Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6.. Tỡm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳn
Trang 1BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú phương trỡnh đường thẳng AB: x – 2y + 1
= 0, phương trỡnh đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật
Giải
Do B là giao của AB và BD nờn toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
=
Lại cú: Tứ giỏc ABCD là hỡnh chữ nhật nờn gúc giữa AC và AB bằng gúc giữa AB và BD, kớ hiệu (1; 2); (1; 7); ( ; )
(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là VTPT của cỏc đường thẳng AB, BD, AC Khi đú
ta cú: cos(nuuur uuurAB,n BD) = cos(nuuur uuurAC,n AB)
3
2
7
a b
a
= −
= −
- Với a = - b Chọn a = 1 ⇒ b = - 1 Khi đú Phương trỡnh AC: x – y – 1 = 0,
A = AB ∩ AC nờn toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
(3; 2)
A
Gọi I là tõm hỡnh chữ nhật thỡ I = AC ∩ BD nờn toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
y
=
− − =
Do I là trung điểm của AC và BD nờn toạ độ ( )4;3 ; 14 12;
5 5
- Với b = - 7a (loại vỡ AC khụng cắt BD)
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn (C) : x2+ +y2 2x 8y 8 0− − = Viết phương
trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6
2 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tỡm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất
Giải
Đường trũn (C) cú tõm I(-1;4), bỏn kớnh R=5
Gọi phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là ∆,
=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vỡ // với đường thẳng 3x+y-2=0)
Vỡ đường thẳng cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6=> khoảng cỏch từ tõm I đến ∆ bằng
5 −3 =4
c c
d I
c
− + +
Vậy phương trỡnh đường trũn cần tỡm là: 3x y+ +4 10 1 0− = hoặc 3x y+ −4 10 1 0− = .
Bài 3: Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phõn giỏc trong qua
đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0
Giải
PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP uuur1=( )4;3 của (d
2) làm VTPT (BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0
+) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT :
Trang 2( )
+) Đờng thẳng ∆ đi qua B và vuông góc với (d2) có VTPT là uuur2 =(2; 1− )
∆ có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0
+) Tọa độ giao điểm H của ∆ và (d2) là nghiệm của HPT :
2x y 5 0 x 3 H ( )3;1
+) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d2) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm của BB’ nên :
( )
B' 4;3
+) Đờng thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B’(4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0
+) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT :
A ( 5;3)
+) Đờng thẳng qua AB có VTCP ABuuur=(7; 4− ), nên có PT :
4x 7y 1 0
−
B i 4 : à Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường trũn (C) :x2+y2−4x−2y−1=0
và đường thẳng d : x+y+1=0 Tỡm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được
đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau gúc 900
+ (C) cú tõm I(2 , 1) và bỏn kớnh R = 6
+ A MˆB=900 (A,B là cỏc tiếp điểm ) suy ra :MI =MA 2 = R 2 = 12
Vậy M thuộc đường trũn tõm I bỏn kớnh R/ = 12 và M thuộc d nờn M( x , y) cú tọa độ thỏa hệ:
( ) ( )
+
−
=
−
=
∨
−
−
=
=
↔
= +
+
=
− +
−
2 1
2 2
1
2 0
1
12 1
y
x y
x y
x
y
x
Vậy cú 2 điểm thỏa yờu cầu bài toỏn cú tọa độ nờu trờn
a (S) cú tõm J(1,0,−2) bỏn kớnh R = 3
+ đt a cú vtcp →u(1,2,−2), (P) vuụng gúc với đt a nờn (P) nhận →ulàm vtpt
Pt mp (P) cú dạng : x+2y−2z+D=0
+ (P) cắt (S) theo đường trũn cú bk r = 2 nờn d( J , (P) ) = R2−r2 = 5
) 2 (
2 0 2 1
= +
−
−
−
−
=
+
−
=
↔
5 3 5
5 3 5
D D
Giải
KL : Cú 2 mặt phẳng : (P1) : x+2y−2z−5+3 5 =0 và (P2) : x+2y−2z−5−3 5 =0
Bài 5 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0
Tỡm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau gúc 450
Giải
*∆ cú phương trỡnh tham số
1 3
2 2
= −
= − +
và cú vtcp uur= −( 3;2)
*A thuộc ∆ ⇒A(1 3 ; 2 2 )− t − + t
Trang 3*Ta có (AB; ∆)=450
1 os( ; )
2
c AB u
⇔ uuuur ur =
2
AB u
AB u
uuuur ur ur
*Các điểm cần tìm là 1 2
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 :2x−y+5=0 d
2: 3x +6y –
7 = 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1
và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2
Giải
d1 có vectơ chỉ phương a1(2;−1); d
2 có vectơ chỉ phương a2(3;6)
