Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến trong liên hệ với bài toán Newmann

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRÙNG DƯƠNG SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRÙNG DƯƠNG

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 1.01.01

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long

Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Lê Trùng Dương

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

2006

Trường Đại Học Tiền Giang

LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2006

Để hoàn thành Luận văn Thạc sỹ Toán học này, lời đầu tiên tác giả xin

trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và

hướng dẫn trong suốt quá trình tôi thực hiện Luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Thầy Nguyễn Công Tâm

đã đọc luận văn và đã cho những nhận xét quý báu và những lời phê bình bổ ích đối với luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những lời góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn

Xin trân trọng cảm ơn tập thể các Thầy, Cô thuộc khoa Toán − Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong suốt thời gian học tập

Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và Đào Tạo sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và các thủ tục hành chính trong khóa học

Sau cùng, xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán khoá 13; Ban Giám Hiệu, các phòng khoa và tập thể giáo viên trường Đại học Tiền Giang; Gia đình và những người thân;… đã luôn động viên, luôn nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể có thể hoàn thành khoá học

Tiền Giang, ngày tháng năm 2006

và một số điều kiện bổ sung thêm

Trong trường hợp phương trình (1.1) với σ=N−1, g(x,y,u(y))=g(y,u(y)),(độc lập với biến không lấy tích phân x), phương trình tích phân

IR

1 N

xy

yu,ygbx

=

+ +

Trong [1] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky đã nghiên cứu bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 với phương trình Laplace (1.4) theo tọa độ trụ

(1.9) −vz( )r,0 =g(r,v( )r,0 ), ∀r≥0

Trong [8] Ruy, Long, Bình đã xét bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 và hàm g liên tục, không giảm và bị chận dưới bởi một hàm luỹ thừa bậc α đối với biến thứ ba trong [8] đã chứng minh rằng nếu 0<α≤2 thì bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương

Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2] và Bình, Long [3] đã xét bài toán (1.4), (1.5) với N≥2 Hàm số g:IRN×IR+ →IR+là liên tục, không giảm đối với biến u, thoả điều kiện

0,y

g tồn tại và dương,

và thêm một số điều kiện phụ Trong trường hợp 0≤α≤N/(N−1), N≥2 các tác giả trên đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.3) tương ứng với bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương [2, 3]

Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh rằng bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương với g(x, v) có dạng cụ thể độc lập với x

(1.12) g( )x,v =vα, α≥1

Trong [5] Hu, Yin đã chứng minh với 1≤α<N/(N−1), N≥2 và trong [6]

Hu đã chứng minh với 1≤α<(N+1) (/ N−1), N≥2

Cũng cần chú ý rằng hàm g( )x,v = vα không thoả các điều kiện (1.10), (1.11) trong các bài báo [2, 7, 8, 10]

Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với hai trường hợp:g:IRN×IR+ →IR và g:IR2N×IR+ →IR là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện (1.2) tương ứng Với các điều kiện trên hàm g tương ứng luận văn sẽ chứng minh rằng phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương Các điều kiện cho hàm g trong luận văn nầy cũng không sử dụng tính không giảm của hàm g đối với biến u và các điều kiện (1.10), (1.11) như trong một số công trình trước đây [2, 7, 8, 10, 11]

Luận văn này ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình bày trong 4 chương:

Trong chương 1, là phần trình bày xuất phát điểm của bài toán cùng với một số kết quả đã có trước đây và giới thiệu các nội dung sẽ trình bày trong các chương kế tiếp của luận văn

Trong chương 2, nhằm mục đích thiết lập phương trình tích phân phi tuyến (1.3) mà ẩn hàm là giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace (N + 1) − chiều (1.4) trong nửa không gian trên ( , ) 1, 1 0

ηξηξπ

=

2

IR

2 2

yx

,u,,g2

1y,x

u

với g:IR2×IR+ →IR+ thoả các điều kiện:

(1.14) g là hàm liên tục và tồn tại 3 hằng số M>0, α≥0, γ≥0 sao cho: (1.15) g(x,y,v)≥M( x2+y2)γ.vα, ∀x,y∈IR, ∀v≥0

Với một số điều kiện phụ bổ sung, luận văn sẽ chứng minh rằng nếu 0<α−γ≤2thì phương trình tích phân phi tuyến (1.13) không có nghiệm dương liên tục Kết quả trong [8] là một trường hợp riêng của chương này với γ=0

Trong chương 4, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với

2N,N,

N

0<σ<γ+ σ< ≥ Hàm g:IR2N×[0,∞)→IR là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện (1.2) và một số điều kiện phụ sau đó Bằng cách xây dựng một dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu 0≤α≤(N+γ) (/ σ−β) phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương

CHƯƠNG 2

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Trong chương này, với σ = N – 1, chúng tôi muốn chỉ ra rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.1) ở trên mà ẩn hàm u(x) = v(x, 0) là hàm giá trị biên của bài toán Neumann phi tuyến cho phương trình Laplace (N + 1)−chiều trong nửa không gian trên IRN 1 +

x

,x,'xx

,,x,xx,IRx

,0x,IR'x:IRx

,'xxIR

,0x,IR'x:IRx

,'xxIR

,1Nn

2 2 n 2 2

n 1 i

2 i

n n

2 1 n

n 1 n n

n n

n 1 n n

n n

− +

x , R x R

n n

>

=

>

= +∞

(2.3) ( ) ( ) [a x a x~ ],

nx,

−ω

−

=

21

trong đó

n n

= là diện tích của mặt cầu đơn vị trong IR

∂

∂

=γ

∂

∂γ

∂γ

=γΔ

−Δγ

ε

Ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Với giả thiết (S1) ta có

∂

∂γ

+

a x 0

avdSv

1x

,a,xa2n

1x

,a

n

n 2 n

=

−ω

−

=Φ

−ω

−

Ta có

* Do giả thiết (S1), hàm x ( ) ( ) ( ) (a,x v a,x v a,x a,x

Φ

∂

−ν

∂Φ

(2.10) limI1( )a, 0

0

=ε

+

→ ε

* Đổi biến x=a+εy, chuyển tích phân mặt trên mặt cầu tâm a bán kính ε thành tích phân mặt trên mặt cầu đơn vị tâm O

=ν

∂a

1 n

dya

vya,asdS

vs

−

=ν

sv

1 1

∫ ( ) ( )

=

+

→ε

→ωε+ω

=

1 y n

.a

vd

yav

Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.„

Từ (2.6), thay Δγ =0,∀x ≠avàΔv=0, sau đó cho ε→0+ ta thu được

∂

∂γ

=

Khi đó ta thu được bổ đề sau

Bổ đề 2.2. Giả sử v là nghiệm của (2.1), (2.2) thoả các điều kiện (S1), (S2), ta có

Ω

∂ +∞

∂γ

n

IR x

Chứng minh. Ta có

( )

{x',0 : x' R},D

,S

∂γ+

∂

∂γ

∂γΩ

∂γ

∂γ+∞

→

R

S R

.0dSv

ax1x

a

axxan22n

1x

,'x

;as

n n n

n n 1 n

−

=

n n x

x

~a

ax1x

,'x

;a

−

=

2 n

D

'x'a

12

n

2x

,a

R

Từ (2.19), (2.20) dẫn đến

∂γ

+∞

→ +∞

IR x

Trước hết ta đánh giá các tích phân trên SR :

(i) Đánh giá tích phân ∫ γ∂ν

R

S

.dSv

* Trên SR ta có

aR

12

n

2x

,a

−

≤γ

−

≤ν

S

dSva

R

12

n

2dS

−

=

1 y

1 n 2

n n

dRRyva

R

12

n2

vsupa

R

R2

n

S x 2 n

1 n

ων

R

R

S x 2 n

1 n

(2.24) ∑ ∑ ( )

=

=

=ννΦ+

=νγ

=ν

∂

γ

1 i

i x x n

1 i

i

R

x,

s

i i i

axxan22n

1x

;a

−

xa

ax1

n i i n

≤

≤

−

−ω

−

=

axxan22n

1x

ax1

n i i n

−

=

xa

ax1x

,'x

;

n n

xn

−

+

×ω

−

=Φ

Chú ý rằng :

:0x,Rx

~x,S

∀

,aRaxa

aRax

~a

x

n n i i n

x

xa

11

xa

ax1x

;as

−

×ω

≤

−

−

×ω

11

ax

11

1 n n

1 n n

≤

≤

−

×ω

=

−

×ω

Tương tự

n n i i n

x

x

~a

11

x

~a

ax1x,a

−

×ω

≤

−

−

×ω

≤Φ

11

ax

11

1 n n

1 n n

=

−

×ω

ax1x,a

i

−

+

×ω

≤Φ

aR

11

x

~a

11

1 n n

1 n n

−

−

−

×ω

≤

−

×ω

≤ν

γ

1 i

i x

1n

2

R 1

n n

∈

∀

−

×ω

≤ν

∂

γ

∂ν

R R

1 n n

S

dSsupa

R

1n

2dS

(R a) sup ( )x R 2

1n

S x 1 n

ων

−

×ω

R

nR

R

S x 1 n

1 n

RdS

vv

R

1 n

∂γ

1 n

vlim

∂

∂γ

∫

+∞

Do đó (2.18) được chứng minh và bổ đề 2.2 được chứng minh xong.„

Kết quả sau đây được suy ra từ (2.14) và bổ đề 2.2

Bổ đề 2.3 Giả sử v là nghiệm của (2.1), (2.2) thoả các điều kiện (S1), (S2) ta có

