Vì vậy các vấn đề liên quan vẫn còn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh, Phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai không là ngoại lệ.. Nên dẫn đến mỗi bài tương ứng với mỗi đường t
Trang 1I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Đường bậc hai tổng quát vẫn còn là xa lạ với học sinh THPT Vì vậy các vấn đề liên quan vẫn còn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh, Phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai không là ngoại lệ Nguyên nhân là do thiết kế chương trình, học sinh học lên lớp 12 mới được tìm hiểu và tiếp xúc với một số đường bậc hai Mặt khác khi xây dựng các đường bậc hai sách giáo khoa giới thiệu các đường bậc hai không trong một tổng thể, mà chia ra từng loại cụ thể Nên dẫn đến mỗi bài tương ứng với mỗi đường ta đều phải xây dựng toàn bộ lý thuyết về các đường đó và các vấn đề liên quan, việc xuất hiện nhiều khái niệm mới và nhiều tính chất mới của các đường lại càng làm cho học sinh thêm bối rối và khó tiếp nhận vấn đề hơn Ngoài ra mỗi đường bậc hai lại
có những đặc điểm những tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu về chúng có nhiều điểm khác nhau, phương pháp nghiên cứu và xây dựng cũng khác lại càng tạo cho các em học sinh khó khăn hơn trong việc phân định rõ ràng tính chất và bản chất từng loại
Với mục tiêu không để đường bậc hai còn xa lạ, đặc biệt là vấn đề tiếp tuyến với các đường bậc hai không còn là khó khăn với các em học sinh Bài viết này xin trình bày hai phương pháp xây dựng phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai tổng quát Trên cơ sở đó triển khai cho các đường bậc hai trong chương trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách cho các em học sinh với các đường bậc hai và những vấn đề liên quan đến đường bậc hai
II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1 MỤC TIÊU :
Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan về các đường bậc hai nói chung và các đường bậc hai trong chương trình THPT Rút gần khoảng cách giữa các em và các đường bậc hai Đặc biệt là bài toán về phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai
Trên cơ sở đó học sinh có thể vận dụng vào nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các đường bậc hai đã triển khai trong chương trình THPT, một cách toàn diện và có hệ thống
Mở ra cho học sinh cái nhìn mới, cái nhìn toàn diện về đường bậc hai và những vấn đề liên quan
Trang 2
2 NHIỆM VỤ
Nhằm xây dựng vào bức tranh về đường bậc hai trong chương trình THPT một cách cụ thể và tổng quan hơn
Trên cơ sở của việc xây dựng phương trình tiếp tuyến với các đường bậc hai ở dạng tổng quát, giúp các em học sinh có thể tự triển khai cho các đường bậc hai ở bậc THPT đã đề cập có thể bằng việc các em vận dụng hoặc các em có thể tự xây dựng lại hoàn toàn hệ thống lý thuyết, giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất của các đường và những nét đẹp của đường bậc hai lí thú
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nhận thức của bản thân về các vấn đề Hình học, Đại số và Giải tích nói chung và đường bậc hai nói riêng
Thông qua đó tìm hiểu việc tiếp nhận và thái độ nhận thức của học sinh lớp 12 về vấn đề đường bậc hai trong một chỉnh thể hoàn chỉnh hơn
so với các vấn đề về đường bậc hai đã nghiên cứu trong chương trình THPT
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa Trên cơ sở của phương pháp nghiên cứu về các ứng dụng của Đại số và Giải tích vào Hình học ở bậc THPT
Trên cơ sở của việc tổng hợp những tra cứu, nhận định của bản thân, những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp cho vấn đề phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai Tác giả đã phân tích vấn đề một cách nghiêm túc, để tổng hợp lại thành bài viết này
V CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Dựa trên cơ sở lí thuyết về ứng dụng của Đại số, Giải tích vào Hình học sơ cấp nói chung và đường bậc hai nói riêng
