Xác suất căn bản

Xác suất căn bản

CHƯƠNG

XÁC SUẤT CĂN BẢN

CẤU TRÚC CHƯƠNG

1 Các khái niệm

2 Định nghĩa xác suất và các phương

pháp tính xác suất căn cứ theo định nghĩa

3 Một số quy tắc tính xác suất

1 CÁC KHÁI NIỆM

1.1 Phép thử và biến cố 1.2 Phân loại biến cố

1.3 Xác suất 1.4 Không gian mẫu

1.1 Phép thử và biến cố

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay

không được gọi là thực hiện một phép thử

VD: gieo một đồng xu xem sấp hay ngửa, bật bóng đèn xem có sáng không, bỏ vốn vào kinh doanh…

Kết cục của phép thử đó gọi là biến cố

VD: ra mặt sấp, đèn sáng, kinh doanh thất bại…

Biến cố sơ cấp là kết cục sơ đẳng nhất của phép thử

1.2 Phân loại biến cố

• Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu biến cố chắc chắn bằng chữ

Ω

• Biến cố không thể có : là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu biến cố chắc chắn là φ

• Biến cố ngẫu nhiên : khi thực hiện phép thử biến

cố ngẫu nhiên có thể xảy ra và cũng có thể không xảy ra Người ta hay thích kí hiệu biến cố ngẫu

nhiên bằng các chữ cái viết hoa

1.3 Xác suất

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra biến cố đó khi thực hiện phép thử

VD: khả năng xuất hiện mặt số khi tung một đồng xu

là 50%, như vậy ta có thể nói “xác suất của biến cố xuất hiện mặt số khi tung đồng xu là 0,5”

Xác suất được kí hiệu bằng chữ P (Probability), nên

kí hiệu vắn tắt câu phát biểu trên theo cách viết của xác suất là P(S) = 0,5

1.4 Không gian mẫu

Là tập hợp của tất cả các kết cục sơ đẳng có thể xảy ra trong một phép thử

VD: không gian mẫu của phép thử tung con súc sắc có thể được kí hiệu một cách vắn tắt là S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Một số câu hỏi ôn tập phần 1:

1 Phỏng vấn ngẫu nhiên một người về việc bắt buộc đội mũ bảo hiểm trong nội thành từ 15/12/2007 là làm 1 phép thử, kết cục họ nói tán đồng là biến cố, nếu kết cục họ nói phản đối cũng là một biến cố Hãy đặt tên hai biến cố này?

2 Phép thử là tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, gọi

• A là biến cố xuất hiện mặt mà số chấm trên đó bé hơn hoặc bằng 6

• B là biến cố xuất hiện mặt mà số chấm trên đó lớn hơn 7

• C là biến cố xuất hiện mặt mà số chấm là số chẵn.

Cho biết biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên; Ω ; φ ?

3 Phép thử là một ca sinh đơn, T là biến cố sinh bé trai, theo bạn P(T) bằng bao nhiêu?

4 Phép thử là rút 1 tờ trong block lịch, L là biến cố được 1 ngày lễ lớn (theo luật LĐ), L có là biến cố sơ cấp không?

2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH XÁC SUẤT CĂN CỨ

2.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

2.1.1 Định nghĩa

Nếu phép thử có n biến cố sơ cấp có thể xảy ra

Trong đó có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến

cố A Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) được định nghĩa bằng công thức

= Số biến cố thuận lợi/số biến cố có thể

n

m A

P ( ) =

2.2.2 Các phương pháp tính xác suất căn cứ theo định nghĩa cổ điển

* Phương pháp suy luận trực tiếp

Tính xác suất biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ khi tung con xúc sắc ?