(2.34) ( )=− ∫−γ = ∫−γ( ) ( ) ∀ ∈ +

1 1

0

n

n n IR

n IR

x dx' a;x,' G x'dx,' a IRv

a

Ta có định lý sau

Định lý 2.1. Nếu nghiệm v của bài toán (1.1), (1.2) với g:IRn − ×[ ,+∞)→[ ,+∞)

00

1

là hàm liên tục thoả các tính chất (S1), (S2), khi đó v là nghiệm của phương trình

tích phân phi tuyến sau

(2.35) ( ) ( ) ∫− ( ( ( ) )()− ) ∀( )∈ +

+

−ω

−

=

1

2 2 2 2

02

2

n

IR

n n

/ n n n

a'a'x

'dx,'xv,'x

gn

a,'a

CHƯƠNG 3

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG

TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VỚI N = 2

Xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến sau (tương ứng với N = 2)

(3.1) ( ) ( ( ) )

(x ) (y ) d d ( )x,y IR ,

,u,,g2

1y

2

η

−+ξ

−

ηξηξπ

=

với g:IR2×[0,+∞)→[0,+∞) thoả các điều kiện:

(G1) g là hàm tuyến tính,

(G2) Tồn tại 3 hằng số M > 0, α ≥ 0, γ ≥ 0 sao cho

trong đó g thoả các điều kiện (G1), (G2)

Các tính chất (S1), (S2) được cụ thể lại như sau

( )S 1* v C ( )IR C( )IR , v C( )IR3 ,

z 3 3

2

+ +

∂

∂+

→

>

= + + +∞

→

.0z,y,xz

vzz,y,xy

vyz,y,xx

vxsuplim

ii

,0z,y,xvsuplim

i

0 z , R z y x R

0 z , R z y x R

2 2 2 2

2 2 2 2

Khi đó ta có định lý sau

Định lý 3.1 : Giả sử nghiệm v của bài toán (3.2), (3.3) với

−+ξ

−

ηξηξπ

=2

IR

3 2

2

zy

x

0,,v,,g2

1z,

−

ηξηξ

2

ddy

x

0,,v,,g

tồn tại ∀( )x,y ∈IR2

Khi đó, ta dùng định lý hội tụ bị chận, cho z → 0+ trong phương trình tích phân (3.4), nhờ vào ( )S 3* , ta thu được

−

ηξηξπ

=2

IR

2 2

yx

0,,v,,g2

10,

−

ηξηξ

=2

IR

2 2

yx

,u,,g

trong đó A là một toán tử tuyến tính xác định bởi công thức

(x ) (y ) d d , ( )x,y IR .

,G2

1y,x,G

A

2

IR

2 2

2

η

−+ξ

−

ηξπ

=η

Bổ đề 3.1. Với mọi ( )x,y ∈IR2ta có:

≥

2 2

yx2

yx1ln

x

1

2 2 2 2 2

η+ξ++

≥η

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξ

ddy

x1

21

( )

η+ξ++η

+ξ+

η+ξπ

ddy

x1

21

+++

ϕπ

=

1 2

drrd

21

=

1

)yxrr1

drr

(1 r) r x y ) ,

drr

1

+∞

=+++

≥+∞∫ α

+ γ

vì ( )α ( ) α − γ

γ

++

⋅

1

~yxr

rr

(ii) α−γ>1: Ta kiểm tra lại A ( 2 2) (1 2 2) ( )x,y

γ

dd1

2

12

2 2

( ) ( ( ) ) 1 .

1dr

r1

r1drr1

r

0 0

+∞

<

−γ

−α

=+

α γ

Chọn R>3 x2+y2 >0 Ta viết lại A ( 2 2) (1 2 2) ( )x,y

−η

+ξ+

η+ξπ

ddy

x1

21

( )

( ) (∫∫ )

≤ η

− + ξ

α

γ

ηξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

=

R y

2 2

2 2

ddy

x1

− + ξ

α

γ

η

ξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

+

R y

2 2

2 2

ddy

x1

21

x1

2

1y

,

x

J

R y

2 2

2

2 2 1

R

2

2∫∫

≤ η

− +

γ

ηξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

− +

γ

ηξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

=

R y

2 2

2

2 2 1

R

2 2

ddy

x1

2

1y,x

− +

η+ξπ

≤

2 2

2 2 R y

2

1

2 2

( ) ( )

