Phần II: Tỷ số thể tích ppt

PHẦN II: TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a.. Chứng minh: MNP chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau... Tính thể tích

PHẦN II: TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Gọi M,N,P là trung điểm AB, AD, SC Chứng minh: (MNP) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau

Giải: Trong (ABCD): MN cắt AC tại E

Trong (SAC): PE cắt SO tại I

Ta lại có MN // BD = > (MNP) (SBD) = Ix // BD

Ix SD = Q; Ix SB =T

Thiết diện của (MNP) với hình chóp là ngũ giác MNQPT

Tam giác AOD có NE // DO (NM // BD) = > E là trung điểm AO

=> EO = => EO =

Xét tam giác có E, I, P thẳng hàng theo định lý Mê-nê-la-uýt ta có:

=> => => (QT // DB)

Đặt V là thể tích hình chóp

Đặt V1 là phần thể tích hình chóp chứa A Ta có V1= VS.APQ + VS.APT + V N.PAQ + VM.APT + VA.PMN

Ta lại có mà SADC = SABCD

Mặt khác: mà SDQP = SDSP= SDSC

=> VA.NQP = VS.ADC= V (3)

Ta có:

mà SPTB = SPBS = SBSC

=> VA.MPT = VA.SBC = V (4)

mà SAMN = SABD = SABCD => VP.AMN = V (5)

(1) + (2) +(3) + (4) + (5) => V1= V (đpcm)

Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp

a) Qua O dựng mặt phẳng vuông góc SC tại K; mặt phẳng này cắt CA, CB tương ứng tại M và N CM:

b)Cho OK= a và góc tao bởi (SAC) và (SBC) là 2 CM:

Giải: a) Gọi E là trung điểm AB AB vuông góc CE

Ta lại có AB vuông góc SO(SO vuông góc đáy) => AB vuông góc SC

Mặt khác: => AB // MN => MN => MN

Ta lại có MN//AB, E là trung điểm AB, CE MN = O => O là trung điểm MN (2)

(1) và (2) =>

b) Ta có (MKN) => góc giữa (SAC) và (SCB) là

=>

Ta có: MN vuông góc OK => ON = OK.tanOKN = a.tan

Mặt khác: => BE = => BA = 2BE = 3a.tan

SABC =

CO =

Tam giác SOC vuông tại O có OK vuông góc SC =>

=> SO =

VS.ABC =

Mặt khác:

=> V.SABC =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các góc ở đỉnh A và B là các tam diện đều và bằng Tính thể tích hình chóp

Giải: Xét

=> CH vuông góc với AB (H là trung điểm AB)

Tương tự SH vuông góc với AB => (SHC) vuông góc với AB => AB vuông góc với SC

Kẻ HK vuông với SC => SC vuông góc với (AKB)

Ta có

=>

Tam giác SBC cân tại B có K là trung điểm SC =>

=> CK = CB.SinKBC

mà CB =

=> SC = 2CK =

CH = HB tan =

HK =

=

=

VSABC = V A.SHC + V B.SHC = SHCS (AE + BE) = SHSC AB (AB vuông góc (HSC)) (*)

mà SHSC =

Từ (*) => VSABC = a =

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc BC Gọi A', D' là điểm đối xứng của A và D qua BC; B', C' là điểm đối xứng của

B, C qua AD Cm: V A'B'C'D' = 3 V ABCD

Giải: Kẻ AE vuông góc BC ta có AD vuông BC => DE vuông góc BC

Kẻ BF vuông góc AD ta có BC vuông góc AD => CF vuông góc AD

Ta có BC vuông góc (ADE) => BC vuông góc EF

AD vuông góc (BFC) => AD vuông góc EF

=> EF là đoạn vuông góc chung của AD và BC Mặt khác AD'A'D là hình bình hành => A'D' // DA

Tương tự: B'C' // BC

=> EF vuông góc D'A' và C'B' (1)

* EF (2)

