Xử lý ảnh số - Nhận dạng và nội suy part 9 potx

hoˇa.c trong phˆa` n c´u.ng.. a trˆen c´ac tri th´u.c khˆong phu.. thˆ o´ng logic Logic vi.. c´ac mˆe.nh d¯ˆe` trong mˆo.t ngˆon ng˜u.. Trong v´ı du.. Trong v´ı du... FEMALEMai ∧ MOTHERM

hoˇa.c trong phˆa` n c´u.ng Bo.˙’ i vˆa.y, c´ac thuˆa.t to´an xu˙’ l´. y a˙’nh co ba˙’n cˆ` n du.a a trˆen c´ac tri th´u.c khˆong phu thuˆo.c v`ao pha.m vi ´u.ng du.ng, v`a tri th´u.c vˆe` c´ac ´u.ng du.ng chuyˆen biˆe.t cˆa` n d¯u.o. c d¯u.a v`ao hˆe co so.˙’ tri th´u.c v`a ´ıt phu thuˆo.c v`ao c´ac thuˆa.t to´an n`ay nhˆa´t

9.5.3 Hˆ e thˆ o´ng logic

Logic vi t`u (xuˆa´t hiˆe.n ho.n mˆo.t thˆe´ ky˙’ nay) gi´up ch´ung ta dˆe˜ d`ang biˆe˜n diˆe˜n c´ac mˆe.nh

d¯ˆ` v`e a suy d¯o´an c´ac su. kiˆe.n m´o.i t`u co so.˙’ tri th´u.c d¯˜a c´o Mˆo.t trong nh˜u.ng ch´u.c nˇang h˜u.u ´ıch nhˆa´t cu˙’a tri th´u.c l`a c´ac ph´ep to´an vi t`u bˆa.c nhˆa´t D-ˆay l`a mˆo.t hˆe thˆo´ng logic

c´o kha˙’ nˇang xu.˙’ l´y rˆa´t nhiˆ` u c´e ac biˆe˙’u th´u.c to´an ho.c c˜ung nhu c´ac mˆe.nh d¯ˆe` trong mˆo.t ngˆon ng˜u tu. nhiˆen, chˇa˙’ng ha.n tiˆe´ng Anh

C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa

Nh˜u.ng th`anh phˆ` n co ba˙’n cu˙’a c´a ac ph´ep to´an vi t`u l`a k´y hiˆe.u vi t`u., k´y hiˆe.u h`am, k´ y hiˆ e.u biˆe´n, v`a k´y hiˆe.u hˇa`ng K´y hiˆe.u vi t`u biˆe˙’u diˆe˜n mˆo´i quan hˆe trong miˆe`n x´ac

d¯i.nh cu˙’a b`ai to´an Chˇa˙’ng ha.n, mˆe.nh d¯ˆe` “nˇam nho˙’ ho.n mu.`o.i” c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n da.ng LESSTHAN(nˇam, mu.`o.i), trong d¯´o LESSTHAN l`a mˆo.t k´y hiˆe.u vi t`u v`a nˇam, mu.`o.i l`a c´ac k´y hiˆe.u hˇa`ng

Ba˙’ng 9.2 minh ho.a v´ı du kh´ac Trong v´ı du n`ay, mˆo.t k´y hiˆe.u vi t`u., chˇa˙’ng ha.n MOTHER, nhˆa.n da.ng mˆo.t vi t`u.; v`a vi t`u n`ay ch´u.a mˆo.t hoˇa.c nhiˆe`u d¯ˆo´i sˆo´ C´ac d¯ˆo´i

sˆo´ c´o thˆe˙’ l`a c´ac hˇ a `ng sˆo´, nhu Mai, d¯a.i du.o.ng, v`a Nam Cao C´ac d¯ˆo´i sˆo´ c˜ung c´o thˆe˙’

l`a c´ac h`am theo c´ac d¯ˆo´i sˆo´ kh´ac Chˇa˙’ng ha.n, MARRIED[father(John), mother(John)] biˆe˙’u diˆ˜n mˆe.nh d¯ˆee ` “cha cu˙’a John d¯˜a cu.´o.i me cu˙’a John” O˙’ d¯ˆay, John l`a mˆo.t k´y hiˆe.u.

hˇa`ng, mother v`a father l`a c´ac k´y hiˆe.u h`am, v`a MARRIED l`a mˆo.t k´y hiˆe.u vi t`u Trong v´ı du cuˆo´i cu˙’a Ba˙’ng 9.2, BEHIND l`a k´y hiˆe.u vi t`u., v`a x, y l`a k´y hiˆe.u biˆe´n.

