19 đề thi cao học (từ năm 1998 đến năm 2003)

19 đề thi cao học (từ năm 1998 đến năm 2003)

Môn Đại Số

Thời gian 180'

Câu 1 Cho (G, ã) là một nhóm hữu hạn Định nghĩa quan hệ ∼ trên G

bởi:

x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g −1 xg = y).

Với mỗi x ∈ G, đặt H x = {g ∈ G | g −1 xg = x} và O x = {g −1 xg | g ∈ G}.

a) Chứng tỏ ∼ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G.

b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A Chứng

tỏ rằng O1G = {1 G }, H x là một nhóm con của G và |G| = |H x | |O x | ,

với mọi x ∈ G.

c) Chứng tỏ nếu |G| = p n , với p là một số nguyên tố và n là số tự

nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g ∈ G sao cho gx = xg, ∀x ∈ G.

Câu 2 Giả sử Mn (R) là vành các ma trận vuông thực cấp n.

a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M n(R)

khi và chỉ khi det(A) = 0.

b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M n(R) mà mọi phần

tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0 Chứng minh rằng, N là một vành con của M n (R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của không trong N

c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái.

Câu 3 Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc

tr-ờng K Hạng của A ký hiệu là r A , đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất

của các định thức con khác 0 của A.

a) Chứng minh rằng, r A bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến

tính của A.

b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính

A





x1

x n



 =





b1

b n



 , b i ∈ K (∗).

1

Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5

Cho B là ma trận m hàng n + 1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm

cột





b1

b n



 vào thành cột cuối Chứng minh rằng, (∗) có nghiệm khi và chỉ khi r A = r B

Bài 4 Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức

của x với hệ số phức, f (x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V n+1

là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n Xét

ánh xạ:

ϕ : V −→ V

g 7−→ f g 0 − gf 0

trong đó f 0 , g 0 là các đạo hàm của f, g t-ơng ứng.

a) Chứng minh rằng, ϕ là phép biến đổi tuyến tính của V Tìm ker ϕ

và chứng tỏ rằng

ϕ(V r+1 ) = ϕ(V r ).

b) Tìm dim(ϕ(V r+1 )).

2

Môn Giải Tích

Thời gian 180'

Câu 1.

a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm

∞

X

n=1

1

n22n (x n + x −n)

trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là 1

2 ≤ |x| ≤ 2.

b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∞

X

n=1

( n

n + 1)

n2

x n

Câu 2 Cho C [a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

a) Đặt

d(x, y) = max

a≤t≤b |x(t) − y(t)| , x, y ∈ C [a,b]

Chứng minh rằng, d là một metric trên C[a,b] và với metric d, C[a,b] là một không gian đầy đủ

b) Đặt

ρ(x, y) =

Z b a

|x(t) − y(t)| dt, x, y ∈ C [a,b]

Chứng minh rằng, ρ là một metric trên C [a,b] và với metric đó C [a,b] là một không gian không đầy đủ

Câu 3.

a) Đặt

C0[0, 1] = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0}, trong đó C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với chuẩn "max" Chứng minh rằng, C0[0, 1] là không gian con đóng của

C [0,1] và

A : C0[0, 1] −→ C0[0, 1]

x 7−→ Ax

cho bëi

(Ax)(t) = 1

2[x(t

2

) + tx(1)], t ∈ [0, 1]

lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc TÝnh kAk

b) Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach vµ A : X −→ Y lµ mét to¸n

tö tuyÕn tÝnh BiÕt r»ng víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ , ta cã y ∗ ◦ A ∈ X ∗ Chøng minh

r»ng, A ∈ L(X, Y ).

C©u 4 Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert.

a) Gi¶ sö A ∈ L(H) lµ mét to¸n tö tù liªn hîp Chøng minh r»ng,

2 2, víi A = A ◦ A.

b) Cho (A n)n∈N ⊂ L(H) tháa m·n ®iÒu kiÖn

sup

n∈N

|hA n x, yi| < +∞

víi mäi x, y ∈ H Chøng minh r»ng, sup

n∈N

kAk < +∞.

