toán cao cấp giải tích phần 2

Định lý: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng mở I chứa x0 có thể không xác định tại x0.. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoản

CHƯƠNG I SỐ THỰC

I Một thiếu sót của ℚ

Mệnh đề: phương trình: x2 =2 không có nghiệm trong ℚ

Chứng minh: Giả sử phương trình: x2=2 có nghiệm trong ℚ là x0 ⇒ x0 = m

⇒ m2 là số chẵn ⇒ m là số chẵn

(vì nếu m là số lẻ thì m2 là số lẻ)

⇒ n là số chẵn ⇒ n=2h ( h ∈ℤ) ⇒ m

n là phân số không tối giản ⇒ mâu thuẫn với giả thiết

Do đó phương trình x2 =2 không có nghiệm trong ℚ

II Tiên đề Zorn:

1 Khái niệm: Tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi chung là số

i) A ø bị chận trên nếu ∃ k ∈ℝ sao cho: x≤k,∀ x∈A

ii) A bị chận dưới nếu ∃ k ∈ℝ sao cho x≥k, ∀ x∈A

3 Tính chất được sắp hồn chỉnh: Mọi tập con của ℝ khác ∅

bị chận trên đều tồn tại chận trên nhỏ nhất

Nhận xét: Nếu A có chận trên nhỏ nhất thì chận trên nhỏ nhất là duy nhất, ký hiệu là sup A

Chứng minh : Giả sử A có 2 chận trên nhỏ nhất là k1 và k2 ta có:

≤

k1 k2 (vì k1 là chận trên nhỏ nhất)

≤

k2 k1 (vì k 2 là chận trên nhỏ nhất) ⇒ k1=k2

• M là chận trên nhỏ nhất của A nếu với mọi T là chận trên của A thì M ≤T

• m là chận dưới lớn nhất của A nếu ta có m≥t, ∀t là chận dưới của A

• Cho A ⊂ ℝ và A ≠ ¯ Nếu A bị chận trên thì A có vô số chận trên Nếu A bị chận dưới thì A có vô số chận dưới

3 Hê quả: Cho A⊂ℝ và A ≠ ∅ Nếu A bị chận dưới thì A có chận dưới lớn nhất, ký hiệu là inf A

Chứng minh: Đặt B= −{ x x∈A} Vì A bị chận dưới nên tồn tại

m∈ℝ sao cho: m≤x, ∀ ∈x A ⇒ − ≤ −x m, ∀ − ∈x B ⇒ B bị chặn trên, do tính chất được sắp hồn chỉnh ta có sup B tồn tại

Ta có ∀ ∈x A, − ≤x supB ⇒ sup− B≤x ⇒ sup− B là một chận dưới của A

Ta sẽ chứng minh sup− B là một chận dưới lớn nhất của A Thật vậy, ∀t là chận dưới của A thì t≤x, ∀ ∈x A

5/ Mệnh đề (đặc trưng của sup)

Cho A⊂ ℝ , A ≠ ∅ Khi đó:

Chứng minh: ( ⇒ ) Giả sử M =supA, khi đó (i) là hiển nhiên

∀ε> 0 ⇒ M – ε< M ⇒ M – ε không là chận trên của A

⇒ mệnh đề (∀ x∈A; x≤M−ε) là sai

⇒∃ x0∈A: M− <ε x0 ≤M

⇒ (ii) thỏa

(⇐ ) Giả sử M thỏa i) và ii) ⇒ M là chặn trên Giả sử M không là chặn trên nhỏ nhất của A Ta có: sup A<M

⇒ supA M− <0

Coi ε =M −supA>0

Từ ii) ⇒ ∃ x0∈A: M −(M −sup )A <x0 ≤supA

(với ε =M −supA)

⇒ supA<supA: vô lý

Vậy M phải là chặn trên nhỏ nhất của A

III Vài ứng dụng của tính chất được sắp hồn chỉnh:

1 Mệnh đề: (Tính chất Archimède)

Vì na∈A và na≤b nên A bị chặn trên bởi b ⇒ sup A tồn

tại Theo đặc trưng của sup, với ε = >a 0 0 thì

Chứng minh:

Áp dụng tính chất Archimède với a=ε và b 1= ta có nε >1

⇒ <ε

n

1

3 Mệnh đề: Xen kẽ 2 số thực khác nhau bất kỳ có ít nhất một số

hửu tỷ Nói cách khác:

∀a b, ∈ℝ và a<b ⇒ ∃ ∈α ℚ: a< <α b

Tương tự, xen kẽ hai số thực bất kỳ có ít nhất một số vô tỉ

4 Mệnh đề: Phương trình x2 =2 có nghiệm trong ℝ

Chứng minh: Đặt A= ∈{t [ ; ] /1 2 t2 ≤2} Vì 1 ∈ A nên A ≠ ∅, hơn nữa A bị chặn trên bởi 2 ⇒ supA tồn tại và 1 ≤ supA ≤ 2

Ta sẽ chứng minh rằng supA là nghiệm của phương trình x2 = 2 nghĩa là cần kiểm tra (supA)2 = 2 Ta chứng minh phản chứng: i) Giả sử (supA)2 < 2 Xét 0< <ε 1, ta có

(supA+ε)2 = (supA) 2 + 2.ε.supA +ε2≤ (supA)2 + 4.ε +ε2

ii) Giả sử (supA)2 > 2 Xét ε > 0, ta có

(supA - ε)2 = (supA)2 - 2.ε supA + ε2 > (supA)2 - 2.ε supA

≥ (supA)2 - 4.ε

Để (supA)2 - 4.ε = 2 ta chọn ε = (sup )A 2−2

4 > 0

Khi đó với ε = (sup )A 2−2

4 > 0 ta có (supA - ε)2 > 2

Vậy supA –ε là một chặn trên của A

⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA +ε ≤ supA (vô lý)

Kết luận (supA)2 = 2

IV Giá trị tuyệt đối Nhị thức Newton :

1) Định nghĩa : Trị tuyệt đối của một số thực a là

n C

k n k

an-bn =(a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + … + abn-2 + bn-1)

an+bn =(a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - … + (-1)n-2abn-2 + (-1)n-1bn-1) với n lẻ

Ghi chú: Khoảng hở (mở) tâm a bán kính ε > 0 là ( a-ε , a+ε ) còn gọi là lân cận tâm a bán kính ε

CHƯƠNG II DÃY SỐ THỰC

I Khái niệm: Ánh xạ:

được gọi là một dãy số thực

Ký hiệu: , , , , u u1 2 u n hay {u n n, ∈ℕ} hay { }u n

n: được gọi là chỉ số; un được gọi là số hạng tổng quát của dãy

u

1 1

3 5 , các số hạng của dãy là:

u1 = 2; u2 =11

2 ; u3 =43

11 ,

II Sự hội tụ của dãy số:

1 Định nghĩa: Dãy { n} gọi là hội tụ nếu tồn tại số a∈ℝ thỏa: “∀ε > 0 cho trước, luôn tồn tại số nguyên dương N(ε) sao cho

n > N(ε) ⇒ |un - a| < ε”

Khi đó ta nói { n} hội tụ về a và kýù hiệu: un → a hay lim

→∞ n =

n u a

(nghĩa là: ∀ε, luôn tồn tại số N0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N0)

Ví dụ: Chứng minh dãy {

n

1

} hội tụ về 0

∀ε > 0, ta cần chứng minh tồn tại N0 sao cho:

2 Định lý: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Giả sử { n} hội tụ về 2 giới hạn là a1 và a2 với a1 < a2

