Bài tập hình học afin và ơclit

Goi x là ma trận cột của điểm X, A là ma trận a¡ còn Kí hiệu C' 1a ma tran chuyén vi cua ma tran C Qua phép añn của A” ảnh của siêu mặt bậc hai là một siêu Néu S la siéu mặt bậc hai xét

NGUYỄN DUY BÌNH PHAM NGOC BOI

TRUONG DUC HINH NGUYEN HUU QUANG

Afin

Och

MMA) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

Lờt nót đâu

Hình học Afin va Hinh hoc Oclit la những nội dung trong yếu trong chương trình học tập của sinh uiên Khoa Toán các trường Đại học Sư phạm Đế góp phần giúp sinh uiên học tập môn này được thuận lợi chúng tôi biên soạn cuốn "Bai tap

Hình hoc Afin va Hình hoc Ociit”

Sách gôm 2 chương : Chương 1 dònh cho Hình học Afin, chương 2 dành cho Hình học Oclit Mỗi chương được trình

bày thành 3 phan :

A Tóm tắt lí thuyết

B Bai tập

C Lời giải, hướng dẫn hoặc tra lời

Trong phan A ching tôi hệ thống lại mét số kiến thức cơ bản của chương để bạn đọc tiên theo dõi phân bài tập Phần

B của chương 1 gồm 73 đề toán, Phần B của chương 2 gồm 70

đề toán; được đánh số riêng theo mỗi chuong va duoc chia thành các chú đề có liên quan một thiết uới nhau Ở phần C

của mỗi chương, các hướng dẫn, trẻ loi va loi giải được trình bày ở những mức độ khác nhau, tùy thuộc uùào yêu cầu của tùng loại bài tập Khi dùng sách, bạn đọc nên đọc kĩ đề ra, tự mình tìm tòi cách giải, rồi sau đó mới doc phần tương ứng uới

Chúng tôi hi uong rằng cuốn sách này sẽ bổ ích đối uới các:

ban sinh vién dang theo học khoa Toán ở các trường Đạt học

Sư phạm

Mặc dù đã có nhiều cố gống trong biên soạn nhưng chắc chắn rằng cuốn sách không tránh khỏi những thiếu sót

Chúng tôi rất mong nhận được những ý biến đóng góp qúy

báu chân tình của qúy đồng nghiệp va ban doc để cuốn sách

Xin chân thành cắm ơn

CÁC TÁC GIẢ _

Dat Ma Trung

Cho V là một không gian vectơ trên trường số K và tập

A # Ø mà mỗi phần tử của nó gọi là một điểm Giả sử có ánh xạ

ọ:AxA—V (ta kí hiệu 9 (M, N) = MN voi M, Ne A) thoa

mãn hai tiên đề :

1) Với mỗi điểm M £ A và mỗi vectơ a € V có duy nhất điểm

'Ne Asao cho MÑ =ư'

11) Với bất kì 3 điểm M, N, Pe Ada Mts Nb - Mb

Khi đó ta gọi bộ ba (A ,, V) là một không gian añn Thông

thường ta gọi tắt không gian añn (A ,o, V) là không gian afin A

Gọi A là không gian afin liên kết với không gian vectơ V và kí hiệu V là x

Néudim V=n thi ts ta gọi A là không gian añn n chiều, kí hiệu

dimA =n hay gọn hơn : A” Từ nay về sau ta chỉ xét không gian

aBñn hữu hạn chiều

Nếu K = Rta gọi A là không gian afñn thục Nếu K= € ta gọi

A là không gian afñn phức |

_ Một hệ điểm A¿; A¡, , A„ m > 1 được gọi là độc lập nếu

và chỉ nếu hệ vectơ A.Ä, , AA pee AAn độc lập tuyến tính

Sự độc lập của hệ điểm không phụ thuộc me thứ oy của chúng Với một điểm O e A” và một cơ sở £= đại, ee , Sài của

A ta có một mục tiêu afñn {O ; ~ S2, see.) e, } (hay viết tắt là

5

Dat Ma Trung

{O;€ )) O gọi là điểm gốc còn S, 1= 1,2, , n, gọi là vectơ cơ sở thứ ¡ của mục tiêu trên Nếu gọi E; là điểm của A" ma OE; =e, i=1,2, ,nthiO,E,,E,, ,E, là hệ gồm (n + 1) điểm độc lập

của A”, và ta có thể kí hiệu (O; E; , E;, , E„ } cho mục tiêu nói

trên Điểm E; như vậy gọi là đỉnh thứi của mục tiêu {O; e} (hay

{O;E, , E,, ,E,})

Với mỗi điểm Xe A"”, tọa độ vectơ ÔŸ đối VỚI CơSỚ£ được gọi

là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu {O; e )

Giả sử A” có mục tiêu nữa là (O?; e°};? ={e” e”, pte, e” |

Goi {x,, X2, , x, } (tuong ung: (x’, x’ »«.,Xp)) 1a toa dé cud điểm X đối với mục tiêu (O; e } (tương ứng mục tiêu {O' ;e' })

Biết tọa độ của Ơ' đối với mục tiêu {O;e } là (aj, ay, , a, ) thì x

(ta con gọi x là ma trận tọa độ cột của điểm X)và A là ma trận

chuyển từ cơ sở e sang cở sở £'

