Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn)

Trong khi số học liên quan tới những con số cụ thể,[1]đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến số.[2]Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệ

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc

vô hạn)

Mục lục

1.1 Định nghĩa 1

1.2 Ý nghĩa thực tế 1

1.3 Biên của dãy 1

1.4 Dãy số thực đơn điệu 1

1.4.1 Định nghĩa 1

1.4.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm 1

1.5 Dãy số thực bị chặn 2

1.6 Giới hạn của một dãy số thực 2

1.6.1 Các định lý cơ bản 2

1.6.2 Tính chất 2

1.6.3 Một số giới hạn cơ bản 2

1.7 Vô cùng bé, vô cùng lớn 2

1.8 Xem thêm 3

1.9 am khảo 3

1.10 Liên kết ngoài 3

2 Đại số sơ cấp 4 2.1 Ký hiệu đại số 4

2.2 Các khái niệm 5

2.2.1 Biến số 5

2.2.2 Đánh giá biểu thức 5

2.2.3 Phương trình 5

2.2.4 Tính chất của đẳng thức 6

2.2.5 Tính chất của bất đẳng thức 6

2.3 Giải các phương trình đại số 6

2.3.1 Phương trình tuyến tính với một biến số 6

2.3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số 6

2.3.3 Phương trình bậc hai 6

2.3.4 Phương trình số mũ và phương trình lôgarit 7

2.3.5 Phương trình căn thức 8

2.3.6 Hệ phương trình tuyến tính 8

2.3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác 9

i

ii MỤC LỤC

2.3.8 Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình 9

2.4 Chú thích 10

2.5 Đọc thêm 11

2.6 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 12

2.6.1 Văn bản 12

2.6.2 Hình ảnh 12

2.6.3 Giấy phép nội dung 12

Chương 1

Dãy số thực

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn)

liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó

1.1 Định nghĩa

eo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một

ánh xạ a: N → R , trong đó N là tập hợp số tự nhiên,

hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một

số tự nhiên m nào đó Khi đó thay cho a(n) ta dùng ký

hiệu a

a = a(n)

Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:

a,…, a

Ngược lại nó được xem là vô hạn

a0, a1,…, a,…

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn

với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử a n0dãy thường được ký hiệu:

(x n)n ≥n0 với x là phần tử thứ n.

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1

(x n)n ≥1 với x là phần tử thứ n

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô

hạn Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở

rộng cho dãy các phần tử trongkhông gian metrichoặc

không gian topo

1.2 Ý nghĩa thực tế

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua

quá trình thu thập dữ liệu Các dữ liệu thu thập có thể

gồm nhiều số từ x1, x2,…x.Tập hợpcác số này có thứ

tự, nghĩa là có số đầu tiên (x1), số thứ 2 (x2) và các số tiếp theo

1.3 Biên của dãy

Cho dãy (x n)n ≥1 Tập hợp các giá trị của dãy:

(x1, x2, x3, · · · ) = (xn ; n = 1, 2, 3, · · · )

được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự Ví dụ, cho dãy (−1) n

n ≥1 ,

có biên là {−1,1} Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và −1.

1.4 Dãy số thực đơn điệu

1.4.1 Định nghĩa

Cho dãy số thực (x n)n ≥1 với x là cácsố thực Nó là

• Không tăngkhi và chỉ khixn ≥ xn+1với mọi

n ≥ 1

• Không giảmkhi và chỉ khix n ≤ xn+1 với mọi

n ≥ 1

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy

đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy (2n)n ≥1, ta có 2n+1= 2n 2 Do 2 > 1

nên 1.2 n < 2.2 n , hay 2n < 2 n+1 Suy ra (2n)n ≥1là dãy tăng

1.4.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không

là dựa vào đạo hàm củahàm sốtương ứng

Ví dụ như cho dãy(

ln(n) n

)

n ≥1 Xét hàm số:

f (x) = ln(x) x với x ≥ 1

1

2 CHƯƠNG 1 DÃY SỐ THỰC

Lấyđạo hàmcủa nó, ta thu được:

f ′ (x) = ln′ (x)x − (x) ′ ln(x)

x2 Đạo hàm này nhỏ hơnkhôngkhi x >e Điều này xảy

ra với mọi n > 2, nên dãy(

ln(n) n

)

n ≥3là dãy giảm

1.5 Dãy số thực bị chặn

Dãy (x n)n ≥1bị ặn trênkhi và chỉ khitồn tại T ở đó

x n ≤ T , với mọi n ≥ 1 Số T được gọi là giá trị chặn

trên.