Mặt khác, vì un → a2,

nên ∃ N2: với mọi n > N2 thì |un- a2| < ε = a2−a1

Do đó khi n > max {N1, N2} thì (1) và (2) cùng xảy ra → vô lý

Do đó giới hạn của một dãy nếu có thì duy nhất

3 Định nghĩa : Dãy { n} gọi là bị chận nếu ∃ K sao cho

|un|≤ K, ∀n

Ví dụ:

• { n} với un = 2 + sin2

n

1 Ta có: 2 ≤ un ≤ 3, ∀n ⇒ { n} bị chận

i) { n} gọi là bị chận trên nếu ∃M : un ≤ M, ∀n

ii) { n} bị chận dưới nếu ∃m : m ≤ un, ∀n

iii){ n} bị chận ⇔{ n} bị chận trên và bị chận dưới

4 Định lý :

i) { n} hội tụ ⇒ { n} bị chận

ii) Giả sử { n}→ a ≠ 0 ⇒ ∃A > 0, ∃ N > 0 sao cho |un| > A, ∀n > N

Ghi chú: Ta cũng có thể chọn K = |u1|+|u2| + +|un|+1+|a|

ii) Giả sử un → a ≠ 0 Ta sẽ chứng minh

• Nếu thay (un ≥ 0, ∀ ∈n ℕ) bằng (un > 0, ∀ ∈n ℕ), ta cũng chỉ suy ra lim

6 Mệnh đề (các phép toán về giới hạn của dãy):

⇒ n > N : |un + vn - (a + b)| = |un - a + vn - b|

≤ un - a| + |vn - b| < ε

2 + ε

2 = ε ⇒ (un + vn) → a + b ii) |unvn - ab| = |unvn - avn + avn - ab| = |vn(un - a) + a(vn - b)|

Do đó : ta chỉ cần chứng minh nếu vn → b thì

2Vậy ∀ε > 0, ∃N2 : n > N2 : |vn - b| < εb2

b - a ≥ 0 ⇒ b ≥ a

Ghi chú:

+ Thay un ≤ vn, ∀n bằng un ≤ vn, ∀n > N thì định lý vẫn đúng + Nếu v n >u n, ∀ ∈n ℕ thì ta cũng chỉ suy ra b ≥ a (không thể bỏ dấu “=” )

→+∞ = a thì { n} hội tụ và lim xn = a

Chứng minh: Với mọi ε > 0 cho trước,

• un hội tụ về a, ∃N1 : n > N1 ⇒ |un - a| < ε

i) Dãy { n} gọi là đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1, ∀ ∈n ℕ

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy tăng nghiêm ngặt (nghiêm cách)

ii) Dãy { n} gọi là đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, ∀ ∈n ℕ

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy giảm nghiêm ngặt

iii) Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu

2 Định lý:

i) Dãy tăng và bị chận trên thì hội tụ

ii) Dãy giảm và bị chận dưới thì hội tụ

{ n} tăng và bị chặn trên bởi 1 ⇒ { n} hội tụ

Ta có: lim lim

IV Dãy phân kỳ ra ∞:

1 Định nghĩa: Dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ

Ví dụ: { n} với un = (−1)n là 1 dãy phân kỳ

2 Định nghĩa:

i) Dãy { n} gọi là phân kỳ ra +∞ nếu tính chất sau thỏa: “∀A > 0 cho trước, ∃ N : n > N ⇒ un > A”

ii) Dãy { n} gọi là phân kỳ ra −∞ nếu tính chất sau thỏa: “∀A > 0 cho trước, ∃ N : n > N ⇒ un <−A”

• Nếu dãy { n} phân kỳ ra +∞, ta viết

3 Mệnh đề: Giả sử { n} tăng và { n} giảm thỏa:

,lim( ) (*)

⇒{ n} bị chận trên bởi v1 (và un tăng)

