thuˆo.c v`ao ma trˆa.n Q... X´et vector thˇa.ng du.
Trang 1Hay tu.o.ng d¯u.o.ng
W−1ˆf = ( ¯DD + γA−1B)−1DW¯ −1g.
T`u ´y ngh˜ıa cu˙’a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a ma trˆa.n A v`a B ta thˆa´y rˇa`ng c´ac ma trˆa.n bˆen trong
dˆa´u ngoˇa.c c´o da.ng d¯u.`o.ng ch´eo v`a do d¯´o c´o thˆe˙’ ´ap du.ng c´ac kˆe´t qua˙’ Phˆa`n 5.2.3 d¯ˆe˙’ viˆe´t la.i du.´o.i da.ng (gia˙’ thiˆe´t M = N)
ˆ
F (u, v) =
H(u, v)
|H(u, v)|2+ γ[S η (u, v)/S f (u, v)]
G(u, v)
=
1
H(u, v)
|H(u, v)|2
|H(u, v)|2+ γ[S η (u, v)/S f (u, v)]
G(u, v)
(5.22)
v´o.i u, v = 0, 1, , N − 1, trong d¯´o |H(u, v)|2 = ¯H(u, v)H(u, v).
Khi γ = 1 sˆ o´ ha.ng trong dˆa´u ngoˇa.c ngo`ai c`ung go.i l`a lo.c Wiener Nˆe´u coi γ l`a
biˆe´n d¯iˆ` u khiˆe˙’n th`ı biˆe˙’u th´e u.c n`ay go.i l`a lo.c tham sˆo´ Wiener Trong tru.`o.ng ho p khˆong c´o nhiˆe˜u th`ı S η (u, v) = 0 v`a lo.c Wiener ch´ınh l`a lo.c ngu.o c l´y tu.o.˙’ng x´et trong Phˆa`n 5.4 Tuy nhiˆen khi γ = 1 th`ı Phu.o.ng tr`ınh (5.22) c´o thˆe˙’ khˆong pha˙’i l`a l`o.i gia˙’i tˆo´i u.u theo ngh˜ıa trong Phˆ` n 5.3.2 do γ chu.a chˇa a´c d¯˜a thoa˙’ m˜an r`ang buˆo.c kg − Hˆfk2= knk2.
Tuy nhiˆen c´o thˆe˙’ ch´u.ng minh rˇa`ng l`o.i gia˙’i v´o.i γ = 1 l`a tˆo´i u.u theo ngh˜ıa cu. c tiˆe˙’u ho´a h`am E{[f (x, y) − ˆ f (x, y)]2} Hiˆe˙’n nhiˆen d¯ˆay l`a tiˆeu chuˆa˙’n thˆo´ng kˆe trong d¯´o coi f v`a ˆ
f l`a c´ac d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen
Trong tru.`o.ng ho. p S η (u, v) v` a S f (u, v) chu.a biˆe´t (b`ai to´an thu.`o.ng gˇa.p trong thu c.
