Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 3 pot

Chương 3 Phân tích ứng suất và biến dạngTổng quan Bạn là nhà thiết kế 3.1 Nội dung của chương 3.2 Quan điểm thiết kế 3.3 Biểu diễn các ứng suất trên một phân tố ứng suất 3.18 Phương trìn

Chương 3 Phân tích ứng suất và biến dạng

Tổng quan

Bạn là nhà thiết kế

3.1 Nội dung của chương

3.2 Quan điểm thiết kế

3.3 Biểu diễn các ứng suất trên một phân tố ứng suất

3.18 Phương trình đường đàn hồi

3.19 Dầm có mômen uốn tập trung

3.20 Ứng suất pháp tổng hợp: nguyên lý cộng tác dụng

3.21 Tập trung ứng suất

3.22 Độ nhạy với vết khía và hệ số giảm độ bền

Tài liệu tham khảo

Địa chỉ internet

Bài tập

Tổng quan

Nội dung thảo luận

 Với tư cách một người

Một người thiết kế có trách nhiệm đảm bảo sự an toàn của các bộ phận và hệ thống mà họthiết kế Có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến sự an toàn, nhưng yếu tố có tính quyết định nhất đến độ

an toàn của thiết kế đó là mức ứng suất của bộ phận máy phải chắc chắn nhỏ hơn mức chấp nhậnđược đã dự đoán trước Dĩ nhiên, điều kiện đó dẫn đến không có gãy hỏng trong thực tế Sự antoàn cũng có thể bị ảnh hưởng nếu các bộ phận được phép biến dạng quá mức mặc dù không gãyhỏng

Bạn vừa mới học sức bền vật liệu để có những kiến thức cơ bản về phân tích ứng suất Vìvậy, ở phần này bạn sẽ thành thạo khi tính toán ứng suất và biến dạng của các chi tiết mang tảikéo nén đúng tâm, lực cắt, mômen xoắn, và uốn

Bây giờ, xem xét các sản phẩm tiêu dùng và máy móc quen thuộc với bạn và thử giảithích xem chúng có thể hỏng như thế nào Dĩ nhiên, chúng ta không mong muốn chúng bị hỏng,bởi vì hầu hết các sản phẩm như vậy đều được thiết kế tốt Nhưng một số vẫn bị hỏng Bạn có thểchỉ ra một số sản phẩm? Chúng đã bị hỏng như thế nào? Chế độ làm việc của chúng khi bị hỏng làgì? Vật liệu của các bộ phận bị hỏng? Bạn có thể nhận biết và mô tả loại tải trọng tác dụng lên bộphận bị hỏng? Chúng chịu uốn, kéo, nén, cắt, hay xoắn? Liệu có thể có đồng thời nhiều loại ứngsuất tác động? Có dấu hiệu của sự quá tải ngẫu nhiên? Những tải trọng như vậy đã được ngườithiết kế dự đoán trước chưa? Có thể sự hỏng hóc đó là do quá trình chế tạo hơn là do thiết kế củanó?

Nói về sự hỏng hóc của sản phẩm và máy móc với những bạn học và người hướng dẫnbạn Chú ý đến các bộ phận trên ôtô, các dụng cụ gia đình, thiết bị chăm sóc cỏ, hoặc các thiết bị

mà bạn đã làm việc với nó Nếu có thể, đem những bộ phận hỏng hóc đó đến gặp các bạn học vàthảo luận về các bộ phận đó và sự hỏng của chúng

Hầu hết quyển sách này nhấn mạnh sự phát triển những phương pháp riêng biệt để phântích và thiết kế các chi tiết máy Những phương pháp này đều dựa trên nền tảng của phân tích ứngsuất, và nó thừa nhận rằng bạn đã hoàn thành khoá học về sức bền vật liệu Chương này trình bàylại các cơ sở đó một cách ngắn gọn (Xem tham khảo 1, 3, 4, và 6.)

Hình 3-1 Phác hoạ sơ đồ của một cẩu trục

Bạn là nhà thiết kế

Bạn là người thiết kế một cẩu trục đa năng

có thể được sử dụng trong sửa chữa ôtô, trong

một nhà máy sản xuất, hoặc trên một khối di

động như một xe tải móc Chức năng của nó là

nâng các vật nặng Sơ đồ bố trí một dạng của

cẩu trục được chỉ ra trên hình 3-1 Nó bao

gồm 4 bộ phận mang tải, đánh số 1, 2, 3, 4

Các bộ phận này được nối với nhau bằng khớp

bản lề tại A, B, C, D, E, và F Tải trọng được

mang ở cuối dầm ngang, bộ phận số 3 Điểm

neo cẩu trục là A, và B sẽ truyền tải trọng từ

cẩu trục đến một đế cứng Chú ý rằng đây chỉ

là một hình chiếu đơn giản hoá của cẩu trục

với những bộ phận kết cấu cơ bản và lực nằm

trong mặt phẳng đặt tải Cẩu trục cũng sẽ cần

các chi tiết gia cố trong mặt phẳng vuông góc

với bản vẽ

Bạn cần phân tích các loại lực tác dụng lênmỗi một bộ phận mang tải trước khi có thểthiết kế chúng Thảo luận sau đây sẽ cung cấplại một số nguyên lý cơ bản bạn sẽ cần đếntrong khoá học này

Khi là người thiết kế công việc của bạn tiếnhành như sau:

1 Phân tích lực tác dụng lên các bộ phậnmang tải sử dụng các nguyên lý tĩnh học

2 Xác định loại ứng suất mà mỗi bộ phậnphải chịu do tải trọng tác dụng

3 Đề xuất một hình dạng chung cho từng

bộ phận mang tải và vật liệu của chúng

4 Hoàn thành phân tích ứng suất cho từng

bộ phận để xác định kích thước cuốicùng của chúng

Bây giờ ta hãy làm các bước 1 và 2 để ônlại phần tĩnh học Bạn sẽ nâng cao năng lực

của mình qua các bước 3 và 4 khi gặp phải

một vài vấn đề thực tế trong chương này và

chương 4, 5 nhờ việc ôn lại về sức bền vật liệu

và những kiến thức bổ sung được hình thành

qua quá trình trên

Phân tích lực

Ở đây tóm tắt một phương pháp phân tích

lực

1 Xét toàn bộ kết cấu cẩu trục như là một

vật tự do với lực tác dụng tại điểm G và

phản lực tác dụng tại điểm A và B Xem

hình 3-2 với các lực và những kích

thước quan trọng của kết cấu cẩu trục

2 Tách kết cấu thành từng phần sao cho

mỗi phần được biểu diễn dưới dạng sơ

Bước 1: Khớp bản lề tại A và B có thể đỡ theo

phương bất kì Chúng ta chỉ ra phản lực tácdụng theo hai phương x và y trên hình 3-2.Khi đó, tiếp tục như sau:

1 Từ tổng mômen so với B tìm được

RAy = 2.667 F = 26.67 kN

Hình 3-2 Sơ đồ cẩu trục hoàn thiện

2 Từ tổng lực tác dụng theo phương

thẳng đứng ta có

RBy = 3.667 F = 36.67 kN

Tại điểm này chúng ta cần thừa nhận thanh

giằng AC liên kết chốt tại hai đầu và chỉ mang

tải tại hai đầu của nó Vì vậy có hai thành

phần lực, và phương của lực tổng RA, phụ

thuộc vào thành phần của nó Khi đó RAx và

RAy là hai thành phần vuông góc của RA như

đã chỉ ra ở phần dưới bên trái của Hình 3-2

Chúng ta thấy rằng

tg (33.70) = RAy/RAx

và khi đó RAx = RAy/tg (33.70) =

= 26.67 kN/ tg(33.70) = 40.0 kN Lực tổng cộng RA có thể tính dựa vào định

lí Pitago

RA =

67 , 26

A Lực tại C trên thành giằng AC cũng là48.07 kN hướng lên bên phải để cân bằng với

RA như trên hình 3-3 Vì vậy thanh giằng AC

bị kéo thuần tuý

Hình 3-3 Sơ đồ tách các bộ phận của cẩu trục

Bây giờ chúng ta có thể tính tổng lực tác

dụng lên kết cấu theo phương ngang, xác định

được RAx = RBx = 40.0 kN Hợp lực của RBx và

RBy là 54.3 kN tác dụng hợp với phương

ngang một góc 42.50 và hướng lên, và nó là

lực cắt tổng cộng trên chốt tại khớp B Xem

biểu đồ ở phần dưới bên phải hình 3-2

Bước 2: Sơ đồ các nhóm được chỉ ra trên hình

Bây giờ chú ý rằng bộ phận 2 cũng có hai

lực, nhưng đó là lực nén không phải kéo Vì

vậy chúng ta biết lực tại D và F là bằng nhau

và chúng tác dụng theo đường thẳng của bộ

phận 2, hợp với phương ngang một góc 31.00

Khi đó phản lực của những lực này tác dụng

lên điểm D của trên cột thẳng đứng 4, và điểm

F trên dầm ngang, bộ phận 3 Chúng ta có thể

tìm được giá trị của RF bằng cách xét sơ đồ

tách bộ phận 3 Bạn sẽ phải kiểm tra lại các

kết quả dưới đây sử dụng những phương pháp

Đến đây tất cả các lực trên cột 4 đều biết từ

những phân tích trên sử dụng nguyên lý lực

sử dụng từng loại tính toán ứng suất khi hoànthiện thiết kế Bộ phận 3 và 4 chịu lực vuônggóc với trục dài vì vậy chúng làm việc nhưnhững dầm chịu uốn Hình 3-4 chỉ ra những

bộ phận này với biểu đồ lực cắt và mômenuốn Bạn đã được học cách để vẽ những biểu

đồ như vậy trong nội dung bắt buộc về sứcbền vật liệu Sau đây là tổng hợp các loại ứngsuất trên từng bộ phận

Bộ phận 1: Thanh giằng chịu kéo thuần tuý

Bộ phận 2: Thanh chống chịu nén thuần

tuý Cần kiểm tra độ ổn định của thanh

Bộ phận 3: Dầm ngang làm việc như một

dầm chịu uốn Đoạn cuối bên phải giữa F và

G chịu ứng suất uốn và ứng suất cắt đứng.Giữa E và F là hỗn hợp của uốn, cắt và ứngsuất kéo dọc trục

Bộ phận 4: Cột đứng chịu hỗn hợp các ứng

suất tuỳ thuộc vào từng đoạn

Giữa E và D: tổ hợp của ứng suất uốn, ứngsuất cắt đứng và kéo dọc trục

Giữa D và C: tổ hợp của ứng suất uốn vànén dọc trục

Giữa C và B: tổ hợp của ứng suất uốn , ứngsuất cắt đứng, và nén dọc trục

Khớp bản lề: Sự liên kết giữa các bộ phậntại mỗi khớp cần phải được thiết kế để chịuđược phản lực tổng cộng đã tính ở trên Mộtcách tổng quát, mỗi một liên kết sẽ bao gồmmột chốt trụ nối hai phần Chốt này sẽ chịu cắtthuần tuý

Hình 3-4 Biểu đồ lực cắt và mômen uốn của bộ phận 3 và 4

3-1 Nội dung của chương

Sau khi hoàn thành chương này bạn sẽ:

1 Được ôn lại các nguyên lý của tính toán ứng suất và biến dạng với một vài loại ứng

suất như sau

2 Kéo và nén thuần tuý

3 Cắt thuần tuý

4 Xoắn cho cả hai tiết diện tròn và không tròn

5 Ứng suất cắt trên các dầm

6 Uốn

7 Có khả năng giải thích bản chất của ứng suất tại một điểm bằng cách vẽ phân tố ứng

suất tại điểm bất kì trên các bộ phận mang các dạng tải trọng khác nhau

8 Ôn lại về tầm quan trọng của tâm uốn của mặt cắt của dầm xét đến sự định hướng của

tải trọng trên dầm

9 Nhắc lại các công thức biến dạng của dầm.

10 Có khả năng phân tích các biểu đồ tải trọng trên dầm, kể cả các bước nhảy của mômen

3-2 Quan điểm thiết kế

Trong giáo trình này, mọi phương pháp thiết kế sẽ đảm bảo rằng mức ứng suất sẽ thấphơn giới hạn chảy của vật liệu dẻo, làm cho chi tiết không bị gãy hỏng dưới tải trọng tĩnh Với cácvật liệu giòn, chúng ta sẽ phải chắc chắn rằng mức ứng suất phải dưới giới hạn bền kéo Chúng tacũng sẽ phân tích biến dạng tại các mặt cắt quyết định đến sự an toàn hoặc sử dụng của chi tiết

Hai dạng hỏng khác ở các chi tiết máy đó là mỏi và mòn Hiện tượng mỏi là đặc trưng của

các chi tiết chịu tải trọng lặp (xem chương 5) Mòn được thảo luận trong các chương dành cho cácchi tiết máy có liên quan nhiều đến mòn như bánh răng, ổ, và xích