Dựa vào khả năng tìm hiểu, nghiên cứu và sử lý vấn đề của đối tượng nghiên cứu
Bài viết được chia làm hai phần:
Phần I: Sử dụng phương pháp Giải tích xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Phần II: Sử dụng phương pháp Đại số xây dựng phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai trong trường hợp tổng quát
Trang 3VI NỘI DUNG
PHẦN I
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT
A LÝ THUYẾT
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG
- Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) có miền xác định D Điểm x0 thuộc D sao cho tại x0 có f’(x0) Khi đó đường cong (C) có
phương trình tiếp tuyến là : y – y 0 = f ’ (x 0 )( x- x 0 ) (*)
trong đó f’(x0) là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến
Bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm M0
(x0; y0 ) yêu cầu ta đi tìm f’(x0) và áp dụng phương trình (*) cho ta
phương trình tiếp tuyến cần tìm
2 ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
2.1 ĐƯỜNG BẬC HAI TỔNG QUÁT:
Đường bậc hai là một tập hợp (S) gồm tất cả các điểm M(x;y) thảo mãn phương trình Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S)
(Trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
2.2 ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
- Trong chương trình THPT đã đề cập đến các đường bậc hai là Elíp, Hypebol, Parabol và Đường tròn và đề cập đến chúng đều ở dạng chính tắc
- Đường bậc hai (S) là phương trình đường bậc hai tổng quát cho tất cả các đường bậc hai nói trên ứng với mỗi giá trị của các số A, B, C, D, E,
F thì S sẽ là các đường Elíp hoặc Hypebol hoặc Parabol hoặc Đường
Trang 4tròn ở dạng tổng quát hoặc một số đường bậc hai khác trong chương trình THPT không đề cập đến
C
E A
D C
E y C A
D x
- Nếu ta có
0 0 0 2 2
A
F A
E A
D
C A
B
thì (S) là một đường tròn có phương
trình dạng: Ax2 + Ay2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (C)
- Nếu ta có:
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D C A B
hoặc
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D C A B
thì (S) là một
Elíp (E) có phương trình: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
- Nếu ta có
0 0
0 2 2
F C
E A
D
C A
B
. thì (S) là một Hypebol (H) có phương
trình Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
- Nếu ta có:
0 0 0 0
E A
B C
D C
B A
.
.
thì (S) là một Parabol có phương trình
0 F 2Ey 2Dx
Ax
0 F 2Ey 2Dx
Cy
2
2
(Chúng ta có thể dễ dàng kiểm chứng kết luận trên)
3 KHÁI NIỆM HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
Trang 53.1 KHÁI NIỆM HÀM ẨN
Cho phương trình F(x;y) = 0 (1) Nếu x thuộc một miền nào đó mà tồn tại hàm số : y = f (x) duy nhất sao cho F(x f(x)) = 0 thì hàm y = f (x) được gọi là hàm ẩn của xác định bởi phương trình (1)
3.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
- Phương trình F(x;y) = 0 xác định y là hàm ẩn của x ( xem là hàm khả vi) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F(x;y) = 0 theo x ta được
phươngtrình bậc nhất đối với y’ Từ phương trình này ta tìm được y’ ( tức là đạo hàm của hàm ẩn)
- Chúng ta có thể hiểu vấn đề này một cách đơn giản hơn như sau:
Từ F(x;y) = 0 ta xem y là một hàm hợp của biến x Đạo hàm hai vế của phương trình cho ta phương trình bậc nhất đối với y’, giải phương trình bậc nhất tìm ra y’
( Do mục tiêu của ta trong bài toán viết phương trình tiếp tuyến như đã giới thiệu ban đầu là đi xác định f’ (x0), nên yêu cầu ta cần xác định y ‘
= f’ (x) của đường bậc hai tai điểm M(x0; y0))
Ta có thể lấy một ví dụ minh hoạ yêu cầu trên
VD1: Tìm y ‘ của đường bậc hai có phương trình
F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + 3 = 0
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phương trình theo x ta được 2x – 2 + 2y y ‘ - 2 y ‘ = 0 y ‘ = 1
2 2
1 2
y
x
;
