d¯en d¯ˆe´n trˇa´ng trong thang d¯ˆo... c go.i l`a h` am phˆ an bˆ o´ t´ıch l˜ uy the cumulative distribution function, viˆe´t tˇa´t CDF.
Trang 1
s = T (r) L − 1 r L − 1 (0, 0) A B (a)
s = T (r) L − 1 r L − 1 (0, 0) A B
(b)
H`ınh 4.8: L`am mo˙’ng m´u.c x´am: (a) H`am biˆe´n d¯ˆo˙’i tˇang cu.`o.ng d¯ˆo s´ang trong pha.m vi
[A, B] trong khi gia˙’m th`anh hˇa`ng sˆo´ v`ung c`on la.i; (b) H`am biˆe´n d¯ˆo˙’i tˇang cu.`o.ng d¯ˆo s´ang trong pha.m vi [A, B] nhu.ng ba˙’o to`an c´ac gi´a tri kh´ac
pha.m vi d¯ˆo.ng he.p, a˙’nh c´o d¯ˆo tu.o.ng pha˙’n thˆa´p D- ˆo` thi trong H`ınh 4.9(d) tu.o.ng ´u.ng a˙’nh c´o d¯ˆo tu.o.ng pha˙’n cao
C´ac h`ınh 4.10-4.12 minh ho.a c´ac a˙’nh v`a biˆe˙’u d¯ˆo` cˆo.t cu˙’a n´o
Cˆ an bˇ a `ng biˆ e˙’u d ¯ˆ ` cˆ o o t
Gia˙’ su.˙’ gi´a tri x´am r l`a d¯a.i lu o ng liˆen tu.c d¯u.o c chuˆa˙’n ho´a trong d¯oa.n [0, 1], v´o.i r = 0
biˆe˙’u diˆ˜n m`au d¯en v`a r = 1 biˆe˙’u diˆe˜n m`au trˇa´ng.e
X´et ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i s := T (r), trong d¯´o T tho˙’a m˜an:
(1) T l`a h`am d¯o.n tri., d¯o.n d¯iˆe.u tˇang trong d¯oa.n [0, 1]; v`a
(2) T ([0, 1]) ⊂ [0, 1].
D- iˆe` u kiˆe.n (1) chı˙’ ra th´u tu t`u d¯en d¯ˆe´n trˇa´ng trong thang d¯ˆo x´am d¯u.o c ba˙’o to`an; c`on
d¯iˆ` u kiˆe.n (2) ba˙’o d¯a˙’m ´anh xa T nˇa`m trong pha.m vi cho ph´ep cu˙’a c´ac gi´a tri pixel.e H`ınh 4.14 minh ho.a mˆo.t h`am biˆe´n d¯ˆo˙’i thoa˙’ m˜an nh˜u.ng d¯iˆe` u kiˆe.n n`ay.
Trang 2H`ınh 4.9:
Ch´ung ta c˜ung gia˙’ thiˆe´t ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i ngu.o. c
v´o.i s ∈ [0, 1] thoa˙’ m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n (1) v`a (2).e
C´ac m´u.c x´am trong a˙’nh f c´o thˆe˙’ xem nhu c´ac d¯a.i lu.o ng ngˆa˜u nhiˆen trong d¯oa.n
[0, 1] Nˆe´u ch´ung l`a c´ac biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c, th`ı c´ac m´u.c x´am cu˙’a a˙’nh gˆo´c v`a a˙’nh d¯u.o. c biˆe´n d¯ˆo˙’i c´o thˆe˙’ d¯u.o. c d¯ˇa.c tru.ng bo.˙’i c´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t p r (r) v` a p s (s)
tu.o.ng ´u.ng (C´ac chı˙’ sˆo´ du.´o.i r v` a s chı˙’ ra rˇa`ng d¯ˆay l`a c´ac h`am kh´ac nhau)
Theo l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t, nˆe´u p r (r) v` a T (r) l`a c´ac h`am d¯˜a biˆe´t sao cho h`am ngu.o. c
T−1(s) thoa˙’ d¯iˆ` u kiˆe.n (1), th`ı h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a c´ac m´u.c x´am d¯u.o c biˆe´n d¯ˆo˙’ie l`a
p s (s) =
ds
.
Trang 3H`ınh 4.10: A˙’ nh chu.p thiˆe´u ´anh s´ang.
C´ac k˜y thuˆa.t nˆang cao chˆa´t lu.o ng a˙’nh sau du a trˆen viˆe.c d¯iˆe`u khiˆe˙’n h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a a˙’nh f thˆong qua h`am biˆe´n d¯ˆo˙’i T (r).
