ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO HUY NAM MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO HUY NAM MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG Hà Nội - Năm 2013 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa học, lời xin trân trọng cảm ơn đến thầy giáo cơng tác khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức để thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Sang, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Cuối tơi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Hà Nội ban giám hiệu trường THPT Mỹ Đức A - Hà Nội tạo điều kiện tối đa để tơi có thời gian học tập tốt hồn thành khóa học Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2013 Học viên Đào Huy Nam Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp 1.2 Các cơng thức tính đạo hàm 1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm 1.2.2 Đạo hàm số hàm số thường gặp 1.2.3 Đạo hàm hàm lượng giác 1.2.4 Đạo hàm hàm mũ logarit 1.2.5 Đạo hàm hàm số ngược 1.2.6 1.3 Vi phân Các cơng thức tính tích phân bất định 1.3.1 Tính chất tích phân bất định 1.3.2 Sự tồn nguyên hàm 1.3.3 Bảng tích phân bất định số hàm số thường gặp 1.4 Các định lý công thức khác 1.4.1 Định lý Rolle 1.4.2 Định lý Lagrange 1.4.3 Công thức Euler trường số phức 10 1.4.4 Công thức khai triển Taylor 10 Mối quan hệ đạo hàm tích phân 11 2.1 2.2 Tích phân hàm số lượng giác 22 2.3 Tích phân hàm số vô tỷ 40 2.4 Tích phân hàm mũ hàm logarit 52 2.5 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 11 Tích phân hàm số ngược 71 Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn Một số ứng dụng 74 3.1 Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn 74 3.1.1 Một số vấn đề lý thuyết 74 3.1.2 Một số ví dụ 76 3.2 Ứng dụng tốn phương trình, bất phương trình 89 3.3 Ứng dụng vào tính giới hạn 94 3.3.1 Định nghĩa tích phân xác định 94 3.3.2 Áp dụng 95 Kết luận 100 Tài liệu tham khảo 101 MỞ ĐẦU Đạo hàm tích phân khơng xác định hai phép tốn ngược nhau, chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp lại liên quan mật thiết giúp giải nhiều toán sơ cấp Trước hết việc tìm nguyên hàm chứng minh đạo hàm, sau để tìm ngun hàm ta thường dùng công thức biến đổi đưa nguyên hàm Có nhiều cách để tìm nguyên hàm hàm số dùng bảng nguyên hàm bản, đổi biến số Tuy nhiên số trường hợp ta dùng đạo hàm để kiểm chứng nhanh dùng phương pháp khác √ ∫ dx Ví dụ: √ = ln x2 + a + x + C x2 + a )′ (√ 2+a+x ( √ )′ x ln x2 + a + x = √ =√ x2 + a + x x2 + a giải toán nhanh phương pháp đổi biến Với lý đó, luận văn muốn khai thác ý tưởng dùng đạo hàm để giải tốn tích phân dùng đạo hàm để giải toán tổng rời rạc (hữu hạn vô hạn) từ cho ta ứng dụng khác số tốn sơ cấp Nội dung luận văn: ⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại kiến thức cần thiết cơng thức tính đạo hàm ngun hàm bản, công thức Euler trường số phức, công thức khai triển Taylor đa thức điểm ⋄ Chương 2: Mối quan hệ đạo hàm tích phân Chương chủ đạo nghiên cứu cách tính tích phân đạo hàm Các tích phân chia thành dạng riêng biệt viết dạng toán Mỗi toán có ví dụ cụ thể minh hoạ cho tốn ⋄ Chương 