tˆe´) ta thu.`o.ng d`ung xˆa´p xı˙’
ˆ
F (u, v) '
1
H(u, v)
|H(u, v)|2
|H(u, v)|2+ K
G(u, v)
trong d¯´o K l`a hˇa`ng sˆo´ n`ao d¯´o B`ai to´an cho.n γ sao cho tˆo´i u.u trong phu.c hˆo`i a˙’nh s˜e x´et trong Phˆ` n 5.6.a
5.6 Khˆ oi phu c b`ınh phu o.ng tˆo´i thiˆe˙’u c´o d¯iˆe ` u kiˆ e.n
Phu.o.ng ph´ap b`ınh phu.o.ng tˆo´i thiˆe˙’u trong phˆ` n tru.´a o.c l`a mˆo.t thu˙’ tu.c thˆo´ng kˆe do tiˆeu chuˆa˙’n tˆo´i u.u du. a trˆen c´ac ma trˆa.n tu.o.ng quan cu˙’a a˙’nh v`a h`am nhiˆe˜u D- iˆe` u n`ay chı˙’ ra
rˇa`ng c´ac kˆe´t qua˙’ nhˆa.n d¯u.o c bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng lo.c Weiner l`a tˆo´i u.u theo ngh˜ıa trung b`ınh Mˇa.t kh´ac, phu.c hˆo`i a˙’nh trong phˆ` n n`a ay l`a tˆo´i u.u d¯ˆo´i v´o.i mˆo˜i a˙’nh cho tru.´o.c v`a
chı˙’ cˆ` n biˆe´t tru.´a o.c vˆ` nhiˆee ˜u trung b`ınh v`a phu.o.ng sai Ngo`ai ra, ch´ung ta c˜ung kha˙’o s´at b`ai to´an thay d¯ˆo˙’i tham sˆo´ γ sao cho r`ang buˆo.c (5.13) thoa˙’ m˜an
Trang 2Nhu chı˙’ ra trong Phˆ` n 5.3.2, l`a o.i gia˙’i cu˙’a b`ai to´an phu.c hˆo`i a˙’nh nhˆa.n d¯u.o c su.˙’
du.ng (5.13) phu thuˆo.c v`ao ma trˆa.n Q V`ı vˆa.y, trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho p a˙’nh bi nho`e
do nghiˆe.m cu˙’a b`ai to´an khˆong ˆo˙’n d¯i.nh khi thay d¯ˆo˙’i c´ac gi´a tri cu˙’a ma trˆa.n Q Do d¯´o
vˆa´n d¯ˆ` quan tˆe am l`a nghiˆen c´u.u t´ınh chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c cu˙’a viˆe.c cho.n ma trˆa.n Q sao cho
nh˜u.ng a˙’nh hu.o.˙’ ng xˆa´u l`a ´ıt nhˆa´t Ta c´o thˆe˙’ ph´at biˆe˙’u mˆo.t tiˆeu chuˆa˙’n tˆo´i u.u du a trˆen
d¯ˆo d¯o cu˙’a t´ınh tro.n chˇa˙’ng ha.n nhu.: cu c tiˆe˙’u ho´a phiˆe´m h`am n`ao d¯´o phu thuˆo.c v`ao c´ac d¯a.o h`am riˆeng bˆa.c hai Tru.´o.c hˆe´t ch´ung ta x´et tru.`o.ng ho p mˆo.t chiˆe`u
V´o.i h`am r`o.i ra.c f(x), x = 0, 1, , d¯a.o h`am bˆa.c hai ta.i x c´o thˆe˙’ xˆa´p xı˙’ bˇa`ng
∂2f (x)
∂x2 ' f (x + 1) − 2f (x) + f (x − 1).
Khi d¯´o, tiˆeu chuˆa˙’n du. a trˆen biˆe˙’u th´u.c n`ay l`a cu. c tiˆe˙’u ho´a biˆe˙’u th´u.c [∂2∂x f (x)2 ]2; t´u.c l`a
X
x
[f (x + 1) − 2f (x) + f (x − 1)]2 −→ min
Hay du.´o.i da.ng ma trˆa.n, cu c tiˆ. e˙’u ho´a phiˆe´m h`am
ftCtCf −→ min
trong d¯´o
C =
1
1 −2 1
1 −2 1
l`a ma trˆa.n “tro.n” v`a f l`a vector m`a c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a n´o l`a c´ac gi´a tri f(x).
