Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình học ơclit

Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống bài tậphình học afin và hình học Ơclit” không có sự trùng lặp với các khóaluận khác... Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểusâu hơn

KHOA TOÁN

LÊ THỊ HẢI YẾN

HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉbảo tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, khóa luận của tôi đếnnay đã được hoàn thành

Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy PhạmThanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo và đóng góp nhiều

ý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này

Tôi chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điềukiện tốt nhất cho tôi trong thời gian tôi làm khóa luận

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thứcnên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhậnđược sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên đểkhóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Lê Thị Hải Yến

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập,nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô, cácbạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướngdẫn tận tình của thầy Phạm Thanh Tâm Trong quá trình làm khóaluận tôi có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trongmục tài liệu tham khảo Khóa luận “Hoàn thiện hệ thống bài tậphình học afin và hình học Ơclit” không có sự trùng lặp với các khóaluận khác

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Lê Thị Hải Yến

Mục lục

1.1 Không gian afin 8

1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin 9

1.3 Phẳng trong không gian afin 12

1.4 Vị trí tương đối của các phẳng 14

1.5 Tâm tỉ cự của hệ điểm 18

1.6 Tập lồi trong không gian afin 20

1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không gian afin 21

1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin 22

1.9 Siêu mặt bậc hai afin 25

1.10 Một số bài tập đề nghị 32

2 Không gian Ơclit 35 2.1 Không gian Ơclit 39

2.2 Các phẳng trong không gian Ơclit 40

2.3 Góc và thể tích trong không gian Ơclit 44

2.4 Ánh xạ đẳng cự và phép biến đổi đẳng cự 47

2.5 Hình học Ơclit 52

2.6 Nhóm đồng dạng và hình học đồng dạng 54

2.7 Siêu mặt bậc hai Ơclit 57

2.8 Các bất biến hàm bậc hai và ứng dụng 61

2.10 Một số bài tập đề nghị 71

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về chuyên ngành hìnhhọc, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trìnhtoán phổ thông

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểusâu hơn nữa về hình học afin và hình học Ơclit, tôi đã chọn đề tài

“Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học afin và hình họcƠclit” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận nhằm mục đích: Giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn vềhình học afin và hình học Ơclit

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Nghiên cứu các bài tập hình học afin và hình học Ơclit

• Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin và hình họcƠclit

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày hệ thống một số các bài tập cơ bản về hình học afin vàhình học Ơclit

5 Phương pháp nghiên cứu

nội dung nghiên cứu.

Chương 1

Không gian afin

Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ bản sau:1.1 Không gian afin: Cho không gian véctơ V trên trường K, tập

A 6= ∅ mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A×A −→ V

1.2 Độc lập afin: Hệ m + 1 điểm A0, A1, , Am (m ≥ 1)của khônggian afin A gọi là độc lập nếu m véctơ −−−→A0A1,−−−→

2, , −→e

n} là một mụctiêu afin của A O gọi là điểm gốc của mục tiêu, −→e

i gọi là véctơ cơ sởthứ i của mục tiêu

1.4 Tọa độ afin: Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin

−→

IM ∈ −→α}

được gọi là cái phẳng (gọi tắt là "phẳng") qua I và có phương là −→α.

Nếu −→α có số chiều bằng m thì α gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là

a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung

b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu −→α là không gian con của

d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của thuyết tập hợp vàgọi là giao của hai cái phẳng α và β.

e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β, α + β gọi làtổng của hai cái phẳng α và β

1.7 Tâm tỉ cự: Cho k điểm P1, P2, , Pk của không gian afin A và k

số thuộc trường K: λ1, λ2, , λk sao cho

k

P

i=1

λi 6= 0 Khi đó có duy nhấtđiểm G sao cho

1.9 Đơn hình m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0, P1, , Pm

Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M saocho (với điểm O nào đó)

1.10 Hình hộp m - chiều: Cho m + 1 điểm độc lập P0, P1, , Pm.Tập hợp những điểm M sao cho

P0Pi, với 0 ≤ λi ≤ 1 được gọi là m - hộp

1.11 Ánh xạ afin: Cho hai không gian afin trên trường K là A và

A0 liên kết với không gian véctơ −→

A và

−

→

A0.Ánh xạ f : A −→ A0 được gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyếntính −→