Cho Không gian afn A liên kết với không gian vectơ Â` Điểm

le Ava ` là một không gian vectơ con của A Tap hop a =

{Me A; IM < ŒÌđược gọi là cái phẳng (hoặc phẳng) qua I và có

Néu dimo= m ta gọi œ là phẳng m chiều hay m - - phẳng Mỗi

m - phẳng œ có phương là œ là một “hông: gian afin m chiều liên kết với ®È

6

Dat Ma Trung

Quam +1 điểm độc lập của A" có duy nhất m - phẳng và đó

là cái phẳng bé nhất chứa m + 1 điểm trên

Nếu điểm I có tọa độ là (b¡, bạ, , bạ) đối với mục tiêu (0: € }

của A” còn mỗi vectơ a, i=1,2, ,m trong mét co ơ sở nào đó cla & có tọa độ đối với Cơ Sở E của AS la a, = (A1; , Ag 5» » Ap) thi

điểm X có tọa độ (x;,, x;, , xạ) thuộc œ khi và chỉ khi

n

| x; = >) a, t)+b;,i= 1, 2, ;0

trong đó t;, j = 1,2, , n là n số tùy ý thuộc K |

Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số cua m -

phẳng œ đối với mục tiêu {O; e } t;¡,J = 1, 2, , n được gọi là các

Diém X € akhi va chi khi x,, x,, ,X, thoa man hén-m phuong trinh

trong đó hạng của ma trận C = (¢;j) bằng n - m, được gọi là

phương trình tổng quát của m - phẳng ơ

Trong không gian añn A” cho p - phẳng œ có phương là ava

q - phang f cé phuong la PB’ véi p< q Ta gọi œ và B cắt nhau nếu _ chúng có điểm chung ; gọi là œ song song với B nếu œ c ÿ` gọi

là œ và B chéo nhau n nếu chúng không cắt nhau và cũng không

song song với nhaư

- Giao œ § của hai cái phẳng œ và B là tập hợp gồm tất cả

các điểm chung của chúng Tổng œ + B của hai cái phẳng œ và

B là cái phăng bé nhất chứa œ và Ñ

Dat Ma Trung

Nếu œ và B cắt nhau thì œ a B là cái phẳng có phương là

oO Ba dim(a + B) = đimơ + dimB - dim(œ ¬ 8)

Nếu œ và B không cắt nhau thì :

dim (a +B.) = dimơœ + đimổ - dim (@’ A B) +1

Cho k diém P\ì, P;, , P, thuộc A và k số của truong K: A>

_ Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của k điểm đã cho khi lấy tất cả

các họ hệ số là cái phẳng bé nhất đi qua k điểm đó

Khi A là không gian añn thực Ta gọi đoạn thắng PQ là tập hợp tất cả các điểm N mà ÔÑ = AÖÈb+ (1-À) OQ trong đó O

là điểm nào đó thuộc A và À e R: 0<^<I

Một tập X c A được gọi là tập lôi (hay hình lồi) nếu và chỉ nếu với P, Qc A thì đoạn thẳng PQ c X

Giả sử P,, Pạ, , P„ là m + 1 điểm độc lập của không gian añn thực A Ta gọi tập hợp tất cả các điểm Me A sao cho

Cho A (và tương ứng A? ) là không gian añn liên kết với không gian vecto A (tuong ung A) trên trường số K Ánh xạ f:

A — A' được gợi là một ánh xạ añn nếu có ánh xạ tuyến tính

`: Ä ` —› Äsao cho với mọi cặp điểm M, N thuộc A, thì M)ÑN) -

Anh xa nói trên được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với

f (hoặc ánh xạ nền của f) Mỗi ánh xạ afñn f chỉ có một ánh xạ

liên kết Ÿ duy nhất

Nếu cho ánh xạ tuyến tính f? A` —› A và điểm Ie A, điểm

Fe A' thì tồn tại duy nhất ánh xa afin f: K -> Asao cho f la dnh xa lién két voi fva f(D =P’ |

Nếu cho n + 1 điểm độc lập M,, M;, ., M, của A” vàn + 1 điểm tiy y M’,,M’,, ,M’, của A?thì tổn tại duy nhất ánh xạ añn f: A" — A?sao cho f(M,) =M;,, ¡ = 0, 1, , n

_ Nếu œ(tương ứng §) là các phẳng của A (tương ứng A') có

phương la @ (tương ứng `) thì f{œ) (tương ứng fˆ (B))là các

phẳng của A*(tương ứng A,) có phương là f8 (tương ứng £ˆ !(8)) Nếu ba điểm phân biệt P, Q, Re A thắng hàng (tức là thuộc

1 - phẳng nào đó) thì 32 ksao cho RP = ARQ Khi đó ta gọi

^.là tỉ số đơn của P, Q, R, kí hiệu là [P, Q, RỊ

Giả sử flà ánhxạ añnA —› A' Gọi P = ẤP) ;Q = ÑQ);R'=

f(R) Nếu P, Q, R phân biệt, thẳng hàng thì P, Q, R' thẳng

hàng Ngoài ra nếu P°, Q, R phân biệt thì [P, Q, R]=[P, Q, R]

Nếu ánh xạ añnf:A -—› A'là song ánh, ta gọi flà phép đẳng

cấu afñn Nếu có phép đẳng cấu afinf: A — A’ta goi Ala dang

cấu afin véi A’ Mét phép dang cấu añn f: A —›A gọi là một |

biến đổi añn (hay gọi tắt là phép afñn) của A

Dat Ma Trung

Ánh xa afin f: A —>A'là phép đẳng cấu añn khi và chỉ khi

ánh xạ tuyến tính liên kết f? A` —› AŸ la phép đẳng cấu tuyến

Với hai hệ, mỗi hệ n + 1 điểm độc lập P,, P\, ,, P„ và P„, -

P, , Pn của A” thì có duy nhất phép añn f của A” sao cho

Nếu (O; e } là anni muc tiéu cua A” va fla phép añn của A”