3-3 Biểu diễn các ứng suất trên một phân tố ứng suất

Một mục tiêu quan trọng của phân tích ứng suất là xác định điểm trên chi tiết mang tải có

mức ứng suất cao nhất Bạn sẽ phát triển khả năng xây dựng một phân tố ứng suất, một khối lập

phương vô cùng nhỏ trong vùng ứng suất cao của chi tiết, và chỉ ra các véctơ biểu diễn cho nhữngloại ứng suất tồn tại trên phân tố đó Sự định hướng của thành phần ứng suất có tính quyết định,

và nó được hướng theo các trục đã xác định trên phân tố, thường gọi là x, y, và z

Hình 3-5 chỉ ra 3 ví dụ của các phân tố ứng suất với ba loại ứng suất cơ bản là: kéo, nén

và tiếp Cả dạng khối lập phương hoàn chỉnh và dạng hình vuông đơn giản biểu diễn các phân tốứng suất đều được chỉ ra Hình vuông là một mặt của khối lập phương trong mặt được chọn Cáchình vuông biểu diễn hình chiếu vuông góc các mặt của khối lập phương xuống mặt được chọn.Đầu tiên bạn cần lưu ý khi thể hiện khối lập phương và sau đó biểu diễn một phân tố ứng suấtvuông chỉ ra ứng suất trên một mặt riêng mà bạn cần Trong một số trường hợp, với trạng thái ứngsuất tổng quát hơn, có thể yêu cầu hai hoặc ba phân tố ứng suất vuông để mô tả một trạng thái ứngsuất hoàn chỉnh

Ứng suất kéo và nén, gọi là ứng suất pháp; tác dụng vuông góc với mặt đối diện của phân

tố ứng suất Ứng suất kéo có xu hướng kéo phân tố, trong khi ứng suất nén có xu hướng nén nó

Hình 3-5 Các phân tố ứng suất của ba loại ứng suất

Ứng suất tiếp tạo ra bởi cắt trực tiếp, lực cắt trên dầm, hoặc xoắn Trong mỗi trường hợp,

một phân tố chịu cắt có xu hướng bị cắt bởi một ứng suất hướng xuống trên một mặt đồng thời làmột ứng suất hướng lên trên mặt đối diện song song Sự tác động như là một dụng cụ xén đơngiản hay cái kéo Nhưng chú ý rằng nếu chỉ có một cặp ứng suất tiếp đối ứng tác động, phân tốứng suất sẽ không cân bằng Đúng hơn là phân tố có xu hướng quay vì cặp ứng suất tiếp tạothành một ngẫu lực Để tạo ra sự cân bằng, cần tồn tại một cặp ứng suất tiếp thứ hai trên hai mặtkhác của phân tố, tác dụng theo hướng ngược với cặp đầu tiên

Tóm lại, các ứng suất tiếp trên một phân tố sẽ thường được biểu diễn như hai cặp ứng suấtbằng nhau tác dụng trên 4 mặt của phân tố Hình 3-5(c) chỉ ra một ví dụ

Kí hiệu qui ước cho ứng suất tiếp

Giáo trình này thừa nhận qui ước sau:

Những ứng suất tiếp dương có xu hướng làm quay phân tố theo chiều kim đồng hồ Ứng suất tiếp âm có xu hướng làm quay phân tố theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Hai chỉ số dưới được dùng để thể hiện ứng suất tiếp ở trong mặt nào Ví dụ, trên hình 3-5(c) vẽmặt x-y, cặp ứng suất tiếp là xy, thể hiện ứng suất tiếp tác dụng trên mặt của phân tố vuông gócvới trục x và song song với trục y Khi đó yx tác dụng trên mặt vuông góc với trục y và song songvới trục x Trong ví dụ này, xy là dương, yx là âm

3-4 Ứng suất pháp: kéo và nén

Ứng suất có thể được định nghĩa như là sức cản bên trong của một diện tích đơn vị của vật liệu

ứng với tải trọng bên ngoài Ứng suất pháp () có hai loại là kéo (dương) hoặc nén (âm).

Với các chi tiết mang tải mà tải trọng bên ngoài phân bố đều trên diện tích mặt cắt ngangcủa chi tiết, độ lớn của ứng suất có thể được tính từ công thức ứng suất pháp:

Kéo hoặc nén đúng tâm:  = lực/diện tích = F/A (3-1)

Đơn vị của ứng suất thường là lực trên đơn vị diện tích , như từ công thức 3-1 Các đơn vịthường dùng trong hệ Anh và hệ SI như sau

Hệ Anh

lb/in2 = psiKips/in2 = ksiChú ý: 1.0 kip = 1000 lb 1.0 ksi = 1000 psi

Hệ mét SI

N/m2 = PaN/mm2 = 106 Pa = MPa

Ví dụ 1 Một lực kéo 9500 N được đặt lên một thanh tròn đường kính 12 mm, như trên Hình

3-6 Tính ứng suất kéo trong thanh

Lời giải

Vấn đề: tính ứng suất kéo trong thanh tròn

Đã cho: lực F= 9500 N;đườngkính D = 12 mm

Tính toán: sử dụng công thức cho trường hợp kéo đúng tâm, công thức (3-1):  = F/

A Tính diện tích mặt cắt ngang từ công thức A = D2/4

Kết quả: A = D2/4 = (12 mm)2/4 = 113 mm2

 = F/A = (9500 N)/(113 mm2) = 84.0 N/mm2 = 84.0 MpaNhận xét: kết quả được biểu diễn trên phân tố ứng suất A trong hình 3-6, phân tố này cóthể lấy tại một vị trí bất kì trên thanh vì một cách lí tưởng thì ứng suất là giống nhau trên mọi mặtcắt ngang Dạng lập phương của phân tố được chỉ ra trên hình 3-5(a)

Hình 3-6 Ứng suất kéo trong thanh tròn

Các điều kiện để sử dụng công thức (3-1) là:

1 Bộ phận mang tải cần phải thẳng

2 Đường thẳng tác dụng của tải phải đi qua tâm mặt cắt ngang của chi tiết

3 Các mặt cắt của chi tiết phải đồng đều quanh vị trí tính ứng suất

4 Vật liệu phải đồng nhất và đẳng hướng

5 Trong trường hợp chi tiết chịu nén, nó phải ngắn để tránh mất ổn định Điều kiện xảy

ra mất ổn định được trình bày trong chương 6

3-5 Biến dạng dưới tác dụng của tải trọng dọc trục

Công thức sau tính độ giãn do tác dụng của tải trọng kéo dọc trục thuần tuý hoặc độ congắn do tải trọng nén dọc trục thuần tuý

Biến dạng do tải dọc trục thuần tuý  = FL/EA (3-2)