1.12 Tỉ số đơn: Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàngP, Q, R

là số λ thuộc trường K sao cho −→RP = λ−→

RQ, và kí hiệu là [P, Q, R]

1.13 Đẳng cấu afin: Ánh xạ afin f : A −→ A0 giữa hai không gianafin A và A0 trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh.Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A0 nếu có đẳngcấu afin f :A −→ A0 Khi đó ta kí hiệu A∼f A0

1.14 Biến đổi afin: Phép đẳng cấu afin f : A −→A từ không gian

afin A lên chính nó được gọi là một biến đổi afin, hay cho gọn là phépafin

1.15 Tương đương afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của khônggianX, H1 và H2 là hai hình nào đó của X Khi đó hìnhH1 gọi là tươngđương với hình H2 (đối với nhóm F, hay còn gọi là F - tương đương)nếu có phép biến đổi f ∈ F sao cho f (H1) = H2, ta kí hiệu: H1(F

∼)H2

1.16 Bất biến afin: Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian

X, và H là một hình trong X Một tính chất nào đó của hình H sẽ gọi

là bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H0 tương đương với hình H

(đối với nhóm F) đều có tính chất đó

Các tính chất bất biến đối với nhóm afin Af (A) của không gian afin

A thường gọi là tính chất afin.

1.17 Siêu mặt bậc hai: Trong không gian afin An trên trường sốthực chọn mục tiêu afin {O;−→e1, −→e

Tập hợp tất cả những điểm X thuộc An sao cho tọa độ (x1, x2, , xn)

của nó thỏa mãn phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác địnhbởi phương trình đó

Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) thì phươngtrình (1) gọi là phương trình của (S)

Với n = 2 và n = 3, các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đườngbậc hai và mặt bậc hai

1.18 Tâm của siêu mặt bậc hai: Tâm của siêu mặt bậc hai (S)

là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì phương trình của (S) códạng:

1.19 Điểm kì dị của siêu mặt bậc hai: Một điểm I gọi là điểm

kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu I ∈ (S) và I là tâm của (S)

φ[(M, M0), (N, N0)]+ φ[(N, N0), (P, P0)]

= (ϕ(M, N ), ϕ0(M0, N0)) + (ϕ(N, P ), ϕ0(N0, P0))

= (ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ), ϕ0(M0, N0) + ϕ0(N0, P0))

= (ϕ(M, P ), ϕ0(M0, P0))

= φ[(M, M0), (P, P0)].

Vậy (A×A0, φ,−→

A ×−→A0) là một không gian afin trên trường K

Bài tập 1.1.2 Chứng minh rằng nếu M0, M1, , Mm là hệ m + 1 điểm

độc lập thì điều kiện cần và đủ để hệ m + 2 điểm M0, M1, , Mm, Mm+1

không độc lập là với điểm O tùy ý ta có:

Suy ra có điều phải chứng minh

1.2 Mục tiêu afin và tọa độ afin

Bài tập 1.2.1 Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin{O; −→e1, −→e

Công thức đổi mục tiêu

ba điểm P, Q, R có tọa độ là P = (2, 1), Q = (1, 1), R = (1, −1) Đối vớimục tiêu (II) chúng có tọa độ là P = (6, −2), Q = (4, −1), R = (2, −3).Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II)

+)Cách 2 : Giả sử công thức đổi tọa độ là

Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm

1.3 Phẳng trong không gian afin

Bài tập 1.3.1 Trong không gian afin A cho m - phẳng α và điểmP /∈ α

Chứng minh rằng có (m + 1) - phẳng duy nhất chứa α và P

Bài tập 1.3.2 Trong không gian afin An cho mục tiêu afin{O; −→e1, −→e

n điểm P1, P2, , Pn độc lập và phương trình siêu phẳng đi qua n điểm

ấy có thể viết dưới dạng:

1.4 Vị trí tương đối của các phẳng

Bài tập 1.4.1 Cho tập M gồm m + 1 điểm độc lập của không gian afin

An(m < n) Gọi N và N0 là hai tập con không rỗng của M và khônggiao nhau Chứng minh rằng có hai cái phẳng chéo nhau α và α0 sao cho