3: Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn Một số ứng dụng Chương đưa số ứng dụng đạo hàm tích phân cho tốn tổng rời rạc, phương trình, bất phương trình, giới hạn Mặc dù cố gắng tìm tịi tốn tích phân tính nhờ đạo hàm ứng dụng Nhưng kiến thức vơ tận nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý bảo thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao Em xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp Cho y hàm số theo u u hàm số theo x ta có y ′x = y ′u u′x 1.2 1.2.1 Các cơng thức tính đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm Với u, v hàm số biến x Ta có: (u + v)′ = u′ + v ′ ; (u.v)′ = u′ v + u.v ′ ( u )′ u′ v − uv ′ = v v2 (u − v)′ = u′ − v ′ ; 1.2.2 Đạo hàm số hàm số thường gặp (k.u)′ = k.u′ (uα )′ = α.uα−1 u′ ( )′ √ ′ u′ u′ = − , (u ̸= 0) ( u) = √ , (u > 0) u u u 1.2.3 Đạo hàm hàm lượng giác (sin u)′ = u′ cos u (cos u)′ = −u′ sin u u′ (tan u) = cos2 u u′ (cot u) = − sin u ′ ′ u′ (arcsin u)′ = √ − u2 (arcsin x)′ = √ 1 − x2 u′ ′ (arccosx) = − √ (arccosu) = − √ − x2 − u2 ′ (arctanx)′ = 1 + x2 (arccotu)′ = − 1.2.4 (arctanu)′ = u′ + u2 u′ + u2 (arccotx)′ = − 1 + x2 Đạo hàm hàm mũ logarit (ax )′ = ax ln a (au )′ = au u′ ln a (eu )′ = u′ eu (loga u)′ = u′ u ln a u′ (ln |u|) = u ′ (loga x)′ = x ln a (ln |x|)′ = x ( ) u′ (u ) = uv v ′ ln u + v u v ′ 1.2.5 Đạo hàm hàm số ngược Định lý 1.1 Nếu hàm số liên tục y = f (x) có hàm ngược x = f −1 (y) hàm số ngược liên tục ′ Định lý 1.2 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm yx ̸= có hàm số ngược x = f −1 (y) hàm số ngược có đạo hàm x′y x′y = 1.2.6 y ′x Vi phân y = f (x) ⇒ dy = d (f (x)) = f ′ (x) dx 1.3 Các công thức tính tích phân bất định 1.3.1 Tính chất tích phân bất định ∫ ′ • ( f (x) dx) = f (x) • • • ∫ ∫ ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx [f (x) + g (x)] dx = [f (x) − g (x)] dx = ∫ ∫ f (x) dx + f (x) dx − ∫ ∫ g (x) dx g (x) dx ∫ • d ( f (x) dx) = f (x) dx 1.3.2 Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm đoạn [a; b] n ∑ 1 1 = + + + + k 1.2 2.22 3.23 n.2n k=1 k.2 Ta có: ∫2 ( ) + x + x2 + xn−1 dx = ( xn x2 x3 x+ + + n )1 = 1 1 + + + + 2.2 n.2n 3.2 Mặt khác ∫2 ( ) + x + x2 + + xn−1 dx = ∫2 0 ∫ = − xn dx = 1−x 1 dx − 1−x ∫2 n x dx = ln − 1−x ∫2 xn dx 1−x ∫2 xn dx ta tính gần 1−x ∫2 xn Vậy = ln − dx k k=1 k.2 1−x n ∑ n ∑ k2 12 22 32 n2 = + + + + n k 2 2 k=1 Đặt Sn = 12 + 22 x + 32 x2 + + n2 xn−1 ∫ ∫ ( ) Sn dx = + 22 x + 32 x2 + + n2 xn−1 dx = ( ) = x + 2x2 + 3x3 + nxn + C = x + 2x + 3x2 + nxn−1 + C theo ví dụ 3.1 ta có + 2x + 3x2 + + nxn−1 = 88 nxn+1 − (n + 1) xn + (1 − x)2 ∫ ⇒ Sn dx = nxn+2 − (n + 1) xn+1 + x + C (x ̸= 1) (x − 1)2 lấy đạo hàm vế ta ( ) n2 xn+2 − 2n2 + 2n − xn+1 + (n + 1)2 xn − x − Sn = (x − 1)3 thay x = vào ta có 22 32 n2 −2n2 − 8n − 12 Sn = + + + + n−1 = + 12 2 2n ⇒ n ∑ k2 k=1 12 22 32 n2 −n2 − 4n − = Sn = + + + + n = + 2k 2 2 2n n ∑ 1 1 + 2+ = k 1.2 2 k=1 k ( ∫2 1 Ta có: + x + x2 + + ( = x2 x3 xn x + + + + 2 n + + n n ) n−1 x dx = n )1 = Mặt khác 1 1 + x + x2 + + xn−1 = n ∫2 ( ⇒ 1 1 + 2 + + + n 2 n ∫ (1 + x)n−1 dx (1 + x)n = x nx ) n−1 1 + x + x + + x dx = n ∫2 = n (1 + x) dx = nx n ∫2 (1 + x)n dx x ⇒ n ∑ k=1 1 1 1 + 2 + + + n = = k 