Đặt L là biến cố tung con xúc sắc được mặt có số chấm lẻ

Số biến cố sơ cấp khi tung xúc sắc là 6

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho L xuất hiện là 3

 Vậy n = 6 và m = 3  P(L) = 3/6 = ½

* Phương pháp dùng giải tích tổ hợp

Nếu số kết cục của phép thử rất lớn mà không thể dùng lối suy đoán trực tiếp thì vận dụng các công thức của giải tích tổ hợp như chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp để

giải quyết

VD :Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối

và chỉ nhớ được rằng đây là hai số khác nhau Tính xác suất của biến cố chỉ quay một lần mà trúng số

định gọi

Gọi Đ là biến cố quay một lần trúng số định gọi

n =

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Đ thì chỉ có 1, m =1

Theo định nghĩa cổ điển P(Đ) = m/n=1/90 = 0,011

90

2

10 =

A

2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê

Nếu ta lặp lại phép thử n lần, ta thấy biến cố A chỉ

xảy ra m lần thì m được gọi là tần số của biến cố

A Còn f(A) = m/n được gọi là tần suất của biến cố

A

Khi số lần thử n tăng lên mà tần suất luôn giao động quanh một số không đổi p và ngày càng gần với p thì số p này được gọi là xác suất của biến cố A, nói các khác xác suất là giới hạn của tần suất khi số

lần thử lớn mãi lên

Viết theo lối viết toán học P(A) = lim f(A) = p

n +∞

2.3 Các tính chất đơn giản của xác suất

* Với mọi biến cố ngẫu nhiên A : 0 ≤ P(A) ≤ 1

* Với biến cố chắc chắn Ω thì P(Ω) = 1

* Với biến cố không thể có φ thì P(φ) = 0

3 MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

3.1 Quan hệ giữa các biến cố

3.2 Công thức tính xác suất

3.1 Quan hệ giữa các biến cố

• Nhóm đầy đủ các biến cố  xem trang sau

A A

A A A

Nhóm đầy đủ các biến cố còn được gọi là nhóm đầy

đủ và xung khắc từng đôi:

Các biến cố H1; H2; … Hn được gọi là một nhóm đầy

đủ các biến cố nếu trong kết quả của một phép thử

sẽ chắc chắn (tính đầy đủ) xảy ra một và chỉ một

(tính xung khắc) trong các biến cố đó

VD: Ví dụ khi tung con súc sắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i = 1,6), thì các Ai lập thành nhóm đầy đủ các biến cố

• Công thức cộng xác suất đơn giản - tổng quát

* CT đơn giảnNếu A và B là hai biến cố xung khắc của một phép thử thì

P (A+B) = P (A) + P (B) Hay P (A∪B) = P (A) + P (B)

* CT tổng quátNếu A và B là hai biến cố bất kì có thể xảy ra trong một phép thử thì

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)Hay P(A + B ) = P(A) + P(B) – P (A.B)

* CT mở rộng cho nhiều biến cố

Công thức nhân xác suất đơn giản - tổng quát

* CT đơn giảnNếu hai biến cố A và B độc lập với nhau, thì

P (A*B) = P(A) * P(B) Hay P (A∩B) = P(A) * P(B)

* Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến

cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của của A và kí hiệu là P(A/B)

*CT tổng quát

A và B là hai biến cố không độc lập thì

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

* CT Mở rộng cho nhiều biến cố

Công thức xác suất đầy đủ

Xét một phép thử có các kết cục H1; H2; …Hn tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố

Giả sử biến cố A liên quan đến phép thử trên

Đã biết các P(Hi) và các P(A/Hi)

Lúc đó xác suất của biến cố A được tính

A

P

1

) /

( )

( )

(

Công thức Bayes

Xét một phép thử có các kết cục H1; H2; …Hn tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố

Giả sử biến cố A liên quan đến phép thử này

Để tính xác suất của biến cố Hi với điều kiện biến cố

A ta dùng công thức sau

) , 1

( ) /

( ) (

) /

( )

( )

/ (

1

n

i H

A P H

P

H A

P H

P A

H

i

i i

Công thức Becnuli

Nếu tiến hành n phép thử độc lập, trong mỗi phép

thử xác suất suất hiện biến cố A như nhau và bằng

p thì xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử đó được tính

Chỉ giới hạn ở các tình huống n nhỏ

k n k

k n

n k C p q