4

Môn Đại Số

Thời gian 180'

Câu 1 Cho n là một số nguyên d-ơng với

n = p r1

1 p rh

h

trong đó p i là các số nguyên tố và r i > 1 Cho G là một nhóm giao hoán

(với phần tử đơn vị e) có n phần tử Giả sử tính chất (∗) sau đây đ-ợc

thỏa mãn:

"Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x ∈ G | x d = e} có nhiều nhất d phần tử."

Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 ≤ i ≤ h, tồn tại a i ∈ G thỏa mãn a prii

và a pri−1i

i 6= e Suy ra a i có bậc là p ri

i

Câu 2 Cho A là vành giao hoán, có đơn vị Đặt

R = {I | I là idean cực đại của A},

N = \

I∈R

I.

Chứng tỏ:

a) Với mỗi idean I của A, I ∈ R khi và chỉ khi A/I là một tr-ờng b) N = {x ∈ A | ∀y ∈ A, ∃z ∈ A, (1 − xy)z = 1}.

c) Giả sử A có tính chất: ∀x ∈ A, ∃n > 1 thuộc N sao cho x n = x Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại.

Câu 3 Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào

tr-ờng K Chứng tỏ:

rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.

Câu 4 Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có

đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E Với mỗi không gian con U của E, đặt U ⊥ = {x ∈ E | f (x, y) = 0, ∀y ∈ U };

U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f (x, x) = 0, ∀x ∈ U Không

gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác

a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi

và chỉ khi U ⊂ U ⊥

b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng Chứng tỏ rằng với mọi x ∈ U ∩ V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng.

c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại Suy ra các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều

6

Môn Đại Số

Thời gian 180'

Câu 1 Ký hiệu GL(n, R n) là nhóm nhân các ma trận thực không suy

biến cấp n Chứng tỏ:

a) Tập hợp SL(n, R n ) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R n ).

b) ánh xạ

f : GL(n, R n ) −→ R ∗

A 7−→ det(A)

từ nhóm GL(n, R n) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu

Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R n )/SL(n, R n) đẳng cấu với nhóm R∗

Câu 2 Cho R = Zp [x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số

trong tr-ờng Zp các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố Xét

f ∈ R với:

f = 1 + [x p−1 + (x + 1) p−1 + ã ã ã + (x + p − 1) p−1 ].

a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Zp là nghiệm của ph-ơng trình

f (x) = 0 Do đó f = 0.

b) Suy ra công thức sau:

1k + ã ã ã + (p − 2) k + (p − 1) k ≡

(

0 mod(p) nếu k 6≡ 0 mod(p − 1),

−1 mod(p) nếu k ≡ 0 mod(p − 1).

Câu 3 Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng

K Chứng tỏ:

|rank(A) − rank(B)| ≤ rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B).

Câu 4 Cho V là một không gian vector thực Tập D đ-ợc gọi là một

đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x0 , với W là một không gian

vector con của V và x0 ∈ V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của

D Chứng tỏ rằng

a) Víi x0 , x1, , x n lµ mét hÖ vector cho tr-íc trong V th× tËp hîp

D = {x = a0x0+ a1x1+ · · · + a n x n | a0+ a1+ · · · + a n = 1}

lµ mét ®a t¹p tuyÕn tÝnh cña V chøa c¸c vector x0 , x1, , x n

b) TËp hîp c¸c nghiÖm cña mét hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh t-¬ng thÝch

n Èn h¹ng r víi hÖ tö thuéc tr-êng sè thùc R lËp thµnh mét ®a t¹p tuyÕn

tÝnh cã sè chiÒu lµ n − r trong kh«ng gian vector R n

8

Môn Giải Tích

Thời gian 180'

Câu 1 Cho (X, d) là một không gian metric Ta đặt

ρ(x, y) = d(x, y)

1 + d(x.y) , x, y ∈ X.