1.2 2 n n k 2 ∫2 89 (1 + x)n dx x 3.2 Ứng dụng tốn phương trình, bất phương trình Ví dụ 3.6 Cho số thực a, b, c, n thỏa mãn a b c + + = 0, n > n+2 n+1 n Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Chứng minh: Ta có tích phân ∫ ) ( n+1 axn+2 bxn+1 cxn n n−1 dx = ax + bx + cx + + +C n+2 n+1 n axn+2 bxn+1 cxn Xét nguyên hàm F (x) = + + [0; 1] n+2 n+1 n Nhận thấy F (x) hàm số liên tục [0; 1] F (0) = 0; F (1) = a b c + + = 0, n > n+2 n+1 n nên F (0) = F (1) = theo định lý Lagrange, tồn số thực x0 ∈ (0; 1) cho F (1) − F (0) = F ′ (x0 ) (1 − 0) = F ′ (x0 ) Suy F ′ (x0 ) = 0, mà ( ) F ′ (x) = axn+1 + bxn + cxn−1 = xn−1 ax2 + bx + c ( ) nên F ′ (x0 ) = ⇔ x0 n−1 ax2 + bx0 + c = ⇔ ax2 + bx0 + c = Vậy, 0 phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thuộc (0; 1) Đặc biệt, xét với n = ta có toán: Cho số thực a, b, c thỏa mãn 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thuộc (0; 1) 90 Ví dụ 3.7 Chứng minh với số thực a, b, c phương trình a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x = ln có nghiệm khoảng (0; 2π) Chứng minh: Ta có ∫ (a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x) dx = = b a sin 3x + sin 2x + c sin x − cos x + C Xét nguyên hàm [0; 2π] F (x) = a b sin 3x + sin 2x + c sin x − cos x Nhận thấy F (x) hàm số xác định liên tục [0; 2π] F (0) = −1; b a F (2π) = sin 6π + sin 4π + c sin 2π − cos 2π = −1 nên F (0) = F (2π) = −1 Theo định lý Lagrange, tồn số thực x0 ∈ (0; 2π) cho F (2π) − F (0) = F ′ (x0 ) (2π − 0) ⇒ F ′ (x0 ) = mà F ′ (x) = a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x nên F ′ (x0 ) = ⇔ a cos 3x0 + b cos 2x0 + c cos x0 + sin x0 = Vậy, phương trình a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x = ln có nghiệm khoảng (0; 2π) 91 Ví dụ 3.8 Cho n số nguyên dương ak , bk ∈ R (k = 1, 2, n) Chứng minh phương trình x+ n ∑ (ak sin kx + bk cos kx) = k=1 có nghiệm khoảng (−π; π) Chứng minh: Ta có ) ) ∫ ( n n ( ∑ x2 ∑ ak bk x+ (ak sin kx + bk cos kx) dx = + − cos kx + sin kx k=1 k k k=1 Xét nguyên hàm ) n ( x2 ∑ ak bk F (x) = + − cos kx + sin kx k k k=1 x∈R Ta có F (x) hàm số khả vi R π ∑ ak F (−π) = − (−1)k ; k k=1 π ∑ ak F (π) = − (−1)k k k=1 n n nên F (−π) = F (π) Áp dụng định lý Rolle, tồn x0 ∈ (−π; π) cho F ′ (x0 ) = Mà F ′ (x) = x + n ∑ (ak sin kx + bk cos kx) k=1 Suy phương trình x+ n ∑ (ak sin kx + bk cos kx) = k=1 có nghiệm thuộc (−π; π) Ví dụ 3.9 Cho a, b, c, d, e ∈ R thoả mãn a b c d e + + + + = Chứng 11 minh phương trình ax6 + bx3 + cx2 + dx + e = ln có nghiệm khoảng (0; 1) 92 Chứng minh: Do x ∈ (0; 1) nên nhân vế phương trình với x4 ta ax10 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 = Ta có ∫ ( 10 ) ax11 bx8 cx7 dx6 ex5 ax + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 dx = + + + + +C 11 Xét nguyên hàm ax11 bx8 cx7 dx6 ex5 F (x) = + + + + 11 x ∈ (0; 1) F (x) hàm số liên tục khả vi (0; 1) Ta có F (0) = 0; F (1) = a b c d e + + + + =0 11 Theo định lý Rolle, tồn x0 ∈ (0; 1) cho F ′ (x0 ) = mà F ′ (x) = ax10 + bx7 + cx6 + dx5 + ex4 nên F ′ (x0 ) = ⇔ ax10 + bx7 + cx6 + dx5 + ex5 = 0 0 0 ⇔ ax6 + bx3 + cx2 + dx0 + e = 0 0 Vậy, phương trình ax6 + bx3 + cx2 + dx + e = có nghiệm