( ) (∫∫ )

≤ η

− +

ηξ

×

R y x

2 2

2

dd

≤ η

− +

ηξ

×η+ξ+

η+ξπ

=

R

2 2 2

2

2 2 R y

dd1

sup2

≤ η

− + ξ

ϕη

+ξ+

η+ξπ

0

2 0 2 2

2 2 R y x

drd1

sup2

1

2 2

2 2

2 2 R y

+∞

<

η+ξ+

η+ξ

γ

≤ η

− + ξ

x1

2

1y

,

x

J

R y

2 2 2

R

2

2∫∫

≥ η

− + ξ

α

γ

ηξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

=

Chú ý rằng

− + ξ

α

γ

ηξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

=

R y x

yx

12

α

γ

η

ξη

−+ξ

−η

+ξ+

η+ξπ

≤

2 2 2

2 2

ddy

x1

21

= +∞∫ ( + ) ⋅ − + ⋅

+

−

α γ

2

2 y x

rdrr

1

r

Do R>3 x2+y2 >0, ta có

,0yxy

x2Ryxry

+

−

⋅+2

2 y x

rdrr

1

r

hội tụ với α−γ>1

Vậy tích phân

(3.17) J( )R2 ( )x,y hội tụ với α−γ>1

Tổng hợp lại (3.11), (3.12), (3.13) và (3.17) ta thu được

(3.18) ∀( )x,y ∈IR2, A⎢⎣⎡( ξ +η ) ( + ξ +η ) ⎥⎦⎤( )x,y

α

− γ

2 2 2

2 1 hội tụ với α−γ>1.Hơn nữa, với α−γ>1, ta có

(3.19) ( ) ( ) ( ) +∞∫ ( )α ( )

γ α

− γ

++

⋅+

2

yxr

rdrr

1

ry

,x1

A

( ) ( )⋅

++

⋅+

≥ +∞∫

+

α γ

2

2 y x

2

xr

rdrr

2

++

ta thu được từ (3.19) rằng

+∞

γ−α α+

−η

+ξ+

η+ξπ

ddy

x1

21

−η

+ξ+

η+ξπ

2 2

ddy

x1

21

( )

η+ξ+

η+ξπ

2 2

yx

dd1

21

+∞∫ ( )γ +

γ

++

⋅+

=

2

yxr

rdrr

1r

( )⋅

++

≥+∞∫

+ γ

2

yxrr

drr

1r

2

2

dryxr

1r

1yx

12

1y

xrr

dr2

1

+

++

2 2 2

yx1lny

xr

rln

yx21

Định lý 3.2 : Giả sử rằng g thoả các giả thuyết (G1), (G2) với điều kiện

(3.25) ( ) u(x ,y ) m ,

2

1y

−

η+ξπ

≥

γ α

.IRy,x,ddy

x2

m

2 2

2 2 0

Sử dụng bất đẳng thức sau

(3.27) ( ) (2 )2 2 2 2 2

yxy

2 0

2 0 2

2

yx

yx1yx

−

η+ξπ

γ α

0 0

0 x , y

2 2

yx

0 x , y B

2 2 2

0

2 0

2 0 2

2

0

ddr

yx1yx1

2

mM

( )

ryx1yx1

2

mM

0

r 0 1 2

0 2 0

2 0

2 0 2

+++

⋅++++γ

α

2 2 2

0

2 0

2 0

2 0 0

yx1

1r

yx12

rm

Ta suy ra từ (3.26), (3.28) rằng

(3.29) ( ) ( ) u ( )x,y, x,y IR,

yx1

my

,

x

2 2

++

++++γ

2 0

2 0

2 0

2 0 0 1

ryx1)2(

r)m(Mm

Ta xét các trường hợp khác nhau của α − γ

α α+

=

α − γ − ; q2 =α−γ−1.Bằng quy nạp ta giả sử rằng

(3.33) u( )x,y u ( )x,y m (1 x2 y2)q , ( )x,y IR2

1 k 1

k

1

∈

∀+

++

≡

≡trong đó các dãy số { } { }qk , mk được xác định bằng công thức quy nạp

−

αγ

−α

−α

<

≤γ+α

k2

2ln

2 0

Với α−γ=2, áp dụng bổ đề 3.1, (iii) ta thu được từ (G2), (3.6) và tính đơn điệu của toán tử A rằng