Trong đó

 là biến dạng tổng của chi tiết mang tải dọc trục

F là tải trọng dọc trục

E là môđun đàn hồi của vật liệu

A là diện tích mặt cắt ngang của chi tiếtChú ý rằng  = F/A, chúng ta cũng có thể tính biến dạng từ công thức sau

Ví dụ 3-2 Cho một thanh chịu kéo như trên hình 3-6, tính biến dạng tổng nếu chiều dài ban đầu

của thanh là 3600 mm Thanh được làm từ thép có môđun đàn hồi là 207 Gpa

Lời giải:

Vấn đề: tính biến dạng của thanh

Đã cho: lực F = 9500 N; đường kính D = 12 mm; chiều dài L = 3600 mm; E = 207 GPaTính toán: từ ví dụ 3-1, ta có  = 84.0 Mpa Sử dụng công thức (3-3)

Kết quả:

6 2

9 2

(84.0 10 / )(3600 )(207 10 / )

Phương pháp tính ứng suất cắt trực tiếp tương tự với phương pháp đã dùng để tính ứngsuất kéo thuần tuý vì lực tác dụng được giả thiết phân bố đều trên mặt cắt ngang chịu lực của chi

tiết Nhưng loại ứng suất này là ứng suất tiếp khác với ứng suất pháp Kí hiệu sử dụng cho ứng

suất cắt là chữ cái Hi Lạp tô () Công thức tính ứng suất cắt được viết như sau

Ứng suất cắt trực tiếp  = lực cắt/ diện tích chịu cắt = F/AS (3-4)

Ứng suất này được gọi một cách chính xác hơn là ứng suất cắt trung bình, nhưng để đơn

giản chúng ta sẽ giả thiết là ứng suất phân bố đều trên diện tích cắt

Hình 3-7 Cắt trực tiếp trên then

Ví dụ 3-3 Hình 3-7 chỉ ra một trục mang hai puli được ghép then với trục Phần (b) chỉ ra lực F

được truyền từ trục đến mayơ của puli qua một then vuông Trục có đường kính 2.25 in và truyềnmômen xoắn là 14 063 lb.in Then có mặt cắt ngang hình vuông, cạnh là 0.50 in, và chiều dài là1.75 in Tính lực trên then và ứng suất cắt gây ra bởi lực đó

Lời giải

Vấn đề: tính lực trên then và ứng suất cắt

Đã cho: sơ đồ bố trí trục, then, mayơ trên hình 3-7

Mômen xoắn T = 14 063 lb.in; kích thước then 0.5 0.5  1.75 in

Đường kính trục D = 2.25 in; bán kính R = D/2 = 1.125 in

Tính toán: mômen xoắn T = lực F  bán kính R Khi đó F = T/R

Sử dụng công thức (3-4) để tính ứng suất cắt:  = F/AS

Diện tích cắt là diện tích mặt cắt ngang của then tại mặt phân cách giữa trục vàmayơ: AS = b.L

Kết quả:

F = T/R = (14 063 lb.in)/(1.125 in) = 12 500 lb

AS = bL = (0.50 in)(1.75 in) = 0.875 in2

 = F/AS = (12 500 lb)/(0.875 in2) = 14 300 lb/in2

Nhận xét: mức ứng suất này là đồng đều trên toàn bộ mặt cắt ngang của then

3-7 Liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và tốc độ quay

Sự liên hệ giữa công suất (P), tốc độ quay (n), và mômen xoắn (T) trên trục được mô tả bởi côngthức:

Trong hệ SI, công suất được biểu diễn theo đơn vị là W hoặc tương đương với W, N.m/s,

và tốc độ quay là rađian trên giây (rad/s)

Ví dụ 3-4 Tính độ lớn của mômen xoắn trên trục truyền công suất 750 W khi quay với tốc độ 183

rad/s (chú ý: nó tương đương với trục ra của động cơ điện 4 cực công suất 1.0 hp,làm việc ở tốc

Kết quả: T = P/n = (750 N.m/s)/(183 rad/s) = 4.10 N.m/rad = 4.10 N.m

Nhận xét: trong những tính toán như vậy, đơn vị N.m/rad là thứ nguyên đúng, và một sốtán thành sử dụng nó Tuy nhiên hầu hết đều coi radian là không thứ nguyên, vì vậy mômen xoắnđược biểu diễn theo N.m, hoặc những đơn vị thông thường của lực nhân với khoảng cách

Trong hệ Anh, công suất thường được biểu diễn theo sức ngựa (hp), tương đương với 550ft.lb/s Đơn vị điển hình cho tốc độ quay là rpm, hay vòng/phút Nhưng đơn vị thuận tiện nhất chomômen xoắn là pound.in (lb.in) Xét tất cả các đại lượng đó và đưa ra hệ số chuyển đổi đơn vị cầnthiết, chúng ta sử dụng công thức sau đây để tính mômen xoắn (theo lb.in) trên trục mang côngsuất đã biết P (theo hp) với tốc độ quay n theo rpm

Liên hệ P-T-n trong hệ Anh T = 63 000.P/n (3-6)

Mômen xoắn thu được sẽ theo pound-in Bạn nên kiểm tra giá trị hằng số 63 000

Ví dụ 3-5: Tính mômen xoắn trên trục truyền công suất 1.0 hp với tốc độ quay 1750 rpm Chú ý

rằng nó tương tự với mômen được tính ở ví dụ 3-4 sử dụng đơn vị SI

Đa phần các trường hợp thường xuyên chịu ứng suất xoắn trong thiết kế máy là các trụctròn truyền công suất Chương 12 bao gồm toàn bộ phần thiết kế trục

Hình 3-8 Phân bố ứng suất trong trục đặc

Công thức tính ứng suất xoắn

Khi chịu mômen xoắn, mặt ngoài của trục tròn đặc chịu biến dạng trượt lớn nhất và vì vậyứng suất xoắn là lớn nhất Xem hình 3-8 Giá trị lớn nhất của ứng suất xoắn được xác định theo:

Giá trị ứng suất xoắn lớn nhất trên trục tròn: max = T.c/J

(3-7)

Trong đó: c là bán kính mặt ngoài của trục

J là mômen quán tính độc cựcXem phụ lục 1 để xác định J

Ví dụ 3-6 Tính ứng suất xoắn lớn nhất trên một trục có đường kính 10 mm khi nó chịu mômen

xoắn 4.10 N.m

Lời giải:

Vấn đề: tính ứng suất xoắn trên trục

Đã cho: mômen xoắn T = 4.10 N.m; đường kính trục D = 10 mm

c = bán kính trục = D/2 = 5.0 mmTính toán: sử dụng công thức (3-7) để tính max = T.c/J