C´ac vi t`u nhu chı˙’ ra trong Ba˙’ng 9.2 c`on go.i l`a c´ac nguyˆen tu.˙’ C´ac nguyˆen tu.˙’ c´o

thˆe˙’ d¯u.o. c tˆo˙’ ho. p la.i bo˙’ i c´. ac ph´ ep nˆ o´i logic d¯ˆe˙’ ta.o th`anh c´ac mˆe.nh d¯ˆe ` nhu trong Ba˙’ng

?? C´ac ph´ep nˆo´i logic trong Ba˙’ng 9.3 c´o ´y ngh˜ıa tu.o.ng tu. nhu sau: “∧” (AND), “∨” (OR), “∼” (NOT), v`a “⇒” (SUY RA); ∀x, go.i l`a lu o ng t`u phˆo˙’ du.ng, tu.o.ng tu mˆe.nh

d¯ˆ` “v´e o.i mo.i x” Tu o.ng tu ∃x, go.i l`a lu.o ng t`u tˆo`n ta.i, c´o ngh˜ıa “tˆo`n ta.i x.” Bˆo´n v´ı du.

d¯ˆ` u tiˆen trong Ba˙’ng 9.3 d¯ˆea ` cˆa.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe` chı˙’ gˆ`m c´o ac hˇa`ng, v`a hai v´ı du cuˆo´i l`a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` c´o gˇa´n v´o.i c´ac k´y hiˆe.u biˆe´n C´ac biˆe˙’u th´u.c logic d¯u.o c xˆay du ng bˇa`ng c´ach nˆo´i c´ac biˆe˙’u th´u.c kh´ac da.ng ∧s(∨s) go.i l`a da.ng nˆo˙’i r`o i Biˆe˙’u th´u.c ho p lˆe cu˙’a

Ph´at biˆe˙’u Vi t`u.

D- a.i du.o.ng l´o.n ho.n hˆo` BIGGERTHAN(d¯a.i du.o.ng, hˆo`)

Nam Cao d¯˜a viˆe´t tiˆe˙’u thuyˆe´t Ch´ı Ph` eo WRITE(Nam Cao, “Ch´ı Ph`eo”)

Ba˙’ng 9.2: V´ı du vˆe` vi t`u

c´ac ph´ep to´an vi t`u go.i l`a da.ng d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa d¯´ung, v`a k´y hiˆe.u l`a (wffs).

Biˆe˙’u th´u.c logic go.i l`a c´u ph´ap da.ng khˆong mˆe.nh d¯ˆe ` nˆe´u n´o chı˙’ ch´u.a c´ac nguyˆen

tu.˙’ , c´ac ph´ep nˆo´i logic, c´ac lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i v`a lu.o ng t`u phˆo˙’ du.ng Biˆe˙’u th´u.c logic go.io l`a c´ u ph´ ap da.ng mˆe.nh d¯ˆe ` nˆe´u n´o c´o da.ng

(∀x1, x2, , x k )[A1∧ A2∧ ∧ A n ⇒ B1∨ B2 ∨ ∨ B m ],

trong d¯´o A i , B j l`a c´ac nguyˆen tu.˙’ C´ac th`anh phˆ` n bˆen tr´a ai v`a bˆen pha˙’i cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe`

c go.i l`a c´ac d¯iˆe ` u kiˆe.n v`a c´ac kˆe´t luˆa.n cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe ` c tu.o.ng ´u.ng Mˆe.nh d¯ˆe` khˆong c´o

d¯iˆ` u kiˆe.n c´o da.ng ⇒ P d¯u.o c hiˆe˙’u l`a P Ngu.o c la.i, biˆe˙’u th´u.c P ⇒ c´o ngh˜ıa ∼ P.e X´et ph´at biˆe˙’u “v´o.i mo.i x, nˆe´u x l`a mˆo.t ngu `o.i v`a l`a cha me., th`ı x hoˇa.c l`a cha,

hoˇa.c l`a me.” Trong mˆe.nh d¯ˆe` c´u ph´ap, mˆe.nh d¯ˆe` n`ay d¯u.o. c viˆe´t nhu sau

(∀x)[PERSON(x) ∧ PARENT(x) ⇒ MOTHER(x) ∨ FATHER(x)].