VD2: Tìm y ‘ của đường bậc hai có phương trình 2 1
2
2
2
b
y a x
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phương trình theo x ta
2
2 1
2 1 2
2
2 2
2 2
2
a
x y
b y a
x b
y b
y a
x
;
Trang 6B BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong trường hợp tổng quát)
Bài toán: Cho đường bậc hai : F(x;y) = 0 (S) với
F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F
(A, B, C không đồng thời bằng 0 )
Điểm M(x0; y0) (S), viết phương trình tiếp tuyến với (S) tại M
Lời giải:
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế (1) ta được:
F’(x;y)=0
0 2
2 2
2 2
2Ax By B y Cy y D E y
Phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (S) là
Dx Dx
Bxy y
Bx x Ax Ax
Ey Cy
y Bx Ey y Cy
y
Bx
x x E Cy Bx
D By Ax
y
y
x x x
y
y
y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
0 0
0 0 0
2 0 0
2 0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
) (
) )(
(
0 0
0 0
0 0
Ax x B(x y xy ) Cy y D(x x ) E(y y ) F (*)
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến của của đường bậc hai (S) tại
điểm M
Phương trình (*) là phương trình tiếp tuyến của đường bậc hai (S) tại
điểm M(x0; y0) trong trường hợp tổng quát
Để cho việc triển khai vào ứng dụng làm các bài tập thuận lợi, rễ học rễ
nhớ Người ta đặt cho phương trình (*) một cái tên là phương trình tiếp
tuyến của đường bậc hai viết bằng "Công thức phân đôi toạ độ"
Ax0xB(x0yxy0)Cy0yD(x x0)E(y y0)F 0 ( * )
E Cy Bx
D By Ax
x y E Cy Bx
D By Ax
y
D By Ax E
Cy Bx
y
2 2
2
2 2
2 ) ( 2
2 2
2 2 2
0 2 2 2 ) 2 2
2
(
0 0
0 0
Trang 7Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của bài toán tổng quát trên cho các đường bậc hai trong chương trình THPT Từ đó tìm ra điều kiện cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến của đường bậc hai tương ứng
5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Cho đường tròn (C)và điểm M(x0; y0) nằm trên (C) vận dụng kết quả của bài toán tổng quát trên viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M
Xét phương trình đường tròn cho ở hai dạng:
Dạng1: Đường tròn (C) có phương trình
Ax2 + Ay2 + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK:
0
0 2 2
F C
E A
D
A
Phương trình tiếp tuyến của (C) là ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ) Ax0x Ay0yD(xx0)E(y y0)F 0
Dạng 2: Đường tròn (C) có phương trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2
Dùng "Công thức phân đôi toạ độ " cho ta phương trình tiếp tuyến là: (x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng (l ) : A1x + B1y + C1 = 0,
Đường tròn (C) có tâm I(a ; b) bán kính R (R > 0)
Ta có: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2
(l ) cũng là tiếp tuyến của (C) tại M khi và chỉ khi hệ số của hai đường thẳng tỉ lệ với nhau
Bằng biến đổi đại số cho ta điều kiện là d(I; l) = R ( trong đó d là hàm khoảng cách) Hoàn toàn đúng với kết quả mà ta đã biết
Trang 85.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP
Trong chương trình phổ thông sách giáo khoa chỉ mới đề cập đến phương trình đường Elíp ở dạng chính tắc vì thế các vấn đề nghiên cứu đều thực hiện trên phương trình chính tắc Trong bài viét này tôi mở rộng phạm vi nghiên cứa Elíp ở dạng tổng quát và đầy đủ hơn, tất nhiên chỉ tập trung cho chủ đề chính của bài dó là phương trình tiếp tuyến với Elíp
a) Phương trình tiếp tuyến của Elíp tại điểm M
-Xét phương trình Elíp ở hai dạng
Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0
ĐK:
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D
C A B
hoặc
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D C A B
áp dụng Công thức phân đôi toạ độ :
Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M trên Elíp là:
Ax0xCy0yD(xx0)E(y y0)F 0
2
2
2
b
n y a
m
(
Phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M thuộc Elíp là (áp Công thức phân đôi tạo độ )
0 2 0 2 1
b
n y n y a
m x m
(
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Elíp