Gọi C = f(O) ; biết tọa độ của O' là (bị ,bạ, , bạ ) và ma trận

chuyển từ cơ sở e sang cơ sở f te) là A Khi đó gọi x (tương ứng

_ x,b)làma trận tọa độ cột của điểm tùy ý X (tương ứng ftX), O) thi x’ = Ax + b Đó là n hệ thức liên hệ giữa x), x;, XỈn và

X¡; X;, ; Xa được gọi là phương trình hoặc biểu thức tọa độ của

+

phép afn f đối với cơ sở {O; e) a Tập con khác rỗng H của A được gọi là một hình Hai hình

° H, và H; được gọi là tương đương añn nếu có phép añn của A

sao cho f(H,) = H, Quan hệ tương đương añn có tính chất :

trong đó ay =a; € R, ae R,i,j=1,2, ,n

Tập hợp S gồm tất cả các điểm Xe A"sao cho tọa độ (xị, x¿

- ›Xạ ) của nó thỏa mãn phương trình (1) được gọi là một siêu mặt bậc hai Khi đó phương trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt S

› 10

Đạt Ma Trung `

Goi x là ma trận cột của điểm X, A là ma trận (a¡) còn

(Kí hiệu C' 1a ma tran chuyén vi cua ma tran C)

Qua phép añn của A” ảnh của siêu mặt bậc hai là một siêu

Néu S la siéu mặt bậc hai xét đối với mục tiệu {O ; e )thì S

cũng là siêu mặt bặc hai nếu xét với mục tiêu khác |

Nếu có điểm I sao cho khi chọn I là 'gốc mục tiêu thì phương

trình của siêu mặt bậc hai S có dạng Lay x, xj ta, = 0, khido

ij

ta goi I la tam cua siéu mat bac hai S.-

Nếu I là tâm của S và Ie § thì I được gọi là điểm kì dị của

_ Nếu phương trình của S đối với mục tiêu nào đó là (2) thì

tâm I có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

n

Nếu S có tam I duy nhất thì đường thẳng đi qua I và có

phương tiệm cận của S được gọi là đường tiệm cận cua S Gia

six M, , M, 1& hai điểm thay đổi thuộc S sao cho phuong v của

đường thẳng M;, M; cố định và khác phương tiệm cận của 8 thì trung điểm cua M, M, thuộc siêu phẳng; gọi là siêu phẳng kính của S liên hợp với phương v° Giả sử 7 C6 tọa độ (vị, Vạ, ,

vạ ) đối với cơ sở£

Gọi v là tọa độ cột của v v thì siêu phẳng kính nói trên có

siêu tiếp diện của § tại điểm B

Nếu tọa độ của B là (b, , bạ, , bạ ) và viết nó ở dạng ma trận

cột là b thì phương của siêu tiếp điện a |

.(b ‘Ata ‘) (x—b) = Cho Š là một siêu mặt bậc hai, thì buôn có một mục tiêu để phương trình của S đối với mục tiêu đó có một trong các dạng

sau :

Vex =1 (> g=t1,1<r<n

12

Dat Ma Trung

- =O ; e&=dl,l<r<n Mex = 2x4; 3 &=t1,1lsr<n-1

Ba dạng trên gọi là phương trình chuẩn tắc của siêu mat bac hai

Gọi k là số các hệ số e; bằng 1

Hai siêu mặt bậc hai tương đương añn khi và chỉ khi phương -

trình của chúng ở dạng chuẩn tắc có cùng một dạng trong ba

dang trên và giá trị của r và kcủa chúng tương ứng bằng nhau

13 Dat Ma Trung

14

B BÀI TẬP

§.1 ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN AEIN

Cho(A,0@, KR) và (A’, 9’; BD là hai không gian afin trén trường K, xét ánh xạ

((M, M), (N,N))— (@ (M, N), @ (M’, N’))

Chứng minh rang (A x A),®, KR x A?) là một không

gian añn trên trường E (gọi là tích trực tiếp của hai không

gian afin Ava A’)

Cho (A,@, A) là không gian afin, œ œ là một không gian

vectơ cans cua A Hai diém M, Ne Agoi la tuong duong néu

MN e @D6la quan hệ tương đương Lớp tương đương

chứa điểm M kí hiệu là [M] Tập hợp các lớp tương đương

kí hiệu là A/®È Kí hiệu A/@ la không gian vectơ thương

của  trên ® Xét ánh xạ

©: A/a x A > Wa

((MJ,[N)) — [MN]

Chứng minh rằng (A/®,®, Wa ) là không gian afin

Chứng minh ì rằng hệ m + Ì điểm Mạ,M;, , Mạ của K

không gian añn A là độc lập khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì từ hai đẳng thức

afin Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất,

sang mục tiêu thứ hai

Tìm công thức đổi mục tiêu từ {O; E, ) sang {O’; E; } khi biết

tọa độ của Ơ' đối với mục tiêu {O; K; }

Trong khéng ian afin 2 chiéu A’ trén trường số thực R cho mục tiêu {O;e,, e2] (I) va {O’: e”, e’.} (II) Déi voi muc tiéu

(I) ba diém P, Q, R có tọa độ là P ={2, 1), Q= (1, 1),R=(1,

- 1) Đối với mục tiéu (II) chung co toa dé la P= (6, - 2), Q=

(4, - 1), R = (2, - 3) Hãy viết công thức đổi mục tiêu tir (I)

Chứng tỏ rằng mỗi một công thức : x` = = Ax +a, trong đó A

là ma trận cấp n không suy biến đều ứng với một, phép đổi mục tiêu trong không gian añn A”

§.3 CAC PHANG TRONG KHONG GIAN AFIN

Trong khéng gian afin A cho m - phẳng c œ và điểm P£ a

Chứng minh rằng có (m + 1) - phẳng duy nhất chứa œvà P

Trong không gian añn A" cho mục tiêu {O; E¡, E;, , E,)