N ⊂ α và N0 ⊂ α0

Bài giải

Không làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết:

Suy ra hệ điểm P0, P1, , Pr, Pr+1, Pr+1+k không độc lập

Điều này trái với giả thiết

Trường hợp tổng số điểm trong N và N0 nhỏ hơn (m + 1) thì chứngminh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N0

Bài tập 1.4.2 Cho α và β là hai cái phẳng trong không gian afin An.Chứng minh rằng:

a)α∩β = ∅ khi và chỉ khi với mọiP ∈ α, mọi Q ∈ β có−→

P Q /∈ −→α +−→

β,hoặc khi và chỉ khi có P ∈ α, Q ∈ β để −→

P Q /∈ −→α +−→

β

b) Nếu lấy P ∈ α và Q ∈ β và gọi −→γ là không gian véctơ con một

chiều gây bởi bởi véctơ −→

a) Giả sử α ∩ β = ∅ mà có P ∈ α, Q ∈ β sao cho −→

→α +−→β Điều này trái với giả thiết Vậy α ∩ β = ∅.

Bài tập 1.4.3 Cho hai siêu phẳng α và α0 có phương trình lần lượt là:

a) Tìm điều kiện để α và α0 cắt nhau, để α và α0 song song, để α và

α0 chéo nhau, để α và α0 trùng nhau

b) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của các siêu phẳng đi qua

α ∩ α0 (nếu có) hoặc song song với α và α0 (nếu α ∩ α0 = ∅) có thể viết

trái với giả thiết Cho nên (*) là phương trình siêu phẳng γ.

1.5 Tâm tỉ cự của hệ điểm

Bài tập 1.5.1 Cho G0 là tâm tỉ cự của họ k điểm {P1, P2, , Pk} gắnvới họ hệ số {λ1, λ2, , λk};

G là tâm tỉ cự của họ hai điểm G0, G00 gắn với họ hệ số:

Mở rộng bài toán cho trường hợp có m điểm phân biệt.

Bài giải

Gọi G là trọng tâm của hệ bốn điểm P1, P2, P3, P4

Theo Bài tập 1.5.1, G thuộc đường thẳng nối hai trung điểm của cáccạnh đối diện của tứ diện P1P2P3P4 và G thuộc đường thẳng nối đỉnhvới trọng tâm của mặt đối diện của tứ diện P1P2P3P4 suy ra bảy đườngthẳng đồng quy tại G

Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt

Chia hệ m điểm thành hai tập N và N0 khác ∅ và không giao nhau

Khi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểmtrong N0 đồng quy tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu.

1.6 Tập lồi trong không gian afin

Bài tập 1.6.1 Chứng minh rằng nếu M nằm giữa hai điểm P và Q thì

1.7 Ánh xạ afin và các phép biến đổi của không gian afin

Bài tập 1.7.1 Chứng minh rằng ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi quaánh xạ afin là những tập lồi

Bài giải

Ánh xạ afin f : A −→ A0

+ Cho α là tập lồi của A Xét f (α)

Giả sử M0, N0 ∈ f (α); L0 ∈ [M0N0]thì với điểm bất kì O0 ∈ A0 có λ ∈

suy ra f (α) ∩ f (β) 6= ∅

+ Nếu α//β thì −→α ⊂ −→β , do đó −→f (−→α ) ⊂ −→f (−→β ) tức là f (α)//f (β).

+ Nếu α ∩ β 6= ∅ và α, β chéo nhau (tức −→α 6⊂ −→β ,−→β 6⊂ −→α) thì cũng

có thể f (α) ∩ f (β) 6= ∅, chẳng hạn trong A3 xét f là phép chiếu song

song lên một mặt phẳng, α vàβ là hai đường thẳng chéo nhau cùng songsong với mặt phẳng đó, ta thấy f (α) cắt f (β).