Hãy chứng minh:

a) (X, ρ) là một không gian metric.

b) Không gian (X, ρ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ.

c) Cho A là một tập compact trong (X, d) Chứng minh rằng, A cũng

là một tập compact trong (X, ρ).

Câu 2 Cho f ≥ 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A Với mỗi n ∈ N ta đặt

f n (x) =

(

f (x) nếu f (x) < n

n nếu f (x) ≥ n.

Chứng minh lim

n→∞

R

A f n dà = R

A f dà.

Câu 3 Ký hiệu X = C [0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn ” max ” a) Giả sử x ∈ X, với mỗi n ∈ N ta đặt

x n (t) = x(t1+n1), ∀t ∈ [0, 1].

Chứng minh rằng, dãy (x n)n hội tụ về hàm x trong X.

b) Đặt A : X −→ X cho bởi công thức x 7−→ Ax, (Ax)(t) = x(0) −

tx(t), với mọi t ∈ [0, 1] Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính kAk

Câu 4 Cho X là một không gian định chuẩn và f ∈ X ∗ , f 6= 0 Ký

hiệu α = inf{kxk : x ∈ X, f (x) = 1} Chứng minh rằng, kf k = 1

α .

Câu 5 Cho H là một không gian Hilbert với {en , n ∈ N} là một cơ sở

trực chuẩn của H.

Đặt A : H −→ H xác định bởi

∀x ∈ H, Ax =

∞

X

n=1

hx, e n+1 i e n

Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục Tìm kAk và xác định toán tử liên hợp A ∗

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001

Môn Giải Tích

Thời gian 180'

Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây:

∞

P

n=1

ln(1+n)

nα , α > 1.

2) Cho f : R −→ R là hàm số xác định bởi:

f =







0, nếu x / ∈ (0, 1],

√

n, nếu x ∈ ( 1

n + 1 ,

1

n ], với n ∈ N.

Tính R

Rf dà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue

trên R.

Câu 2 Cho X là một không gian metric compact và f : X −→ X là

một ánh xạ liên tục Giả sử (K n) là một dãy giảm các tập đóng không

rỗng của X.

Chứng minh rằng, f (

∞

T

n=1

K n) =

∞

T

n=1

f (K n ).

Câu 3 Ký hiệu C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên

[0, 1] với chuẩn ” max ” Đặt

M = {x ∈ C [0,1] : x(0) = 0, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}.

1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C[0,1]

2) Xét hàm số f : C[0,1] −→ R xác định bởi công thức f (x) =

R1

0 x2(t)dt Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt

đ-ợc giá trị bé nhất trên M.

Câu 4 Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X −→ R là

một phiếm hàm tuyến tính Chứng minh rằng, f ∈ X ∗ khi và chỉ khi tập

M = {x ∈ X : f (x) ≥ 1} là một tập đóng trong X.

Câu 5 Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {en , : n ∈ N}

và X là một không gian Banach Giả sử A ∈ L(H, X) sao cho

∞

P

n=1

kAe n k2 <

10

P

k=1

hx, e k i Ae k , ∀x ∈ H Chøng tá r»ng

a) Víi mäi n ∈ N, A n lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc

b) A n −→ A trong kh«ng gian L(H, X) vµ tõ ®©y suy ra A lµ mét

to¸n tö compact

Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001

Môn Đại Số

Thời gian 180'

Câu 1 Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1, k2, k3) Chứng minh rằng,

a) G là một nhóm với phép toán

(k1 , k2, k3).(l1, l2, l3) = (k1+(−1)k3l1, k2+l2, k3+l3), ∀k1, k2, k3, l1, l2, l3 ∈ Z b) Nhóm con cyclic H sinh bởi phần tử (1, 0, 0) là -ớc chuẩn tắc trong

G.

c) Nhóm th-ơng G/H đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Gauss

Z[i] = 

a + bi | a, b ∈ Z, i2 = −1

.