Viết phương trình tham số và tổng quát c của m - phẳng đi

qua O, E,, E,, , E,,

Trong không gian afin A” với mục tiêu {Ô; ey, ees, " => cho các điểm Đị với OP = ae; @; (a, # 0) Ching minh rang n

15

12

13

14

16

điểm P, , P¿, , Pạ độc lập và phương trình siêu phẳng đi

qua n điểm ấy có thể viết dưới dạng :

Biét phuong trinh tham số của một m - phẳng œ đối với

một mục tiêu añn cho trước trong A°, hãy viết phương

trình tham số của m - phẳng ÿ song song với œ đi qua một

điểm cho trước

Khi nào hai phương trình tham số của hai m - phẳng đối

với một mục tiêu añn cho trước trong A là phương trình

của hai m - phẳng song song

Trong A” với mục tiêu {O; @, Oe yeas @,) cho p - phẳng a va

._a) Chứng minh rằng không gian chỉ phương Ø là tập hợp

15

16

17

các vectơ x có tọa độ (xi ; xạ, , xạ) đối với cơ sở {e;, Đ ,

@, } thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,

info arnw = @Ø) có thé viết dưới dạng

(Xe): ụ (De xi +b’) = 0 0, 1A1 + II z0

œ sao cho NÑ cœvà N c ơ

17

Dat Ma Trung

18 Chung minh răng nếu các phăng œ và j đều song song với

song với nhau |

Trong A”(n > 1) cho hai siêu phẳng song song phân biệt ơ ,œ,m- phẳng B không thuộc œ Chứng minh rang néu B cat

œ thì B cũng cắt œ

Cho a va B la hai cdi phang trong không gian afin A” Chứng minh rằng :

a) œB= Ø khi và chỉ khi với mọi Pe ơ, mọi Qe có

PQ ¢ a + B? hodc khi va chi khi c6 Pe a, c6 Qe B để

b) Néu lay Pe ava Qe Bva gọi yl không gian vectơ con

một chiều gây bởi vectơ PQ thi :

_— œSBzØ oar = 0+ PB’

œB=Ø œ+#B = (®+B} @ ÿ°

Cho hai cái phẳng ơ và song song với nhau, có số chiều

lần lượt là m và ¡ Số chiều của œ + B là bao nhiêu ?

Cho không gian afin A” và các số nguyên không âm r; p, q

không lớn hơn n Chứng minh răng :

a) Nếu 0<r< min Íp,qÌ;p+q-r<n thì trong A’ tim duoc

p- phẳng œ, q- phẳng 8 sao cho dim (œ ) =

b) Nếu 0<r< min {p, ql;p+q-r+ 1<n thì trong A” tìm

được p - phẳng ơ, q- phẳng § sao cho œ, B chéo nhau và đim

(® “^ BÌ= ể

§.4 TÂM TỈ CỰ TỈ SỐ ĐƠN TẬP HỢP LOI

Cho G là tâm tỉ cự của họ k điểm P,, P;,, , P, gắn với họ

k

hệ số À¡, À;, , À (3) À¡ # 0) Cho Œ” là tâm tỉ cư của họ m

i=]

Dat Ma Trung

»Am ¢ S À, # 0) Gọi G” là tâm tỉ cự của m điểm P,, P;,

Chứng minh các tính chất sau đây cua trong tam:

a) Trọng tâm của hệ hai điểm là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó -

b) Trọng tâm của hệ ba điểm không thẳng hàng là giao điểm của ba đường trung tuyến

Cc) Trong tâm của hệ bốn điểm không đồng phẳng là giao điểm của các đường thẳng nối mỗi điểm với trọng tâm của

Sử dụng khái niệm trọng tâm, giải bài toán sau :

Trong không gian thông thường cho hình tứ giác ABCD Chứng minh rằng 3 đường thẳng sau đồng quy : 2 đường

thắng nối cặp trung điểm của cặp cạnh đối diện, đường thẳng nối 2 trung điểm của 2 đường chéo

Trong A’ cho 2 duong thang phan biét d, d’ cing di qua diém S va 2 duong thang song song phan biét a, b khéng di

qua S Giả sửa cắt d, đ theo thứ tự tại A, A”, b cat d, d’ theo _ thứ tự tại B, B Chứng minh rằng [A, B, S] = [A', B, SỊ Cho ba mặt phẳng song song «, 8, y lần lượt cắt hai đường

thang 1, val, tai cdc diém A;, B,, C¡ và A;, B„, C; Chứng minh rang [A, , B, ,C,]=[As, Be, Ce]

Cho ba siêu phẳng œ, B, y của A” cùng đi qua một (n - 2)

phẳng Chứng minh rằng nếu œ, B, y cắt hai đường thang song song /; và /¿ lần lượt tại A;, B,, C¡ và A;, B„, C; thì [A,,B,,C, ]=lA,, B,, Ce I

19

Dat Ma Trung

Trong A”(n > 1) cho mục tiêu {0; Ej, E,} va diém M có

tọa độ (x;) Gọi œ; là siêu phẳng đi qua hệ điểm (0; E¡, E„) trừ điểm E;, œ là siêu phẳng đi qua M và song song với

œ Khi đó có điểm M, = OE, ¬ œ Chứng minh rằng [M, , E,

s.5 ANH XA AFIN VA PHEP BIEN ĐỔI AFIN

Cho f: A — A la mét anh xa afin Chứng minh rằng :

a) fla don anh khi và chỉ khi dim f(A) = dim A

b) fla toan anh khi va chi khi dim f(A) = dim A’

c) fla dang cau A > A’ khi va chi khi dim (fA )) =dim A= dim A’