Bài tập 1.7.3 Chứng minh rằng

a) Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến

b) Tích của một phép tịnh tiến và một phép vị tự là một phép vị tự.c) Tích hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến

+ Nếu k1k2 = 1 thì g ◦ f là phép tịnh tiến

1.8 Nhóm biến đổi afin và hình học afin

Bài tập 1.8.1 Mặt phẳng Ơclit là không gian afin hai chiều Trongnhững định lý sau đây về tam giác (đơn hình hai chiều), định lý nàothuộc hình học afin

a) Định lý: “Ba đường trung tuyến đồng qui.”

b) Định lý: “Ba đường phân giác đồng qui.”

c) Định lý: Mêhêlauýt “Nếu trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giácABC lấy ba điểm A0, B0, C0 thì điều kiện cần và đủ để A0, B0, C0 thẳnghàng là:

[ABC0] [BCA0] [CAB0] = 1.00

Hãy chứng minh định lý đó

Bài giải

a) Đây là định lý của hình học afin Vì trong hình học afin phẳng haitam giác bất kì là tương đương nên ta xét tam giác đều A1B1C1

Khi đó tồn tại f là phép biến đổi afin biếnA1 7→ A, B1 7→ B, C1 7→ C

Trong tam giác đều A1B1C1 ba đường trung tuyến đồng quy nên từ

f biến đổi afin kéo theo f biến ba đường trung tuyến của tam giác đều

A1B1C1 thành ba đường trung tuyến của tam giác ABC

Suy ra ba đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy

b) Cho ∆ABC không đều, ∆A1B1C1 là tam giác đều Phép biến đổiafin f của mặt phẳng biến:

c) Định lý Mêhêlauýt là định lý của hình học afin vì giả thiết và kếtluận của định lý chỉ phụ thuộc vào tỉ số đơn

+ Điều kiện cần: A1, B1, C1 thẳng hàng Từ A vẽ đường thẳng songsong với A1B1 cắt BC tại D Khi đó

[CAB1] = [CDA1] và [ABC1] = [DBA1]

⇒ [CAB1].[ABC1] = [CDA1].[DBA1]

= [CBA1] = 1

[BCA1]

⇒ [CAB1].[ABC1].[BCA1] = 1

+ Điều kiện đủ: Giả sử [BCA1].[ABC1].[CAB1] = 1, đường thẳng

A1B1 cắt AB tại C10 ta có

[BCA1].[CAB1].[ABC01] = 1 ⇒ C1 ≡ C01

Bài tập 1.8.2 Tìm điều kiện để hai tập hợp gồm bốn điểm trong khônggian afin An(n ≥ 3) tương đương afin

Bài giải

Cho hai bộ bốn điểm A, B, C, D và A0, B0, C0, D0

a) Nếu hai trong bốn điểm độc lập thì tương đương afin

b) Nếu hai bộ đó cùng không độc lập

+ Giả sử A, B, C và A0, B0, C0 là hai bộ độc lập, khi đó có phép biếnđổi afin

1.9 Siêu mặt bậc hai afin

Bài tập 1.9.1 Trong không gian afin An, siêu mặt bậc hai (S) gọi làsiêu trụ bậc hai nếu có thể tìm được một mục tiêu afin {O; −→e1, −→e

β là không gian véctơ con của −→

A sinh bởi các véctơ

−

→

β cũng nằm trên (S) Phẳng đó gọi là phẳng sinh của mặt trụ

b) Gọi α là cái phẳng qua O và có phương −→α sinh bởi các véctơ

xm = x0m

xm+1 = x0m+1 + t1

đó là siêu mặt bậc hai trong (α) gọi là (S0)

c) Với mục tiêu {O; −→e1, , −e→

Chứng minh rằng nếu (S) có điểm kì dị thì det ˜A = 0 Điều ngược lại

có đúng không? Tại sao?

Bài giải(S) có phương trình

Nên hạng eA = hạng Bbs = hạng B ≤ n suy ra detA = 0.e

Điều kiện trên là điều kiện cần không phải điều kiện đủ

Trong A2 cho đường (S) có phương trình x2 − a = 0(a > 0) có

và detA = 0e suy ra (S)có tâm I(0, b) và không có điểm kì dị vì I /∈ (S)

Bài tập 1.9.3 Tìm phương tiệm cận và đường tiệm cận của các siêumặt bậc hai sau đây:

không phải là đường tiệm cận của (S) (vì tâm I là điểm kì dị).