J là mômen quán tính độc cực: J = D4/32 (xem phụ lục 1)

Kết quả: J = D4/32 = [(10 mm)4]/32 = 982 mm4

max =

mm

mm mm

10 4 ( 10 = 20.9 N/mm2 = 20.9 MpaNhận xét: Ứng suất xoắn lớn nhất xuất hiện tại mặt ngoài trục trên toàn bộ chu vi của nó

Nếu muốn tính ứng suất xoắn tại một số điểm trong trục, thường sử dụng công thức sau:

Công thức chung tính ứng suất xoắn:  = T.r/J (3-8)

Trong đó r là bán kính từ tâm của trục đến điểm cần tính

Hình 3-8 chỉ ra đồ thị biến thiên tuyến tính của ứng suất xoắn từ 0 tại tâm của trục đến giátrị lớn nhất trên mặt ngoài trục

Công thức (3-7) và (3-8) cũng dùng cho cả trục rỗng (hình 3-9 chỉ ra phân bố của ứng suấtxoắn) Một lần nữa chú ý rằng ứng suất xoắn lớn nhất là tại mặt ngoài Cũng cần lưu ý mặt cắtngang đặc có mức ứng suất tương đối cao Với cùng kết quả trục rỗng có hiệu quả hơn Chú ýrằng lớp vật liệu gần tâm trục đặc chịu ứng suất không cao

Để thuận tiện cho thiết kế, xác định môđun chống xoắn, ZP:

Khi đó công thức tính ứng suất xoắn lớn nhất là:

max = T/ZP (3-10)

Công thức tính môđun chống xoắn cũng được trình bày trong phụ lục 1 Dạng này củacông thức rất hữu ích trong xác định ứng suất xoắn vì môđun chống xoắn chỉ là một thông số liênquan đến đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

3-9 Biến dạng xoắn

Khi trục chịu mômen xoắn, biến dạng xoắn là góc quay tương đối của một mặt cắt ngangvới mặt cắt ngang khác trên trục Góc xoắn được tính từ

Trong đó  là góc xoắn (rad); L là chiều dài của đoạn trục trên đó tính góc xoắn

G là môđun đàn hồi trượt của vật liệu trục

Hình 3-9 Phân bố ứng suất trong trục rỗng

Ví dụ 3-7: Tính góc xoắn của trục đường kính 10 mm chịu mômen xoắn 4.10 N.m, nếu nó dài

250 mm và làm từ thép có G = 80 Gpa Biểu diễn kết quả theo cả rad và độ

Lời giải:

Vấn đề: tính góc xoắn của trục

Đã cho: T = 4.10 N.m; chiều dài L = 250 mm; D = 10 mm; G = 80 Gpa

Tính toán: sử dụng công thức (3-11) Để thống nhất, đổi T = 4.10  103 N.mm và G = 80

 103 N/mm2 Từ ví dụ 3-6, J = 982 mm4

Kết quả:

) 982

)(

/ 80

(

) 250 )(

10

4

(

42

N

mm mm

N GJ

Sử dụng  rad = 1800:  = (0.013 rad)(180 độ/ rad) = 0.750

Nhận xét: trên chiều dài 250 mm, góc xoắn của trục là 0.75 độ

3-10 Xoắn trong chi tiết có mặt cắt ngang không tròn

Ảnh hưởng của xoắn đến các chi tiết có mặt cắt ngang không tròn hoàn toàn khác so vớicác chi tiết có mặt cắt ngang tròn Tuy nhiên hầu hết các thông số sử dụng trong thiết kế máy làứng suất lớn nhất và góc xoắn của những chi tiết như vậy Công thức ứng với những tiết diện đó

có thể được biểu diễn tương tự như dạng của những chi tiết có mặt cắt ngang tròn (trục tròn đặc

và rỗng)

Có thể sử dụng hai công thức sau đây:

Góc xoắn với mặt cắt không tròn:  = TL/GK (3-13)

Chú ý rằng công thức (3-12) và (3-13) tương tự với công thức (3-10) và (3-11), với sựthay thế của Q cho ZP và K cho J Tham khảo phương pháp xác định các giá trị của K và Q chomột vài kiểu mặt cắt ngang sử dụng trong thiết kế máy trên hình 3-10 Những giá trị này là gầnđúng chỉ khi hai đầu của chi tiết tự do biến dạng Nếu một trong hai đầu cố định, như hàn với mộtkết cấu đặc, ứng suất và góc xoắn thu được sẽ hoàn toàn khác (xem tham khảo 2, 4, và 6.)

Ví dụ 3-8 Một trục đường kính 2.50 in đỡ một đĩa xích có một đầu được phay dạng hình vuôngcho phép lắp tay quay Hình vuông đó có cạnh là 1.75 in Tính ứng suất xoắn lớn nhất trên phầnhình vuông của trục khi mômen xoắn trên trục là 15 000 lb.in

Ngoài ra, nếu chiều dài của đoạn tiết diện vuông là 8.00 in, tính góc xoắn trên đoạn đó.Vật liệu trục là thép có G = 11.5  106 psi

Lời giải:

Vấn đề: Tính ứng suất xoắn lớn nhất và góc xoắn trong trục

Đã cho: T = 15 000 lb.in; chiều dài L = 8.00 in; Trục vuông cạnh a = 1.75 in;

G = 11.5  106 psiTính toán: Hình 3-10 chỉ ra phương pháp tính giá trị của Q và K để sử dụng trong côngthức (3-12) và (3-13)

Kết quả: Q = 0.208a3 = (0.208)(1.75 in)3 = 1.115 in3

K = 0.141a4 = (0.141)(1.75 in)4 = 1.322 in4

Bây giờ có thể tính ứng suất và biến dạng

max =

) 115 1 (

15000

3

in

in lb Q

T

 = 13 460 psi

 =

) 322 1 )(

/ 10 5 11 (

) 00 8 )(

15000 (

4 2

6

in in

lb

in in

lb GK

TL



Chuyển góc xoắn sang độ:  = (0.0079 rad)(1800/ rad) = 0.4520

Nhận xét: Trên chiều dài 8.00 in, đoạn tiết diện vuông của trục bị xoắn 0.4520 Ứng suấttiếp lớn nhất là 13 460 psi, và nó xuất hiện tại trung điểm của mỗi cạnh như đã chỉ trên hình 3-10

Hình 3-10 Phương pháp xác định K và Q cho một vài loại mặt cắt ngang

3-11 Xoắn trong ống thành mỏng, kín

Một cách tổng quát, gần như bất kì dạng nào của ống thành mỏng, kín đều có thể sử dụng côngthức (3-12) và (3-13) với những phương pháp riêng để tính K và Q Hình 3-11 chỉ ra một dạngống như vậy, có chiều dày thành không đổi Giá trị của K và Q là