(Ta chỉ cần xét trong trường hợp E ở dạng chính tắc các trường hợp còn lại sử dụng công thức đổi trục toạ độ chuyển về dạng chính tắc sẽ đơn giản hơn nhiều)
Cho Elíp (E) có phương trình: 1
a
x 2 2
2
2
b y
Trang 9Đường thẳng (l ) có phương trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng công thức phân đôi toạ độ cho ta phương trình tiếp tuyến với E
tai điểm M(x0; y0) là 02 02 1
b
y y a
x x
Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với E tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ là
1
2 1 0 1
2 1 0
1 2
1
0
2
1
C
b B y C
a A x C
b
B
y
a
A
x
thay vào Phương trình (E) cho ta điều kiện cần
1 2 2 1 2 2
A (Kết quả này đã được trình bày trong sách giáo khoa hình giải tích 12)
- Nhiệm vụ là bây giờ ta sẽ mở rộng cho đường Elíp có phương trình
2
2
2
b
n y a
m
(
2
2
2
b
Y a
X E n y Y
m x X
:
Đường thẳng (l) có phương trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1 = 0
(trong hệ toạ độ XIY thì E ở dạng chính tắc , nên ta có quyền áp dụng điều kiện đã xây dựng ở mục trên )
Bước 2:áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của (E) là
1 1 1 2 2 1 2 2
1a B b (A m B n C )
A
Chú ý : Đối với (E) có phương trình dạng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
ĐK:
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D
C A B
hoặc
0 0
0 0
2 2
F C
E A
D C A B
Để tìm điều kiện cần
và đủ cho đường thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E)
2
2
2
b
n y a
m
(
và vận dụng công thức đã xây dựng trên
5.2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HYPEBOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M trên (H)
Trang 10-Xét phương trình Hypebol ở hai dạng
Dạng1: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 ĐK:
0 0
0 2 2
F C
E A
D
C A
B
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M(x0; y0) trên Elíp là:
áp dụng " Công thức phân đôi toạ độ" ta được
Ax0xCy0yD(xx0)E(y y0)F 0
2
2
2
b
n y a
m
(
áp công thức phân đôi toạ độ, phương trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm
M thuộc Elíp là 0 2 0 2 1
b
n y n y a
m x m
(
b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Hypebol
Tương tự như phần 5.2 Ta chỉ cần xét trong trường hợp (H ) ở dạng chính tắc các trường hợp còn lại sử dụng Công thức đổi trục toạ độ đưa Hypebol về dạng chính tắc sẽ đơn giản hơn nhiều
Cho Hypebol (H) có phương trình: 2 1
2
2
2
b
y a x
Đường thẳng (l ) có phương trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" cho ta phương trình tiếp tuyến
với Hypebol tại điểm M(x0; y0) là 02 02 1
b
y y a
x x
Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với (H) tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ
là
1
2 1 0
1
2 1 0
1 2 1
0 2
1
C
b B y
C
a A x C
b B
y a
A
x
thay vào Phương trình (H) cho ta điều
Trang 11kiện cần và đủ là: 2
1 2 2 1 2 2
A ( Kết quả này đã được trình bày trong sách giáo khoa hình giải tích 12)
- Ta sẽ mở rộng cho đường Hypebol có phương trình tổng quát
1 2
2
2
2
b
n y
a
m
(
2
2
2
b
Y a
X E n y Y
m x X
: (
Đường thẳng (l) có phương trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= 0
(Trong hệ toạ độ XIY thì (H) ở dạng chính tắc, nên ta có quyền áp dụng điều kiện đã xây dựng ở trên )
Bước 2: áp dụng điều kiện để đường thẳng (l) là tiếp tuyến của E là
1 1 1 2 2 1 2 2
1a B b (A m B n C )
A
Chú ý : Đối với (H) có phương trình dạng
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ĐK:
0 0
0 2 2
F C
E A
D
C A
B
.
Để tìm điều kiện cần và đủ cho đường thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E) về dạng tổng quát 2 1
2
2
2
b
n y a
m
(
và vận dụng công thức đã xây dựng trên
5.4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA PARABOL
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M trên (P)
-Xét phương trình Parabol ở các dạng
Dạng1: Dạng chính tắc y2 = 2px ( với p > 0) (P) Điểm M(x0 ; y0) trên (P), phương trình tiếp tuyến của (P) tại M là