Ngược lại, dãy (x n)n ≥1bị ặn dưới khi và chỉ khi tồn

tại D ở đó x n ≥ D , với mọi n ≥ 1 Số D được gọi là

giá trị chặn dưới.

Nếu một dãy có cả hai tính chất trên thì dãy đó được

gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ, dãy (3n)n ≥1bị chặn dưới bởi 3 vì nó luôn có giá

trị dương lớn hơn hoặc bằng 3

1.6 Giới hạn của một dãy số thực

Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo

sát một số dãy số thực, có thể tiến “rất gần” một số nào

đó Chẳng hạn, xét dãy số thực:

2,32,43, , n+1 n ,

hay

2, 1 +1

2, 1 +1

3, , 1 + 1

n ,

Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số 1

n trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy 1 + 1

n có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý Người ta diễn đạt

điều đó bằng định nghĩa sau

Đinh nghĩa

Cho dãy số thực (x) và một số thực x Khi đó nếu:

∀ ϵ > 0, ∃ n0∈ N , ∀ n > n0,|xn − x| <

ϵ

thì x được gọi là giới hạn của dãy (x) Khi đó ta cũng

nói dãy (x) hội tụ

Giới hạn của dãy thường được ký hiệu:

lim

n →∞ x n = x

Hoặc

lim x n = x (khi n → ∞)

1.6.1 Các định lý cơ bản

1 Nếu dãy (x n)có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn

2 Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn

3 Nếu limn →∞ x n = a,limn →∞ y n = b và x n ≤

yn, ∀n ∈ N thì a ≤ b

4 Nếu limn →∞ x n = limn →∞ y n = a và x n ≤

z n ≤ yn , ∀n ∈ N thì limn →∞ z n = a

5 Dãyđơn điệutăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó

bị chặn trên (dưới)

1.6.2 Tính chất

Nếu các dãy (x) và (y) hội tụ và limn →∞ xn = L1and limn →∞ yn = L2 thì

lim

n →∞ (x n + y n ) = L1+ L2

lim

n →∞ (x n y n ) = L1L2

và (nếu L2khác0)

lim

n →∞ (x n /y n ) = L1/L2

1.6.3 Một số giới hạn cơ bản

lim

n →∞

1

n p = 0if p > 0

lim

n →∞ a

n= 0if|a| < 1

lim

n →∞ n

1

lim

n →∞ a

1

n = 1if a > 0

1.7 Vô cùng bé, vô cùng lớn

• Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là

một vô cùng bé

• Nếu: ∀ M > 0, ∃ n0 ∈ N , ∀ n > n0,|xn| >

M ; thì dãy x nđược gọi là vô cùng lớn Khi đó ta cũng viết:

lim

n →∞ x n=∞

1.10 LIÊN KẾT NGOÀI 3

1.8 Xem thêm

• Dãy Farey

• Dãy ue-Morse

• Dãy Fibonacci

• Cấp số cộng

• Cấp số nhân

• Dãy (toán học)

1.9 Tham khảo

1.10 Liên kết ngoài

(bằngtiếng Anh)

• e On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Chương 2

Đại số sơ cấp

3 2

1

−3

−2

−1

y = x2−x−2

x y

Đồ thị phẳng ( đường cong parabol màu đỏ) của phương trình

đại số y = x2− x − 2

Đại số sơ cấp bao gồm những khái niệm cơ bản củađại

số, một phân nhánh củatoán học Đại số sơ cấp thường

được dạy ở cấptrung học cơ sởvà được xây dựng dựa

trên những hiểu biết vềsố học Trong khi số học liên

quan tới những con số cụ thể,[1]đại số giới thiệu những

con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến

số.[2]Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu

đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được

sử dụng trong số học Khác vớiđại số trừu tượng, đại

số sơ cấp không quan tâm tớicấu trúc đại sốngoàisố

thựcvàsố phức

Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho

phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa

những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn

Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán

học thường được biểu diễn dưới dạngphương trìnhđại

số

2.1 Ký hiệu đại số

Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện Nó

tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có

những thuật ngữ riêng Ví dụ, biểu thức 3x2− 2xy + c

có những thành tố sau:

1: số

mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số, x, y :

các biến số

Một hệ số là một giá trị số nhân với biến số (toán tử được bỏ qua), số hạng là một hạng thức, một nhóm các

hệ số,biến số,hằng sốvà số mũđược phân tách với những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ.[3] Các biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ cái eo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví

dụ a, b, c ) thường dùng để biểu diễn cáchằng sốvà các

chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ x, y and z ) thường

được dùng để biểu diễn cácbiến số.[4] Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng.[5]

Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính trongsố học,[6] ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa[7]và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại

số Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua,

và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng

Ví dụ, 3× x2được viết thành 3x2, và 2× x × y có thể

được viết thành 2xy [8]

ường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về

bên trái, ví dụ, x2sẽ được viết về bên trái của x Khi

một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ

1x2được viết thành x2 ).[9] Cũng như vậy, khi số mũ

là một (ví dụ 3x1được viết thành 3x ).[10] Khi số mũ

là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ x0luôn được viết lại thành 1).[11]Tuy nhiên 00, là một số không xác định, không được xuất hiện trong biểu thức, và cần phải chú

ý khi rút gọn các biểu thức trong đó các biến số xuất xuất hiện dưới dạng số mũ

4

2.2 CÁC KHÁI NIỆM 5

2.2 Các khái niệm

2.2.1 Biến số

Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học[12]bằng cách

giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện

những số chung (không xác định) Điều này đem lại

một vài lợi ích:

1 Biến số đại diện o những số ưa biết giá trị.

Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, T, là 20 độ cao

hơn nhiệt độ ngày hôm qua, Y, thì bài toán có thể

được biểu diễn dưới dạng toán học là T = Y + 20

.[13]

1 Biến số o phép ta biểu diễn những bài toán

ung, [14] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị

của những con số có liên quan.Ví dụ, người ta có

thể nêu cụ thể 5 phút bằng với 60× 5 = 300 giây.

Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu

tả số giây, s = 60 × m , trong đó m là số phút.

1 Biến số o phép miêu tả những mối quan hệ

toán học giữa những con số có thể dao động.[15]

Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, c, và đường kính,

d, của một đường tròn có thể được biểu diễn là

π = c/d

1 Biến số o phép mô tả một vài tính ất của

toán học Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép

cộng là tínhgiao hoán, trong đó nêu rõ rằng trật

tự của các số được cộng không quan trọng Tính

giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là

(a + b) = (b + a).[16]

2.2.2 Đánh giá biểu thức

Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn,

dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số

học (cộng,trừ,nhân,chiavàlũy thừa) Ví dụ,

• Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách

sử dụng hệ số Ví dụ, x + x + x có thể được rút

gọn thành 3x (trong đó 3 là hệ số)

• Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách

sử dụng số mũ Ví dụ, x × x × x có thể được biểu

diễn là x3

• Cũng giống như các số hạng được cộng với

nhau,[17] ví dụ, 2x2 + 3ab − x2 + abđược viết

thành x2+ 4ab , bởi các số hạng x2được cộng lại

với nhau, các số hạng ab cũng được cộng lại với

nhau

• Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên

ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối Ví dụ,

x(2x+3) có thể được viết thành (x ×2x)+(x×3)

, và có thể được viết thành 2x2+ 3x

• Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài Ví

dụ, 6x5+ 3x2, chia cả hai số hạng với 3x2ta có

thể viết thành 3x2(2x3+ 1)

2.2.3 Phương trình

Hình động mô tả Định lý Pythago đối với tam giác vuông, trong

đó thể hiện mối quan hệ đại số giữa cạnh huyền, và hai cạnh còn lại của một tam giác.

Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, = (dấu bằng).[18]Một trong những phương trình nổi tiếng nhất

mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài các cạnh của mộttam giác vuông.[19]

c2= a2+ b2 Phương trình này thể hiện rằng c2, đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được

đại diện bằng các chữ cái a và b

Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ

a + b = b + a); những phương trình như vậy được gọi làđồng nhất thức Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ

x2− 1 = 8 chỉ đúng khi x = 3 hoặc x = −3 ) Những

giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính

là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông quagiải phương trình

Một dạng phương trình khác gọi làbất đẳng thức Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại Các biểu