Dˆ˜ d`ang kiˆe˙’m tra rˇa`ng (xem Ba˙’ng 9.4), nˆe´u viˆe´t da.ng c´u ph´ap khˆong mˆe.nh d¯ˆee ` , biˆe˙’u th´u.c n`ay tro.˙’ th`anh

(∀x)[∼ PERSON(x) ∨ ∼ PARENT(x) ∨ MOTHER(x) ∨ FATHER(x)].

Thˆa.t vˆa.y ch´ung ta luˆon luˆon c´o thˆe˙’ chuyˆe˙’n d¯ˆo˙’i t`u da.ng khˆong mˆe.nh d¯ˆe` sang da.ng

mˆe.nh d¯ˆe` v`a ngu.o. c la.i.

Ba˙’ng 9.4 chı˙’ ra mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac ph´ep to´an logic Nˆo.i dung cu˙’a nˇam cˆo.t

d¯ˆ` u tiˆen tu.o.ng tu.a logic thˆong thu.`o.ng Ph´ep to´an k´eo theo c´o ngh˜ıa nhu sau: Vˆe´ bˆen

Ph´at biˆe˙’u Mˆe.nh d¯ˆe`

Mai l`a d¯`an b`a v`a l`a me FEMALE(Mai) ∧ MOTHER(Mai) Mai l`a d¯`an ˆong hoˇa.c l`a d¯`an b`a MALE(Mai) ∨ FEMALE(Mai)

Nˆe´u Mai l`a me th`ı Mai l`a phu n˜u. MOTHER(Mai) ⇒ FERMALE(Mai)

Mˆo˜i ngu.`o.i, hoˇa.c l`a d¯`an ˆong hoˇa.c l`a d¯`an b`a (∀x)[MALE(x)∨FEMALE(x)]

C´o mˆo.t ngu.`o.i d¯˜a viˆe´t tiˆe˙’u thuyˆe´t “Sˆo´ d¯o˙’” (∃x)WRITE(x, “Sˆ o´ d ¯o˙’”)

Ba˙’ng 9.3: V´ı du vˆe` c´ac mˆe.nh d¯ˆe`

Ba˙’ng 9.4: Ba˙’ng d¯´ung-sai

tr´ai cu˙’a ph´ep k´eo theo go.i l`a gia˙’ thiˆe´t v`a vˆe´ bˆen pha˙’i go.i l`a kˆe´t luˆa.n Ba˙’ng 9.4 chı˙’ ra

ph´ep k´eo theo c´o kˆe´t qua˙’ l`a T nˆe´u hoˇa.c kˆe´t luˆa.n l`a T hoˇa.c gia˙’ thiˆe´t l`a F; ngu.o c la.i ph´ep k´eo theo c´o gi´a tri F

V´ ı du 9.5.1 C´ac ph´ep to´an vi t`u sau minh ho.a c´ac kh´ai niˆe.m d¯u.o c tr`ınh b`ay trˆen

1 Nˆe´u x l`a a˙’nh sˆo´ th`ı c´ac pixel o.˙’ da.ng r`o.i ra.c:

DIGITAL(x) ⇒ DISCRETE(pixel).

2 Tˆa´t ca˙’ c´ac a˙’nh sˆo´ c´o c´ac pixel r`o.i ra.c:

(∀x){[IMAGE(x) ∧ DIGITAL(x) ⇒ (∃y)[PIXEL-IN(y, x) ∧ DISCRETE(y)]}.

Biˆe˙’u th´u.c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o.i mo.i x sao cho x l`a mˆo.t a˙’nh sˆo´ tˆo `n ta.i y sao cho y

l`a pixel trong a˙’nh x v` a y r`o.i ra.c

3 Khˆong pha˙’i mo.i a˙’nh d¯ˆe` u l`a a˙’nh sˆo´:

(∀x)[IMAGE(x)] ⇒ (∃y)[IMAGE(y)∧ ∼ DIGITAL(y)].

