các dạng toán tích phân - gv- trịnh thị thanh bình

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNPHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.. TÍNH TÍCH PHÂ

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.

2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.

3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.

4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.

5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

B Ví dụ:

VD1: Tính tích phân

1 2x x 0

dxI

4 0

b/ Ta có:

4 x

2

0 0

0

( ' )

a u

b a

dt t f dx x u x u f

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1

,lnx)

+, Khi f(x) có chứa nu(x) thì thường đặt t = u(x)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.

x dxI

1 dxcos x



0

1 dxcosx

x (1 x ) dx

2 0



dx x x

ln ex 2 e x 3

dx

x ; 17)

3

42 sin

) ln(





dx x

tgx

; 18)  4

0

8 ) 1

(



dx x

x x

sin



dx x



dx x

1

lnln3





4 0

22 sin 1

sin 2 1



dx x

b x

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

dx x f

I b

a

) ( ' ) ( )

dxI

Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với

x= 0 t = 0 2

0 0

dxI

33

Do đó:

/ 2 / 2

cosdxI

2 0

9 3x dxx



1

5 0

1(1 x dx)

x

III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

A Phương pháp:

x x



 dx; 3)

3 0

21

x x

x x



 dx ; 9)

3

cos 0

sinx e x



1 x 0

b a

b

x v x u dx x v x

u ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )

Hay:      

b a

b a

b

v u udv

b a

b

v u udv

Chú ý:

+)Đặt u=f(x), dv=g(x)dx(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

e sinaxdxa

b x a

0 0

ln(1 x)dxx

2) 2 ( x e xdx

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

3 2

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

0 2

3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

Ví dụ 5 Tính tích phân

4

x 4

p -

I3

=

p

=

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.

x dxI

x dxJ

Thay (2) vào (1) ta được:

cos xdxI

Caâu1 4 : : Tính tích phaân:

2

3 0

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1 tính tích phân

b

a

I = ò f(x) dx+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2

Ví dụ 1 Tính tích phân { }

4

2 0

2

x 0

I =òmin 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4.Bảng xét dấu

x 0 1 2h(x) – 0 +



a x

dx t

 2

Từ đó ta có :

a x

dx t

1 2x x2dx

I = 





2 3

6

sin 1

cos

t dt t

2 ( 2 1 )2 4

) 1 2 ( 2

1

x

x d

2

2 4 3 4

1 2 ln 2

45 7 ln 2

2 1

2 4 34

12ln21

x x

d dx

= -1ln 5

2.Tích phân dạng :  ax Ax2B bx dxc

) (

Với a.A 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax2bxc,một tích phân có tử

là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số

dx B Ax

2 ) (

b ax

dx M

2

Ví dụ 1:Tính I =  (x242)x 3

dx x

x

dx x

= = 2 2 3 3 ln 1 2 2 3

) 2 (

x x

dx x

Ta có: J = 

 0

) 2 (

x x

dx x

2 ) 2 2 (

dx x x

) 2 2 (

x x

dx x

dx

2 )

lnt t  =

5 1

) 2 1 ( 2 ln

x = 3 thì t =

2 1

và dx = - 2

t dt

2

1 1 1

t

t t

4

1 2 1 2 1 2

1

t

t d

2 1 2 2

2

1 ln 2

10 3 ln 2 1

Ví dụ 3:Tính K =    

2 ln

0 ( 1 x) 1 x 2x

x

e e e

dx e

Đặt t = ex  dt = exdx.Khi : x = 0  t = 1

1

ta có: ( 1 t) 2

dt du

1

u

u d

1

3 1

2

12

12

12

1ln3

3 2 2 ln 2 1

4.Tích phân dạng:



bx c ax

dx x f

2 ) (

Với a  0 bậc f(x)2,f(x) là đa thức

Cách làm:Tách 



bx c ax

dx x f

2 ) (

= g(x) ax2bxc + 



bx c ax

) 1 ( 2 2







x x

dx x

Tách : 

3 2

) 1 (

2 2







x x

dx x

x



 x x

A +(AxB)(x1) + 

Đồng nhất hệ số ta có : ; 1

2

3

; 2

x x

2 2

1 2

x x

2 2

1 2

-6 5

6 1

2 5

) 1 (

1 dx

x x

x x x

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:



 0

) 1 (

1 dx

x x

x x x

= 

 0

1 2

3

2

2x dx x

x x

1 2

3

2 2

1 dx

x x

x x

2

3 2 2 1

5 2 6

4 2 6

Cách làm:Đặt n

m

d cx

b ax

1 3

1 3

2

) 4 5 (

7 4 5

1 3 3 2

x

21

2 ) 4 5

dt x



8

1  

 t x

1 3 4 5

x

x x

dx

27 8

8

1 21.3

2

t t

dt

=

= t 3dt

4 27 8

8 1

6.Tích phân dạng:  cx axd b dx Với a c 0

Cách làm: Cách 1: Đặt

d cx

b ax t

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t  3  x

x

dx dt

dt x

82

4 Cos ydy Cos y dy =   3

4

224

dx x x

dx x

1

t

t t

1

2 3 4

66666

6t t t t t t dt

2

1 4

)2(2

t t

tdt t

dt t

dt t t

2

1211

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t

3

2 ln

2

3 2

1



3 3 3

4

ln  

8.Tích phân dạng : x r(abx p)q dx (p,q,r là các phân số)

a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p

b)Nếu r p1 nguyên đặt abx p t s với s là mẫu của phân số q

c) Nếu r p1 +q nguyên đặt axp bt s với s là mẫu số của phân số q

1 1

4

t t

dt t

1 )

1 (

1 )

1 (

1 ( 2

dx x

2

1 5 1

t

tdt t

t

a at t

  3 

2 2

4 2

t

a at



2

3 2 3

1

) ( 



Do

3

1

; 2

2 2

3 2 3

3 1

t

a x t x

a

2 1 2

at

2

)1(

32

1

3 ) 1 ( 2

3

t

dt t a

2 2 t3

dt a t

4 2 6 sin cot

1 - 9

dx x



C=2

2 2 0

sin 2(1 cos )

16 -x dx

D=

e

dx e



3 2 2

3x 2x

dx x

11

2

2 0

dx

(Đặt x2  2x 2 xt) H=(x1()2 x21) 3x3

dx x

I=

1

.1

0 4 2 8 5

) 1 2 (

x x

dx x

2

2 3

2 3

dx x x x

x x x

L = 



2 7

3 x2 3x 4