Chứng minh rằng trong không gian A’ phép chiéu song song theo phương của đường thẳng A lên một mặt phẳngP

cắt Ala anh xa afin

Anh xa afin, phép biến đổi añn giữ nguyên quan hệ nào giữa hai cái phẳng trong số các quan hệ sau : song song,

cắt nhau, chéo nhau

-Trong mặt, phẳng añn AŸ với một mục tiêu đã chọn (*) cho

các điểm : A(1, 0) ; B(0, 2) ; C(- 3, 0) ; A2, 3) ; B(- 1, 4) ;

C(-2,-1) “ -

a) Chứng minh rằng {A; B, C}) là một mục tiêu

b) Chứng minh rằng có phép añn fcủa A’ sao cho f(A) = A’; fB) = B, ÑC) = C' Lập phương trình của f đối với :

- Mục tiêu (*)

Dat Ma Trung

b) Tìm ảnh và tạo ảnh của điểm M(1, 2);

c) Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thắng d có phương trình

đối với mục tiêu (*) là 3x + 2x; + 6=0

Cho f là phép añn của mặt phẳng AŸ có phương trình đối

với một mục tiêu nào đó là :

Xụ _=4xị + 6x; +8

x¿'=4x; + 9x¿ + 1 a) Hay tim-edc đường thẳng có phương bất biến đối với f; b) Hãy tìm điểm kóp (tức là điểm mà ảnh của nó qua fcũng chính là nó)

Nếu A" la không gian afñn thực Chứng minh rằng qua phép afin thi :

a) Anh va tao anh cua doan thẳng là đoạn thăng

b) Ảnh và tạo ảnh của một hình lồi là hình lôi

Trong mặt phẳng añn A’ cho tam giác ABC Hãy tìm các điểm kép của mỗi phép biến đổi afin f, g cha A’ néu:

f(A) = B ; f(B)=C ;{C)=A

g(A) = A ; g(B)=C ; g(C)=B

va tìm tích gof

Trong không gian añn A”, với một mục tiêu đã chọn

{O ; SẲ, 1= 1,2, 3 cho hai hệ điểm có tọa độ như sau :

A, =(1, 1, 1); A, = (2, 0, 0); |

A, =(1, 0, 0) ; A; = (1, 1, 0) (*)

21

Dat Ma Trung

b) Lập phương trình phép biến đổi añn của A sao cho A; > A? ,i=0, 1, 3 đối với

- Mục tiêu (O;e; };

-Muc tiéu {A, ; A; , Ag, Ag }

Trong không gian A” cho tứ diện ABCD Hãy lập phương trình phép biến đổi añn của AỶ đối với mục tiêu {A; B, C, D) (#) sao cho: A —› B;B >> A;C =>C;D —› D

Không gian añn A” cho hai mục tiêu {O; Ej} va {0’; E;}, ¡ =

1,9, ,n Gọi (Xị , Xa , Xa) và (x¡`, x;, , xạ) là tọa độ của điểm x tuy ý đối với các mục tiêu {O; a 1 va {O’; E;} tuong

b) Hãy lập phương trình phép biến đổi añn của A” với mục

tiêu {O; E,} sao cho f{O) = O” ; KE,) = E¡`,1= 1,2, ,n

Trong không gian añn A” cho mục tiêu {(O; e}, i= 1,2, ,

n Ta dit dnh.xa fnhusau : Néu x= (x, „X¿, , Xa) thì f(x)

= (0, xạ, ., xạ) Chứng minh flà ánh xạ añn Tìm ảnh của

Chứng minh rằng nếu phép añn của A” có n + 1 điểm kép

độc lập thì flà phép đồng nhất

Dat Ma Trung ˆ

a” + ola dang cau afin

Trong A" cho m - phẳng o va (n - m) phẳng B sao cho

œ 1B là một điểm Chứng minh rằng có các phép chiếu

f: A" > atheo phương”

g:A"> B theo phương 0, hơn nữa

a) gof = fog là ánh xạ hằng ;

b) Néu X 1a điểm tùy ý thuộc œ, Y là điểm tùy ý thuộc § thì

có duy nhất điểm M e A” sao cho M) = X và g(M) =Y

Cho ánh xạ añn f: A"—› A" Chứng minh rằng f là phép

chiếu song song khi và chỉ khi fof = f

Cho f là phép añn của A” (n > 1) có điểm kép A Chứng minh rằng có đường thắng hoặc mặt phẳng bất biến đối

với f (nghĩa là ảnh của đường thang hoặc mặt phẳng đó chính lànó) ~

Cho phép afin f cua không gian añn A" on > 2), biét rang f biến đổi đường thẳng của A” thành đường thang song song

với nó Chứng minh rằng f là phép tịnh tiến hoặc phép vị _ |

tu

_938

Dat Ma Trung

a) Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến ;

b) Tích của một phép tịnh tiến và một phép vị tự với tỉ số -

Trong không gian añn A” (n >2) hai hình bình hành có

tương đương afin hay khéng ? Hai hình thang (không là hình bình hành) có tương đương afn hay không ? Khi nào chúng tương đương afñn

Trong không gian A”(n > 3) Tìm điều kiện để hai tập hợp gồm 4 điểm tương đương añn

Trong không gian añn A”(n > 2) Tìm điều kiện để các tập hợp gồm cặp phẳng œ, B "¬ œ = p; dim B= q), tương đương

