Vị trí tương đối của hai đường thẳng... Góc giữa hai đường thẳng..[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = ha và các đường trung tuyến
AM = ma, BN = mb, CP = mc.
a Định lí cosin.
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB
c2 = a2 + b2 – 2abcosC
Hệ quả
cos A= b
2 + c2− a2
2 bc
cos B= a
2 + c2−b2
2 ac
cos C= a
2 + b2− c2
2 ab
b Định lí sin.
R a
sin A =
b sin B =
c sin C =2 R ¿
: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
c Độ dài đường trung tuyến của tam giác.
4 Các công thức tính diện tích tam giác.
Diện tích S của tam giác được tính theo các công thức:
*
S a h b h c h
*
S= 1
2 ab sin C=
1
2 ac sin B=
1
2 bc sin A
* S= abc
4 R ( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
* S=pr với p= 1
2 ( a+b+c) và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
* S= √ p( p − a)( p − b)(p − c) với p= 1
2 (a+b+c) (công thức Hê- rông)
1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị i j,
ij 1
.
2 a a a 1; 2 a a i 1 a j 2
; M(x;y)OM xiy j
3 Tọa độ của vectơ: cho u x y v x y ( ; ), ( '; ')
a u v x x y y '; '
b u v x x y y '; '
c ku ( ; ) kx ky
d u v xx . ' yy '
e u v xx ' yy ' 0
f
2 2
u x y
g
.
u v
.
4 Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
Trang 2a. AB xB x yA; B yA
AB x x y y
c G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
3
G
G
d M chia AB theo tỉ số k: 1 ; 1
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Phương rình tham số.
* Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ chỉ phương
u
→
=(u1;u2) là
¿
x=x0+ tu1
y= y0+ tu2 (u12+ u22≠0)
¿ {
¿
* Phương trình đường thẳng Δ đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0).
2 Phương trình tổng quát.
* Phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vec tơ pháp tuyến →n =(a; b) là:
a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 0 ¿
* Phương trình ax + by + c = 0 với a2 + b2 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận
n
→
=(a; b) làm véc tơ pháp tuyến và u
( b; -a ) làm vectơ chỉ phương
* Đường thẳng Δ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn
là :
x
a +
y
b =1(a , b≠ 0)
* Cho (d) : ax+by+c=0 Nếu // d thì phương trình là ax+by+m=0 (m khác c) Nếu vuông góc d thì phươnh trình là : bx-ay+m=0
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng Δ Δ1:a1x +b1y+c1=0
2:a2x +b2y+c2=0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1và Δ2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
¿
a1x+b1y +c1=0
a2x+b2y+c2=0
¿
{
¿
(I)
Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :
Δ1∩ Δ2⇔ a1
a2≠
b1
b2
Δ1// Δ2⇔ a1
a2=
b1
b2≠
c1
c2
Δ1≡ Δ2⇔ a1
a2=
b1
b2=
c1
c2
Trang 34 Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng Δ1và Δ2 có VTPT →n
1và n→2 được tính theo công thức:
¿ a1a2+b1b2∨ ¿
√ a12+ a22 √ b12+ b22
¿ n
→
1∨ ¿ n
→
2∨ ¿ = ¿
¿→n1 n→2∨ ¿
¿
cos (Δ1, Δ2)=cos (n→1, n→2)= ¿
5 Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:
d(M0, Δ ) = ¿ ax0+by0+c ∨
¿
√ a2+b2
¿
B BÀI TẬP.