Ta có: a1.a2 =2.3−1.6=0 nên d1 ⊥d2 và d
1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: d:A(x−2)+B(y+1)=0⇔Ax+By−2A+B=0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
− + +
−
⇔
A 3 B
B 3 A 0 B 3 AB 8 A 3 45 cos )
1 ( 2 B
A
B A
2 2
2
2
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: x+y−5=0
* Nếu B = -3A ta có đường thẳng d:x− y−5=0
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: x+y−5=0
0 5
y
x
:
Bài 7 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC các đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân
giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10=0 và x - y + 1=0; điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 Tìm tọa độ các đỉnh cuả tam giác ABC
Giải :
Gọi d1 ,d2 lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A
Gọi M’(a; b) là điểm đối xứng của M qua d2 và I là trung điểm của MM’
−
=
2
2
; 2 , 2
;
I b a MM
Vectơ chỉ phương của d2 là u=( )1;1
=
=
⇔
= +
+
−
=
−
+
⇔
∈
=
1
1 0
1 2
2 2
0 2 0
2
'
b
a b
a
b a d
I
u MM
Khi đó M’(1 ; 1) thuộc đường thẳng AC Mặt khác vectơ chỉ phương v=(4;−3) của đường cao d1 chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC Do đó phương trình đường thẳng AC là 4(x - 1) – 3(y - 1) = 0 ⇔4x
– 3y – 1 = 0
AC
d
A= 2∩ xác định bởi hệ ìïïíïï î 4x y x-- 3+ =y1- 1 =00Û ì =ïïí = ïï îx y 54.Vậy A(4;5)
Phương trình đường thẳng AB:
0 8 4 3 3
2 4
2
5
2
0
4
−
−
=
−
x
AB
d
B= 1∩ xác định bởi hệ
3
3 4 10 0
1.
3 4 8 0
4
x
x y
= -ìï
ì + + = ï
í - + = í =
ïî ïïî Vậy B -( 3;- 14)
Đường thẳng AC: 4x – 3y – 1 = 0, do đó 3 .
1 4
c C
Trang 4( )
⇔
=
=
⇔
=
+
⇔
=
25
33
; 25 31
1
; 1 25
31
1 2
2 3
1 4 2
2
1 2
2
C
C c
c c
c MC
Ta nhận thấy AC1và AC2cùng chiều
Kết luận: ( ) , ( )1;1
4
1
; 3 , 5
;
25
33 , 25
31 , 4
1
; 3 ,
5
;
− − C
B A
Bài 8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đường thẳng
AB, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình là x + 4y – 2 = 0, 2x – 3y + 7
= 0 và 2x + 3y – 9 = 0
Giải :
Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình
( 2;1)
x y
A
x y
− + =
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình
(6; 1)
x y
B
x y
+ − =
Đường thẳng BC qua B và vuông góc với đường cao kẻ từ A nên có phương trình là: 3(x – 6) + 2(y + 1) = 0
⇔ 3x + 2y – 16 = 0
Trung điểm AC thuộc đường trung tuyến kẻ từ B nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình
3 2 16 0
(2;5)
C
Kết luận: A( - 2 ; 1), B(6; -1), C(2; 5)
Bài 9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-4)2 + y2 = 4 và điểm E(4;1) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua điểm E
Giải :
Gọi I là tâm đường tròn (C) suy ra I(4;0) Xét M(0;a) thuộc trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến MA,
MB đến đường tròn (C) Giả sư
A(x1;y1); B(x2;y2) Ta có MA=(x1;y1−a), IA=(x1−4 y; 1).
Vì IA⊥MA nên
1
2 1 1
1
1
1− x + y y −a = ⇔ x − +y + x − −ay =
x
Vì A thuộc (C) nên 4x1−ay1−12=0. Suy ra A thuộc đường thẳng
4x – ay – 12 = 0
Tương tự, B thuộc đường thẳng 4x – ay – 12 = 0 Do đó phương trình đường thẳng AB là 4x – ay – 12 = 0 Đường thẳng AB đi qua E(4;1) nên a=4
Điểm cần tìm là M(0;4)
Cách khác: pt tiếp tuyến tại A(x1;y1) có dạng
(x1- 4 () x- 4)+y y1 - 4=0
Vì tiếp tuyến qua M(0;a) nên có (x1- 4 ( 4)) - +ya1 - 4=0
Tương tự, tọa độ B(x2;y2) thỏa (x2- 4 ( 4)) - +y a2 - 4=0
Suy ra pt AB là 4x – ay – 12 = 0
Bài 10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 +y2 =1 Tìm các giá trị thực của m để
trên đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60o
Giải :
Đường tròn có tâm O(0 ; 0) và bán kính R=1
Giả sư PA, PB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm)
Trang 5• Nếu A PˆB=60o ⇒OP=2⇒ Pthuộc đường tròn (C1) tâm O bán kính R=2
• Nếu
P OP
B P
3
2 120
ˆ
thuộc đường tròn (C2) tâm O bán kính R = 3
2 Đường thẳng y = m thỏa mãn yêu cầu bài toán cắt đường tròn (C1) và không có điểm chung với đường tròn (C2)
• Đường thẳng y = m cắt (C1)⇔−2<m<2
• Đường thẳng y = m không có điểm chung với
2
−
<
hoặc
3
2
>
m
Suy ra các giá trị cần tìm của m là
2 3
2 3
2
2< <− < <
Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng
d1: 2x +y – 3 = 0, d2: x + 2y – 4 = 0 và d3: 2x – y – 2 = 0
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc đồng thời với d2, d3
Giải :
Gọi I là tâm và kí hiệu R là bán kính của đường tròn
Vì I d∈ 1nên tọa độ của I có dạng: I = (t; 3 – 2t).