=> ( AD// A'D') => EF = EP

* EF C'B' = Q (3)

Tương tự ở trên => EF = FQ

Từ (1) (2) (3) => PQ là đoạn vuông góc chung của A'D' và B'C' Xét tứ diện A'B'C'D' ta có A'D'// AD

C'B' // BC

AD vuông góc BC

=> A'D' vuông góc B'C'

mà PQ vuông góc C'B' => (A'QD') vuông góc C'B'

Ta có: VA'B'C'D' = VC'.QD'A' + VB'.A'QD' = C'Q.SA'QD' + B'Q.SA'QD'

= C'B'.A'D'.PQ

Tương tự VABCD = BC.AD.EF

mà PQ = PE + EF + FQ = 3EF

=> V A'B'C'D' = 3 V ABCD

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối đôi một bằng nhau và lần lượt bằng a,b,c Tình thể tích tứ diện

Xét hình hộp chữ nhật có các đường chéo các mặt có độ dài lần lượt là a, b, c

Gọi x, y, z tương ứng là các kích thước của hinh hộp

Ta có: VABCD  VHinhhop ( VM ADC.  VM BDC.  VM ABC.  VM ABD. )

=xyz – 4/6 xyz = 1/3 xyz

Lại có:

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

x

z

  





   

   

 







Suy ra: 1 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)

ABCD

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC lần lượt bằng a,b,c Tính thể tích hình chóp

à SC SB MK SB

m



    



Kẻ HK AM  HK (SAB)

ó : ; ;

2 (2 )

ó :

      



( ; )

à : ( ) ( ì:SC SB)

3

os os120

2

1 os

3

(2 ) os( )

3 2 3

ó : ( )

;( )

a

C AMK

b









 



      

.

2

2 (2 )

;( )

2 2 3 3

60

.

3 3 4 12

SAB

S ABC

b

d C SAB

ab

V





Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy và SC hợp với (SAB) một góc Mặt phẳng

qua A vuông góc với SC chia hình chóp thành 2 phần có thể tích là V1, V2 Tính theo

Dựng: AM  SC Ta có:

( ( )

( )

   



Mà (SBD) không vuông góc với SC  (P) (SBD) tại đường thẳng song song với BD

  





   (P)(SBD) tại PN là đường thẳng qua I song song BD (PSD, NSB)

Suy ra thiết diện là tứ giác ANMP

Đặt V, V là thể tích của 1 SABCD, SANMP

Ta có: BC  AB, SA  BC  BC  (SAB)  BSC  

SBC

  

SAC

2

2

2 ( 1).

os2

a

Sin





    



SOC

1 os2 1 os2

Ta có:

.

2

2 os 2 os 2

1 os2 os

S AMN

S ABC

 (1)

2

2

os 2

os

S AMP

S ACD





   (2)

(1),(2) 1 2

2

os 2 os





 

=> k =

Bài 8: Trên các cạnh SA, SB của tứ diện S.ABC lấy các điểm M, N sao cho: Mp qua MN và // SC chia tứ diện thành 2 phần Tính tỉ thể tích 2 phần

Giải: Gọi h, S là đường cao và diện tích đáy của hình chóp.

Ta có:

=> SCEF =

=> SABFE =

Mặt khác:

=> d

VM.ABFE =

Ta lại có:

=> VM.NBF =

V1(phần chứa AB) = VM.ABFE + VN.MBF =

=>

Bài 9: Cho tứ diện ABCD, M ở trong tứ diện AM cắt (BCD) tại A' ; BM cắt (ACD) tại B' ; CM cắt (ABD) tại C' ; DM cắt (ABC) tại D' CM: không phụ thuộc vị trí điểm M

Giải: Ta có

=> VA.MDC + VA.MBC + VA.MBD =

=> V - VM.BCD = ( 1 -

=> (1)

Tương tự: (2)

(3)

(4)

(1) + (2) + (3) + (4)

=>