Chứng minh rằng tập hợp tất cả các phép biến đổi añn của

không gian añn A lập thành một nhóm với phép toán là phép tích hai ánh xạ

§.6 SIEU MAT BAC HAI

Chứng minh rằng định nghĩa siêu mặt bậc hai không phụ thuộc vào mục tiêu añn

Trong không gian afin A’ Tim giao điểm của mặt bậc hai

S với đường thang d có phương trình như sau:

a) Hoặc là siêu mặt bậc hai trong 0% ;

b) Hoặc là siêu phẳng trong œ ;

c) Hoặc là œ

Trong A’ tim tam và điểm kì dị của mỗi siêu mặt bậc hai

có phương trình sau đây :

a) Xi + xã + 2x;X; +4xị -2x;+ 1=0;

b) 2x‘ — x5 2 xi + XiX¿ + 2X¿Xa — XỊXa + Xị — 2X; = Ô ;

c) 2x4 + x5 + 2x,x, — 2x,x, — 2x, —4x,-1=0

Trong không gian A’ ta gọi các đường elip, hypebol,

parabol là các đường bậc hai có phương trình tương ứng là:

b) Cho điểm M(1, - 1, 2) e 8 Chứng tỏ rằng z8 không phải

là điểm kì đị Viết phương trình siêu tiếp điện của S tại M

25

Đựí Ma Trung ~

6ð Trong không gian A” cho đường bậc hai S có phương trình

(ax, + Bx, +) +2 (Ax, +Bx,+C)=0 đối với một mục

tiêu đã cho, trong dé a B + A B Chiing minh rang: |

a) S la đường parabol ; :

b) Đường thẳng d có phương trình œ xị + B x; + y = 0 là một đường kính của 8S Xác định phương liên hợp của nó

c) Đường thẳng có phương trình Ax; + Bx„ + € =0 là tiếp

tuyến của S tại giao điểm của d (nói trong câu b) với 8

66 Trong không gian añn A” cho siêu mặt bậc hai có phương

là siêu nón bậc hai hạng r nếu có một mục tiêu {O; E,} nào

đó của A” để phương Đình của 8S là

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để S là một siêu nón

c) Nếu Me S thì đường thangOM cS;

d) Nếu S là siêu nón hạng r thì có (n - r) - phẳng œ của A” nằm trong S và với bất kì điểm M e 8, phẳng bé nhất đi qua M và œ cũng nằm trên S

Trong không gian añn A”, siêu mặt bậc hai 8 S được gọi là siêu trụ bậc hai nếu có một mục tiêu {O; e; e } cua A" để phương trình của siêu mặt bac hai la

a) Chứng minh rằng nếu điểm Me S thì ì phẳng đi qua M

và có phương B’nam trong S

b) Gọi œ là phẳng qua O và có phương Œ` œˆ là không gian con

của A sinh boi e, ; es, e, nm Ching minh rang Sno la

27

Dat Ma Trung

siêu mặt bậc hai S' của œ và phương trình của giao đó đối -

với mục tiêu {O; e7 1= 1,2, ,m của œ và phương trình của giao đó đối với mục tiêu (O; 6¡)1= 1, 2, ,m của œtrùng với

Trong khéng gian afin A’ cho mat bac hai S có phương

trình đối với một mục tiêu là : _

2x; + 12x¡x¿ + 16x + ðx¡Xa + 12x¿Xa + 2x2 +x, + 4x, + 2x, =0

Trong không gian añn A” cho siêu mặt bậc hai S có phương trình

—Xị—XạT— T—Xu+Xy¿i+ +Xa—l1=0 (1<k<n) _ đối với một mục tiêu đã cho Chứng minh rằng :

a) Nếu k< 5 thì § chứa những m - phẳng, với m < k;

b) Nếu k25 thì S chia những m - phẳng với

m<n—k—-1

Đựt Ma Trung

73 Trong không gian afin A” cho siéu mat bậc hai S xác định

bởi phương trình

—Xi— —XE+Xy,i+ + +X ¡2# =0 (O<k< 5)

a) Néuk + 1 < ] thì S chứa những m - phẳng, với m <k;

2

b) Nếu k > > this chứa những m - phẳng với m<n - k- 1

29

Dat Ma Trung

80

C LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN, TRẢ LỜI

Kiểm tra ánh xa ® thỏa mãn hai điều kiện nói trong định

nghĩa không gian afñn Ta có : |

@ ((M, M’) ,(N, N’))+ ®((N, N’)(P, P’)) =

= (~(M, N), g’ (M’, N’)) + (@(N, P), (@’ (N’, P’))

=(o(M,N)+o(N,P),g(M,N)+g(N,P))

=(o(M,P),œ(M,P`)=%((M,M),P, 1

Giả sử :(M,M)ec AxA' và (u,u)e Ax A® Tén taiNe A

va N’e€ A’sao cho »(M, N) =u, 9’ (M’, N’)=wv’ |

Giả sử có[NÑ]e A/œể ®([M],[N'])= [MÑ] = [xl

Khi dé NN’ = MN’ - MN € a Suy ra [N'] =[NI Do đó ánh

xa ® thỏa mãn hai điều kiện trong định nghĩa của không gian añn, tức (A/® ®, A‘ la m6ét khéng gian afin

+ Điều biên cần : Già sử hệ diém M,, M,, ,M,, 1a déc lap,

MU, eine K sao cho

Mà: =Ài M.M, + we tAy vil ~

OM - OM, be Sites OM.) + +A,, (OM,, — OM,)

(với O là điểm tùy y)

GH = (1-2, — — Am) OM, + A, OM, + - + xạ OM

ez) (ID sang mục tiêu (II) Kí hiệu [P], , [P]ạ tương ứng là

các ma trận cột toa độ của P đối với mục tiêu (1) và (II) Ta

có công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (D sang mục tiêu

Cho trước một mục tiêu añn, ta có mục tiên thứ hai sao ma -

| tran chuyén từ mục tiêu thứ nhất.sang mục tiêu thứ hai là

A’ va diém gốc của mục tiêu thứ hai có ma trận cột tọa độ

„ đối với mục tiêu thứ nhất là - A” a Khi đó công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai là :

x=A 'x-A”a

trong đó x, x' tương ứng là ma trận cột tọa độ của một điểm

đối với mục tiêu thứ nhất và mục tiêu thứ hai :