1) Cho tam giác ABC với A(-1;2);B(2;-4);C(1;0).Tìm phương trình các đường thẳng chứa đường cao tam giác ABC 2) Viết phương trình các trung trực các cạnh tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh là M(-1;1) ; N(1;9) và P(9;1) 3) Cho A(-1;3) và d: x-2y +2=0.Dựng hình vuông ABCD có B và C thuộc d, C có tọa độ là số dương
a) Tìm tọa dộ A,B,C,D
b) Tìm chu vi và diện tích hình vuông ABCD
4) Cho d1: 2x-y-2=0 và d2:x+y+3=0 ; M(3;0)
a) Tìm giao điểm d1 và d2
b) Tìm phương trình đường thẳng d qua M cắt d1 và d2 tại A và B sao cho M là trung điểm đoạn AB
5) a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d:
1 2 3
b)Viết phương trình tham số đường thẳng d: 3x-y +2 = 0
6) Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau :
2 1
t R và d2:
2 7
x
7) Cho d1
2 3
1
và d2:
' '
3
1 2
a) Tìm giao điểm của d1 và d2 gọi là M
b) Tìm phươn trình tổng quát đường thẳng d đi qua M và vuông góc d1
8) Lập phương trình sau đây M( 1;1) ; d : 3x +2y-1 = 0
a) đường thẳng di qua A( -1;2) song song đường thẳng d
b) đường thẳng đi qua M vuông góc d
c) đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k = 3
d) đường thẳng đi qua M và A
9) Cho d
2 2
1 2
a) Tìm A thuộc d sao cho AM = 3 b) Tìm B thuộc d sao cho MB đạt giá trị nhỏ nhất
10) Cho d có 1 cạnh có trung điểm M( -1;1) ; 2 cạnh kia nằm trên các đường thẳng: 2x + 6y+3 = 0 và
2
y t
Tìm phương trình cạnh thứ 3 của tam giác
11) Cho tam giác ABC có pt BC :
x y
Pt đường trung tuyến BM và CN có pt : 3x + y – 7 = 0 và x + y – 5 =0 viết pt các cạnh AB và AC
12) Cho A ( -1; 2 ) ; B(3;1) và d :
1 2
Tìm C thuộc d sao choABC cân
Trang 413) Cho A( -1;2) và d :
1 2 2
Tìm d’ (A;d) Tìm diện tích hình tròn tâm A tiếp xúc d
14/ Viết pt đường thẳng : Qua A( -2; 0) và tạo với : d : x + 3y + 3 = 0 một góc 450
15/ Viết pt đường thẳng : Qua B(-1;2) tạo với đường thẳng d:
2 3 2
một góc 600
16/ a) Cho A(1;1) ; B(3;6) Tìm pt đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2
b) Cho d: 8x – 6y – 5 = 0 tìm pt d’ sao cho d’ song song d và d’ cách d một khoảng bằng 5
17) A(1;1); B(2;0); C(3;4) Tìm pt đường thẳng qua A cách đều B và C
18) Cho hình vuông có đỉnh A (-4;5) pt một đường chéo là 7x – y + 3 = 0 lập pt các cãnh hình vuông và đường chéo
còn lại
IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 phương trình đường tròn.
* Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = √ a2+b2−c
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
B BÀI TẬP
19) Tìm pt đường tròn (C) trong các trường hợp sau
a) Có đường kính AB với A ( 7;3); B(1;7)
b) Ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;3);B(5;6) và C(7;0)
c) Đi qua A(2;-1) tiếp xúc các trục tọa độ
d) Có tâm thuộc d: 3x – 5y – 8 = 0 và tiếp xúc các trục tọa độ
e) Đi qua A(-1;0) ; B(1;2) tiếp xúc d: x – y – 1 = 0
f) Tiếp xúc 0x tại A(6;0) và đi qua B(9;9)
g) Có tâm I(1;3) tiếp xúc d: x + y + 2 = 0
20/ Tìm tâm I và bán kính R của các đường tròn sau :
a) x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0
b) 3x2 + 3y2 – 6x + 4y – 1 = 0
21/ Cho (C) : x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 và d: 2x + y – 1 = 0 Tìm pttt d’ của (C) biết d song song d’ Tìm tọa độ tiếp điểm
22/ Cho ( C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0
a) Tìm tâm I và bán kính R của (C)
b) Tìm pttt d với (C) tại M (2;1)
c) Tìm pttt d với (C) biết d song song d’ : 4x – 3y +1 = 0
d) Tìm pttt d với (C) biết d vuông gốc d’ : 4x – 3y + 1 = 0
e) Tìm pttt d với (C) biết d đi qua A(2;6)
V ELIP
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Phương trình chính tắc:
a b , (a>b>0).
2 Các yếu tố: c2 a2 b2, c>0.
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.
Hai tiêu điểm F1 c ;0 , F c2 ;0
Trang 5Bốn đỉnh: đỉnh trên trục lớn A1 a ;0 , A a2 ;0
, đỉnh trên trục bé B1 0; b B , 2 0; b
Bán kính qua tiêu điểm: MF1 r1 a exM; MF2 r2 a exM
c
e
a
Đường chuẩn:
2
x
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn: 2
a d e
.
3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2.
B BÀI TÂP
23/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:
a) x2
25 +
y2
16 =1 b) 4x
2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 4y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 2
24/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.
a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E)
b) F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)
c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5
d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = ± 4 , y=± 3
25/ Tìm những điểm trên elip (E) : x2
9 + y
2
=1 thỏa mãn : a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải
b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
26/ Cho elip (E) : x2
9 +
y2
4 =1
a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E)
b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung
x
y
F 2 F
1
B2
B1
A 2
A1
O M