Biˆe˙’u th´u.c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o.i mo.i x sao cho x l`a mˆo.t a˙’nh th`ı tˆo `n ta.i y l`a a˙’nh

nhu.ng khˆong pha˙’i l`a a˙’nh sˆo´

4 C´ac a˙’nh m`au sˆo´ mang thˆong tin nhiˆ` u ho.n c´e ac a˙’nh sˆo´ d¯o.n sˇa´c:

(∀x)(∀y){[IMAGE(x) ∧ DIGITAL(x) ∧ COLOR(x)]∧

[IMAGE(y) ∧ DIGITAL(y) ∧ MONOCHROME(y)] ⇒ MOREINFO(x, y)}.

Biˆe˙’u th´u.c n`ay c´o ngh˜ıa: V´o.i mo.i x sao cho x l`a mˆo.t a˙’nh m`au sˆo´, v´o.i mo.i a˙’nh

sˆo´ d¯o.n sˇa´c y th`ı x mang thˆong tin nhiˆe ` u ho.n y.

C´ ac hˆ e th´ u.c tu.o.ng d ¯u.o.ng quan tro ng

Bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng ba˙’ng d¯´ung-sai v`a logic thˆong thu.`o.ng c´o thˆe˙’ ch´u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t sau:

1 ∼ (∼ A) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i A.

2 A ∨ B tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ∼ A ⇒ B.

3 Pha˙’n ch´ u.ng.

A ⇒ B tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ∼ B ⇒∼ A.

4 Cˆ ong th´ u.c de Morgan

∼ (A ∧ B) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ∼ A∨ ∼ B.

∼ (A ∨ B) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ∼ A∧ ∼ B.

5 Phˆ an bˆ o´

A ∧ (B ∨ C) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).

A ∨ (B ∧ C) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).

6 Giao ho´ an

A ∧ B tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i B ∧ A.

A ∨ B tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i B ∨ A.

7 Kˆ e´t ho p

(A ∧ B) ∧ C tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i A ∧ (B ∧ C).

(A ∨ B) ∨ C tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i A ∨ (B ∨ C).

8 Quan hˆ e gi˜u a c´ac lu.o ng t`u tˆo`n ta.i v`a v´o.i mo.i

∼ (∀x)P (x) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i (∃x)[∼ P (x)].

∼ (∃x)P (x) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i (∀x)[∼ P (x)].

Suy luˆ a.n bˇ `ng c´ a ach ch´ u.ng minh-d ¯i.nh l´ y

Trong logic vi t`u., c´ac nguyˆen tˇa´c suy luˆa.n c´o thˆe˙’ ´ap du.ng trˆen nh˜u.ng biˆe˙’u th´u.c d¯u.o c

d¯i.nh ngh˜ıa d¯´ung v`a trˆen co so.˙’ tˆa.p c´ac biˆe˙’u th´u.c d¯i.nh ngh˜ıa d¯´ung ch´ung ta suy ra c´ac

d¯i.nh ngh˜ıa d¯´ung m´o.i Sau d¯ˆay l`a mˆo.t v`ai v´ı du suy luˆa.n (W c´o ngh˜ıa biˆe˙’u th´u.c d¯i.nh

ngh˜ıa d¯´ung):

Modus Ponens

T`u W1∧ (W1 ⇒ W2) suy ra W2 Modus Tollens

T`u ∼ W2∧ (∼ W1 ⇒ W2) suy ra W1 Ph´ ep chiˆ e´u

T`u W1∧ W2 suy ra W1.

