng ta sử dụng công thức J.B Johnson Dùng công thức Euler trong phạm vi này sẽ đưa ra một tải trọng tới hạn lớn hơn giá trị thật của nó

Hình 6-7 Đường cong Johnson

Công thức J.B Johnson được viết như sau

Công thức J.B Johnson cho cột ngắn ( )2

2

/1

4

y

cr y

KL r s

As P

Tải trọng tới hạn của cột ngắn chịu ảnh hưởng bởi độ bền của vật liệu cộng với độ cứng của nó, E Như đã nêu ra trong mục trước, độ bền không phải là một hệ số khi sử dụng công thức Euler cho cột dài

Ví dụ 6-2 Xác định tải trọng tới hạn trên cột thép, mặt cắt ngang chữ nhật, 12 mm × 18 mm, dài

280 mm Dự kiến sử dụng thép cán nóng AISI 1040 Đầu dưới của cột được lắp kín vào đế và hàn chắc Đầu trên là liên kết khớp (xem hình 6-8)

Kết quả:

Bước 1: Tính độ mảnh Cần xác định bán kính quán tính nhỏ nhất Ở đây là với trục Y-Y,

46.312

/1

4

y

cr y

KL r s

As P

6-8 Bảng tính toán cột

Hoàn thành quá trình trong hình 6-4 sử dụng máy tính, bút, và giấy sẽ rất mệt mỏi Một bảng tính sẽ tự động làm các tính toán sau khi bạn đưa vào các số liệu tương ứng cho một cột cụ thể Hình 6-9 trình bày đầu ra của một bảng tính sử dụng để giải ví dụ 6-1 Việc thiết lập các bảng tính có thể được làm bằng nhiều cách, và bạn nên xây dựng bảng của riêng mình Các nhận xét sau đây chỉ ra các đặc điểm của bảng tính đã cho:

1 Ở phần đầu của bảng, đưa ra các hướng dẫn cho người sử dụng để nhập các số liệu và

đơn vị Bảng tính này chỉ sử dụng hệ Anh Nếu là hệ SI, một bảng tính khác sẽ được

sử dụng (Xem hình 6-10, với lời giải cho ví dụ 6-2)

2 Phần bên trái bảng tính liệt kê các thông số mà người sử dụng cần nhập vào để chạy

các tính toán Ở phần bên phải là các giá trị đầu ra Các công thức tính Le, Cc, KL/r, và tải trọng cho phép được viết trực tiếp vào ô của các giá trị cần tính Đầu ra báo “Cột

là: dài” và tải trọng mất ổn định tới hạn được tính bằng các hàm cài đặt trong phần

macrô viết bởi Visual Basic và đặt vào một ô riêng của bảng tính Hình 6-11 là hai macrô đã sử dụng Macrô đầu tiên (LorS) thực hiện xử lí để kiểm tra xem liệu cột là dài hay ngắn bằng cách so sánh độ mảnh của cột với độ mảnh giới hạn Macrô thứ hai (Pcr) tính tải trọng mất ổn định tới hạn sử dụng công thức Euler hoặc công thức J.B

Johnson, tùy thuộc vào kết quả của macrô LorS Những hàm này được gọi ra bởi các lệnh trong ô có chữ “dài” và giá trị tính toán của tải trọng mất ổn định tới hạn (12 197 lb) được xác định.

3 Với bảng tính như vậy có bạn có thể tính toán một vài phương án thiết kế nhanh

chóng Với ví dụ đã đưa ra có hai đầu cột là khớp, kết quả là K =1 Điều gì sẽ xảy ra nếu cả hai đầu đều là ngàm? Chỉ việc thay giá trị của ô đó thành K = 0.65 làm cho toàn bộ bảng sẽ được tính lại, và sẽ có ngay giá trị tải trọng mất ổn định tới hạn Kết quả là Pcr = 28 868, tăng 2.37 lần so với giá trị ban đầu Với sự cải tiến như vậy, bạn – người thiết kế, có thể sẵn sàng thay đổi thiết kế để tạo ra cả hai đầu ngàm

Hình 6-9 Bảng tính toán cột với số liệu từ ví dụ 6-1

Hình 6-10 Bảng tính toán cột với số liệu từ ví dụ 6-2

Hình 6-11 Các macro đã sử dụng trong bảng tính toán cột

Hình 6-12 Các mặt cắt ngang cột

6-9 Các dạng phù hợp với mặt cắt ngang của cột

Một hình dạng phù hợp là loại có thể tạo ra hiệu quả tốt với lượng nhỏ vật liệu Trong

trường hợp của cột, hình dạng mặt cắt ngang và các kích thước của nó quyết định giá trị của bán kính quán tính, r Từ công thức xác định độ mảnh, KL/r, chúng ta có thể thấy rằng khi r lớn, độ mảnh sẽ nhỏ Trong công thức tải trọng tới hạn, một độ mảnh nhỏ hơn sẽ cho kết quả là tải trọng