Bài tập hình học Afin

Bài tập hình học Afin

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V =

Imφ ⴲ Kerφ

Giải

Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:

 V = Imφ + Kerφ

 Imφ ⋂ Kerφ = {θ}

C/m: V = Imφ + Kerφφ

 V ⊂ Imφ + Kerφ

 V ⊃ Imφ + Kerφ

Dễ thấy:

☺ Imφ ⊂ V

☺ Kerφ ⊂ V

⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V (1)

Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong

đó φ(x) ∊ Imφ

Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x))

= φ(x) – φ(x) = {θ}

⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ

Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ

⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ (2)

Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφφ. (Ⅰ)

C/m: Imφ ⋂ Kerφφ = {θ}

Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ:

 y ∊ Imφ (✼)

 y ∊ Kerφ (✼✼)

Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = y

Ta có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼))

Vậy: Imφ ⋂ Kerφφ = {θ}. (Ⅱ)

Từ (Ⅰ),(Ⅱ) nên: V = Imφ ⴲ Kerφ ◼