Câu 2 Cho R là vành hữu hạn phần tử Xác định các đồng cấu vành từ

R vào vành các số nguyên Z.

Câu 3 Cho n ∈ N (n ≥ 2) và K là một tr-ờng Gọi Mn(K) là không

gian vector các ma trận vuông cấp n trên K Ta định nghĩa vết của ma trận vuông A ∈ M n (K) (ký hiệu Tr(A)) là tổng các phần tử nằm trên

đ-ờng chéo chính của A Chứng minh rằng,

a) Với mọi A ∈ M n (K), ánh xạ θ A : M n (K) −→ K xác định bởi

θ A (X) = Tr(AX), ∀X ∈ M n(K)

là một phần tử của không gian đối ngẫu (M n(K))∗

b) ánh xạ

θ : M n (K) −→ (M n(K))∗

A 7−→ θ A

là một đẳng cấu giữa các không gian vector

Câu 4 Cho ϕ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector

n-chiều V vào không gian vector m-chiều W Chứng minh rằng,

a) Nếu U là một không gian vector con k-chiều của V sao cho U ∩ker ϕ

là không gian con p-chiều thì dim ϕ(U ) = k − p.

b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T ∩ Im(ϕ) là không gian con r-chiều thì dim ϕ −1 (T ) = n + r − rank(A).

12

Môn Đại Số

Thời gian 180'

Câu 1.

a) Tồn tại hay không một thể (K, +, ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K, +) và (K ∗ , ì), với K ∗ = K \ {0} , đẳng cấu với nhau? b) Cho A = Z[i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên, và I là tập con của A gồm các số phức c + di, với c, d là bội của 3 Chứng minh rằng, I là một idean của A và vành th-ơng A/I là

một tr-ờng gồm 9 phần tử

Câu 2 Cho G = R ∗ ì R và ◦ là phép toán trong G xác định bởi

(x, y) ◦ (x 0 , y 0 ) = (xx 0 , xy 0 + y

x 0 ),

với R∗ = R \ {0}

1 Chứng minh rằng, (G, ◦) là một nhóm Chỉ ra nhóm tâm của G.

2 Chứng minh rằng, với bất kỳ k ∈ R, tập hợp

H k =



(x, k(x − 1

x )) : x ∈ R

∗



là một nhóm con giao hoán của G.

Câu 3.

1 Cho A, B là các ma trận vuông cấp n với hệ tử trong tr-ờng K.

Chứng tỏ

rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}

2 Chứng minh rằng, công thức trên vẫn còn đúng khi A, B là các ma trận chữ nhật với n là số cột của A và cũng là số hàng của B.

Câu 4. Cho f là một dạng song tuyến tính trên không gian vector thực n-chiều V và U = {a1 , a2, , a n } là một cơ sở của V Gọi L là

không gian con của V sinh bởi a1 , a2, , a k (với 1 ≤ k < n) và đặt

L ⊥ = {y ∈ V | f (x, y) = 0, ∀x ∈ L}

1 Cho B là ma trận biểu diễn f theo cơ sở U Chứng tỏ rằng, nếu y = (y1 , y2, , y n ) ∈ V theo cơ sở U thì y ∈ L ⊥ khi và chỉ khi

y1, y2, , y n là nghiệm của hệ ph-ơng trình

A











y1

y2

y n









 = 0

với A ∈ M kìn (R) là ma trận nhận đ-ợc từ B bằng cách bỏ n − k hàng cuối cùng của B.

2 f đ-ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một cơ sở nào đó của V, là không suy biến Chứng tỏ nếu f không suy biến thì dim L ⊥ = n − k.

14

Môn Giải Tích

Thời gian 180'

Câu 1.

1 Cho (x n)n là một dãy tăng, bị chặn trên và x n > 0 với mọi n ∈ N ∗

Chứng minh rằng, chuỗi số

∞

P

n=1

(1 − xn

xn+1) hội tụ

2 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa:

∞

P

n=1

x2n

2n−1

Câu 2. Cho (X, d X ), (Y, d Y ) là hai không gian metric, trong đó X compact Ký hiệu C(X, Y ) là tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y.