(3.41) u( )x,y =A[g(ξ,η,u( )ξ,η) ] ( )x,y

A M( 2 2)u ( ) ( ), x,y

⎥⎦

⎤

⎢⎣

≥A⎢⎣⎡M( ξ2+η2)u1α( ) ( )ξ,η⎥⎦⎤ x,y

γ

=Mm1A⎢⎣⎡( ξ2+η2) (1+ ξ2+η2) ⎥⎦⎤( )x,y

α

− γ

α

( )⋅

+ + + ≥ α α 2 2 2 2 1 y x 2 y x 1 Mm ln Ta suy từ (3.41) rằng (3.42) u( )x,y ≥v2( )x,y ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≥ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = , 1 y , 0 , 1 y 2 y x 1 ln y x C 2 2 2 2 p 2 2 2 2 2 2 x

x ,

trong đó (3.43) 2 m M Mm 2 1 C ; 1 p2 2 1 1 α α α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = Giả sử rằng (3.44) u( )x,y ≥vk−1( )x,y ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≥ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = − − , 1 y , 0 , 1 y 2 y x 1 ln y x C 2 2 2 2 p 2 2 1 k k1 2 2 x

x ,

trong đó pk−1, Ck−1 là các hằng số dương

Sử dụng giả thiết (G2) và (3.6), (3.44) ta có

(3.45) u( )x,y =A[g(ξ,η,u( )ξ,η) ] ( )x,y

≥A⎢⎣⎡M( ξ2+η2)uα( ) ( )ξ,η⎥⎦⎤ x,y

γ

≥A⎢⎣⎡M( ξ2+η2)vkα−1( ) ( )ξ,η⎥⎦⎤ x,y

γ

ηξη

+ξπ

ddy

x

,v2

α

−

γ

ηξη

−+ξ

−

ηξη

+ξπ

≥

1 k 2 2

2 2

ddy

x

,v2

α α

++η+ξη+ξ

1 k

2 2

1 k

ddyx2

1ln

2MC

( )dr

yxrr

2

r1ln

MC

p 1

k

1 k

1 1

2

r1lndr

yxr

r

2

r1ln

+∫∞ ( )

+

α

++

y

2 2 p

yxrr

dr2

yx1ln

−

⋅+

y

2 2

2 2

yxr

1r

1y

x

12

yx1ln

⋅+

y x 2 2 2

2

2 2 p

yxr

rln

yx

12

yx1

2 2 p

yx

2ln2

yx1

Với x2+y2 ≥1 ta dùng (3.45), (3.46)

(3.47) ( ) +∫∞ ( )

α α

−

++

yxrr

2

r1lnMC

⎟⎟⋅

⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ + ≥ α− α − 2 y x 1 ln y x 2 ln MC p 2 2 2 2 1 k k 1 Từ (3.45), (3.47) ta thu được (3.48) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≥ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ≥ , 1 y x , 0 , 1 y x , 2 y x 1 ln y x C y , x v y , x u 2 2 2 2 2 2 p 2 2 k k k

trong đó pk, Ck là các hằng số dương xác định bởi công thức quy nạp (3.49) pk =αpk 1; Ck =MCkα1ln2, k=3,4,… − − Từ (3.43), (3.49) ta có (3.50) pk =αk−2, ( ) ( ) ( ) m M ( )( )ln2 2 1 2 ln M C 2 ln M 2 ln M C 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 k − − α − α − α α − α − α − α α − α − α − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = Nhờ vào (3.50), ta viết lại (3.48) với x2+y2≥1 như sau (3.51) u( )x,y ≥vk( )x,y ( ) ( )( ) .

2 y x 1 ln 2 ln M m 2 1 y x 2 ln M 2 k 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 α − − α − α α − α − α − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = Chọn (x,y) sao cho ( )( ) 1

2

y x 1 ln 2 ln M

m 2

1

1 1

1 2

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

− α

− α α

− α

hay

(3.52)

( )( )

2

ln M

m

2 exp

2 1 y

1

1 1

1 2 1

2

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

−

>

+

− α

− α α

− α

Khi đó ta có

(3.53) u( )x,y lim vk( )x,y , x2 y2 0

≥

+∞

→

Điều này vô lý Định lý 3.2 được chứng minh cho trường hợp 3

Tổ hợp các trường hợp 1−3 ta suy ra rằng định lý 3.2 được chứng minh

CHƯƠNG 4

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG

yu,y,xgb

b = − ω + − với ωN+1 là diện tích của mặt cầu đơn vị trong

là một số dương cho trước và là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện:

N

;2

N

,

IRn+1 ≥ σ<

IRIR

IR:

và một số điều kiện bổ sung thêm

4.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG

Không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng với việc thay đổi hằng số M trong giả thiết (4.2) của g

yu,y,xgx