Tu.o.ng tu. , trong tru.`o.ng ho p 2D, ta cˆa`n cu c tiˆe˙’u ho´a phiˆe´m h`am
∂2f (x, y)
∂x2 +∂
2
f (x, y)
∂y2
2
trong d¯´o to´an tu.˙’ Laplace d¯u.o. c xˆa´p xı˙’ bo.˙’ i
∂2f
∂x2 + ∂
2
f
∂y2 ' [2f (x, y) − f (x + 1, y) − f (x − 1, y)] +
[2f (x, y) − f (x, y + 1) − f (x, y − 1)]
' 4f (x, y) − [f (x + 1, y) + f (x − 1, y)+
f (x, y + 1) + f (x, y − 1)]
Trang 3Ta c´o thˆe˙’ su.˙’ du.ng cˆong th´u.c trˆen d¯ˆe˙’ t´ınh to´an tu.˙’ Laplace Tuy nhiˆen c˜ung c´o thˆe˙’ t´ınh biˆe˙’u th´u.c n`ay bˇa`ng c´ach t´ıch chˆa.p h`am a˙’nh f(x, y) v´o.i to´an tu.˙’
p(x, y) :=
Nhu chı˙’ ra trong Phˆ` n 5.1.3, lˆa o˜i phu˙’ trong t´ıch chˆa.p r`o.i ra.c c´o thˆe˙’ khˇa´c phu.c bˇa`ng c´ach th´ac triˆe˙’n c´ac h`am f (x, y) v` a p(x, y) Tu.o.ng tu. nhu c´ach x´ac d¯i.nh f e ta c´o th´ac triˆe˙’n sau
pe (x, y) :=
p(x, y) nˆe´u (x, y) ∈ [0, 2] × [0, 2],
0 nˆe´u x ∈ [3, M − 1] hoˇa.c y ∈ [3, N − 1].
Nˆe´u f (x, y) c´o k´ıch thu.´o.c A × B ta cho.n M ≥ A + 3 − 1 v`a N ≥ B + 3 − 1 do p(x, y)
c´o k´ıch thu.´o.c 3 × 3.
Khi d¯´o t´ıch chˆa.p
ge (x, y) =
M −1X
m=0
N −1X
n=0
fe (m, n)p e (x − m, y − n)
tr`ung v´o.i (5.4)
Tu.o.ng tu. v´o.i l´y luˆa.n trong Phˆa` n 5.1.3, ta c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n tiˆeu chuˆa˙’n d¯ˆo tro.n o.˙’ da.ng ma trˆa.n D- ˆa` u tiˆen, x´et ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh
C =
C0 CM −1 CM −2 C1
CM −1 CM −2 CM −3 C0
,
trong d¯´o Cj l`a ma trˆa.n chu tr`ınh cˆa´p N × N x´ac d¯i.nh bo˙’ i.
Cj :=
pe (j, 0) pe (j, N − 1) p e (j, N − 2) p e (j, 1)
pe (j, 1) pe (j, 0) pe (j, N − 1) p e (j, 2)
pe (j, 2) pe (j, 1) pe (j, 0) pe (j, 3)
pe (j, N − 1) p e (j, N − 2) p e (j, N − 3) p e (j, 0)
.
Trang 4V`ı C l`a ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh nˆen c´o thˆe˙’ ch´eo ho´a bˇa`ng ma trˆa.n W trong Phˆa` n 5.2.2 N´oi c´ach kh´ac
trong d¯´o E l`a ma trˆa.n d¯u.`o.ng ch´eo c´o c´ac phˆa`n tu.˙’
E(k, j) =
P k
N
, k mod N
nˆe´u k = j,
Trong tru.`o.ng ho. p n`ay P (u, v) l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a p e (x, y) Ch´u ´y rˇa`ng, c´ac phˆa` n
tu.˙’ P (u, v) d¯˜a d¯u.o. c chia cho M N (xem d¯oa.n cuˆo´i cu˙’a Phˆa` n 5.2.3)
Do d¯´o tiˆeu chuˆa˙’n l`am tro.n a˙’nh cu˙’a (5.23) c´o da.ng
ftCt Cf → min,
trong d¯´o vector f ∈ RM N , C l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p MN D- ˇa.t Q = C v`a ch´u ´y rˇa`ng
kQfk2 = hQf, Qfi = f tQQf
ta d¯u.a d¯ˆe´n cu. c tiˆe˙’u ho´a phiˆe´m h`am c´o da.ng trong Phˆa` n 5.3.2:
kQfk2 → min
Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u d¯`oi ho˙’i
kg − Hˆfk2 = knk2
th`ı nghiˆe.m tˆo´i u.u cho trong (5.13) v´o.i Q = C l`a
ˆf = (Ht
H + γC tC)−1Ht g.
Hay tu.o.ng d¯u.o.ng (do (5.7) v`a (5.24))
ˆf = (W ¯ DDW−1+ γW ¯EEW−1)−1W ¯ DW−1g.