khoảng (0; 1) Ví dụ 3.10 Chứng minh bất phương trình sau ln với n nguyên dương: ln n < + 1 + + + n 93 Chứng minh: Bài tốn liên quan đến ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= Khi S = n+1 dx ∫ x ; y = 0; x = 1; x = n + x = ln (n + 1) Mặt khác, gọi Si diện tích hình phẳng giới hạn đường y= ; y = 0; x = i; x = i + x 1 = (do hàm y = hàm nghịch biến diện tích hình i i x thang cong bé diện tích hình chữ nhật chứa nó) Si < Ta có S = n ∑ Si nên S < + i=1 hay ln (n + 1) < + 1 + + + n 1 + + + n Vậy ln n < ln (n + 1) < + 1 + + + n 94 3.3 Ứng dụng vào tính giới hạn Trong phần này, ta sử dụng định nghĩa tích phân áp dụng vào số tốn tính giới hạn 3.3.1 Định nghĩa tích phân xác định Giả sử f (x) hàm số xác định đoạn ∆ có đầu mút a, b T ∈ P (∆) phân hoạch ∆ với điểm chia a = x0 , x1 , , xn = b Trên đoạn ∆i với đầu mút xi−1 , xi ta lấy điểm ξi tùy ý lập tổng σf (T, ξ) = n ∑ f (ξi ) (xi − xi−1 ) = n ∑ f (ξi ) ∆xi i=1 i=1 Tổng σf (T, ξ) số xác định; số phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi phụ thuộc cách phân hoạch T Gọi d(T ) đường kính phân hoạch Xét giới hạn lim σf (T, ξ), d(T )→0 giới hạn tồn gọi tích phân xác định hàm f (x) đoạn ∆ với đầu mút a, b Và viết ∫b f (x) dx a Cần lưu ý rằng, giới hạn không phụ thuộc cách phân hoạch không phụ thuộc cách chọn ξi Dựa vào định nghĩa tích phân trên, ta tính số giới hạn chương trình tốn phổ thơng 95 3.3.2 Áp dụng Ví dụ 3.11 Tính giới hạn lim Sn trường hợp sau n→+∞ 1 + + + 1+n 2+n n+n ( ) π 2π (n − 1) π Sn = + cos + cos + + cos n n n n Sn = (Đề thi ĐH Quốc gia HN khối D năm 1995) Sn = n n n + + + + n2 + n2 n + n2 (Đề thi học viện Kỹ thuật mật mã 1999) ( ) √ √ √ n n n Sn = 1+ + + + n n+3 n+6 n + (n − 1)   Sn = 1 1  + + +  π nπ  2π n + sin + sin + sin 2n 2n 2n (Đề thi ĐH Quốc gia HN khối B năm 1995) Lời giải   n ∑ n n ∑  1 ∑ 1 1 Ta có Sn = = i  = n i=1 xi + n i=1 i + n i=1 +1 n hàm số khả tích [0; 1] Xét hàm số f (x) = x+1 i Chia [0; 1] điểm chia xi = , ∆xi = n n i Chọn ξi = xi = ta có f (ξi ) = n xi + 96 Theo định nghĩa tích phân ta có lim Sn = lim n→+∞ n ∑ n→+∞ ∫1 f (ξi ) ∆xi = i=1 f (x) dx = ∫1 = dx = ln |x + 1|1 = ln x+1 Ta có Sn = n−1 ∑ ∑ n−1 i i cosπ = cosπ n i=1 n i=1 n n Xét hàm số f (x) = cosπx hàm số khả tích [0; 1] Chia [0; 1] điểm chia xi = i , ∆xi = n n Theo định nghĩa tích phân ta có ∫1 lim Sn = ∫1 f (x) dx = n→+∞ Ta có hàm số f (x) = ∫1 cosπxdx = sin πx|1 = 0 π hàm số khả tích [0; 1] x2 + 1 π dx = arctan x|1 = x2 + lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ n ∑ i=1 ∑ n2 1 = lim ( i )2 n2 + i2 n n→+∞ i=1 + n n n i , theo định nghĩa tích phân ta có n ( ) n n n lim + + + = n→+∞ + n2 + n2 n + n2 ∫1 n ∑ dx π 1 = = lim ( i )2 = n→+∞ n + x2 i=1 + Chia [0; 1] điểm chia xi = n 97 √ √ ( ) √ n n n Sn = 1+ + + + = n n+3 n+6 n + (n − 1) 3∑ = n i=1 n √ Xét hàm số f (x) = √ ∑3 n = n + (i − 1) n i=1 n (i − 1) 1+ n hàm khả tích [0; 3] 1+x Chia [0; 3] điểm chia xi = 3i ∆xi = xi − xi−1 = , n n chọn ξi đầu mút bên trái đoạn chia Theo định nghĩa tích phân ta có lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ n ∑ i=1 n ∑3 f (ξi ) ∆xi = lim n→+∞ n i=1 ∫3 √ = (i − 1) 1+ n √ dx = + x = 1+x Ta có: Sn = n 1∑ n i=1 iπ 2n Xét hàm số f (x) = πx hàm khả tích [0; 1] + sin i Chia [0; 1] điểm chia xi = ∆xi = xi − xi−1 = n n + sin chọn ξi đầu mút bên phải đoạn chia 98 Theo định nghĩa tích phân ta có lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ n ∑ i=1 ∫1 1∑ f (ξi ) ∆xi = lim n→+∞ n i=1 n iπ + sin 2n = = πx dx ( πx ( πx πx )2 πx ) π ta có + sin = sin + cos = 2sin + nên: 4 4 + sin ( ) ∫1 d π + πx ( ) 4 ) = − cot π + πx = ( πx dx = π πx π π 4 π + sin sin + 0 4 Vậy lim Sn = n→+∞ π ( ) n ∑√ √ Ví dụ 3.12 Chứng minh rằng: lim i = n→+∞ n n i=1 ∫1 Chứng minh: Trước hết ta đánh giá n ∑√ i i=1 n ∑√ i= √ 1+ √ + + √ i=1 n+1 ∫2 √ ∫3 √ ∫ √ n= 1dx + 2dx + + ndx < n n+1 n+1 (√ ) ∫ ∫ √ √ xdx+ xdx+ + xdx = xdx = (n + 1) − < n 1 (√ ) n ∑√ hay i< (n + 1)3 − i=1 Mặt khác ∫2 n ∑√ i=1 ∫3 √ i= √ 1+ √ √ + + √ ∫1 √ ∫2 √ ∫n √ n= 1dx + 2dx + + ndx > 99 n−1 ∫1 > √ ∫2 xdx + √ ∫n xdx + + √ ∫n xdx = n−1 √ √ xdx = x x n 2√ n = ) (√ n 2√ ∑ √ suy n < i< (n + 1) − 3 i=1 √  ( )3 n √ ∑ n+1 ⇔ < √ i<  − √  n n i=1 n n n lấy giới hạn vế ta có ≤ lim √ n→+∞ n n ( lim n→+∞ n ∑√ √ ( 2 n→+∞ i ≤ lim i=1 ) n ∑√ √ i = n n i=1 100 n+1 n )3  − √ = n n Kết luận Dưới hướng dẫn tận tình khoa học thầy giáo PGS.TS Nguyễn Đình Sang, em hoàn thành luận văn "Mối quan hệ đạo hàm với tích phân ứng dụng chương trình tốn phổ thơng" Xun suốt luận văn tốn tích phân tính sử dụng đạo hàm số ứng dụng Luận văn đạt số kết quả: Luận văn khai thác số dạng tích phân tính nhờ đạo hàm mà tính theo phương pháp thơng thường dài phức tạp Luận văn hệ thống hoá phân loại dạng tốn thường gặp chương trình tốn phổ thơng, với nhiều ví dụ minh hoạ làm bật phương pháp Một số ví dụ có đối chứng với phương pháp thông thường để thấy rõ ưu điểm việc dùng đạo hàm Luận văn đưa số ứng dụng đạo hàm tích phân vào giải số dạng tốn phổ thơng có mặt đề thi đại học năm Luận văn tốt cho học sinh ôn thi đại học, học sinh thích tìm tịi khám phá tích phân Luận văn thể hướng nghiên cứu sáng tạo mới, đưa cách tính với số dạng tích phân ngồi cách thông thường biết 101 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích, tập giải tích I,II , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội - 2007 [2] Bộ giáo dục đào tạo, Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 ban ban nâng cao [3] Nguyễn Xn Liêm, Hồng Chính Bảo, Tốn nâng cao Đại số giải tích 12, Nhà xuất giáo dục [4] Phan Huy Khải, Toán nâng cao giải tích - Hàm số ứng dụng hàm số, Nhà xuất Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh (chủ biên) , Tài liệu chun tốn Giải tích 12, nhà xuất giáo dục việt Nam 102 ... Mối quan hệ đạo hàm tích phân 11 2.1 2.2 Tích phân hàm số lượng giác 22 2.3 Tích phân hàm số vơ tỷ 40 2.4 Tích phân hàm mũ hàm logarit 52 2.5 Tích phân. .. 52 2.5 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 11 Tích phân hàm số ngược 71 Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn Một số ứng dụng 74 3.1 Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn ... thể minh hoạ cho tốn ⋄ Chương 3: Đạo hàm tích phân với tổng hữu hạn Một số ứng dụng Chương đưa số ứng dụng đạo hàm tích phân cho tốn tổng rời rạc, phương trình, bất phương trình, giới hạn Mặc