Xử lý ảnh số - Khôi phục ảnh part 3 ppt

riˆeng cu˙’a ma trˆa.n chu tr`ınh H.

l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c cu˙’a f e (x) Tu.o.ng tu. , W g l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a g v`a k´y hiˆe.u l`a G(k), k = 0, 1, , M − 1.

Bˆay gi`o x´et ma trˆa.n biˆe´n d¯ˆo˙’i D trong (5.8) Ta biˆe´t rˇa`ng (xem Phˆa` n 5.2.1), c´ac phˆ` n tu.a ˙’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh cu˙’a D ch´ınh l`a c´ac gi´a tri riˆeng cu˙’a ma trˆa.n chu tr`ınh

H Nhu.ng

exp



2πi

M (M − j)k



= exp



−2πi

M jk



.

Do d¯´o ta c´o thˆe˙’ viˆe´t

λ(k) =

M −1X

j=0

h e (j) exp



−2πi

M jk



.

Vˆa.y

D(k, k) = λ(k)

v´o.i k = 0, 1, , M − 1 Vˆe´ pha˙’i cu˙’a phu.o.ng tr`ınh n`ay ch´ınh l`a M H(k), trong d¯´o H(k)

l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c cu˙’a h`am th´ac triˆe˙’n h e (x) :

H(k) :=

M −1X

j=0

h e (j) exp



−2πi

M kj



, k = 0, 1, , M − 1.

Do d¯´o

D(k, k) = M H(k).

Vˆa.y Phu.o.ng tr`ınh (5.8) c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i

G(k) = M H(k)F (k),

v´o.i k = 0, 1, , M −1, trong d¯´o G(k) l`a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a vector W−1

g v`a M H(k)F (k)

l`a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a vector cˆo.t DW−1f Vˆe´ pha˙’i cu˙’a phu.o.ng tr`ınh trˆen l`a t´ıch chˆa.p cu˙’a

f e (x) v´ o.i h e (x) trong miˆ` n tˆe ` n sˆa o´ Kˆe´t qua˙’ n`ay chı˙’ ra rˇa`ng c´o thˆe˙’ gia˙’m khˆo´i lu.o. ng t´ınh to´an do G(k), H(k) v` a F (k) l`a c´ac biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c d¯u.o c x´ac d¯i.nh bˇa`ng thuˆa.t to´an FFT

Ta c´o thuˆa.t to´an tu.o.ng tu cho mˆo h`ınh suy gia˙’m chˆa´t lu.o ng 2D nhu sau T`u (5.5), ta c´o

W−1g = DW−1f + W−1n, (5.9) trong d¯´o W−1 l`a ma trˆa.n cˆa´p MN × MN; D l`a ma trˆa.n d¯u `o.ng ch´eo cˆa´p MN ×

M N ; H l`a ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh cˆa´p MN × MN; f v`a g l`a c´ac vector trong

RM N x´ac d¯i.nh bˇa`ng c´ach xˆe´p c´ac h`ang cu˙’a f e (x, y) v` a g e (x, y) tu.o.ng ´u.ng (xem Phˆ` n 5.2.2) Vˆe´ tr´a ai cu˙’a (5.9) l`a vector cˆo.t k´ıch thu.´o.c MN K´y hiˆe.u c´ac phˆa`n tu.˙’

cu˙’a n´o l`a G(0, 0), G(0, 1), , G(0, N − 1); G(1, 0), G(1, 1), , G(1, N − 1); ; G(M −

1, 0), G(M − 1, 1), , G(M − 1, N − 1) C´o thˆe˙’ ch´u.ng minh rˇa`ng

G(u, v) = 1

M N

M −1X

x=0

N −1

X

y=0

g e (x, y) exph

−2πi ux

vy N

i

,

v´o.i u = 0, 1, , M − 1, v = 0, 1, , N − 1 N´oi c´ach kh´ac G(u, v) ch´ınh l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier 2D r`o.i ra.c cu˙’a g e (x, y) Tu.o.ng tu. c´ac vector W−1f v` a W−1n c´o c´ac phˆ` n tu.a ˙’ tu.o.ng ´u.ng l`a

F (u, v) = 1

M N

M −1X

x=0

N −1X

y=0

f e (x, y) exph

−2πi ux

vy N

i

v`a

N (u, v) = 1

M N

M −1X

x=0

N −1X

y=0

η e (x, y) exph

−2πi ux

vy N

i

,

v´o.i u = 0, 1, , M − 1, v = 0, 1, , N − 1.

Cuˆo´i c`ung,

H(u, v) = 1

M N

M −1X

x=0

N −1X

y=0

h e (x, y) exph

−2πi ux

vy N

i

v`a ma trˆa.n d¯u.`o.ng ch´eo D c´o c´ac phˆa`n tu.˙’ x´ac d¯i.nh bo.˙’i

D(k, j) =







M N H k

N



, k mod N

nˆ k = j,

Phu.o.ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i da.ng

G(u, v) = M N H(u, v)F (u, v) + N (u, v) (5.10) trong d¯´o u = 0, 1, , M − 1, v` a v = 0, 1, , N − 1.