⇒{ n} hội tụ về x1

+ vn ≥ un ≥ u1, ∀n

⇒{ n} giảm và bị chận dưới bởi u1

⇒{ n} hội tụ về x2

1

0 < ε ii) * Neáu a = 1, hieån nhieân n

* Neáu a < 1

(ta có (*) vì n – m > n -

2

n =2

n (∀n >2m))

⇒ 0 <

(1 )

x n

n n m

Cho dãy { }u n với un =

ii) Nếu gọi e là giới hạn của { }u n thì e là số vô tỉ

iii) 2 dãy số sau cũng hội tụ và có giới hạn là e

2 < 3 ∀n

{ }u n tăng và bị chặn trên ⇒ { }u n hội tụ

ii) Gọi e = lim

→+∞ n

n u (un > 2 + ,1 ∀ ≥n 4

2 , do đó e > 2) Giả sử e là số hữu tỉ ⇒ e = p

Qua giới hạn, ta có: lim lim lim

!+

Hơn nữa, q!uq và q!uq + 1 là 2 số nguyên liên tiếp Vậy giữa 2 số nguyên liên tiếp có 1 số nguyên là vô lí

Do đó e phải là 1 số vô tỉ

iii) Hướng dẫn:

Ta chứng minh xn ≤xn+1 bằng bất đẳng thức Cauchy:

n

x

1 1

1 ⇒  + 

IV Dãy Cauchy:

1 Định nghĩa: { }u n được gọi là 1 dãy Cauchy nếu tính chất sau thỏa:

“∀ε > 0, luôn ∃N > 0 sao cho ∀m, n > N ⇒ u −u <ε

2 Định lý: Cho { }u n là dãy số thực

{ }u n hội tụ ⇔{ }u n là dãy Cauchy

Phát biểu cách khác:

“∃ε0 > 0, ∀ N > 0, ∃ m, n > N sao cho u −u ≥ε0

Ví dụ: Chứng minh {un} không hội tụ

Do đó: ∃ε0 = 1

2 ,∀N, ∃n = N+1, m = 2(N+1) (m, n > N)

⇒ u m−u n = u2m−u m ≥1

2vậy {um} không hội tụ (phân kỳ)

Ví dụ: dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh dãy sau hội tụ:

Chương III GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I Vài khái niệm:

1 Ánh xạ :f D⊂ →ℝ ℝ được gọi là một hàm số thực

• D: miền xác định của f

• f(D): miền giá trị của f

2 Cho 2 hàm số f và g có miền xác định lần lượt là D1 và D2

iii) Hàm f : f x( )= f x( )

Có miền xác định là D1\ A với A = {x ∈ D1/ f(x) < 0}

4 Vài hàm lượng giác ngược :

• y = arcsinx có MXĐ là [-1, 1] và miền giá trị là  π π, 

• y = arctgx có MXĐ là (-∞, +∞) = ℝ và miền giá trị là (- π/2, π/2)

• y = arccotgx có MXĐ là (-∞, +∞) = ℝ và miền giá trị là (0, π)

II Giới hạn hữu hạn của hàm số:

Nhắc lại:

Cho ε > 0, (x0 - ε, x0 + ε) = {x/ x0 - ε < x < x0 + ε} = {x/|x - x0| < ε}

được gọi là khoảng mở tâm x0 bán kính ε hay còn gọi là lân cận tâm x0 bán kính ε

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng mở I chứa x0

(có thể không xác định tại x0) Ta nói L là giới hạn của f tại x0 nếu điều kiện sau thỏa:

“∀ε > 0 cho trước, luôn tồn tại α > 0 sao cho :

2 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng mở I chứa x0

(có thể không xác định tại x0)

i) Ta nói L là giới hạn bên trái tại x0 nếu:

“∀ε > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ I và 0 < x0 - x < α ⇒ |f(x) - L| < ε”,

ta ký hiệu lim ( )

ii) Ta nói L là giới hạn bên phải tại x0 nếu:

“∀ε > 0, ∃α >0 sao cho x ∈ I và 0 < x - x0 < α ⇒ |f(x) - L| < ε”,

ta ký hiệu lim ( )+

(Hay nói khác đi: f có giới hạn là L tại x0

⇔ f có giới hạn trái và phải tại x0 và hai giới hạn này cùng bằng L) (Vì 0 < |x - x0| < α⇔ 0 < x - x0 < α hay 0 < x0 - x < α)

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = nếu

Coi khoảng mở I tâm 4 bán kính 1 (I = (3, 5))

3 Mệnh đề: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể

không xác định tại x0), 2 mệnh đề sau là tương đương:

Dãy { n} trong I hội tụ về x0 và xn ≠ x0, ∀n thì với α ở trên, tồn tại

N sao cho 0 < |xn - x0| < α với mọi n > N (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có

Chứng minh: Xét dãy xn =

Nhưng f(xn) = sinπ π

2 2n  1 ; f(yn) = sin(2nπ) → 0

Do đó giới hạn của f tại 0 không tồn tại

Ví du 2ï: Xét hàm số f(x) = x2 chứng minh lim ( )

“∀ε > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I và x > B ⇒ |f(x) - L| < ε”

Ký hiệu: lim ( )

x f x L ii) Cho f xác định trên I = (-∞, a) = {x ∈ ℝ / x < a} Ta nói f có giới hạn là L ở -∞ nếu:

“∀ε > 0, ∃B > 0 sao cho x ∈ I và x < -B ⇒ |f(x) - L| < ε” Ký hiệu: lim ( )

x f x L Nhận xét: Định nghĩa trên hoàn toàn tương tự với định nghĩa giới hạn của dãy số

Do đó: ∀ε > 0, ∃ B =

ε

1 > 0 sao cho x > B ⇒ |f(x) -1| < ε

5 Mệnh đề: Cho hàm số f xác định trên I = (a, +∞) Khi đó, hai tính chất sau tương đương:

6 Mệnh đề: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể

không xác định tại x0) Giới hạn của f tại x0 (nếu có) là duy nhất

n f x L2 (do mệnh đề 3)

⇒ L1 = L2 (do tính duy nhất của giới hạn dãy số)

Ghi chú: Mệnh đề vẫn đúng khi thay x → x0 bằng x→x0+, x→x0−

hay x →±∞

7 Mệnh đề: Cho hàm số f xác định trên một khoảng mở I chứa x0

(có thể không xác định tại x0)

i) Nếu giới hạn của f tại x0 tồn tại hữu hạn thì tồn tại k > 0 và một khoảng mở J chứa x0 sao cho |f(x)|≤ k, ∀x ∈ J\{ 0}

ii) Giả sử lim ( )

⇒ |f(x) - A| < ε = 1

⇒ |f(x) | = |A + f(x) - A|≤ A| + |f(x) - A| < |A| + 1, ∀x ∈ I và 0 < |x - x0| < α

Vậy ∃ k = |A| + 1 và J = I ∩ (x0 - α, x0 + α) sao cho

2 > 0 và J1 = I ∩ (x0 - α, x0 + α)

Ta có: |f(x)| > k1, ∀x ∈ J1\{ 0}

Tất cả các mệnh đề sau được suy từ các tính chất của giới hạn của dãy số, mệnh đề 3 và mệnh đề 5 của chương này

8 Mệnh đề: Cho hàm số f xác định trên khoảng mở I chứa x0

(có thể không xác định tại x0)

9 Mệnh đề: (Các phép toán trên giới hạn hàm số)

Cho các hàm số f, g xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể không xác định tại x0) Giả sử lim ( ) , lim ( )

x x f x L x x g x M

Khi đó: i) lim[ ( ) ( )]

10 Mệnh đề: Cho các hàm số f, g xác định trên khoảng mở I chứa

x0 (có thể không xác định tại x0) và

11 Mệnh đề: (định lý kẹp)

Cho các hàm số f, g, h xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể không xác định tại x0) và f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I \{ 0}