D - ˇa.c biˆe.t ho´a phˆo˙’ du.ng

T`u (∀x)W (x) suy ra W (c),

trong d¯´o c l`a k´y hiˆe.u hˇa`ng v`a mˆe.nh d¯ˆe` “T`u F suy ra G” c´ o ngh˜ıa F ⇒ G luˆon luˆon d¯´ung (t´u.c l`a, F luˆon luˆon suy ra G); d¯iˆ` u n`e ay cho ph´ep ch´ung ta thay F

bo.˙’ i G trong biˆe˙’u th´u.c logic

C´ac nguyˆen tˇa´c suy luˆa.n ta.o ra c´ac wffs dˆa˜n xuˆa´t t`u c´ac biˆe˙’u th´u.c logic d¯u.o c

d¯i.nh ngh˜ıa d¯´ung Trong ph´ep t´ınh vi tu , c´. ac wffs dˆa˜n xuˆa´t go.i l`a d¯i.nh l´y, v`a d˜ay c´ac

l´y luˆa.n d¯u.o c su.˙’ du.ng go.i l`a ch´u.ng minh cu˙’a d¯i.nh l´y Kh´ai niˆe.m n`ay rˆa´t co ba˙’n v`ı

mˆo.t sˆo´ tiˆe´n tr`ınh nˆo.i suy a˙’nh c´o thˆe˙’ ph´at biˆe˙’u da.ng ch´u.ng minh d¯i.nh l´y su.˙’ du.ng c´ac ph´ep to´an vi t`u Theo c´ach d¯´o, su.˙’ du.ng c´ac nguyˆen tˇa´c suy luˆa.n v`a tˆa.p c´ac su kiˆe.n

d¯˜a biˆe´t ch´ung ta c´o thˆe˙’ suy ra nh˜u.ng su. kiˆe.n m´o.i hoˇa.c ch´u.ng minh t´ınh ho p lˆe cu˙’a gia˙’ thiˆe´t n`ao d¯´o

C´o hai ph´ep to´an co ba˙’n thu.`o.ng d¯u.o. c su˙’ du.ng trong ph´ep t´ınh vi t`u. d¯ˆe˙’ ch´u.ng minh t´ınh d¯´ung cu˙’a c´ac biˆe˙’u th´u.c logic Th´u nhˆa´t, thao t´ac tru. c tiˆe´p trˆen c´ac da.ng khˆong mˆe.nh d¯ˆe` tu.o.ng tu. nhu phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh c´ac biˆe˙’u th´u.c to´an ho.c Th´u hai, d¯´o l`a du. a trˆen d¯ˆo´i s´anh c´ac sˆo´ ha.ng trong nh˜u.ng biˆe˙’u th´u.c o.˙’ da.ng mˆe.nh d¯ˆe` Hai phu.o.ng ph´ap n`ay s˜e d¯u.o. c minh ho.a trong v´ı du du.´o.i d¯ˆay

V´ ı du 9.5.2 Gia˙’ su˙’ ta biˆe´t: (1) so.t giˆa´y o. ˙’ d¯ˇ. a`ng sau b`an l`am viˆe.c, v`a (2) ghˆe´ ngˆo`i ngay sau b`an l`am viˆe.c Ch´ung ta c˜ung gia˙’ thiˆe´t t´ınh chˆa´t vˆa.t l´y (3) nˆe´u x sau y th`ı

x khˆong kha˙’ kiˆe´n C´ac gia˙’ thiˆe´t (1) v`a (2) l`a nh˜u.ng su. kiˆe.n xuˆa´t ph´at t`u b`ai to´an, trong khi (3) l`a tri th´u.c v`a khˆong phu thuˆo.c v`ao b`ai to´an T´u.c l`a v´o.i nh˜u.ng d¯iˆe` u kiˆe.n n`ao d¯´o chˇa˙’ng ha.n x nho˙’ ho n y th`ı x khˆong thˆa´y d¯u.o c do bi che khuˆa´t bo.˙’i y v`a y l`a

khˆo´i d¯ˇa.c (t´u.c khˆong thˆe˙’ nh`ın xuyˆen qua y.) Ch´ung ta cˆa`n suy ra (ch´u.ng minh), chı˙’

su.˙’ du.ng hai su kiˆe.n v`a mˆo.t gia˙’ thiˆe´t, rˇa`ng so.t r´ac khˆong kha˙’ kiˆe´n

Hai su. kiˆe.n c´o da.ng

BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) v`a

NEXT-TO(ghˆe´ ngˆ`i, b`o an l`am viˆe.c)

Hai ph´at biˆe˙’u n`ay c´o quan hˆe theo ph´ep to´an logic AND:

BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) ∧ NEXT-TO(ghˆe´ ngˆo`i, b`an l`am viˆe.c)

T´ınh chˆa´t vˆa.t l´y o˙’ da.ng mˆe.nh d¯ˆe. ` c´o da.ng

(∀x, y)[BEHIND(x, y) ⇒ INVISIBLE(x)].