X´et h`am biˆe´n d¯ˆo˙’i
s := T (r) =
Z r
0
Vˆe´ pha˙’i cu˙’a (4.3) d¯u.o. c go.i l`a h` am phˆ an bˆ o´ t´ıch l˜ uy (the cumulative distribution
function, viˆe´t tˇa´t CDF) Dˆe˜ d`ang thˆa´y rˇa`ng h`am CDF trˆen thoa˙’ c´ac d¯iˆe` u kiˆe.n (1) v`a (2)
T`u (4.3), ta c´o
ds
Do d¯´o
p s (s) =
r=T−1(s)
= [1]r=T−1(s)
= 1 v´o.i mo.i s ∈ [0, 1] N´oi c´ach kh´ac h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t cu˙’a c´ac gi´a tri x´am cu˙’a a˙’nh
biˆe´n d¯ˆo˙’i c´o mˆa.t d¯ˆo d¯ˆe` u trong d¯oa.n [0, 1] Ch´u ´y rˇa`ng, kˆe´t qua˙’ n`ay khˆong phu thuˆo.c
v`ao h`am biˆe´n d¯ˆo˙’i ngu.o. c D- iˆe` u n`ay l`a quan tro.ng v`ı viˆe.c t`ım T−1(s) khˆong pha˙’i dˆe˜ d`ang Kˆe´t qua˙’ n`ay chı˙’ ra c´ach tˇang da˙’i d¯ˆo.ng cu˙’a c´ac pixel
Trang 4H`ınh 4.11: A˙’ nh chu.p th`u.a ´anh s´ang.
V´ ı du 4.2.1 X´et h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t (H`ınh 4.15(a))
p r (r) :=
−2r + 2 nˆe´u r ∈ [0, 1],
0 nˆe´u ngu.o. c la.i.
Khi d¯´o
s = T (r) =
Z r
0
(−2w + 2)dw
= −r2+ 2r.
Mˇa.c d`u ch´ung ta chı˙’ cˆa` n T (r) d¯ˆe˙’ cˆan bˇa`ng biˆe˙’u d¯ˆo` cˆo.t, nhu.ng du.´o.i d¯ˆay ta s˜e ch´u.ng to˙’ rˇa`ng h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t p s (s) l`a d¯ˆ` u Thˆe a.t vˆa.y, gia˙’i r theo s ta c´o
√
1 − s.
Do r ∈ [0, 1], nˆen ta chı˙’ nhˆa.n nghiˆe.m
√
1 − s.
Khi d¯´o
p s (s) =
ds
r=T−1(s)
=
(−2r + 2) dr
ds
r=1−√1−s
=
(2
√
1 − s) d
√
1 − s)
= 1,
Trang 5H`ınh 4.12: A˙’ nh c´o d¯ˆo tu.o.ng pha˙’n k´em.
v´o.i mo.i s ∈ [0, 1] N´oi c´ach kh´ac, p s (s) l`a h`am mˆa.t d¯ˆo x´ac suˆa´t d¯ˆe` u H`ınh 4.15(b) l`a
d¯ˆ` thi cu˙’a ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i T (r) v`a H`ınh 4.15(c) l`a d¯ˆoo ` thi cu˙’a p s (s).
D- ˆe˙’ c´o thˆe˙’ l`am viˆe.c trˆen c´ac a˙’nh sˆo´, ta chuyˆe˙’n c´ac kh´ai niˆe.m trˆen o.˙’ da.ng r`o.i ra.c V´o.i mˆo˜i gi´a tri x´am r`o.i ra.c, k = 0, 1, , L − 1, (L l`a sˆo´ c´ac m´u.c x´am), d¯ˇa.t
n , 0 ≤ r k ≤ 1,
l`a x´ac suˆa´t xuˆa´t hiˆe.n m´u.c x´am th´u k, v´o.i n k l`a sˆo´ lˆ` n xuˆa a´t hiˆe.n m´u.c x´am n`ay trong a˙’nh v`a n l`a sˆo´ c´ac pixel trong a˙’nh D- ˆo` thi biˆe˙’u diˆe˜n p r (r k) d¯u.o. c go.i l`a biˆ e˙’u d ¯ˆ ` cˆ o o.t,
v`a k˜y thuˆa.t d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ nhˆa.n d¯u.o c biˆe˙’u d¯ˆo` cˆo.t d¯ˆe`u go.i l`a cˆan bˇa`ng biˆe˙’u d¯ˆo` cˆo.t hay tuyˆ e´n t´ınh ho´ a biˆ e˙’u d ¯ˆ ` cˆ o o.t.
Da.ng r`o.i ra.c cu˙’a (4.3) x´ac d¯i.nh bo.˙’i
s k := T (r k)
=
k
X
j=0
=
k
X
j=0
n , 0 ≤ r j ≤ 1, j = 0, , L − 1.
Biˆe´n d¯ˆo˙’i ngu.o. c
r k = T−1(s k ), 0 ≤ s k ≤ 1,