Đường tròn (I) tiếp xúc với d2 và d3 khi và chỉ khi:
d(I; d2) = d(I; d3) (*)
Ta có: ( )* 2 3 2( ) 4 2 (3 2 ) 2
t+ − t − t− − t −
3
1
t
t
=
- Với t = 3, ta có I = (3, -3) và
7 5
R=
;
- Với t = 1, ta có I = (1; 1) và
1 5
R=
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán; phương trình của chúng là:
x− + +y = v + −y =
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng C: (x - 1)2 + (y + 3)2 = 9 và đường thẳng d: x – y + 1 = 0 Trên C, lấy điểm M và trên d lấy điểm N sao cho gốc tọa độ O là trung điểm của MN Tìm tọa
độ của các điểm M và N
Giải :
Vì N d∈ nên tọa độ của N có dạng: N = (t; t+1).
Vì M và N đối xứng với nhau qua O nên M = (-t; -t -1)
Vì M∈C nên ( ) (2 )2 ( )
− − + − − + =
Ta có: ( )* ⇔ − − = ⇔ = −t2 t 2 0 t 1hay t=2
- Với t = -1, ta có M = (1; 0) và N = (-1; 0)
Với t = 2, ta có M = (-2; -3) và N = (2; 3)
Trang 6Bài 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y – 2 = 0 và
d2: 2x – y + 3 = 0 Trờn d1 lấy điểm M và trờn d2 lấy điểm N sao cho OMuuuur+2ONuuur r=0 Tỡm tọa độ của
điểm M và N
Giải :
Vỡ M ∈d1 nờn tọa độ của M cú dạng M = (a; 2 – a).
Vỡ N d∈ 2 nờn toạ độ của N cú dạng N = (b; 2b + 3).
Do đú, ta cú:
uuuur uuur r
Vậy,
; à N= - ;
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC với AB= 5, ( 1; 1)C − − , đường thẳng AB cú
phương trỡnh x + 2y – 3 = 0 và trọng tõm của tam giỏc ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0 Hóy tỡm tọa độ cỏc đỉnh A và B
Giải :
Gọi I(x ; y) là trung điểm của AB và G(xG ; yG) là trọng tõm của ∆ABC
Do
2
3
CG= CI
nờn
x = − y = −
Suy ra tọa độ điểm I thỏa món hệ phương trỡnh
(5; 1)
2 0
x y
I
5
AB
IA IB= = =
nờn tọa độ cỏc điểm A, B là hai nghiệm khỏc nhau của hệ
6 3 2
x y
=
= −
.Tọa độ của cỏc điểm A, B là: 4; 12 , 6; 32 .
− −
Bài 14 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng
3
2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆: 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
Giải
Ta có: AB = 2 , trung điểm M (
;
2 −2
), pt (AB): x – y – 5 = 0 S ABC∆ =
1
2 d(C, AB).AB =
3 2
⇒ d(C, AB)=
3 2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)=
1 2
⇒ d(G, AB)=
(3 8) 5 2
t− t− −
=
1
2 ⇒t = 1 hoặc t = 2
⇒G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)
Trang 7Bài 15 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 1; và phương trình: x 2 + y 2 – 2(m + 1)x + 4my – 5 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m.Gọi các đường
tròn tương ứng là (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C)
Giải:
(C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính R'= (m+1)2+4m2+5
OI = (m+1)2+4m2 , ta có OI < R’
Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xuc trong.==> R’ – R = OI ( vì R’ > R)
Giải ra m = - 1; m = 3/5
Bài 16 :Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) tam giác ABC có trọng tâm G
11 1;
3
, đường thẳng
trung trực của cạnh BC có phương trình x − 3y +8 = 0 và đường thẳng AB có phương trình
4x + y – 9 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Giải
Ta có A , B thuộc đường thẳng AB nên A(a ; 9 – 4a) , B( b ; 9 – 4b )
Do G(1 ;
11
)
3 là trọng tâm tam giác ABC nên C( - a - b + 3; 4a + 4b – 7)
d : x - 3y +8 = 0 có một VTCP là u(3;1)
r
; Gọi I là trung điểm BC ta có I
3
2
a a
−
.d là trung trực của cạnh BC ⇔ . 0
I d
BC u
∈
uuur r
3
2
a
a
−
⇔
1 3
a b
=
⇔ =
Vậy A(1;5) , B(3;-3) và C (-1 ;9)