1 Giả sử f, g ∈ C(X, Y ), đặt ϕ(x) = d Y (f (x), g(x)) Chứng minh rằng, ϕ(x) là một hàm liên tục trên X.

2 Với f, g ∈ C(X, Y ), đặt d(f, g) = max

x∈X ϕ(x) Chứng minh rằng, C(X, Y ) là một không gian metric Hơn nữa, C(X, Y ) là không gian đầy

đủ khi và chỉ khi Y đầy đủ.

Bài 3 Cho X là một không gian metric đầy đủ và ϕ là ánh xạ liên tục

bị chặn từ X ì R vào R Giả sử tồn tại λ ∈ (0, 1) sao cho

∀x ∈ X, ∀y1, y2 ∈ R : |ϕ(x, y1) − ϕ(x, y2)| ≤ λ |y1− y2|

Chứng minh rằng, tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục u từ X vào R sao

cho

u(x) = ϕ(x, u(x)), ∀x ∈ X.

Câu 4.

1 Cho X là một không gian định chuẩn và M là một tập con của X Giả sử với mọi f ∈ X ∗ ta có sup

x∈M

|f (x)| < +∞ Chứng minh rằng, M là

một tập bị chặn trong X.

2 Cho X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, (A n)n

là một dãy toán tử tuyến tính liên tục trong không gian L(X, Y ) Chứng minh rằng, nếu với mọi x ∈ X, (A n x) n là một dãy cơ bản trong Y thì

sup

n∈N∗

kA n k < +∞.

Câu 5 Cho {en , n ∈ N} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H và (λ n)n là một dãy số bị chặn

1 Chøng minh r»ng, víi mäi x ∈ H, chuçi

∞

P

n=1

λ n hx, e n i e n héi tô

trong H.

2 §Æt Ax =

∞

P

n=1

λ n hx, e n i e n víi mäi x ∈ H Chøng minh r»ng, A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H TÝnh kAk

16

Môn Giải Tích

Thời gian 180'

Câu 1 Cho A là một tập đo đ-ợc và f, g : A −→ R là các hàm khả

tích trên A Với mỗi n ∈ N ta đặt A n = {x ∈ A | n ≤ |f (x)| < n + 1}

và B n = {x ∈ A | |f (x)| ≥ n} Chứng minh rằng

a) lim

n→∞

R

Angdà = 0,

b)

∞

P

n=1

nàA n < +∞,

c) lim

n→∞ nàB n = 0.

Câu 2.

a) Cho A là một tập con trong không gian metric X và x ∈ X là một

điểm dính của A Giả sử x / ∈ A Chứng minh A là một tập vô hạn Suy

ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng.

b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X −→ Y là một toán

ánh liên tục từ X lên Y Cho A ⊂ X sao cho A = X Chứng minh rằng

f (A) = Y.

Câu 3 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các

giá trị của A.

a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Chứng minh rằng, nếu tồn tại số m > 0 sao cho kAxk ≥ m kxk với mọi x ∈ X thì R(A) là một không gian con đóng của Y.

b) Giả sử X, Y là các không gian Banach và R(A) là tập đóng trong

Y Chứng minh rằng, tồn tại số m > 0 sao cho với mỗi y ∈ R(A), tồn

tại x ∈ X để y = Ax và kyk ≥ m kxk

Câu 4 Ký hiệu H là không gian Hilbert.

a) Giả sử A là không gian con 1-chiều của H và a là một phần tử khác 0 của A Chứng minh rằng, với mọi x ∈ H ta có

d(x, A ⊥) = inf

kx − uk , u ∈ A ⊥

= |hx, ai|

kak .

b) Cho M ⊂ H sao cho không gian con sinh bởi M trù mật trong H Chứng minh rằng, nếu x ∈ H và x⊥M thì x = 0.