Bài tập 1.9.4 Trong A3 cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình:

x21 − 2x22 + x23 + 4x1x2 − 8x1x3 − 14x1 − 14x2 + 14x3 − 11 = 0

a) Tìm tâm của (S)

b) Cho phương −→v = (1, 2, 3). Chứng tỏ rằng −→v không phải là phương

tiệm cận của (S) Viết phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương

−

→v của (S).

c) Cho điểm M0(1, −1, 2) ∈ (S) Chứng tỏ rằng M0 không là điểm kì

dị của (S) Viết phương trình siêu tiếp diện của (S) tại điểm M0

Bài giải

a) (S) có

suy ra M0 không phải điểm kì

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M0(1, −1, 2) có phương trình

16x1 + 3x2 − 5x3 − 3 = 0

Bài tập 1.9.5 Xác định loại của mặt bậc hai trong A3

a) 2x21+ 12x1x2+ 16x22+ 5x1x3+ 12x2x3+ 2x23+ x1+ 4x2+ 2x3 = 0;b) x21 + 2x1x2 + x22 + x23 − 2x1 − 2x2 − 2x3 − 1 = 0

b) x21 + 2x1x2 + x22 + x23 − 2x1 − 2x2 − 2x3 − 1 = 0

⇔ [x1 + (x2 − 1)]2 + (x3 − 1)2 − 3 = 0 (2)Đổi tọa độ

A) là không gian afin, −→α là một không

gian véctơ con của −→

A Hai điểm M, N ∈ A gọi là tương đương nếu

−−→

M N ∈ −→α Đó là quan hệ tương đương Lớp tương đương chứa điểm M

kí hiệu là [M ] Tập hợp các lớp tương tương kí hiệu là A/−→α Kí hiệu

là không gian afin

Bài tập 1.10.2 Chứng minh rằng hệ m + 1 điểm M0, M1, , Mm của

K không gian afin A là độc lập khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì từhai đẳng thức

phương trình siêu phẳng đi qua n điểm đó có thể viết dưới dạng:

x1 x2 xn 1

c11 c12 c1n 1

c21 c22 c2n 1

b) Tìm điều kiện cần và đủ để phẳng α song song với phẳng β

Bài tập 1.10.5 Trong An cho m - phẳng α và (n - m) - phẳng β saocho α ∩ β là một điểm Chứng minh rằng

a) Có các phép chiếu song song

f :An −→ An theo phương −→

β mà f (An) = α,

g : An −→An theo phương −→α mà g(

An) = β.b) g ◦ f = f ◦ g = c (c: ánh xạ hằng, tức c biến mọi điểm của Anthành một điểm cố định nào đó của An)

Với mọi cặp điểm (X, Y ), X ∈ α, Y ∈ β, có một và chỉ một điểm

M ∈ An sao cho f (M ) = X, g(M ) = Y.

Bài tập 1.10.6 Cho biến đổi afin f của không gian afin An với n ≥ 2.Chứng minh rằng nếu f biến mỗi đường thẳng của An thành đường thẳngsong song với nó thì f là một phép tịnh tiến hoặc là một phép vị tự

Bài tập 1.10.7 Trong An cho siêu phẳng mặt bậc hai (S) xác định bởiphương trình: x21− x2

2− − x2

k+ x2k+1+ + x2n = 1(1 ≤ k < n) Chứngminh rằng:

a) Nếu k < n

2 thì (S) có chứa những m - phẳng với m ≤ k.

b) Nếu k ≤ n

2 thì (S) có chứa những m - phẳng với m ≤ n − k − 1.

Chương 2

Không gian Ơclit

Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơ bản sau:2.1 Không gian Ơclit: Không gian Ơclit là không gian afin liên kếtvới không gian véctơ Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ gọi là nchiều nếu không gian véctơ Ơclit liên kếtvới nó có chiều bằng n

Không gian Ơclit thường được kí hiệu là E, không gian véctơ Ơclitliên kết với nó được kí hiệu là −→

E 2.2 Mục tiêu trực chuẩn: Mục tiêu afin {−→e1, −→e

2, , −→e

n} của khônggian Ơclit n chiều En gọi là mục tiêu trực chuẩn(hay hệ tọa độ Đề cácvuông góc) nếu cơ sở ε = {−→e

1, −→e

2, , −→e

n} của −→

En là cơ sở trực chuẩn,tức là −→e