Hay tu.o.ng d¯u.o.ng da.ng khˆong mˆe.nh d¯ˆe`

(∀x, y)[∼ BEHIND(x, y) ∨ INVISIBLE(x)].

Biˆe˙’u diˆ˜n da.ng hˆo.i tˆa´t ca˙’ c´ac tri th´u.c vˆee ` b`ai to´an n`ay ta d¯u.o. c

(a) (∀x, y){BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) ∧ NEXT-TO(ghˆe´ ngˆo`i, b`an l`am viˆe.c)∧

[∼ BEHIND(x, y) ∨ INVISIBLE(x)]}.

Thay x bo ˙’ i so.t r´ac v`a y l`a b`an l`am viˆe.c ta d¯u.o c

(b) BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) ∧ NEXT-TO(ghˆe´ ngˆo`i, b`an l`am viˆe.c)∧

[∼ BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) ∨ INVISIBLE(so.t r´ac)].

Su. du.ng ph´ep chiˆe´u ta c´o pho˙’ng d ¯o´ an

(c) BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c)∧[∼ BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c)∨INVISIBLE(so.t r´ac)].

T`u t´ınh phˆan bˆo´ cu˙’a c´ac ph´ep to´an hˆo.i v`a tuyˆe˙’n ta c´o

(d) BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c) ∧ INVISIBLE(so.t r´ac).

´

Ap du.ng ph´ep chiˆe´u mˆo.t lˆa` n n˜u.a d¯u.o. c

(e) INVISIBLE(so.t r´ac).

Do d¯´o ta d¯˜a ch´u.ng minh d¯u.o. c biˆe˙’u th´u.c gˆo´c trong (a) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i biˆe˙’u

th´u.c (e) N´oi c´ach kh´ac, t`u nh˜u.ng thˆong tin d¯˜a biˆe´t ch´ung ta kˆ e´t luˆ a.n rˇa`ng so.t r´ac

khˆong kha˙’ kiˆe´n

Bˆay gi`o ta s˜e ch´u.ng minh la.i kˆe´t qua˙’ trˆen nhu.ng su.˙’ du.ng biˆe˙’u diˆe˜n mˆe.nh d¯ˆe`

Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh su.˙’ du.ng pha˙’n ch´u.ng: lˆa´y phu˙’ d¯i.nh mˆe.nh d¯ˆe` cˆa`n ch´u.ng

minh v`a suy ra mˆau thuˆa˜n v´o.i nh˜u.ng su. kiˆe.n d¯˜a c´o, t`u d¯´o c´o mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung hoˇa.c ho p

lˆe

Du. a trˆen c´ac d¯i.nh ngh˜ıa tru.´o.c, ta c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n tri th´u.c vˆe` b`ai to´an n`ay o.˙’

da.ng sau:

(a) ⇒ BEHIND(so.t r´ac, b`an l`am viˆe.c),

(b) ⇒ NEXT-TO(ghˆe´ ngˆ`i, b`o an l`am viˆe.c),

(c) (∀x, y)[BEHIND(x, y) ⇒ INVISIBLE(x)],

v`a

(d) INVISIBLE(so.t r´ac) ⇒

Nhˇa´c la.i rˇa`ng ch´ung ta muˆo´n suy ra mˆau thuˆa˜n cu˙’a phu˙’ d¯i.nh mˆe.nh d¯ˆe` INVISIBLE(so.t r´ac) m`a theo d¯i.nh ngh˜ıa tru.´o.c, n´o d¯u.o c biˆe˙’u diˆe˜n da.ng INVISIBLE(so.t r´ac) ⇒

Sau khi c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a b`ai to´an d¯˜a d¯u.o. c biˆe˙’u diˆe˜n o.˙’ da.ng mˆe.nh d¯ˆe` , ch´ung ta

suy ra mˆau thuˆa˜n bˇa`ng c´ach d¯ˆo´i s´anh hai vˆe´ cu˙’a c´ac ph´ep k´eo theo kh´ac nhau v´o.i