Q = 2.t.A (3-15)

Trong đó:

Hình 3-11 Ống kín thành mỏng với chiều dày thành không đổi

A là diện tích bao quanh bởi đường biên trung bình (biểu diễn bằng đường nét đứt trênhình 3-11)

t là chiều dày thành ống (cần đồng đều và mỏng)

U là chiều dài đường biên trung bình

Ứng suất xoắn tính bằng phương pháp này là ứng suất trung bình trong thành ống Tuy

nhiên, nếu chiều dày thành ống t nhỏ (thành mỏng) , ứng suất là gần đồng đều trên thành, vàphương pháp này sẽ tiến đến gần đúng giá trị ứng suất lớn nhất Tính toán của ống có chiều dàythành không đều nhau xem tham khảo 2, 4, và 7

Để thiết kế một chi tiết chỉ chịu xoắn, hoặc chịu tổng hợp cả xoắn và uốn, nên chọn nhữngống rỗng tròn hoặc hình chữ nhật, hoặc một số dạng kín khác nữa Chúng có hiệu quả tốt đối với

cả uốn và xoắn

3-12 Ống hở và ống kín

Thuật ngữ ống hở nhắc đến một dạng có hình ống nhưng không hoàn toàn đóng kín Ví

dụ, một số ống được chế tạo bắt đầu từ một tấm thép phẳng, mỏng, sau đó lốc thành dạng mongmuốn (tròn, hình chữ nhật, vuông, và vân vân) Sau đó mối ghép được hàn dọc theo toàn bộ chiềudài của ống Cần chú ý so sánh những đặc trưng mặt cắt ngang của ống như vậy trước và sau khiđược hàn Ví dụ dưới đây minh hoạ sự so sánh với một kích thước của ống tròn

Ví dụ 3-9 Hình 3-12 chỉ ra một ống trước [phần (b)] và sau [phần (a)] khi mối ghép được hàn.

So sánh độ cứng và độ bền của mỗi dạng

Hình 3-12 So sánh của ống kín và ống hở

Lời giải:

Vấn đề: so sánh độ cứng xoắn và độ bền của ống kín hình 3-12(a) với ống hở (có khe)hình 3-12(b)

Đã cho: dạng ống được chỉ ra trên hình 3-12 Cả hai đều có cùng chiều dài, đường kính,

và chiều dày thành ống, và được làm từ cùng một loại vật liệu

Phân tích: công thức (3-13) đưa ra góc xoắn của một chi tiết không tròn và chỉ ra góc này

tỉ lệ nghịch với của K Tương tự, công thức (3-11) chỉ ra góc xoắn của ống tròn rỗng là tỉ lệnghịch với mômen quán tính độc cực J Toàn bộ các số hạng còn lại trong hai công thức đềugiống nhau với mỗi thiết kế Vì vậy, tỉ lệ của hở trên kín bằng tỉ lệ J/K Từ phụ lục 1, ta có

ZP = J/c = J/(D/2)Công thức xác định Q cho ống hở được liệt kê trong hình 3-10

Kết quả: chúng ta so sánh độ cứng xoắn bằng cách tính tỉ số J/K Với ống rỗng, kín

J = (D4 – d4)/32 = (3.5004 – 3.1884) = 4.592 in4

Với ống hở trước rãnh được hàn, từ hình 3-10:

K = 2..r.t3/3 = [(2)()(1.672)(0.156)3]/3 = 0.0133 in4

Tỉ số J/K = 4.592/0.0133 = 345Sau đó chúng ta có thể so sánh độ bền của hai dạng bằng cách tính tỉ số ZP/Q Giátrị của J mới được tính là 4.592 in4 Khi đó

ZP = J/c = J/(D/2) = (4.592 in4)/[(3.500 in)/2] = 2.624 in3

Với ống hở:

Q =

)] 156 , 0 (

8 , 1 ) 672 , 1 ( 6 [

) 156 , 0 ( ) 672 , 1 ( 4 )

8 , 1 6 (

.

in in

in in

t r

t r

ra khả năng làm việc tốt hơn nhiều của dạng khép kín so với dạng hở của mặt cắt Một so sánhtương tự có thể được tiến hành với các dạng không tròn

3-13 Ứng suất cắt

Một dầm đỡ tải trọng, trục đặt nằm ngang sẽ chịu lực cắt, kí hiệu bằng V Trong tính toán

dầm, thường tính toán sự biến đổi lực cắt trên toàn bộ chiều dài của dầm và vẽ biểu đồ lực cắt.

Sau đó tính ứng suất cắt từ

Trong đó:

I là mômen quán tính thẳng góc của mặt cắt ngang của dầm

t là chiều dày của mặt cắt tại vị trí tính ứng suất

Q là mômen cấp 1, đối với trục trung hoà của diện tích phần mặt cắt ngang nằm về một

phía đường ngang với điểm tính ứng suất Để tính giá trị của Q dùng công thức sau,

Trong đó: AP là diện tích mặt cắt bên trên điểm tính ứng suất

y là khoảng cách từ đường trung hoà của mặt cắt đến trọng tâm của diện tích

AP

Trong một số sách hoặc tài liệu tham khảo, và trong những lần xuất bản trước đây của

quyển sách này, Q được gọi là mômen tĩnh Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng thuật ngữ mômen diện

tích cấp một

Hình 3-13 Những minh hoạ về AP và y sử dụng để tính Q cho ba dạng mặt cắt

Hình 3-14 Biểu đồ lực cắt và ứng suất tiếp (cắt đứng) trong dầm

Với hầu hết các dạng mặt cắt, ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện tại trục trọng tâm Đặc biệtnếu chiều dày lớn hơn tại các vị trí cách xa trục trọng tâm, khi đó bảo đảm rằng giá trị lớn nhấtcủa ứng suất cắt xuất hiện tại trục trọng tâm

Hình 3-13 chỉ ra 3 ví dụ làm thế nào nào để tính Q với các mặt cắt ngang điển hình củadầm Trong mỗi ví dụ, ứng suất cắt lớn nhất đều xuất hiện tại trục trung hoà

Ví dụ 3-10 Hình 3-14 chỉ ra một dầm tựa đơn giản mang hai tải trọng tập trung Biểu đồ lực cắt

được vẽ ra, cùng với mặt cắt ngang hình chữ nhật và kích thước Phân bố ứng suất là đườngparabol, với ứng suất lớn nhất là tại đường trung hoà Sử dụng công thức (3-16) để tính ứng suấtcắt lớn nhất trong dầm

Lời giải:

Vấn đề: tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm trên hình 3-14

Đã cho: dầm dạng hình chữ nhật: h = 8.00 in; t = 2.00 in

Lực cắt lớn nhất V = 1000 lb trên đoạn AB

Tính toán: sử dụng công thức (3-16) để tính  V và t đã cho Từ phụ lục 1,

I = t.h3/12

Giá trị của mômen thứ nhất của diện tích Q có thể được tính từ công thức (3-17) Vớidạng mặt cắt ngang hình chữ nhật đã chỉ ra trên hình 3-13(a), AP = t(h/2) và y = h/4 Khi đó

Q = AP y = (t.h/2)(h/4) = t.h2/8Kết quả: I = t.h3/12 = (2.0 in)(8.0 in)3/12 = 85.3 in4

Q = AP y = t.h2/8 = (2.0 in)(8.0 in)2/8 = 16.0 in3

Khi đó ứng suất cắt lớn nhất là

) 0.