Suy ra
W−1ˆf = ( ¯DD + γ ¯EE)−1DW¯ −1g. (5.25) Ch´u ´y rˇa`ng c´ac phˆa` n tu.˙’ bˆen trong dˆa´u ngoˇa.c c´o da.ng d¯u.`o.ng ch´eo v`a su.˙’ du.ng kh´ai niˆe.m trong Phˆa` n 5.2.3 ta c´o thˆe˙’ viˆe´t
ˆ
F (u, v) =
H(u, v)
|H(u, v)|2+ γ|P (u, v)|2
Trang 5
v´o.i u, v = 0, 1, , N − 1 Nhˆa.n x´et rˇa`ng (5.26) tu.o.ng tu v´o.i lo.c tham sˆo´ Wiener trong Phˆ` n 5.5 Kh´a ac nhau chu˙’ yˆe´u l`a kˆe´t qua˙’ sau n`ay khˆong yˆeu cˆ` u hiˆe˙’u biˆe´t tu.`a o.ng minh c´ac tham sˆo´ thˆo´ng kˆe ngoa.i tr`u mˆo.t u.´o.c lu.o ng nhiˆe˜u trung b`ınh v`a phu.o.ng sai Tru.`o.ng ho. p tˆo˙’ng qu´at, Phu.o.ng tr`ınh (5.13) yˆeu cˆ` u tham sˆa o´ γ thoa˙’ m˜an r`ang buˆo.c kg − Hˆfk2 = knk2 V`ı vˆa.y nghiˆe.m cu˙’a phu.o.ng tr`ınh (5.26) chı˙’ tˆo´i u.u nˆe´u γ thoa˙’
m˜an r`ang buˆo.c n`ay Thuˆa.t to´an lˇa.p du.´o.i d¯ˆay d`ung x´ac d¯i.nh tham sˆo´ n`ay X´et vector thˇa.ng du.
Thay ˆf ta d¯u.o. c
r = g − H(Ht H + γC tC)−1Ht g.
Nhu vˆa.y c´o thˆe˙’ coi r l`a h`am cu˙’a γ Thˆa.t vˆa.y, c´o thˆe˙’ ch´u.ng minh rˇa`ng
Φ(γ) = hr, ri
l`a h`am sˆo´ d¯o.n d¯iˆe.u tˇang theo γ Ta cˆa` n d¯iˆe` u chı˙’nh γ sao cho
krk2 = knk2± a,
trong d¯´o a l`a hˆe sˆo´ d¯o d¯ˆo ch´ınh x´ac Hiˆe˙’n nhiˆen, nˆe´u krk2 = knk2 th`ı d¯iˆ` u kiˆe.ne
kg − Hˆfk2 = knk2 s˜e thoa˙’ m˜an
V`ı Φ(γ) d¯o.n d¯iˆe.u, nˆen ta c´o thˆe˙’ dˆe˜ d`ang x´ac d¯i.nh γ thoa˙’ Phu.o.ng tr`ınh (5.25) theo c´ac bu.´o.c sau:
Bu.´ o.c 1 Cho tru.´o.c gi´a tri ban d¯ˆa` u γ;
Bu.´ o.c 2 T´ınh ˆf v`a krk2; v`a
Bu.´ o.c 3 D`u.ng nˆe´u (??) thoa˙’ m˜an; ngu.o. c la.i tˇang γ nˆe´u krk2 < knk2− a hoˇa.c gia˙’m
γ nˆe´u krk2 > knk2− a.
Ta c´o thˆe˙’ ´ap du.ng nh˜u.ng phu.o.ng ph´ap kh´ac t`ım γ, chˇa˙’ng ha.n thuˆa.t to´an
Newton-Raphson, d¯ˆe˙’ ca˙’i thiˆe.n tˆo´c d¯ˆo hˆo.i tu
D- ˆe˙’ thu c hiˆe.n c´ac t´ınh to´an, ta cˆa`n mˆo.t v`ai thˆong tin vˆe` knk2
Phu.o.ng sai cu˙’a
ηe (x, y) l`a
σ2e = E{[η e (x, y) − ¯ ηe]2}
= E[η2e (x, y)] − ¯ η e2,