Nếu lim ( ) lim ( )

1

Vậy lim sin =0

12 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên D Ta nói

i) f bị chận trên trên D nếu ∃M : f(x) ≤ M, ∀x ∈ D

ii) f bị chận dưới trên D nếu ∃m : f(x) ≥ m, ∀x ∈ D

iii) f bị chận trên D ⇔ f bị chận trên và bị chận dưới trên D

⇔∃k :|f(x)|≤ k, ∀x ∈ D Từ mệnh đề 7 ta thấy nếulim f x ( )

→

x x0 tồn tại hữu hạn thì có một khoảng mở J chứa x0 để f bị chận trên J\{ 0} (f có giới hạn hữu hạn tại x0 ⇒ f bị chặn trên khoảng mở chứa x0 (có thể ngoại trừ x0))

13 Hệ quả: Cho các hàm số f xác định trên khoảng mở I chứa x0

(có thể không xác định tại x0)

III Giới hạn vô cực của hàm số:

1 Định nghĩa: Cho f xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể

không xác định tại x0) Ta nói:

i) f có giới hạn là +∞ tại x0 nếu “∀A > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ I và

0 < |x - x0| < α ⇒ f(x) > A”

ii) f có giới hạn là -∞ tại x0 nếu “∀A > 0, ∃α > 0 sao cho x ∈ I và

0 <|x - x0| < α ⇒ f(x) < -A”

Ghi chú: Nếu thay 0 < |x - x0| < α bởi

a) 0 < x - x0 < α: ta có giới hạn phải tại x0 ;

b) 0 < x0 - x < α: ta có giới hạn trái tại x0

Ví dụ 1: Chứng minh: lim

x 0x2

1

2 Định nghĩa: Cho f xác định trên I = (α, +∞) Ta nói:

i) f có giới hạn là +∞ ở +∞ nếu: “∀A > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I và x > B ⇒ f(x) > A” Ký hiệu: lim ( )

ii) f có giới hạn là -∞ ở +∞ nếu: “∀A > 0, ∃ B > 0 sao cho x ∈ I và

x > B ⇒ f(x) < -A” Ký hiệu: lim ( ) = -

a x

a x

a

0

11g) lim ln

Cách khử dạng vô định: 1∞

Xét giới hạn [ ] ( )

1

2 2

1

V Các đại lượng tương đương:

1 Định nghĩa:

i) Cho f và g là 2 hàm xác định trên khoảng mở I chứa x0 (có thể không xác định tại x0) Ta nói: f tương đương với g khi x tiến về x0 nếu ( )

ii) Cho f và g xác định trên I = (α, +∞) Ta nói: f tương đương với

g khi x tiến về +∞ nếu ( )

iii) Cho f và g xác định trên I = (- ∞, α) Ta nói: f tương đương với

g khi x tiến về −∞ nếu ( )

2 Hệ quả: Cho f ∼ f1 và g∼g1 khi x→x0

(hoặc f ∼ f1 và g∼g1 khi x→+ ∞

hoặc f ∼ f1 và g∼g1 khi x→− ∞)

Khi đó, ta có:

(hoặc thay x→x0 bởi x→ +∞ hoặc x→ −∞)

+ Chú ý rằng có khi lim ( ( ) ( )) lim ( ( ) ( ))

x x f x g x x x f x g x

+ Cho f ∼ f1và g∼g1 khi x→x0 và f, g cùng dương trong lân cận x0 Khi đó ta có lim ( ( ) ( )) lim ( ( ) ( ))

→

x

x x

0

22

+ α(x), β(x) là hai vô cùng bé khi x → x0

+ α(x) gọi là vô cùng bé bậc cao hơn β(x) khi x → x0 nếu lim

→

x x0

( )( )

3

= 0