2 )(

3.

85 (

) 0.

16 )(

in

lb t

Chú ý rằng ứng suất cắt đứng bằng với ứng suất cắt ngang vì mọi phân tố của vật liệu

chịu ứng suất cắt trên một mặt phải có ứng suất cắt với độ lớn tương tự trên mặt bên cạnh để phân

tố cân bằng Hình 3-15 chỉ ra hiện tượng này

Trong hầu hết các dầm, độ lớn của ứng suất cắt hết sức nhỏ so với ứng suất uốn (xem mụcphía sau) Với lí do này, nó thường không được tính đến Một số trường hợp mà có ý nghĩa quantrọng là:

1 Khi vật liệu dầm có độ bền cắt tương đối nhỏ (ví dụ gỗ).

2 Khi mômen uốn bằng không hoặc nhỏ (và vì vậy ứng suất uốn nhỏ), ví dụ tại những

các đầu của dầm tựa đơn giản và với những dầm ngắn

3 Khi chiều dày của tiết diện chịu lực cắt là nhỏ, như những bộ phận làm từ tấm cán,

một số dạng kéo, và bụng của những dạng kết cấu cán ví dụ như dầm cánh rộng

Hình 3-15 Ứng suất cắt trên một phân tố

3-14 Những công thức ứng suất cắt đặc biệt

Công thức (3-16) có thể phức tạp bởi vì cần phải tính mômen thứ nhất của diện tích Q.Một vài mặt cắt ngang thường dùng có điểm riêng biệt, dễ dàng sử dụng công thức tính ứng suấtcắt lớn nhất:

max cho hình chữ nhật: max = 3.V/2.A (chính xác) (3-18)

Trong đó A là diện tích toàn bộ mặt cắt ngang của dầm

max cho hình tròn: max = 4.V/3.A (chính xác) (3-19)

max cho dạng chữ I: max  V/t.h (xấp xỉ: nhỏ hơn khoảng 15%) (3-20)

Trong đó: t là chiều dày bụng

h là chiều cao bụng (cho ví dụ một dầm cánh rộng)

max cho ống thành mỏng: max = 2.V/A (xấp xỉ: cao hơn không đáng kể) (3-21)

Trong tất cả các trường hợp trên đây, ứng suất cắt lớn nhất xuất hiện tại đường trung hoà

Ví dụ 3-11 Tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm mô tả ở ví dụ 3-10 sử dụng công thức ứng suất

cắt riêng cho mặt cắt hình chữ nhật

Lời giải:

Vấn đề: tính ứng suất cắt lớn nhất trong dầm trên hình 3-14

Đã cho: các thông số tương tự như ví dụ 3-10 và trên hình 3-14

Tính toán: Sử dụng công thức (3-18) để tính  = 3V/2A Với hình chữ nhật, A = t.hKết quả: max = 3 3(1000 )

Dầm là một chi tiết mang tải trọng với trục đặt nằm ngang Những tải trọng như vậy tạo ra

mômen uốn trên dầm, sinh ra ứng suất uốn Ứng suất uốn là ứng suất pháp, là kéo hoặc nén Ứng

suất uốn cực đại trong mặt cắt ngang của dầm sẽ xuất hiện ở phần xa nhất tính từ trục trung hoàcủa mặt cắt Tại điểm đó, công thức xác định ứng suất uốn:

Công thức xác định ứng suất uốn lớn nhất:  = M.c/I (3-22)

Trong đó M là độ lớn mômen uốn tại mặt cắt

I là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà của nó

c là khoảng cách từ trục trung hoà đến thớ ngoài cùng của mặt cắt ngang dầm

M DESIGN

Độ lớn của ứng suất uốn thay đổi tuyến tính trong mặt cắt ngang từ giá trị bằng không tạitrục trung hoà đến giá trị ứng suất kéo lớn nhất về một phía của trục trung hoà, và ứng suất nénlớn nhất ở phía còn lại Hình 3-16 chỉ ra phân bố ứng suất điển hình trong mặt cắt ngang của dầm.Lưu ý rằng phân bố ứng suất phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang

Chú ý rằng uốn dương xuất hiện khi khi kiểu võng của dầm là phần lõm ở bên trên, dẫn đến nén ở phần trên của mặt cắt ngang và kéo ở phần dưới Ngược lại, uốn âm làm cho dầm bị

lõm ở bên dưới

Công thức uốn được sử dụng khi thoả mãn những điều kiện sau:

1 Dầm cần phải chịu uốn thuần tuý Ứng suất cắt bằng không hoặc không đáng kể.

Không có tải dọc trục

2 Dầm không bị vặn hoặc chịu tải trọng xoắn.

3 Vật liệu dầm cần tuân theo định luật Húc

4 Môđun đàn hồi của vật liệu là như nhau với cả kéo và nén.

5 Dầm là thẳng lúc đầu và có mặt cắt ngang không đổi.

6 Mọi mặt cắt ngang của dầm vẫn phẳng khi uốn

7 Không có phần nào của dầm bị hỏng do mất ổn định hoặc uốn cục bộ.

Nếu điều kiện 1 là không hoàn toàn phù hợp, bạn có thể tiếp tục tính toán bằng cách sửdụng phương pháp của ứng suất tổng hợp trình bày trong chương 4 Với đa số các dầm trong thực

tế đều khá dài so với chiều cao của chúng, ứng suất cắt là đủ nhỏ để bỏ qua Hơn nữa, ứng suấtuốn lớn nhất xuất hiện tại những lớp ngoài cùng của mặt cắt dầm, là nơi mà ứng suất cắt bằngkhông Một dầm với mặt cắt ngang thay đổi, sẽ không thoả mãn điều kiện 5, có thể tính toán bằngcách sử dụng hệ số tập trung ứng suất thảo luận ở phần sau của chương này

