Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 6 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát, điều kiện Karush-Kuhn-Tucker, không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính, bài toán tối ưu hóa các hàm lồi, giải hệ phương trình phi tuyến bằng MATLAB,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Khoa Công nghệ Cơ khí

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

 

f x

Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau:

Với m điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

T n

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

x x x

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (Tiếp)

buộc h tại điểm cực trị x*, phải là không phụ thuộc tuyến tính

với nhau Nếu vậy thì x*, λ*, η* sẽ là điểm cực trị

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 1: Khi M > N  Các véc tơ sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 2: Khi M = N Ta tính det(A) Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc

tuyến tính, ngược lại thì không phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 3: Khi M < N, Ta tính rank(A) Nếu rank(A)=M tức là bằng

số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính Nếu khác rank(A)≠M thì hệ phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

M

M M

Xác định hạng Rank(A)

1) Nếu Rank(A)=M  Các véc tơ v là độc lập tuyến tính

2) Nếu Rank(A)<M  Các véc tơ v là phụ thuộc tuyến tính

Do Rank(A)≤N, nên nếu N < M thì Rank(A)<M, có nghĩa là nếu N<M thì các véc tơ v sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Xác định 3 véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

N M

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

n m p

x x

1 2 3

220 5

335 59 165 59 0

0 64

0 59

địa phương

 f = - 7225/59

1695 947 1641 947 3847 947 1280

4748 94

0 947

địa phương

 f = - 103681/947

2

2650 1089 769

40 11 20 33 0

20 1

4 1

địa phương

 f = - 103600/1089

Tính Gradient của các hàm ràng buộc g j và h l:

1 1

2 1 3

534

h h x

Nếu hàm mục tiêu f(x) cùng các hàm ràng buộc gj(x), hl(x) là

những hàm số lồi thì bài toán gọi là các bài toán tối ưu hàm lồi (convex programming problem)

những hàm lồi

 Khi đó thì tại các điểm dừng x* cũng sẽ chính là điểm cực

tiểu tuyệt đối (toàn cục)

 Điều kiện KKT sẽ trở thành điều kiện cần và đủ để tìm min

toàn cục

 Nếu bài toán tối ưu là tìm cực tiểu các hàm lồi, thì sẽ

không có điểm dừng cũng như các cực đại địa phương Tuy nhiên những bài toán kỹ thuật thực tế rất khó xác định được các hàm số là lồi hay không

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

n m p

dụ trước

0 0 0

0 0 0

2

1

2 3

0

5 3

185 1536 55 15

4 3

0

36 5 16

Tính Gradient của các hàm ràng buộc g j và h l:

1

2

3 1

h

x h

Ta chỉ có 1 trường hợp có nghiệm với λ2 =0

Đây là điểm cực tiểu

25 96

5 16