Dãy số thựcDãy số thực là một danh sách hữu hạn hoặc vô hạn liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.. Định nghĩa Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a: , trong
Trang 1Dãy số thực
Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.
Định nghĩa
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a: , trong đó là tập hợp số tự nhiên, hoặc
tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó Khi đó thay cho a(n) ta dùng kí hiệu an
an=a(n)
Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:
am, ,an Ngược lại nó được xem là vô hạn
a1,a2, ,an,
Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.
Khi bắt đầu từ phần tử dãy thường được ký hiệu:
với x n là phần tử thứ n.
Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử
với x n là phần tử thứ n
Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo
Ý nghĩa thực tế
Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu Các dữ liệu thu thập có thể gồm
nhiều số từ x1, x2, x n Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (x1), số thứ 2 (x2) và các số tiếp theo
Biên của dãy
Cho dãy Tập hợp các giá trị của dãy:
được gọi là biên của dãy đó.
Biên này không có thứ tự Ví dụ, cho dãy , có biên là {-1,1} Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1
Dãy số thực đơn điệu
Định nghĩa
Cho dãy số thực với x n là các số thực Nó là
• Tăng khi và chỉ khi với mọi , và
• Giảm khi và chỉ khi với mọi
Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.
dãy tăng
Trang 2Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng
Ví dụ như cho dãy Xét hàm số:
với Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:
Đạo hàm này nhỏ hơn không khi x > e Điều này xảy ra với mọi n > 2, nên dãy là dãy giảm
Dãy số thực bị chặn
Dãy bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại T ở đó , với mọi Số T được gọi là giá trị chặn
trên.
Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại D ở đó , với mọi Số D được gọi là
giá trị chặn dưới.
Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.
Ví dụ, dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương
Giới hạn của một dãy số thực
Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất gần" một số nào đó.
Chẳng hạn, xét dãy số thực:
2, , , , ,
hay
Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy có thể tiến gần đến
1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau
Đinh nghĩa
Cho dãy số thực (x n ) và một số thực x Khi đó nếu:
thì x được gọi là giới hạn của dãy (x n) Khi đó ta cũng nói dãy (xn) hội tụ
Giới hạn của dãy thường được kí hiệu:
Hoặc
Trang 3Các định lý cơ bản
1 Nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn
2 Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn
5 Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới)
Tính chất
Nếu các dãy (xn) và (yn) hội tụ và
and thì
và (nếu L2 và yn khác 0)
Một số giới hạn cơ bản
Vô cùng bé, vô cùng lớn
• Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé
cũng viết:
Liên kết ngoài
(bằng tiếng Anh)
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [1]
Chú thích
[1] http:/ / www research att com/ ~njas/ sequences/ index html
Trang 4Nguồn và người đóng góp vào bài
Dãy số thực Nguồn: http://vi.wikipedia.org/w/index.php?oldid=3565388 Người đóng góp: Ctmt, Hoàng Cầm, Newone, Nhanvo, Tttrung, VietLong, Vietbio, Vutrung lhp, 3 sửa đổi vô danh
Giấy phép
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons org/ licenses/ by-sa/ 3 0/