Sˆo´ ha.ng MN trong phu.o.ng tr`ınh (5.10) l`a hˆe sˆo´ vˆo hu.´o.ng, do d¯´o d¯ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n c´o thˆe˙’ chuyˆe˙’n v`ao H(u, v) Khi d¯´o

D(k, j) =







H k

N



, k mod N

nˆe´u k = j,

v´o.i k, j = 0, 1, , M N − 1, v`a

G(u, v) = H(u, v)F (u, v) + N (u, v) (5.11)

trong d¯´o u = 0, 1, , M − 1, v = 0, 1, , N − 1, v`a h`am H(u, v) d¯u.o. c nhˆan v´o.i hˆe sˆo´

M N.

Phu.o.ng tr`ınh (5.10) (hay (5.11)) chı˙’ ra rˇa`ng hˆe MN × MN phu.o.ng tr`ınh (5.5)

c´o thˆe˙’ d¯u.a vˆ` gia˙’i hˆe chı˙’ c´o MN phu.o.ng tr`ınh! C´ac phu.o.ng tr`ınh n`ay c˜ung c´o thˆe˙’e suy tru. c tiˆe´p t`u (5.5) do d¯i.nh l´y t´ıch chˆa.p Tuy nhiˆen, mu.c d¯´ıch cu˙’a ch´ung ta l`a su˙’. du.ng c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n d¯ˆe˙’ d¯i d¯ˆe´n c`ung kˆe´t qua˙’-d¯iˆe` u cˆ` n thiˆe´t trong phˆa ` n sau d¯ˆe˙’a phu.c hˆo`i a˙’nh

5.3 Phu.o.ng ph´ ap d ¯a.i sˆo´

Nhu d¯˜a chı˙’ ra trong Phˆ` n 5.1.3, mu.c d¯´ıch cu˙’a phu.c hˆoa `i a˙’nh l`a x´ac d¯i.nh a˙’nh gˆo´c f t`u.

a˙’nh suy gia˙’m chˆa´t lu.o. ng g v´o.i c´ac gia˙’ thiˆe´t cho tru.´o.c vˆ` H v`e a n Ch´ung ta x´et mˆo h`ınh (5.5)

Ta s˜e su.˙’ du.ng phu.o.ng ph´ap d¯a.i sˆo´ d¯ˆe˙’ t`ım u.´o.c lu.o ng ˆf cu˙’a f sao cho sai sˆo´ l`a

´ıt nhˆa´t v´o.i r`ang buˆo.c n`ao d¯´o D- ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n ch´ung ta s˜e su.˙’ du.ng phu.o.ng ph´ap b`ınh phu.o.ng tˆo´i thiˆe˙’u

5.3.1 Khˆ oi phu c khˆ ong d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

Phu.o.ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i

n = g - Hf.

Ta cˆ` n t`ım mˆa o.t xˆa´p xı˙’ ˆf sao cho

knk2 = kg − Hˆfk2

l`a tˆo´i thiˆe˙’u

D- ˇa.t

J (ˆf) := kg − Hˆfk2.

´

Ap du.ng d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n cu˙’a cu. c tri ta c´o ˆf thoa˙’ m˜an phu.o.ng tr`ınh

∂J (ˆf)

∂ˆf = 0 = −2H

t

(g − Hˆf).

Suy ra

ˆf = (Ht

H)−1Ht g.

Gia˙’ su.˙’ M = N v`a tˆ`n ta.i ma trˆa.n nghi.ch d¯a˙’o Ho Khi d¯´o

ˆf = H−1

(Ht)−1Htg

= H−1g.

(5.12)

5.3.2 Khˆ oi phu c c´ o d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n

Phˆ` n n`a ay x´et b`ai to´an cu. c tiˆe˙’u ho´a phiˆe´m h`am

kQˆfk2

v´o.i r`ang buˆo.c

n = g - Hf,

trong d¯´o Q l`a to´an tu.˙’ tuyˆe´n t´ınh n`ao d¯´o

X´et h` am Lagrange

J (ˆf) := kQˆfk2+ α(kg − Hˆfk2− knk2) trong d¯´o α l` a nhˆ an tu ˙’ Lagrange.

Theo phu.o.ng ph´ap nhˆan tu.˙’ Lagrange, nghiˆe.m ˆf thoa˙’ m˜an phu.o.ng tr`ınh

∂J (ˆf)

∂ˆf = 0 = 2Q

t

Qˆf − 2αH t (g − Hˆf).