6 CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ SƠ CẤP

tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: a > b , trong

đó > có nghĩa là 'lớn hơn', và a < b trong đó < có

nghĩa là 'nhỏ hơn' Cũng giống như phương trình đẳng

thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được

cộng, trừ, nhân, chia Trường hợp ngoại lệ duy nhất là

khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải

được đổi ngược lại

2.2.4 Tính chất của đẳng thức

eo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "quan

hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ b = b ),

đối xứng (ví dụ nếu a = b thì b = a ), và bắc cầu (ví dụ

nếu a = b và b = c thì a = c )[20]trong đó:

• Nếu a = b và c = d thì a + c = b + d và ac = bd ;

• Nếu a = b thì a + c = b + c ;

• Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể

thay thế cho bên còn lại

2.2.5 Tính chất của bất đẳng thức

Mối quan hệ 'nhỏ hơn' < và 'lớn hơn' > có tính chất

bắc cầu:[21]

• Nếu a < b và b < c thì a < c ;

• Nếu a < b và c < d thì a + c < b + d ;

• Nếu a < b và c > 0 thì ac < bc ;

• Nếu a < b và c < 0 thì bc < ac

Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng

ta có thể đảo dấu < và > ,[22], ví dụ

• a < b tương đương với b > a

2.3 Giải các phương trình đại số

Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương

trình đại số thường gặp

2.3.1 Phương trình tuyến tính với một

biến số

Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi

chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường

thẳng (tuyến tính có nghĩa là đường thẳng) Phương

trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số

Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà

không có số mũ Ví dụ, xem xét:

Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng

thêm 4, kết quả sẽ là 12 Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?

Phương trình tương đương: 2x + 4 = 12 , trong đó x là

số tuổi của con trai tôi

Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.[23]

Nghiệm của phương trình này là như sau:

Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một

biến số, có thể được viết là: ax + b = c Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho b

và chia cho a ) đáp số của phương trình là x = c −b

a

2.3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến

số

Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm Ví dụ:

Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?

Phương trình tương đương: y = x + 22 trong đó y là tuổi của tôi và x là tuổi của con trai tôi.

Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số

Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải

có hai phương trình liên quan đến nhau Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:

Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):[24]

Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi Vậy tuổi của tôi là 34 Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi

2.3.3 Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng

với số mũ là 2, ví dụ, x2,[25]và không có số hạng nào với số mũ cao hơn Nhìn chung, phương trình bậc hai có

thể biểu diễn dưới dạng ax2+bx+c = 0,[26]trong đó a

khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình tuyến tính chứ không còn là bậc hai) Bởi vậy phương

trình bậc hai phải chứa số hạng ax2, số hạng được biết

đến là số hạng bậc hai Do a ̸= 0 , chúng ta có thể

chia cho a và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu

chuẩn

2.3 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 7

x2+ px + q = 0

Trong đó p = b/a và q = c/a Giải phương trình này,

bằng một quá trình gọi làphần bù bình phương, sẽ dẫn

đến công thức bậc hai

x = −b ± √ b2− 4ac

Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả

x = −b + √ b2− 4ac

2a và x = −b − √ b2− 4ac

2a

là nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng

phân tích nhân tử Một ví dụ của phân tích nhân tử:

x2+ 3x − 10 = 0.

Cũng tương đương với:

(x + 5)(x − 2) = 0.

Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích

của không với cả x = 2 hoặc x = −5 là nghiệm của

phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải

bằng không Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai

nghiệm trong hệsố phức, nhưng không cần có nghiệm

nào trong hệsố thực Ví dụ,

x2+ 1 = 0

không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình

phương lại bằng −1

2.3.4 Phương trình số mũ và phương trình

lôgarit

Phương trình số mũ là phương trình có dạng a x = b

với a > 0 ,[27]nghiệm của phương trình là

X =loga b = ln b

ln a

khi b > 0 Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử

dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi

đến đáp số Ví dụ nếu

3· 2 x −1+ 1 = 10

Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục x (trục hoành) tại 1 và đi qua các điểm có tọa độ (2, 1), (4, 2), và (8, 3) Ví dụ, log2(8) =

3, bởi vì 23= 8 Đồ thị tiệm cận gần với trụ y, nhưng không cắt

nó

thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai

vế cho 3 chúng ta có

2x −1= 3

Do đó

x − 1 = log23 Hoặc

x =log23 + 1.

Phương trình lôgarit là phương trình dạng log a (x) = b với a > 0 , trong đó nghiệm là

X = a b

Ví dụ, nếu

4log5(x − 3) − 2 = 6

thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có

log5(x − 3) = 2

Do đó

x − 3 = 52= 25

Từ đó ta rút ra được

x = 28.