Giả sử P¡, P;, , P„,¡ là m + 1 điểm độc lập của m -

11

12

34

Hệ điểm P\, P;¿, ., P, déclap là hiển nhiên Phương trình

tổng quát của siêu phẳng œ đi qua P¡,P;„, ,P,„ có dạng

b, X,;+ +b,x,+b = 0

¡ = (0, , a¡, , 0) € œ suy ra bị aị + b= 0 Do đó bị =— Ð

Thay vào phương trình trên ta có : | ~

Điểm X = (x¡, x;, , x„) thuộc siêu phẳng đi qua P, , Py, .,

P, khi và chỉ khi {XP, , XÈ;, , XÈ, ) là hệ phụ thuộc tuyến

tính Điều này tương đương với :

SHS SST HSE TEESE ESHEETS SETHE SESE SEES EEE HEHE EET

Dat Ma Trung

am = (Am > Ame d +7 9 Amn)

m - phẳng B song song với œ có phương j°= 0®, từ đó dễ dàng viết được phương trình tham số của § khi biết được tọa độ của một điểm thuộc 8 c

_ Phương trình tham số của phẳng cho biết một, cơ sở của

14

không gian chỉ phương của nó, từ đó suy ra điều kiện để

hai phẳng là song song khi biết hai cơ sở của các không gian chỉ phương tương ứng

Ta chứng minh moi nghiệm của (1) là tọa độ của một vectơ thuộc # Giả sử x = (z, , , Z,) trong d6 (z,) 1a nghiém của _ (1’) Lay điểm M nào đó thuộc œ Giả sử M = (x,, ,x,), ta

1ã

_86_

có (x,) là nghiệm của (1) Tôn tại Ñ = (yạ, , y„) sao cho

MN =x’ Khi dé (Yn —Xy, wee Yn ~ Xn) = (Z|, ; Za) Vi (x;)

là nghiệm của (1), (z,) là nghiệm của (1) nên (y;) là nghiệm của (1) Do đó N e Oe, tic x = MÑ c ®

b) Với giả thiết p<q, điều kiện để œ song song với là

œc B tức mỗi nghiệm của hệ phương trình (1) là một

nghiệm của hệ phương trình (2)

Tập các điểm thuộc œ œ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình :

16

hai siêu phẳng cắt nhau có phương trình :

17

18

la tuong duong Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại các

Laxtdaa (Za Xx; +b) + U (Zax +b) = 0

song song, œ và œ cũng không cắt nhau vì nếu ngược lại, ta

dim(œ + œ) = dim œ + dim 0 - dim (œ œ)

Điều này vô lí Do đó œ và œ chéo nhau

œ và cùng song với y nên có một, HN 4 trường re sau :

| tr

Dat Ma Ti rung

Nếu 2 trong 3 siêu phẳng œ, B, y trùng nhau thì có ngay

kết quả Giả sử œ, B, y là 3 siêu phẳng phân biệt và đôi

một cắt nhau Khi đó

Vidim (@ a B)=dim(@ nA Y=dim(pa y3=n-2nên

œ2 y=Œny* eA B= BA Y=BRaY Dod6a MO y songsongvéiB A y

NéuB A o& = OSthi: ©

dim (B + œ) = dim B + dim o’- dim (B’n &)+1

= đim B + đim œ - đim (BẦn¬ 8+1

_Ñếu œnB = @ thi voi moi Pea , moi Qe B® cd

PQ ¢ œ+ Bề Vì trái lại, gia su cd Pea, Qe để

PQ « o + B Gia sit PQ = x+y xe ®, ye Bề Xét Neơ , Me sao cho PÑ=x` QÑ=-y Khi đó

PQ = PM - QN ttic PQ + QN = PM hay PN = PM, do dé

M=N, tuicamB #@ Mau thuan

b) Nếu œ B # Ø thì œ + B là phẳng qua Ie œ © và có

phuong 0+ B’ Do dé &+ Boat _

Nếu œ B =Ø thì có Pe œ, Qe B để PŠ ¿ 8+ BẦtheo a) Gọi y là không gian 1 chiều sinh bởi PỘ ta có (0+ B?) ® _y*c œ+38 Mặt khác:

dim ((®*+ B )@ ÿ3= đim ŒÈ+ dim Bề dim (® ¬ Ồ + 1

Do đó : œ+3+B<(@+B) @ y

Giả sử œ //B , œ có chiều m, B có chiêu ¿ Ta có đ© B}= B’ hoặc & A B’= @& Áp dụng công thức về số chiều của phẳng tổng œ + B, suy ra :

Dat Ma Trung

23

- Nếu œ cắt B thì đim (œ + B )= max (m, 1);

- Nếu œ không cat B thi dim (a+ B ) = max {m, 1) + 1

B?= <e¡, , @; Eye ơn ›Ênhn+q~— 1>

Khi đó dim ÿÈr, dim @= >, dim B= q va @ A B= Lấy

một điểm tùy ý M e A” Gọi œ = (M, œ), B= (M,BỒ,y=(M,

73 Khi đó œ cắt B và dim (œB)=r

b) Nếu 0<r< min {p, qÌì và p+q-r +1<n Xét cosa fe, ,

e, }vaO By: M nói ởa), ngoài ra đặt :