Để thuận tiện cho thiết kế đưa ra thuật ngữ mômen chống uốn, S

Kết quả này là giá trị yêu cầu của mômen chống uốn Từ đó những kích thước yêu cầu củamặt cắt ngang của dầm có thể được xác định

Hình 3-16 Phân bố ứng suất uốn điển hình trong mặt cắt ngang của dầm

Ví dụ 3-12 Cho dầm trên hình 3-16, tải trọng F do ống là 12 000 lb Các khoảng cách a = 4 ft và

b = 6 ft Xác định mômen chống uốn cần thiết của dầm để giới hạn ứng suất uốn ở 30 000 psi, ứngsuất thiết kế đề nghị cho các kết cấu thép điển hình là uốn tĩnh

Lời giải:

Vấn đề: tính mômen chống uốn cần thiết S của dầm trong hình 3-16

Đã cho: sự bố trí và sơ đồ tải được chỉ ra trong hình 3-16

Chiều dài: chiều dài toàn bộ L = 10 ft; a = 4ft; b = 6 ft

Tải trọng F = 12 000 lb Ứng suất thiết kế d = 30 000 psiTính toán: sử dụng công thức (3-25) để tính mômen chống uốn cần thiết S Tính mômenuốn lớn nhất, xuất hiện tại điểm đặt tải trọng, sử dụng công thức trong hình 3-16(b)

 ft ft

ft ft lb b

a

Fba a

R M

46

4612000

1 max

ft lb M

S

d

12 / 30000

28800

Nhận xét: bây giờ có thể chọn mặt cắt của dầm từ bảng A16-3 và A16-4, với S ít nhấtcũng phải đạt giá trị trên Mặt cắt thường được ưu tiên là dạng cánh rộng W815 với S = 11.8 in3

3-16 Tâm uốn của dầm

Mặt cắt của dầm phải chịu tải theo hướng đảm bảo uốn đối xứng; tức là mặt cắt phảikhông có xu hướng bị vặn (xoắn) dưới tác dụng của tải trọng Hình 3-17 chỉ ra một vài dạng điểnhình dùng làm dầm có trục đối xứng thẳng đứng Nếu đường tác dụng của tải trọng trên nhữngmặt cắt như vậy đi qua trục đối xứng , khi đó sẽ không không xuất hiện xu hướng mặt cắt bị xoắn,

và áp dụng công thức uốn

Khi không có trục đối xứng thẳng đứng, như với những mặt cắt trên hình 3-18, cần phảichú ý khi đặt tải trọng Nếu đường tác dụng của tải trọng như F1 trong hình, dầm sẽ bị xoắn vàuốn, vì vậy công thức uốn sẽ không cho kết quả chính xác Với những mặt cắt như vậy, tải trọng

cần được đặt trên đường qua tâm uốn, đôi khi được gọi là tâm cắt Hình 3-18 chỉ ra vị trí gần đúng

của tâm uốn cho các dạng (biểu diễn bằng kí hiệu Q) Đặt tải trên đường qua Q, như với lực F2, sẽcho kết quả uốn thuần tuý Bảng công thức xác định tâm uốn được cho sẵn (xem tham khảo 7)

Hình 3-17 Những mặt cắt đối xứng Tải trọng đi qua trục đối xứng nên dầm bị uốn thuần tuý.

Hình 3-18 Những mặt cắt không đối xứng Tải trọng tác dụng là F1 sẽ dẫn đến xoắn; tải trọng đặt

như F2 đi qua tâm uốn sẽ gây ra uốn thuần tuý.

3-17 Độ võng của dầm

Tải trọng uốn đặt lên dầm làm cho dầm bị võng theo hướng vuông góc với trục của nó.Một dầm ban đầu thẳng sẽ biến dạng một lượng nhỏ thành dạng đường cong Trong đa số cáctrường hợp, chỉ tiêu quyết định hoặc là độ võng cực đại của dầm hoặc độ võng của nó tại một vịtrí xác định

M DESIGN

Xét hộp giảm tốc hai cấp đã chỉ ra trong hình 3-19 Bốn bánh răng (A, B, C, và D) đượclắp trên ba trục, mỗi trục được đỡ bằng 2 ổ Bánh răng truyền công suất tạo ra các lực tác dụng lêntrục làm cho nó bị uốn Một thành phần lực trên bánh răng tác dụng theo hướng làm tách rời haibánh răng Vì vậy, bánh răng A bị đẩy lên, trong khi bánh răng B bị ép xuống Để bánh răng làmviệc tốt, độ võng cuối cùng của một bánh răng so với bánh răng còn lại phải nhỏ hơn hoặc bằng0.005 in (0.13 mm) với bánh răng công nghiệp cỡ trung bình

Để đánh giá thiết kế, có nhiều phương pháp tính độ võng trục Chúng ta sẽ xem xét lạimột cách ngắn gọn những phương pháp đó sử dụng công thức độ võng, cộng tác dụng, và phươngpháp giải tích

Thiết lập những công thức tính độ võng của dầm tại một điểm bất kì hoặc tại một điểmđược chọn có ích cho nhiều vấn đề thực tế Phụ lục 14 bao gồm một vài trường hợp

Với nhiều trường hợp khác, nguyên lý cộng tác dụng là phù hợp nếu tải trọng thực tế cóthể được chia ra thành những phần để tính theo các công thức sẵn có Độ võng cho mỗi một tảitrọng được tính tách biệt nhau, và sau đó các độ võng riêng lẻ tại một điểm được cộng lại

Nhiều chương trình phần mềm tính toán sẵn có trên thị trường cho phép mô hình hoá dầmvới những sơ đồ tải phức tạp hơn nhiều và thông số hình học thay đổi Kết quả bao gồm nhữngphản lực, biểu đồ lực cắt và mômen uốn, và độ võng tại một điểm bất kì Một vấn đề quan trọng

đó là bạn phải hiểu được, bản chất về độ võng của dầm, đã học trong độ bền sức bền vật liệu đượcnhắc lại ở đây, vì thế bạn có thể áp dụng những chương trình như vậy một cách chính xác và giảithích được những kết quả

Ví dụ 3-13 Cho hai bánh răng A và B trong hình 3-19, tính độ võng tương đối của chúng trong

mặt phẳng tờ giấy dưới tác dụng của lực đã chỉ ra trong phần (c) Các lực hướng tâm hoặc lực

pháp tuyến này được thảo luận trong chương 9 và 10 Để thuận tiện coi các tải trọng trên bánh

răng và phản lực tại ổ là tập trung Trục làm bằng thép có đường kính không đổi như trình bàytrên hình