Suy ra

ˆf = Ht

H + γQ tQ
−1

Gi´a tri γ = α1 d¯u.o. c d¯iˆ` u chı˙’nh sao cho thoa˙’ d¯iˆee ` u kiˆe.n s˜e d¯u.o c x´et sau C´ac phu.o.ng tr`ınh (5.12) v`a (5.13) l`a co so.˙’ cho nh˜u.ng b`ai to´an phu.c hˆo`i trong c´ac phˆ` n sau Chˇa a˙’ng ha.n, Phˆa` n 5.4 s˜e chı˙’ ra Phu.o.ng tr`ınh (5.12) ch´ınh l`a phu.o.ng ph´ap phu.c hˆo`i bˇa`ng lo.c ngu.o. c Tu.o.ng tu , Phu.o.ng tr`ınh (5.13) c´o thˆe˙’ suy ra c´ac kˆe´t qua˙’ nhu lo.c Wiener cˆo˙’

d¯iˆe˙’n c˜ung nhu c´ac kˆe´t qua˙’ kh´ac Vˆa´n d¯ˆ` l`e a cho.n ma trˆa.n biˆe´n d¯ˆo˙’i Q th´ıch ho p..

5.4 Lo.c ngu o c

5.4.1 D - ˇ a.t b`ai to´an

Tru.´o.c hˆe´t x´et c´ac phu.o.ng ph´ap phu.c hˆo`i a˙’nh t`u khˆoi phu.c khˆong d¯iˆe` u kiˆe.n trong Phu.o.ng tr`ınh (5.12) Nˆe´u gia˙’ thiˆe´t M = N v`a su.˙’ du.ng (5.7) th`ı Phu.o.ng tr`ınh (5.12)

suy ra

ˆf = H−1

g

= (WDW−1)−1g

= WD−1W−1g.

Do d¯´o

W−1ˆf = D−1

W−1g.

Hay c´o thˆe˙’ viˆe´t la.i (´ap du.ng Phˆa` n 5.2.3)

ˆ

F (u, v) = G(u, v)

v´o.i u, v = 0, 1, , N − 1 Theo (5.11), c´ac phˆ` n tu.a ˙’ H(u, v) d¯u.o c chia cho N2 v`a v`ı D

l`a ma trˆa.n d¯u.`o.ng ch´eo nˆen nghi.ch d¯a˙’o 1

H (u,v) dˆ˜ d`ang x´ac d¯i.nh.e Phu.o.ng ph´ap phu.c hˆo`i a˙’nh bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng Phu.o.ng tr`ınh (5.14) thu.`o.ng go.i l`a lo.c ngu o c Kh´ai niˆe.m lo.c ngu.o c xuˆa´t ph´at t`u chˆo˜ coi H(u, v) l`a h`am lo.c d¯u.o c nhˆan

v´o.i F (u, v) d¯ˆe˙’ biˆe´n d¯ˆo˙’i a˙’nh suy gia˙’m chˆa´t lu.o. ng Biˆe˙’u th´u.c H (u,v) G(u,v) ch´u.a to´an tu.˙’ lo.c ngu.o. c A˙’ nh khˆoi phu.c nhˆa.n d¯u.o c t`u

ˆ

f = F−1(F (u, v))

= F−1



G(u, v) H(u, v)



v´o.i x, y = 0, 1, , N − 1.

Ch´u ´y rˇa`ng nˆe´u H(u, v) = 0 hoˇa.c rˆa´t nho˙’ ta.i mˆo.t sˆo´ d¯iˆe˙’m cu˙’a mˇa.t phˇa˙’ng uv,

ta c´o thˆe˙’ bo˙’ qua trong qu´a tr`ınh t´ınh to´an F (u, v) m`a khˆong a˙’nh hu.o.˙’ ng d¯´ang kˆe˙’ d¯ˆe´n

kˆe´t qua˙’ phu.c hˆo`i

Trong tru.`o.ng ho. p c´o nhiˆ˜u, th`ıe

ˆ

F (u, v) = F (u, v) + N (u, v)

H(u, v) .

Suy ra nˆe´u H(u, v) bˇa`ng 0 hoˇa.c rˆa´t nho˙’, th`ıN (u,v)

H (u,v) c´o thˆe˙’ vu.o. t qu´a kˆe´t qua˙’ khˆoi phu.c a˙’nh F−1

h

ˆ

F (u, v)

i

Trong thu. c tˆe´, H(u, v) thu.`o.ng nho˙’ d¯i rˆa´t nhanh so v´o.i khoa˙’ng c´ach t`u (u, v) d¯ˆe´n gˆo´c to.a d¯ˆo., c`on nhiˆe˜u gia˙’m v´o.i tˆo´c d¯ˆo chˆa.m Trong tru.`o.ng ho p nhu vˆa.y, viˆe.c khˆoi phu.c a˙’nh d¯u.o c thu c hiˆe.n ngo`ai lˆan cˆa.n cu˙’a gˆo´c d¯ˆe˙’ tr´anh chia cho khˆong

Nˆe´u biˆe´t tru.´o.c H(u, v), G(u, v) v` a N (u, v) th`ı c´o thˆe˙’ x´ac d¯i.nh lo.c ngu.o c theo phu.o.ng tr`ınh sau:

F (u, v) = G(u, v)

H(u, v)−

N (u, v) H(u, v) .