5% (e, 2 Gp Bp J thi dim 5% p+q-r<nvae®, prc &

Goi «= (M, @), 8=(M,5), khi dé oc 5 va dim <nnén cd

Bé¢ 6 Gọi Ð =(B, B} thi B song song với ö và ö r^ B = © Suy

ra œ“ =Ø Mặt khác ` ¬ B> Vậy œ, B chéo nhau và -

25

26

| 27:

a) Hiển nhiên -

b) Theo bài 24 trọng tâm G của a hệ 3 điểm A, B, C là tâm tỉ

cự của hệ 2 điểm A, A' với họ hệ số 1, 2 trong đó A la trong

tam cua hé 2 điểm B, C (tức A' là trung điểm của BC) Do

đó G năm trên đường trung tuyến AA' Tương tự, G nằm _ trên các trung tuyến BB và CƠ

c) Su dung bai 24 va lap luận như câu b)

Chia hệ 4 điểm thành 2 hệ, mỗi hệ gồm 2 điểm Sử dụng bài 24 ta thấy rằng các đường: nói trong bài toán đồng quy tại trọng tâm của hệ 4 điểm đã cho

+ Nếu 7; song song l, thi Ay A, // B, By // C, Cy Khi dé

| CTA, = GA, , CB, = OB, |

+ Nếu /; không song song ¡; Dựng đường thẳng 7, qua C¡, song song với j¿ ”; cắt œ, PB, ytheo thittwA’, , B’,,C,

Ta cé A’, A, // B’; By // C’, C, va A, A’, // B, B’, Theo bai 27

ta có [A, ,B,,C,] =[A’,, B’,, Cj]

Mat khác [A’, ? By ? C;] = [A, ? Bs ? Cy] |

Do đó LAI ? B, > C¡] — [A, , Bo › Cy] ,

Néu A, A, //B, B, // C, C, thì có ngay -

| ~ (A, ,B,,C,] =[A,,B,, Cyl

Nếu có 2 trong 3 đường trên cắt nhau :

Giả sul= A, ANB, B,canBbcy Suy ra:

le fade sa ,

Dat Ma Trung

30

31

Giả sử [C,, C¿, IỊ = k Ta có C¡ À, = k C; Ä; và C.b,=k

C;b, (Suy từ chứng minh bài 27) |

Suy ra[A,;, B,,C,J=[A,,B,,Ce] =~

Ki hiéu J, = {1,2, ,n} \ {i} Ta co

O€ = x Ob + © O8, (1)

jedi

ais sử OM = 14,08 (vi O, E, , M, thang hang) va

=> k OR, (vì œsong song với œ¡ và M, M, E Ct)

je J:

"Ta có OMI - Óh, + MẶI - ÖÈ +E Ob — @

je dj

Tir (1) va (2) suy ra) = _xị tức [M, , E; , Q] = Xị- |

Gia sử P = (p,) va Q = (q,).Khid6 diém X bat ki thuéc doan -_.PQ có tọa độ X= (0p, + (1 - A)q,) với 0 <^.< 1 Dễ dàng thấy ©

_ rằng nếu P, Q có tọa độ thỏa mãn một phương trình của hệ - thì các điểm thuộc đoạn PQ cũng vậy Giả sửP, Q có tọa độ thỏa mãn một bất phương trình của a he, gia su bat phương '

trình có dạng :

Ta có - a, Pp, t +a,p,+b20

Suy ra:a, (Ap, +(1-A) q, )+ -+a,(Ap,+(1-A)q,)+b=

=) (ap, + +a, Pp, t+ b)+(1-A) (a, q, + +a,9,+b)20

Do đó điểm thuộc đoạn PQ cũng có tọa độ thỏa mãn bất, phương trình đó, lí luận tương tự nếu bất phương trình có -

đạng a¡ xị + + an Xa + b> 0 Như vậy nếu P và Q có tọa độ thỏa mãn một Hệ phương trình và bất phương trình tuyến

tính thì các điểm thuộc đoạn PQ cũng vậy Từ đó suy ra ' |

tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn một hệ phương trình ˆ

và bất phương trình tuyến tính là một tập lôi

41

Dat Ma Trung

Gọi Ÿ Ìà ánh xạ nền của ánh xạ afñn f;fÐ: Ä°-› Aề

<> ‘dim A = dim A= dim F’(A’) = dimf(A ) b) fla toan dnh > fla toan ánh

| <> dim f(A) = dim f’ (® )=dim A’= dim A’ c) Suy ra từ a) và b) z |

Giả sử M là điểm tùy ý, Me AŸ Goi M’ Ia giao diém cia

Ánh xạ f: M => M là phép chiếu song song AŸ theo

A R-

Ta dê dàng chứng minh được A° = Ä*@ P Vậy moi

ve A’ biéu điễn duy nhất duéi dang v= Vi +ve, ve A’: nà |

:

thì f” là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ Í

Ánh xạ añn giữ nguyên quan hệ song song, cắt nhau; không giữ nguyên quan hệ chéo nhau Còn phép biến đổi

-ain thì giữ nguyên mỗi một quan hệ trong ba mối quan hệ

a) Ta chứng minh hệ ba điểm (A, B, C} độc lập khi và chỉ

khi {AB,A ) độc lập tuyến tính AB = (- 1, 2); ÄÈ = (- 4, 0)

a6 voi, co so của mục tiéu (*), Dé dang chung minh duoc

AC độc lập tuyến tính

b) Ta ching minh duoc {A’, B’, C’} cũng độc lập lo định lí

về:hai hệ n + 1 điểm độc lập trong A” xác định đuy nhất phép añn ta cớ điều phải chứng minh

Phương trình của f đối với mục tiêu (*)là :

x’; = Ay) X) + AgyXs +- by

X2 = 8›¡Xi+ AgaXo + bạ ~

~

Dat Ma Trung